matematica

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
superior
Matemática
Determinantes
Profe;
Lusyur Maldonado
Autores
Neidis Gomes
Gabriel Bracho
Esdras mavares

2. Santa ana de coro, septiembrede 2017
Matrices ydeterminantes
1. MATRICES Y DETERMINANTESOBJETIVOGENERAL Analizarlateoría de Matrices de ordenn,
Determinantes,susrelaciones,operaciones,ypropiedadesparalaresoluciónde problemas.
adjuntay la inversade unamatriz
2. MATRICES Y DETERMINANTESCONTENIDOS1. DEFINICIÓN DEMATRIZ 2. ALGUNOS TIPOSDE
MATRICES 3. OPERACIONESCON MATRICES4. TRANSFORMACIONESELEMENTALESDE MATRICES.
MATRIZ TRANSPUESTA 5. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA 6.DETERMINANTES 7. DESARROLLO
DE UN DETERMINANTE 8. PROPIEDADESDE LOS DETERMINANTES9. APLICACIONESDELCÁLCULO
MATRICIAL10. EXPRESIÓN DE LA MATRIZ INVERSA
númerosreales,aloscualesse lesdenominaelementosde lamatriz.Cadaelementotiene dos
subindices,el primeroindicalafilayel segundolacolumnaDosmatricesson igualescuando
tienenlamismadimensiónyloselementosque ocupanlamismaposiciónencadauna de ellasson
iguales a11 a12 a13 ......a1n a21 a22 a23 ......a2n a31 a32 a33 ......a3n ..
.. .... .. am1 am2 am3 ......amn = (aij) MATRIZ
4. DEFINICIÓN DE MATRIZ Se llamamatrizde ordenm×n a todoconjuntorectangularde
elementosaij dispuestosenmlíneashorizontales(filas) ynverticales(columnas) de laforma:
Abreviadamente sueleexpresarseenlaformaA =(aij),coni =1, 2, ...,m, j =1, 2, ...,n. Los
subíndicesindicanlaposicióndel elementodentrode lamatriz,el primero denotalafila( i ) y el
segundolacolumna( j ). Porejemploel elementoa25será el elementode lafila2 y columna5. El
(ai,j)=
5. MATRIZ: EJEMPLO Juan,Anay Elenahan idoa unatienday hancomprado losiguiente:1.Juan
compró dosbocadillos,unrefrescoyunpastel.2.Ana se llevóunbocadillo,unrefrescoyun

3. 2 5 –3 1 –4 1 Ti –3 1 1 –4 1 –2 Tiene la
–3 1 – – 2
-x 1352 zyx Sea el sistemaConunsistemade ecuacionestenemos:
7. Las dosmatricestienenel mismoorden(2x2),yloselementosde cadaunason igualesyocupan
lasmismasposiciones,esdecirenlamatrizA y B, tenemosque:Dosmatricessonigualescuando
tienenlamismadimensiónyloselementosque ocupanlamismaposiciónencadauna de ellasson
iguales.Esdecir:IGUALDADDE MATRICES Ejemplo:Solución:De donde:A = B. Ejemplo:Entonces
A = B, sí y solosí, x = 12, e y= 7.
esdecir:Ejemplo:A = (1 3 5 7
númerode filasque de columnas,siendosuordenmxn,donde m≠n, esdecir:TIPOSESPECIALES
DE MATRICESEjemplo:
adrada: Aquellaque tieneel númerode filasigual al númerode columnas(m= n),es
decir:TIPOSESPECIALESDE MATRICES Ejemplo:Ejemplo:Diagonal PrincipalDiagonal Secundaria
Traza de una matriz(Tr(A)):LaTraza de una matriz,se determinaenmatricescuadradas,y,noes
más que la sumade los elementosde ladiagonal principal.Ejemplo:Tr(A) =1+2+1/3 = 10/3.
10. TIPOSESPECIALESDE MATRICES • Matriz escalar:es unamatriz diagonal enlacual todossus
elementosnonulosde ladiagonal principal soniguales,esdecir:•Matriz diagonal:esunamatriz
cuadrada, donde loselementosfuerade ladiagonal principal sonceros(nulos).Esdecir:A = [aij]n
Ejemplo:Propiedadesde lamatrizdiagonal:SeaA,B y C matricesdiagonales,tenemosque:1) Si A
y B son matricesdel mismoorden;entonces:A*B= B*A 2) Si A = Diagonal Entonces:(a11* b11,
a22* b22, a33* b33, a44* b44, …, ann* bnn ) 3) Sea:C = (c11,c22, c33,c44, …, cnn),Entonces:Cm =
(a11, a22, a33, a44, …, ann) y B = Diagonal (b11, b22, b33, b44, …, bnn) Ejemplo:
11. TIPOSESPECIALESDE MATRICES • Matriz triangular: Es una matrizcuadrada que tiene todos
loselementosnulosporencima(pordebajo) de la diagonal principal ypuede dividirse en:Matriz
TriangularSuperior:Esuna matrizcuadrada si y solosi,aij = 0 para i > j. Ejemplo:•Matriz unidado
identidad:esunamatrizescalar,cuyadiagonal principal es1.Suele representarseauna matriz
ident
matrizen laque todoslos elementossonnulos.Tambiénse denominamatrizceroyse nota por
12. TIPOSESPECIALESDE MATRICES Matriz TriangularInferior:Esunamatrizcuadrada si y solosi,
llama
matrizescalonadasi tiene lasiguienteestructura:a) LasprimerasK filasnosonnulasy las
restantes(m-K) sonnulas.b) El primerelementononulode cadauna de las K filaseslaunidad.c)
En cada una de lasK filas,el númerode cerosanterioresal 1,crece de filaa fila.Ejemplo:

4. 13. RELACIÓN ENTRE MATRICES 1. Matriz TranspuestaDada una matrizde ordenm x n, A = [aij],se
llamamatriztraspuestade A,y se representaporAt,a la matrizque se obtiene cambiandolasfilas
por lascolumnaso viceversa.Esdecir:Propiedadesde lamatriztraspuesta:SeanlasMatricesA y
B, entoncestenemos:I.Parala matrizA, (At)t= A II.Para las matricesA y B, (A+ B)t= At + Bt III.
Para la matrizA y el númeroreal k,(k * A)t= k * AtIV.Para lasmatricesA y B, (A * B)t = Bt . At V.Si
A esuna matrizsimétrica,(An)t=(At)n
14. La traspuestade una matrizA cualquierase obtiene cambiandofilasporcolumnasyse
representaporAt.Si A = (aij),entoncesAt= (aji).Si A esmxn,entoncesAtesnxm.
Ejemplo:2.Matriz Ortogonal Una matriz ortogonal esnecesariamente cuadradae invertible:A-1=
At . La inversade una matrizortogonal esuna matrizortogonal.El productode dos matrices
ortogonalesesunamatrizortogonal.(El determinante de unamatrizortogonal vale +1 ó -1).
Ejemplo:SeaA la matriz,entoncessícumple que:A * At= At * A = I Entoncestenemosque:A es
una matrizOrtogonal. Es decir:
15. RELACIÓN ENTRE MATRICES 3. Matriz InversaDecimosque unamatrizcuadrada A tiene
inversa,que se notapor A-1 , si se verificaque:A * A-1= A-1 * A = I Nota:Si unamatriz cuadradaA
tiene inversa,decimosque A esInvertible.Ejemplo:SeaA lamatriz,entoncessícumple que:A * At
= At* A = I Entoncestenemosque:A esuna matrizOrtogonal.Es decir:4. Matriz Normal Una
matrizes Normal si conmutacon su transpuesta.Esdecir:A * At = At* A Ejemplo:Sea,Entonces:
Luego:esuna matrizNORMAL. Nota.- Las matricessimétricas,antisimétricasuortogonalesson
necesariamente normales.
16. RELACIÓN ENTRE MATRICES 5. Matriz OpuestaLa matriz opuestade unadada esla que resulta
de sustituircada elementoporsuopuesto.Laopuestade la matrizA es –A. Ejemplo:6.Matriz
SimétricaUna matrizessimétrica,cuandoestaescuadrada y éstaesigual a sutranspuesta,es
-
= AT Luego:Características:a) La matrizA debe sercuadrada b) Los elementosde ladiagonal
principal permanecenfijosal efectuarlatransposición.Lasimetríase da con respectoa la diagonal
principal,éstase comportacomoun espejo.
17. RELACIÓN ENTRE MATRICES 7. Matriz AntisimétricaEsuna matrizcuadrada que esigual a la
opuestaa la opuestade sutranspuesta.Esdecir:A = -At. Ejemplo:Sea:Luego:Características:a)
La matrizA debe sercuadradab) Los elementosde ladiagonal principaldebensernulosy
permanecenfijosal efectuarlatransposición.Lasimetríase da con respectoa la diagonal principal
y sonlos elementosopuestos.jiij - – -4 -2 0 3 4 -3 0
18. OPERACIONESCON MATRICESLas operacionesdel algebramatricialson:1) Suma y Diferencia
de Matrices 2) Propiedades3) Productode unNúmeroReal poruna Matriz 4) Propiedades5)
Productode Matrices 6) PropiedadesParaestablecerel cálculoconmatricesse desarrollaun
álgebrasemejante al álgebraordinaria,peroenlugarde operarcon númeroslohacemoscon
matrices.

