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MATRICES Y DETERMINANTES
OBJETIVO GENERAL
Analizar la teoría de Matrices de orden n, Determinantes, sus relaciones,
operaciones, y propiedades para la resolución de problemas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Definir una matriz, tipos y operaciones básicas.
 Resolver sistemas de m ecuaciones lineales con n variables, e interpretar sus
soluciones.
 Aplicar los sistemas de ecuaciones lineales a problemas referentes a la profesión.
 Calcular determinantes, la matriz adjunta y la inversa de una matriz
MATRICES Y DETERMINANTES
CONTENIDOS
1. DEFINICIÓN DE MATRIZ
2. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
3. OPERACIONES CON MATRICES
4. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE MATRICES. MATRIZ TRANSPUESTA
5. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
6. DETERMINANTES
7. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE
8. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
9. APLICACIONES DEL CÁLCULO MATRICIAL
10. EXPRESIÓN DE LA MATRIZ INVERSA
Dimensión de la matriz nm
2ª columna
3ª fila
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les
denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero
indica la fila y el segundo la columna
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.













a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (aij)
MATRIZ
DEFINICIÓN DE MATRIZ
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m,
j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la
matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el
elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.
















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
A = (ai,j)=
MATRIZ: EJEMPLO
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz










2 1 1
1 1 1
1 1 0
EXPRESIÓN MATRICIAL: EJEMPLO
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =








2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A*
=








2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial:








2 5 –3
1 –4 1







x
y
z
= 







1
– 2





2z4y-x
1352 zyx
Sea el sistema
Con un sistema de ecuaciones tenemos:
Las dos matrices tienen el mismo orden (2x2), y los elementos de cada una son iguales
y ocupan las mismas posiciones, es decir en la matriz A y B, tenemos que:
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales. Es decir:
IGUALDAD DE MATRICES
Ejemplo:
Solución:
De donde: A = B.
Ejemplo:
Entonces A = B, sí y solo sí, x = 12, e y = 7.
 Matriz fila (Vector Fila): Aquella que tiene una fila y n columnas, es decir:
Ejemplo:
A = (1 3 5 7 9 )
 Matriz columna (Vector Columna):
 Matriz rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de
columnas, siendo su orden mxn, donde m ≠ n, es decir:
TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
Ejemplo:
 Matriz cuadrada: Aquella que tiene el número de filas igual al número de
columnas (m = n), es decir:
TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
Ejemplo:
Ejemplo:
Diagonal PrincipalDiagonal Secundaria
Traza de una matriz (Tr(A)): La Traza de una matriz, se determina en matrices
cuadradas, y, no es más que la suma de los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo: Tr(A) = 1+2+1/3 = 10/3.
TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
• Matriz escalar: es una matriz diagonal en la cual todos sus elementos no nulos de
la diagonal principal son iguales, es decir:
• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, donde los elementos fuera de la diagonal
principal son ceros (nulos). Es decir: A = [aij]n tal que aij = 0, si i ≠ j.











100
030
002
D











200
020
002
A
Ejemplo:
Propiedades de la matriz diagonal: Sea A, B y C matrices diagonales, tenemos que:
1) Si A y B son matrices del mismo orden; entonces: A*B = B*A
2) Si A = Diagonal
Entonces: (a11* b11, a22* b22, a33* b33, a44* b44, …, ann* bnn )
3) Sea: C = (c11,c22, c33,c44, …, cnn),
Entonces: Cm =
(a11, a22, a33, a44, …, ann) y B = Diagonal (b11, b22, b33, b44, …, bnn)
Ejemplo:
TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
• Matriz triangular : Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos por encima
(por debajo) de la diagonal principal y puede dividirse en:
Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada si y solo si, aij = 0 para i > j.
Ejemplo:
• Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1. Suele
representarse a una matriz identidad de orden nxn por In.
Ejemplo:











100
010
001
I3
• Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos. También se denomina
matriz cero y se nota por Omxn.
Ejemplo:
33
000
000
000
O












23
00
00
00
O























400
320
631
T
TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada si y solo si, aij = 0 para todo i < j.
Ejemplo:











453
023
001
T
• Matriz Escalonada: Se llama matriz escalonada si tiene la siguiente estructura:
a) Las primeras K filas no son nulas y las restantes (m-K) son nulas.
b) El primer elemento no nulo de cada una de las K filas es la unidad.
c) En cada una de las K filas, el número de ceros anteriores al 1, crece de fila a
fila.
Ejemplo:
RELACIÓN ENTRE MATRICES
1. Matriz Transpuesta
Dada una matriz de orden m x n, A = [aij], se llama matriz traspuesta de A, y se
representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas o
viceversa. Es decir:
Propiedades de la matriz traspuesta: Sean las Matrices A y B, entonces
tenemos:
I. Para la matriz A, (At)t = A
II. Para las matrices A y B, (A+ B)t = At + Bt
III. Para la matriz A y el número real k, (k * A)t = k * At
IV. Para las matrices A y B, (A * B)t = Bt . At
V. Si A es una matriz simétrica, (An)t = (At)n
La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se
representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm. Es
decir:
Si A =








1 2 3
4 5 6
entonces A
t
=







1 4
2 5
3 6
RELACIÓN ENTRE MATRICES
Ejemplo:
2. Matriz Ortogonal
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = At . La inversa
de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices
ortogonales es una matriz ortogonal. (El determinante de una matriz ortogonal vale +1
ó -1).
Ejemplo: Sea A la matriz, entonces sí cumple que: A * At = At * A = I
Entonces tenemos que: A es una matriz Ortogonal. Es decir:
RELACIÓN ENTRE MATRICES
3. Matriz Inversa
Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, que se nota por A-1 , si se verifica
que: A * A-1 = A-1 * A = I
Nota: Si una matriz cuadrada A tiene inversa, decimos que A es Invertible.
Ejemplo: Sea A la matriz, entonces sí cumple que: A * At = At * A = I
Entonces tenemos que: A es una matriz Ortogonal. Es decir:
4. Matriz Normal
Una matriz es Normal si conmuta con su transpuesta. Es decir: A * At = At * A
Ejemplo: Sea , Entonces:
Luego: es una matriz NORMAL.
Nota.- Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.
RELACIÓN ENTRE MATRICES
5. Matriz Opuesta
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su
opuesto. La opuesta de la matriz A es –A.
Ejemplo:
6. Matriz Simétrica
Una matriz es simétrica, cuando esta es cuadrada y ésta es igual a su transpuesta, es
decir: su transpuesta. Es decir: A = At
Ejemplo: Sea:









 1 2 4
2 3 5
4 5 -1
jiij aa   A = AT
Luego:
Características:
a) La matriz A debe ser cuadrada
b) Los elementos de la diagonal principal permanecen fijos al efectuar la transposición.
La simetría se da con respecto a la diagonal principal, ésta se comporta como un
espejo.
RELACIÓN ENTRE MATRICES
7. Matriz Antisimétrica
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta a la opuesta de su