5. 19. OPERACIONESCON MATRICES1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES La sumade dosmatrices
A=(aij),B=(bij) delmismoorden,esotramatrizS=(sij) del mismoordenque lossumandos,la
representaciónes:S= (aij + bij).Lasuma de las matricesA y B se denotaporA+B; El modelo
general es:
20. OPERACIONESCON MATRICES1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES Ejemplo:Sinembargo,no
se puedensumar.Portanto,para podersumardos matrices,éstasdebentenerel mismo orden.
Caso contrariono se puede.Ladiferenciade matricesA yB se representaporA–B,y se define
como lasuma de A con la opuestade B, esdecir:A–B = A + (–B) Ejemplo:Nota:La suma y
diferenciade dosmatricesNOestádefinidasi susdimensionessondistintas,esdecirsi tienen
distintoorden.
21. OPERACIONESCON MATRICES1. 1. PROPIEDADESDE LA SUMA DE MATRICES Seanlasmatrices
A,B, C y O del mismoorden,entoncesse cumple que:•Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C •
Conmutativa:A + B = B + A • Elementoneutro:A +O = O + A = A; donde Oes lamatriz nula.•
Elementoopuesto:A + (– A) = (– A) + A = O La matriz –A (opuesta) se obtienecambiandode signo
loselementosde A.Ejercicios:Demostrarcadaunade laspropiedadesconunejemplo.Si las
matricesson:
22. PROPIEDADESDE LA ADICIÓN DE MATRICES • Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C •
Conmutativa:A + B = B + A • Elementoneutro:A +0 = 0 + A = A donde 0 es la matriznula.•
Elementoopuesto:A + (– A) = (– A) + A = 0 La matriz –A (opuesta) se obtienecambiandode signo
loselementosde A.SeanlasmatricesA,By C del mismoorden,entoncesse cumple que:
23. OPERACIONESCON MATRICES2. PRODUCTO DE UN REAL POR UNA MATRIZ Para multiplicarun
escalarpor una matrizse multiplicaal escalarportodosloselementosde lamatriz,obteniéndose
otra matrizdel mismoorden.Esdecir:Si A = [aij],entonceskA =[kaij];Donde:A∈My K∈ℝ k . A = k
. (aij) = k· a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = ka11 ka12 ka13 ka21
ka22 ka23 ka31 ka32 ka33 = (kaij) Ejemplo:Ejemplo:
24. OPERACIONESCON MATRICES2.1. PROPIEDADESSeanA y B dos matricesdel mismoorden,y,
α y β dosnúmerosreales,entoncestenemosque:•DistributivaI:α*(A +B) = α * A + α * B •
DistributivaII:(α + β) * A = α * A + β * A • Elementoneutrode Escalares:1* A = A * 1 = A •
Asociativamixta:α*(β*A) = (α*β )*A El conjuntode lasmatricesm x n con lasoperacionessumay
productopor un escalarantesdefinidas,tieneestructurade espaciovectorial yaque también
cumple conla Leyde ComposiciónExterna.Ejercicios:Demostrarcadauna de laspropiedadescon
un ejemplo.Si lasmatricesson:
25. OPERACIONESCON MATRICES3. PRODUCTO DE MATRICES Dadasdos matricesA y B, su
productoes otra matrizP cuyoselementosse obtienenmultiplicandolasfilasde A porlas
columnasde B (porlo que debencoincidirestas).De maneramásformal,loselementosde Pson
coincidirconel númerode filasde B. Es más,si A tiene dimensiónmx n y B dimensiónnx p,la
matrizP será de ordenm x p,es decir:[aij]m,n.[bij]n,p=Posible filascolumnas[cij]m,pNota:El

6. productode matriceses posible cuandocoincideel númerode columnasde unamatrizconel
númerode filasde laotra matriz.
26. OPERACIONESCON MATRICES3. PRODUCTO DE MATRICES nose puedenmultiplicar(el
númerode columnasde la 1ª matrizno es igual al númerode filasde la2ª matrizEjemplos:El
productose puede realizarEjemplos.-
bbbbbbbb ............................
......Luegoel productode A y B es lamatriz C = A · B, tal que el elementoque ocupalaposiciónij
es:cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ...+ ain. bnj
27. OPERACIONESCON MATRICESDeterminar:a) A * B; b) ½ A * (-B);c) (-A) * 3/2 B; d) 3.
PRODUCTO DE MATRICES Ejemplos:Ejercicios:Seanlasmatrices
–1 3 – –3 0 1 –2 cada filade A por cada columna
–1 3 – –3 0 1 –2
–1 1 6 6 b) ¿Qué dimensionestiene lamatrizproducto?(aij)2,3.(bij)3,3=
productoposible (cij) 2, 3
29. OPERACIONESCON MATRICES3.1. PROPIEDADESDEL PRODUCTODE MATRICES SeanA,B, C,
O, I Elementosde lasMatrices,Entonces:1En general A * B ≠ B * A; (Porlogeneral NOes
Conmutativa) Enel caso que A * B = B * A se dice que A y B conmutano son conmutables.2.Para
lasmatricesA de dimensiónmxn,Bde dimensiónnxpyCde dimensiónpxr.Luego:A * (B * C) = (A
* B) * C; (Cumple conlaPropiedadAsociativa).3.Paralas matricesA de dimensiónmxn,Bde
dimensiónnxryCde dimensiónnxr.Luego:A * (B + C) = A*B + A*C (A + B) * C = A*C + B*C;
(Cumple conlaPropiedadDistributiva).4.Para lasmatricesO de dimensiónmxp,A de dimensión
pxn;donde O esla matriznulade ordenmxnLuego:O * A = O; (Cumple conla Propiedad
Modulativa).5.Si A es unamatriz de ordenmxn,I esla matrizidentidadde ordenn.Luego:A * I =
A y I * A = A; (Cumple conlaExistenciadel ElementoNeutro).6.Si A x B = O, no implicaque A = O
ó B = O; Donde O esla matriznula.Ejemplo:;Donde:A ≠0 y B ≠ 0
30. OPERACIONESCON MATRICES3.1. PROPIEDADESDEL PRODUCTODE MATRICES 7. En el caso
que:A * B = A * C, estonoimplicaque B = C. Por ejemplo:8.Cuandose tiene: 𝑺𝒆𝒂: 𝑨= 1 1 0 0 ; 𝑩
= 2 3 5 8 𝒚 𝑪 = 5 8 2 3 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨∗ 𝑩 = 2 + 5 3 + 8 0 0 = 7 11 0 0 𝒚 𝑨 ∗ 𝑪 = 5 + 2 8 + 3 0 0 = 7 11
0 0 𝑺𝒆 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂 𝒒𝒖𝒆: 𝑨 ∗ 𝑩 = 𝑨 ∗ 𝑪, 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝑩 ≠ 𝑪 𝑨 ∗ 𝑩 𝒕 = 𝑩 𝒕 ∗ 𝑨 𝒕 9. Cuando se tiene:10.
Cuandose tiene: 𝑰 𝒏 ∗ 𝑰 𝒏 = 𝑰 𝒏 2 = 𝑰 𝒏 11. 𝑰 ∗ 𝑨 = 𝑨 ∗ 𝑰 = 𝑨 𝑺𝒊 𝑨 ∗ 𝑨 𝒕 = 𝑰 𝒚 𝑨 𝒕 ∗ 𝑨 = 𝑰
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑶𝑹𝑻𝑶𝑮𝑶𝑵𝑨𝑳
A2 + 2A . B + B2 salvoque A y B conmuten.13. (A – – 2A . B + B2 salvoque A y B
conmuten.14. A2 – – B) . (A + B) salvoque A y B conmuten.3.2. Ejerciciosde clases:1.
Hallarla matrizX, tal que: 𝑿 𝒎∗𝒏 ∗ 1 −1 0 0 1 0 0 −1 1 3∗3 = 1 −3 2 0 −1 1 2∗3 2. Si: 𝑨 = −5 3 16 −6
𝒚 𝑩 = 16 −40 21 23 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓:2𝒙 + 3𝒚 = 𝑨 5𝒙 − 2𝒚 = 𝑩; Y 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑿

7. 32. OPERACIONESCON MATRICES4. POTENCIACIÓN DEMATRICES 4.1. Propiedades:1.A es
IDEMPOTENTE si: SeaA unamatriz cuadrada de ordenn,las potenciasde A,de exponentenatural,
se definencomoenel casode losnúmerosnaturales:el exponente indicael númerode vecesque
se multiplicalamatrizporsí misma.Es decir:An= A . A . ............A n veces2. A esINVOLUTIVA si:
3. A es NILPOTENTEsi: 𝑨2 = 𝑨 𝑨2 = 𝑰 𝑨 𝒑 = ∅. 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒍𝒈ú𝒏 𝒑+ 𝒔𝒊 𝒑 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐
𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒍 𝑨 𝒑 = ∅ 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑨 𝒆𝒔 𝑵𝑰𝑳𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑻𝑬 𝒅𝒆 í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒑 4.2. Ejemploen
clases: 𝑺𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐: 𝑨= 0 −1 1 0 1 2 1 0 1 ; 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑨2 𝒚 𝑨3
- veces- nnnnn 321L OPERACIONESCON MATRICESEjemplo:
Generalizando,tenemos:
34. OPERACIONESCON MATRICES5. MATRIZ PERIÓDICA Dada la matrizcuadrada A de ordenn, si
existe unnúmeroppertenecientealosNaturales(el menorde todosellos) tal que se cumpla: 𝑨
𝒑+1 = 𝑨, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑨 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑷𝑬𝑹𝑰Ó𝑫𝑰𝑪𝑨, 𝒄𝒖𝒚𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒊ó𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂
𝒑. Observaciones:a) Si se cumple que 𝑨 𝟐 = A, entoncesdiremosque A esunamatrizIdempotente
b) Si ∃𝐩 ∈ ℕ (el menorde todos) tal que, 𝑨 𝒑 = ϕ 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙 , entoncesA esuna matriz
Nilpotente de índice p.c) Si se cumple que: 𝑨 𝟐 = I (matrizidentidad),entoncesA esunamatriz
Involutiva.Ejercicios:Determinarunaformulaparahallar 𝑩 , 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑩: 𝑩 = 1 −1 −1 0 1 −1 0 0 1
𝒚 𝒏 ∈ ℕ, 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏: 𝑩50 𝒚 𝑩73
35. 1. Si lasmatricesA y B son inversibles(A*B)–1= B–1 * A–
0, (k * A)–1 = (1/k) * A–1 3. Si A esuna matrizinversible,(A–1)–1= A 4. La matrizunidades
inversible yademásI–1= I 5. Si A esuna matrizinversible,(A–1)t=(At)–1Dada una matriz
cuadrada A de ordenn, nosiempre existeotramatrizB tal que A*B = B*A = In.Si existe dicha
matrizB, se dice que esla matrizinversade A y se representaporA-1Una matrizcuadrada que
posee inversase dice que esinversible oregular;encasocontrariorecibe el nombre de singular.
INVERSA DE UNA MATRIZ, MATRICES INVERSIBLESOPERACIONESCON MATRICESPROPIEDADES
DE LA MATRIZ INVERSA Observación:Podemosencontrarmatricesque cumplenA*B= I,pero que
B*A = I,en tal caso, podemosdecirque A esla inversade B "por laizquierda"oque B esla inversa
de A "por la derecha".
36. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA OPERACIONESCON MATRICESHay varios
métodosparacalcular lamatriz inversade unamatrizdada: 1. Directamente (Definiciónde matriz
inversa) 2.Por el métodode Gauss-Jordan(MatrizAmpliada) 3.UsandodeterminantesylaMatriz
AdjuntaCÁLCULODE LA MATRIZ INVERSA 1.Directamente (Definiciónde matrizinversa).-
Aplicandoladefinición,tenemos, síA*A–1= I, decimosentoncesque A–1eslainversade A.
–1 1 1 para obtenerA -
–
37. OPERACIONES
–z 2y– – z =1 x +z =0 2y – t =0 y +t =1 Por tantoA-1

8. – 1 3 2 3 Resolviendoel sistemade ecuacionestenemos: 𝒙 = 𝟏 𝟑 ; 𝒚 = 𝟏 𝟑 𝒛
= − 𝟏 𝟑 ; 𝒕 = 𝟐 𝟑 Ejerciciospararealizarenclases:Analizarsi tieneninversaslassiguientes
matrices:Nota:Éste métodoesde gran utilidadcuandose tiene que determinarocalcularlas
matricesinversasperode orden2. 𝑺𝒆𝒂: 𝑨 = 1 1 −2 3 ; 𝑩 = 2 3 4 −1 𝒚 𝑪 = −1 2 2 3
38. OPERACIONESCON MATRICESCÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA 2. Por el métodode Gauss-
Jordan(Matriz Ampliada) Dadaunamatrizcuadrada A de ordenn y la matrizidentidadIdel mismo
orden;se construye lamatriz ampliada(A IIn),donde poroperacionesaritméticaselementales
(porfilas) debe obtenerse unanuevamatrizampliada(InIB),concluyendoque Besla matriz
inversade A,Es decir:B = A–1. Para aplicar el métodose necesitaunamatrizcuadradade rango
máximo.Sabemosque nosiempre unamatriztiene inversa,porlocual comprobaremosque la
matriztengarango máximoal aplicarel métodode Gauss para realizarlatriangulaciónsuperior.Si
al aplicarel métodode Gauss(triangulacióninferior) se obtiene unalíneade ceros,lamatrizno
otra paralelamulti
Nota:Este tipode operacionesNOAfectanalasmatrices.
39. En consecuenciaal transformar(A I In) en(InI B) realmente loque estamoshaciendosonlas
siguientesmultiplicaciones:Si hacemostransformacioneselementalesenunamatriz,estoes
–
a la siguiente multiplicación:Ejemplo:OPERACIONESCON MATRICESA-1·A=In yA-1 · In = A-1=B
40. Aplicandoel métodode Gauss-JordanalamatrizEn primerlugartriangulamosinferiormente:
Una vez que hemostrianguladosuperiormente lohacemosinferiormente:Porúltimo,habráque
convertirlamatrizdiagonal enla matrizidentidad:De donde,lamatrizinversade A es
OPERACIONESCON MATRICESCálculode la Matriz Inversaporel métodode Gauss – Jordan.
Ejemplo1:
41. Aplicandoel métodode Gauss-Jordanalamatrizse tiene:Peropodemosobservarque hayuna
filacompletade ceros,entonceslamatrizA eneste caso no tiene rangomáximo.Por tantoLa
matrizA no tiene inversapuesesunamatrizsingular.Concluyendo,estoseríaunamanerade
identificarsi unamatrizposee inversaono,esdecir si esinvertibleono.OPERACIONESCON
MATRICES Cálculode laMatriz Inversaporel métodode Gauss – Jordan.Ejemplo2
42. 2º.- TriangulamoslamatrizA de arriba a abajoy realizamoslasmismasoperacionesenla
matrizde laderecha.Queremoscalcularlainversade 1º.- Se escribe lamatrizA y juntoa estala
matrizidentidad,Comopodemosobservarel rangode lamatrizes máximo(eneste caso3),por
tanto lamatriz A es regular(tiene inversa),podemoscalcularsuinversa.OPERACIONESCON
MATRICES Cálculode laMatriz Inversaporel métodode Gauss – Jordan.Ejemplo3:

9. 43. 3º.- Triangulamoslamatrizde abajo a arriba,realizandolasmismasoperacionesenlamatriz
de la derecha.4º.- Porúltimose divide cadafilaporel elementodiagonal correspondiente.
OPERACIONESCON MATRICESEjerciciopara realizarenclases:Determine lamatrizinversade la
matrizdada, utilice el métodode Gauu-Jordan:
44. Pasosque se recomiendanparala construcciónde lamatriz inversa(A-1):a) Calculamosel
determinanteb) Calculamoslamatrizde lasMenoresc) Calculamoslamatrizde losCofactoresd)
CalculamoslamatrizAdjunta(transpuestade lamatrizde loscofactores) e) Calculamoslamatriz
Inversa,mediante:OPERACIONESCON MATRICES3. Usando determinantesylaMatriz Adjunta
Matriz Adjunta.- Esla matriztranspuestade lamatrizque se formamediante loscofactoresde
cada uno de loselementosque formalamatrizoriginal.Esdecir:MenoresyCofactore.- esel
determinantede lamatrizde ordenn-1 obtenidaal borrar lafilai yla columnaj a la que
pertenece.esel signode laMenor,calculadapor:
45. OPERACIONESCON MATRICESAplicacionesde laMatriz InversaUna de lasaplicacionesde
gran importanciaesenla resoluciónde ecuacionesmatriciales,puestoque estasnose pueden
analizardebidoaque algunospasosconllevanaladivisiónyporsupuestoladivisiónde matrices
no estádefinida;hayque recordarque:A*I= I*A = A, así como A* A-1 = I. En consecuenciala
matrizinversaesde gran utilidad.Ejemplo:Solución:Ahora:De donde:Ejerciciospararealizaren
clasesResuelvalasecuacionessiguientes:a) AX – B + C = 0 a) BX+ 2A - 2C = 0
46. En una matrizA, lasfilaspuedenrepresentarse porF1,F2, ..., Fm y las columnasporC1, C2, ...
, Cn. Se llamacombinaciónlineal de lasfilasF1,F2,F3 ..., Fm a una expresiónde laforma:k1 . F1 +
k2 . F2 + k3 . F3 + ... + km . Fm siendok1,k2, ..., km númerosreales.Se llamacombinaciónlineal
de las columnasC1, C2, C3 ... , Cn a una expresiónde laforma:k1 . C1 + k2 . C2 + k3 . C3 + ...+ kn.
Cn siendok1,k2, ..., kn númerosreales. A = a11 a12 a13 ......a1n a21 a22 a23
......a2n a31 a32 a33 ......a3n .... .. .. ..am1 am2 am3 ......amn= (C1, C2, C3, ..., Cn) =
F1 F2 F3 ...... FmOPERACIONESCON MATRICESCombinaciónlinealentre filasycolumnas
47. • Una fila(ocolumna) de unamatriz depende linealmentede otrassi escombinaciónlinealde
ellas.•Si entre lasfilas(ocolumnas) de unamatriz,algunadepende linealmentede otras,se dice
que son linealmente dependientes;encasocontrario,son linealmenteindependientes.F3= F1 +
–1 1 1 3 1 0 4 6 1 1 la tercerafilaescombinaciónlineal
–1 5 las dosfilas
son linealmente independientesporque ningunade ellasesigual aunaconstante porla otra.
OPERACIONESCON MATRICESDependencialinealentre filasycolumnas
48. OPERACIONESCON MATRICESRango de una Matriz • El rango por filasde unamatriz esel
númerode filaslinealmente independientes.•El rango por columnasde unamatriz esel número
de columnaslinealmenteindependientes.•Se puede demostrarque el rangopor filascoincide
con el rango por columnasencualquiermatriz.A este valorcomúnse le llamarangode la matriz y
se representaRag(A).Operacionesque nomodificanel rangode unamatriz• Intercambiardos
filas(ocolumnas) entre sí.• Multiplicarunafila(ocolumna) porun númerodistintode cero.•
Sumar a una fila(ocolumna) unacombinaciónlineal de otrasfilas(ocolumnas).

10. 49. Vectoresfilade unamatriz:Las filasde unamatriz puedenserconsideradascomovectores.Es
posible que seanlinealmente Independientes(L.I.) yesposibleque unosdependanlinealmentede
otros.Por ejemplo:Susdosfilas
depende
llamarango de una matrizal númerode filasLinealmenteIndependientesOPERACIONESCON
MATRICES Dependenciae independencialineal :filas
50. Teorema.- Enuna matrizel númerode filasL.I.coincide conel númerode columnasL.I.
Vectorescolumnade unamatriz:Tambiénlascolumnasde unamatriz puedenserconsideradas
como vectores.Podríamosdefinirrangode lamatrizcomo el númerode columnaslinealmente
independientes,peroaparece ladudade si esadefiniciónpuede contradecirenalgúncasola
anterior.¿Esposible que enunamatrizel númerode filaslinealmente independientesseadistinto
del númerode columnaslinealmente independiente?.El siguiente teoremanosaseguraque no.
Por estopodemosdaruna nuevadefiniciónde Rango:Rangode unamatriz esel númerode filas,
o columnas,linealmente independientes.OPERACIONESCON MATRICESDependenciae
independencialineal:columnas
2 0 –
La matrizA = tiene rango1. OPERACIONESCON MATRICESEjemplosrangode una matriz
escalonada
SCON MATRICESMétodosde cálculodel rango de
una matriz
53. OPERACIONESCON MATRICESCálculodel rangode una matrizpor el métodode Gauss
Transformacioneselementales:Sonlastransformacionesque podemosrealizarle aunamatrizsin
que su rango varíe.
eannulas,
razonamientoaa12). b) Anulartodosloselementospordebajode a11: para ellomultiplicarla
primerafilapor–a21/a11 y sumar a la segunda,multiplicarlaprimerafilapor –a31/a11 y sumar a
la tercera,....multiplicarlaprimerafilapor –am1/a11 y sumar a la m-ésima.c) Repetirlospasos
anterioresbasadosena22 y, después,encadaaii.d) El procesoterminacuandonoquedanmás
a2n a31 a32 a33 ......a3n .. .. .... .. am1 am2 am3 ......amn OPERACIONESCON MATRICESProceso
para el cálculodel rango de una matrizMétodode Gauss

11. 55. Aplicandolosprocesosanterioresse puedellegarauna matrizescalonadaque indicael
* * * * * *
* * OPERACIONESCON MATRICESCálculodel rangode una matriz
56. OPERACIONESCON MATRICESEjemplosdel cálculodel rangode unamatrizpor el métodode
Gauss I
– 1 2 1 2 0 0 0
– –1 1 0 4 –
– 1 2 1 2 0 4 –2 0 1 • Al operarcon las filasde A se ha llegado
a una matrizde rango distintoaladimensiónde lamatrizA.• Por tanto: una matrizcuadrada A de
ordenn esinversiblesi ysólosi Rag (A) = n. • De otra forma:A esinversible si ysólosi susfilas(o
–1 4 –2 es
inversible:OPERACIONESCON MATRICESCondiciónparaque una matrizseainversible
58. DETERMINANTESDefinición:El determinanteviene aserunafunciónque aplicadaa una
matrizcuadrada la transformaenun escalar.Notación:Al determinante de unamatrizcuadradase
le nota por: IAIó Det(A) Entérminosgeneralestenemosque:Dadauna matrizcuadrada se llama
determinantede A,yse representapor|A|óDet(A),al número:con(Snes el grupode las
permutacionesdel conjunto{1,2,..n }, e i (s) esla signaturade la permutación)
59. Dada una matrizcuadrada de orden2: Se llamadeterminantede A al númeroreal:
DETERMINANTES Determinantesde orden2y 3 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂21 𝒂22 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂21
𝒂22 = 𝒂11 ∗ 𝒂22 − 𝒂12 ∗ 𝒂21 Ejemplo1:Dada la matrizA. Calcule sudeterminante: 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨
= 3 2 2 1 = 3 ∗ 1 − 2 ∗ 2 = 3 − 4 = −1 Ejemplo2: Dada la matrizA.Calcule sudeterminante:
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨= 4 −3 1 2 = 4 ∗ 2 − −3 ∗ 1 = 8 + 3 = 11
60. DETERMINANTESDada unamatriz cuadradade orden3: 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝒂31
𝒂32 𝒂33 Se llamadeterminantede A al númeroreal: 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝒂31
𝒂32 𝒂33 = 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂12 ∗ 𝒂23 ∗ 𝒂31 + 𝒂21 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂13 − 𝒂13 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31 − 𝒂12 ∗ 𝒂21
∗ 𝒂33 − 𝒂23 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂11 Ejemplo1: Dada lamatriz 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨= 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 = 3 ∗ 3 ∗ −2
+ 2 ∗ 1 ∗ 2 + −1 ∗ 1 ∗ 1 − 1 ∗ 3 ∗ 2 − 1 ∗ 1 ∗ 3 − 2 ∗ −1 ∗ −2 = −18 + 4 − 1 − 6 − 3 − 4 = −28 𝑨 = 3 2 1
−1 3 1 2 1 −2 Calcule sudeterminante:
61. DETERMINANTESReglasanalíticaspara calcular unadeterminante de orden3= 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗
𝒂33 + 𝒂12 ∗ 𝒂23 ∗ 𝒂31 + 𝒂13 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂32 −𝒂13∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31 −𝒂11∗ 𝒂23 ∗ 𝒂32 − 𝒂12 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂33
Ejemplo1: Dada lamatriz 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 Calcule sudeterminante:1) Reglade Sarruspor
columnas: 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝒂31 𝒂32 𝒂33 𝒂11 𝒂21 𝒂31 𝒂12 𝒂22 𝒂32
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨= 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 3 −1 2 2 3 1 𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨= -28
62. DETERMINANTES= 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂21 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂13 + 𝒂31 ∗ 𝒂12 ∗ 𝒂23 −𝒂13∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31
−𝒂 𝟐𝟑∗ 𝒂32 ∗ 𝒂11 − 𝒂33 ∗ 𝒂12 ∗ 𝒂21 Ejemplo1: Dada lamatriz 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 Calcule su

12. determinante:2) Reglade Sarrus porfilas: 𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨= -28 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22
𝒂23 𝒂31 𝒂32 𝒂33 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨= 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 3 2 1 −1 3 1
63. DETERMINANTESEjemplo1: Dada la matriz 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 Calcule sudeterminante:3)
Reglade Sarrus Por estrella: 𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨= -28 Consiste enencontrarlastresdiagonales
principalesylastressecundarias,esdecir: 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝒂31 𝒂32 𝒂33 =
𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂12 ∗ 𝒂23 ∗ 𝒂31 + 𝒂21 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂13 − 𝒂13 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31 − 𝒂12 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂33 −
𝒂23 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂11 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨= 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2
64. 24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77 Det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 +5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1)
. (–3) . 3 + 5 . 4 . (– –2 –1 2 –3 –4
esDETERMINANTES Aplicacionesalaregla de Sarrus Ejerciciosarealizarenclases:Hallarel
determinantede lasmatricesA y B, de orden3, utilice lostresmétodosde análisis: 𝑆𝑒𝑎: 𝐴 = 1 2 −2
4 5 3 3 5 −7 ; 𝐵 = −1 2 3 5 −1 2 4 1 −3
65. DETERMINANTESPROPIEDADESDE LOS DETERMINANTES Si A y B son matricescuadradasdel
mismoorden,entoncestenemosque:1) Si:IA + B I ≠ I A I + I B I Ejemplo: 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 2 1 3 −4 𝑦 𝐵 = 5
2 0 3 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴 + 𝐵 = 7 3 3 −1 𝐴 + 𝐵 = 7 3 3 −1 = −16; 𝐴 = 2 1 3 −4 = −11; 𝐵 = 5 2 0 3 = 15 De
donde:IA + B I ≠ I A I + I B I -16 ≠ −11 + 15 -16 ≠ 4 2) Si: I A * B I = I A I * I B I 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 1 2 −4 3 𝑦 𝐵 =
2 5 3 1 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴 ∗ 𝐵 = 2 + 6 5 + 2 −8 + 9 −20 + 3 = 8 7 1 −17 De donde:IA * B I = I A I * I B I -
143 = (11) ∗ (-13) -143 = -143 I A * B I = -143; I A I = 11; I B I = -13
66. DETERMINANTES3) Para todamatriz cuadrada A se cumple que:Ejemplo: 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 3 2 5 1 ,
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐀𝐭 = 3 5 2 1 𝐴 = 3 2 5 1 = −7; 𝐀𝐭 = 3 5 2 1 = −7 De donde: 𝐀 = 𝐀𝐭 -7 = -7 4) El
determinantede unamatrizesigual a cero, si todosloselementosde unafilaode unacolumna
son igualesacero. 𝐀 = 𝐀𝐭 𝑆𝑒𝑎: 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 0 0 0 𝑑 𝑒 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐴 = 0 5) El determinante de una
matrizes igual a cero,si una de susfilasocolumnasesigual o múltiplode otrafilaocolumna. 𝐵 =
𝑎 𝑚 3𝑎 𝑏 𝑝 3𝑏 𝑐 𝑛 3 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐵 = 0𝑆𝑒𝑎: 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 m n p 𝑎 𝑏 𝑐 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐴 = 0; ya que:c1 =
3*C3
67. DETERMINANTES6) El determinante de unamatrizA cambiade signosi se intercambiandos
filasodos columnas.Ejemplo:Ahora,sí: 𝐀 = 𝐾, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 = −𝐾 7) Si B esuna matrizque se
obtiene apartirde unamatriz A trasladandouna de susfilaso columnasKlugares,entoncesse
cumple que: 𝑩= (−𝟏) 𝑲 ∗ 𝑨 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 � 𝑖 𝑓1 ∗ 𝑓3, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐵 = 𝑔 � 𝑖 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 Es
decir: 𝐴 = 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑤1 𝑥2 𝑥3 𝑦2 𝑧2 𝑦3 𝑧3 𝑤2 𝑤3 𝑥4 𝑦4 𝑧4 𝑤4 Entonces: 𝐵 = 𝑥4 𝑦4 𝑧4 𝑤4 𝑥1 𝑥2 𝑦1
𝑧1 𝑦2 𝑧2 𝑤1 𝑤2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝑤3Trasladamos 𝐴�𝑜𝑟𝑎, 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓4 𝑎 𝑓1 𝑦 𝑠𝑖 𝐴 = 𝑝, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 =
−1 3 ∗ 𝐴 = −1 ∗ 𝑝 𝐷𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐵 = −𝑝
68. DETERMINANTES8) Si todosloselementosde unafilaocolumnade undeterminante se
multiplicanporunescalarKdonde k ≠ 0, entoncesel valordel determinantequedamultiplicado
por K. 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑧1 𝑧2 𝑧3 ; 𝑆𝑖 𝐾 ≠ 0 𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑙𝑎 3ª 𝑓𝑖𝑙𝑎, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐵 =
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑘 ∗ 𝑧1 𝑘 ∗ 𝑧2 𝑘 ∗ 𝑧3 ; 𝑌 𝑠𝑖: 𝐴 = 𝑝, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐵 = 𝐾 ∗ 𝑝 Nota:Consecuentemente,
si todos loselementosde unafilaocolumnade un determinantesonmúltiplosde unescalarK,se
puede sacarel factor común K endichadeterminante.Esdecir:Nota:Si A es unamatriz cuadrada

13. de ordenn y K es unescalardiferente de cero,entoncestendremos: 𝐵= 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑘 ∗ 𝑧1
𝑘 ∗ 𝑧2 𝑘 ∗ 𝑧3 𝐵 = K ∗ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑲 ∗ 𝑨 = 𝑲 𝒏 ∗ 𝑨 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛
𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐾 ∗ 𝐴 = 𝑘 ∗ 𝑎11 ⋯ 𝑘 ∗ 𝑎1(𝑛−1) 𝑘 ∗ 𝑎1𝑛 ⋮ 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛−1 1
⋱ ⋮ 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛−1 𝑛 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛(𝑛−1) 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛𝑛 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐾 ∗ 𝐴 = 𝑘 ∗ 𝑘 ∗ 𝑘 ∗ ⋯ ∗ 𝑘 ∗ 𝐴 , Luego:
𝐾 ∗ 𝐴 = 𝑘 𝑛 ∗ 𝐴
69. DETERMINANTES9) Si a una filao columnade una matrizA se le suma o se le restaK veces
otra filao columna,el valordel determinantede A novaría. Es decir: 𝐴 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑦1 𝑧1 𝑦2 𝑦3
𝑧2 𝑧3 𝑦4 𝑧4 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑤4 ; 𝑠𝑖 𝑘 ∗ 𝑐4 + 𝑐2 𝐵 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑘 ∗ 𝑥4 𝑥3 𝑥4 𝑦1 𝑧1 𝑦2 + 𝑘 ∗ 𝑦4 𝑦3 𝑧2 + 𝑘 ∗ 𝑧4
𝑧3 𝑦4 𝑧4 𝑤1 𝑤2 + 𝑘 ∗ 𝑤4 𝑤3 𝑤4 𝐴�𝑜𝑟𝑎, 𝑠í: 𝐴 = 𝑝 ⇒ 𝐵 = 𝑝; 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒, 𝐴 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠: 𝑎) 𝑓𝑖 + 𝑘 ∗ 𝑓𝑗 − 𝑟 ∗ 𝑓𝑛 𝑏) 𝑐𝑖+ 𝑘 ∗ 𝑐𝑗 10)
El determinantede unamatriztriangular,diagonal oescalaresigual al productode los elementos
de la diagonal.Esdecir:SeaA una matriztriangularsuperior,entoncesel determinante de A,es: 𝐴
= 𝑎 𝑏 𝑐 0 𝑑 𝑓 0 0 𝑒 = 𝑎 ∗ 𝑑 ∗ 𝑒 ó 𝐵 = 𝑎 0 0 0 𝑏 0 0 0 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 𝐶 = 𝑎 0 0 0 𝑎 0 0 0 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎3
ó 𝐷 = 𝑎 0 0 𝑏 𝑐 0 𝑑 0 𝑓 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
70. DETERMINANTES11) Si los elementosde unafilaocolumnade un determinante están
formadosde “p” términoscadauno, entoncesel determinante se puededescomponerenlasuma
de “p” determinantes.Esdecir:La fila1 del determinante A,cadaelementoestaformadopordos
términos,entonces: 𝐴 = 𝑥1 + 𝑤1 𝑦1 + 𝑤2 𝑧1 + 𝑤3 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 = 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3
+ 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 = 𝐴 EjerciciosyAplicacionesRealizarlossiguientesejercicios:1)
Hallarla relaciónangularentre α y β para que se cumplaque el determinante de lamatriz: 𝐵= 𝐶𝑜𝑠
𝛼 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑆𝑒𝑛 𝛽 𝐶𝑜𝑠 𝛽 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 2) Si el determinante: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 � 𝑖 = 10; 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑃 = 3 ∗ 𝑎 𝑏 𝑐
𝑔 � 𝑖 𝑑 𝑒 𝑓 − 12 ∗ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑑 𝑓 � 𝑔 𝑖 . 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
71. DETERMINANTESSea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 una matrizcuadrada de ordenn > 1. Entonces:Métodosde
calculode determinantesde ordennTenemoslossiguientesmétodos:1) Métodode los
cofactores 2) Métodode variante de cofactores3) Método de loselementosde ladiagonal 4)
MétodoPivotal ode Chio1) Métodode los cofactoresUtilizalosMenoresoMenores
complementarios,dondeel determinante esel resultadode lasumade loscofactores.Definición
de Menores(𝑴𝒊𝒋) yCofactores(𝑪𝒊𝒋) LaMenor 𝑀𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗esel determinantede la
matrizde ordenn-1obtenidoal borrar la filai y lacolumnaj a la que pertenece.El Cofactor 𝐶𝑖𝑗del
elemento 𝑎𝑖𝑗esel signode laMenor, calculadopor: 𝑪𝒊𝒋= −𝟏 𝒊+𝒋∗ 𝑴𝒊𝒋
72. DETERMINANTESUna vezidentificadolasMenoresylosCofactores,laDeterminante viene
definidopor: 𝑨= 𝒂𝒊𝒋 ∗ 𝒄𝒊𝒋 𝒏 𝒋=𝟏 ó 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋∗ −𝟏 𝒊+𝒋 ∗ 𝑴𝒊𝒋 𝒏 𝒋=𝟏 Ejemplode MenoresyCofactores:
Matriz 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟏𝟑 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐𝟑 𝒂 𝟑𝟏 𝒂 𝟑𝟐 𝒂 𝟑𝟑 Menor 𝑴 𝟏𝟏 = 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐𝟑 𝒂 𝟑𝟐 𝒂 𝟑𝟑 = 𝒂
𝟐𝟐 ∗ 𝒂 𝟑𝟑 − 𝒂 𝟐𝟑 ∗ 𝒂 𝟑𝟐 𝑴 𝟐𝟑 = 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟑𝟏 𝒂 𝟑𝟐 = 𝒂 𝟏𝟏 ∗ 𝒂 𝟑𝟐 − 𝒂 𝟏𝟐 ∗ 𝒂 𝟑𝟏 Cofactor 𝑪
𝟏𝟏 = −𝟏 𝟏+𝟏 ∗ 𝑴 𝟏𝟏 = 𝑴 𝟏𝟏 𝑪 𝟐𝟑 = −𝟏 𝟐+𝟑 ∗ 𝑴 𝟐𝟑 = −𝑴 𝟐𝟑El Procedimientoporeste método,
es:a) Se escoge una filaocolumnapara hacer la expansiónporloscofactores(preferenciamayor
cantidadde nulos) b) Se calculanloscofactoresc) Se realizalasumatoriade los productosde cada
elementode lafilao columnaescogidaporsucorrespondiente cofactor

14. 73. DETERMINANTESEjercicio:Calcularel determinante de lasiguiente matrizMatriz 𝑨= 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒
𝟑 𝟐 𝟓 𝟕 𝟑 Solución.- Determinamosloscofactores: 𝑪 𝟐𝟏 = −𝟏 𝟐+𝟏 ∗ 𝟐 𝟏 𝟕 𝟑 = −𝟏 ∗ 𝟔 − 𝟕 = −𝟏 ∗ −𝟏
= 𝟏 𝑪 𝟐𝟐 = −𝟏 𝟐+𝟐 ∗ 𝟑 𝟏 𝟓 𝟑 = 𝟏 ∗ 𝟗 − 𝟓 = 𝟒 𝑪 𝟐𝟑 = −𝟏 𝟐+𝟑 ∗ 𝟑 𝟐 𝟓 𝟕 = −𝟏 ∗ 𝟐𝟏− 𝟏𝟎 = −𝟏 ∗ 𝟏𝟏 =
−𝟏𝟏 𝑨 = 𝒂 𝟐𝟏 ∗ 𝑪 𝟐𝟏 + 𝒂 𝟐𝟐 ∗ 𝑪 𝟐𝟐 + 𝒂 𝟐𝟑 ∗ 𝑪 𝟐𝟑 𝑨 = 4 ∗ 1 + 3 ∗ 4 + 2 ∗ (−11) = 4+12-22 𝑨 = −𝟔
74. –3 5 –1 –1 = 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) =34 El determinantede lamatrizA de ordenn se
puede obtenermultiplicandoloselementosde unafilaocolumnaconsus respectivoscofactores:
Det (A) = ai1 * Ci1 + ai2 * Ci2 + ...+ ain* Cinsería el desarrolloporlai-ésimafilaDet(A) = a1j * C1j
+ a2j * C2j + .. .+ amj * Cmj sería el desarrolloporlaj-ésimacolumna 𝐴 =2 –1 1 2 1 6 1 0 3 –1 –1 3
2 –1 0 1 = 1 · (–1)2+1 –1 1 2 –1 –1 3 –1 0 1 + 6 · (–1)2+2 2 1 2 3 –1 3 2 0 1 + + 1 · (–1)2+3 2 –1 2 3 –1
3 2 –1 1 + 0 · (–1)2+4 2 –1 1 3 –1 –1 2 –1 0 = DETERMINANTESSolución:Ejercicio:Calcularel
determinantede lamatrizdada:
75. DETERMINANTES2) Métodode la variante de cofactoresUtilizalasoperacionesaritméticas
elementales(de laspropiedades) conel propósitode hacerlescerosaloselementosde unafilao
columnade una matrizdada. Ejercicio:Calcularel determinantede lasiguiente matriz: 𝐴 =3 2 1 0
1 0 3 1 0 2 0 2 4 1 3 3 ⇒ 𝐴 = 3 2 1 0 1 0 3 1 0 2 0 2 4 1 1 1 −2 𝐹4 + 𝐹3 −1 𝐹2 + 𝐹4 ⇒ 𝐴 = 3 2 1 0 1 −8
3 1 −2 0 0 0 4 1 1 1 𝑪 𝟒𝟒 = −𝟏 𝟐+𝟐 ∗ 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 −𝟖 −𝟐 𝟎 ⇒ 𝐴 = 𝟏 ∗ 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 −𝟖 −𝟐 𝟎 −1 𝐹1 +
𝐹2 ⇒ 𝐴 = 𝟏 ∗ 𝟑 𝟐 𝟏 −𝟐 𝟏 𝟎 −𝟖 −𝟐 𝟎 ⇒ 𝑪 𝟏𝟑 = (−𝟏) 𝟏+𝟑 −𝟐 𝟏 −𝟖 −𝟐 = 𝟏 ∗ (𝟒 + 𝟖) 𝐴 = 𝑎13 ∗ 𝐶13 = 1
∗ 12 𝐴 = 12
76. DETERMINANTES3) Métodode loselementosde ladiagonal Utilizalasoperacionesaritméticas
elementales(de laspropiedades) conel propósitode transformarle enunamatriztriangular
superior,inferioromatrizdiagonal.Luego: Solución:Ejercicio:Calcularel determinante de la
siguiente matriz:2∗ 𝑓2 + 𝑓3 ⇒ 𝐴 = 1 1 1 6 0 0 2 −1 1 −4 −6 −27 0 2 0 −5 −2 ∗ 𝑓3 + 𝑓4 ⇒ 𝐴 = 1 1 1 6
0 0 1 −4 0 −7 −27 −48 0 0 8 49 1 ∗ 𝑓4 + 𝑓3 ⇒ 𝐴 = 1 1 1 6 0 0 1 −4 0 1 −27 1 0 0 8 49 −8 ∗ 𝑓3 + 𝑓4 𝐴 =
41 ⇒ 𝐴 = 1 1 1 6 0 0 1 −4 0 1 −27 1 0 0 0 41 𝐴 = 1 1 1 6 2 4 4 1 1 2 6 9 2 4 2 7
77. DETERMINANTES4) MétodoPivotal ode ChioEl propósitoesdisminuirel ordende lamatriz,
manteniendoel primerelementocomounpivote de lasdeterminantes que se formen;la
determinanteobtenidade estamanerase le multiplicaráparaunosobre el pivote elevadoal
ordende la matrizmenosdos.Entonces,sealamatriz A,Y así sucesivamentehastallegarauna
matrizde ordenmínimo,mediantelacual se pueda obtenerfácilmente ladeterminante. 𝐴 = 𝑎11
𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎31 ⋮ 𝑎22 𝑎23 𝑎32 ⋮ 𝑎33 ⋮ ⋯ 𝑎2𝑛 ⋯ 𝑎3𝑛 ⋮ 𝑎n1 𝑎n2 𝑎n3 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 𝑛El
procedimientoes: 𝐴 = 1 𝑎11 𝑛−2 ∗ 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎11 𝑎13 𝑎21 𝑎23 𝑎11 𝑎14 𝑎21 𝑎24 … 𝑎11 𝑎1n
𝑎21 𝑎2𝑛 𝑎11 𝑎12 𝑎31 𝑎32 𝑎11 𝑎13 𝑎31 𝑎33 𝑎11 𝑎14 𝑎31 𝑎34 … 𝑎11 𝑎1n 𝑎31 𝑎3𝑛 ⋮ 𝑎11 𝑎12 𝑎 𝑛1
𝑎 𝑛2 ⋮ 𝑎11 𝑎13 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛3 ⋮ … ⋮ 𝑎11 𝑎14 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛4 … 𝑎11 𝑎1n 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛𝑛
78. DETERMINANTESEjerciciospara realizarenclases:Ejercicio:Calcularel determinante de la
siguiente matriz: 𝐴 =3 2 1 0 1 0 3 1 0 2 0 2 4 1 3 3 Solución: 𝐴 = 1 34−2 ∗ 3 2 1 3 3 1 1 1 3 0 1 0 3 2
0 0 3 1 0 2 3 0 0 2 3 2 4 1 3 1 4 3 3 0 4 3 = 1 32 7 2 0 0 6 6 −5 5 9 = 1 9 ∗ 1 73−2 ∗ 7 2 0 6 7 0 0 6 7 2
−5 5 3 0 −5 9 𝐴 = 1 63 ∗ 42 42 45 63 = 1 63 ∗ 2646 − 1890 = 12 1) 𝐴 = 1 1 0 1 0 2 1 4 3 1 1 4 0 2 0 2
2) 𝐵 = 1 1 1 6 2 4 4 1 1 2 6 9 2 4 2 7 3) 𝐶 = 1 3 2 0 7 7 2 1 3

15. 79. Se llama“menor”de ordenp de una matrizal determinante que resultade eliminarciertas
filasycolumnashasta quedarunamatrizcuadrada de ordenp.Es decir,al determinantede
cualquiersubmatrizcuadradade A (submatrizobtenidasuprimiendoalgunafilaocolumnade la
matrizA).En una matrizcualquieraA m×n puede habervariosmenoresde unciertoordenpdado.
DefiniciónEl RANGO(ocaracterística) de una matrizesel ordendel mayorde losmenores
distintosde cero.El rango o característica de una matrizA se representaporRag(A).
Consecuencias.- El rangono puede sermayoral númerode filaso de columnas.Lasfilaso
columnasde una matrizcuadrada sonlinealmente dependientessi ysólosi,sudeterminantees
cero.RANGO DE UNA MATRIZ PORDETERMINANTES
80. • Se añadena la matrizanteriortodaslas filasycolumnasposiblesparaformarmatricesde
orden4. • Se añadena la matrizanteriortodas lasfilasycolumnasposiblesparaformarmatrices
de orden3. • Si el determinantede algunamatrizcuadradade ordentreses distintode cero
algunamatrizcuadrad
= 3 Y así hasta que no seaposible continuar•El rango de la matriznulaes0. • Si la matrizA noes
81. • La matrizcuadrada A tiene inversasi ysólosi | A | ≠ 0. • Dada lamatriz cuadradaA, se llama
“matrizadjunta”de A y se representaadj (A),alamatriz que se obtiene al sustituircadaelemento
aij por su adjuntoAij.OBTENCIÓN DELA MATIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES (I) Ejemplo:
-2 2 2 1 0 3 -
–2 2 – 2 0 3 2 2 1 3 –2 – –2 2 –2 2 2 2 3 2 – 2 –2 3 –2 –2 2 1 0 – 2 2 2 0 2 –
–4 –7 0 –2 –2 –2 4 6 • Se llama“AdjuntoAi,j”del elemento“ai,j”al determinante delmenor
Mi,j multiplicadopor(-1)i+j
82. La matriz A tiene inversayaque:det(A) =–
–2 2 2 1 0 3 –2 2 , pretendemos
–4 –7 0 –2 –2 –2 4 6 Entonces:[adj
–2 –4 –2 4 –7 –2 6 Por lotanto: A –1 = 1 | A | [adj (A)] t = 1 – –2 –4
–2 4 –7 – –1 0 1 2 1 –2 7/2 1 –3 Si se cumple que |A | ≠ 0 entonceslamatriz
inversaA-1esigual a: A –1 = 1 | A | adj(A t ) = 1 | A | [adj(A)] tEstoes fácil probarlopuestoque
sabemosque lasuma de losproductosde loselementos de unafilaporsusadjuntosesel valordel
determinante,yque lasumade losproductosde loselementosde unafilaporlosadjuntosde
otra filadiferentees0
83. CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POREL MÉTODO DE LOS ADJUNTOSI
84. CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POREL MÉTODO DE LOS ADJUNTOSII
85. • El determinante de unamatrizse obtiene sumandolosproductosde loselementosde una
filao columnaporsus adjuntos.• El métodode Gauss consiste en,utilizandolaspropiedades
anteriores,anulartodosloselementosde unafilaocolumnaexceptounollamadopivote,yque

16. interesaque valga1 ó –1, para simplificarloscálculos.•2ª filapor (–3) + 1ª fila• 2ª filapor(–2) +
3ª fila• 2ª filapor(–3) + 4ª filadesarrollopor1ª columna• 1ª filapor1 + 3ª filadesarrollopor1ª
columna–18 CÁLCULO DE DETERMINANTESPOR EL MÉTODO DE GAUS Ejemplo:35 – 2 6 1 2 – 1 1
2 4 1 5 3 7 5 3 = 0 – 1 1 3 1 2 –1 1 0 0 3 3 0 1 8 0 = –1 . – 1 1 3 0 3 3 1 8 0 =–1 . – 1 1 3 0 3 3 0 9 3 = =
(–1) . (–1) 3 3 9 3 =PROPIEDADESDE LOS DETERMINANTES.
Los determinantestienenlassiguientespropiedadesque sonútilesparasimplificarsuevaluación.
En lospárrafos siguientesconsideramosque A esuna matrizcuadrada.
Propiedad1.
Si una matriz A tiene unrenglón(ouna columna) de ceros,el determinante de A escero.
Desarrollandoporcofactoresdel primerrenglónse tiene
Propiedad2.
El determinantede unamatriz A es igual al determinante de latranspuestade A.
Esto es

17. Ejemplo2.
Sea
La transpuestade A es
Propiedad3.
Si se intercambiandosrenglones(odoscolumnas) de unamatriz A entoncesel determinante
cambiade signo.
Ejemplo3.
Sea con
Intercambiandolosrenglones 1 y 2 lamatriz queda
con
Note que losdeterminantesse calcularonexpandiendoporcofactoresde laprimeracolumna.
Propiedad4.

18. Si una matriz A tiene dosrenglones(odoscolumnas) iguales entonces detA = 0.
Ejemplo4.
Sea entonces
Propiedad5.
Cuandoun solorenglón(ocolumna) de unamatriz A se multiplicaporunescalar r el
determinantede lamatriz resultante es r vecesel determinante de A, r det A.
Ejemplo5.
Sea cuyo determinantese calculóenel ejemplo2,
Multiplicandoel tercerrenglónde A porel escalar r = 3 se tiene lamatriz B siguiente

19. cuyo determinante,desarrolladoporcofactoresde laprimeracolumnade B es
Propiedad6.
Si un renglónde lamatriz A se multiplicaporunescalar r y se sumaa otro renglón de A,
entoncesel determinantede lamatrizresultante esigual al determinante de A, detA. Lo mismo
se cumple para lascolumnasde A.
Ejemplo6.
Sea cuyo determinantese calculóenel ejemplo2,
Multiplicandolasegundacolumnade A porel escalar 2 y sumándolaa la columna3 se obtiene la
matrizB siguiente
Expandiendoporcofactoresde laprimeracolumnase tiene

20. Propiedad7.
Si A y B sonmatricesde , el determinante delproductoABesigual al productode los
determinantesde A yde B.
Esto es
Ejemplo7.
Sean y
con y
El producto
Y su determinante es
Entonces .
Propiedad8.
El determinantede lamatrizidentidadIesigual a1 (uno)

21. Ejemplo8.
I = det I = (1)(1) – (0)(0) = 1
Propiedad 9.
El determinantede unamatrizsingular,esdecir,que notiene inversa,esigual a0 (cero)
Ejemplo9.
J = |J|= (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
Se puede fácilmentecomprobarque lamatrizJ notiene inversa
Uso de laspropiedadesparacalculardeterminantesde altoorden.
Al utilizarlasoperacioneselementalessobre renglones,se puedereducirundeterminanteauna
formamas fácil de evaluar. Si se reduce a unaforma triangularsuperioroinferior,el
determinanteesel productode loselementosde ladiagonal principal. Al hacerlohayque tomar
encuenta laspropiedades3, 5 y 6, comoen el siguienteejemplo.
Calcularel determinantede lamatriz
Simplificamosel cálculodeldeterminante de A reduciendoporrenglone

22. Entonces,lapermutaciónP14 cambiael signode detA , lasoperaciones y no cambianel
valordel determinante
Se podría seguirreduciendoalaformatriangular,peroobservandoque hayvarioscerosenel
tercerrenglónresultafácil desarrollarporcofactores,primerode laprimeracolumna,ydespués
del tercerrenglón: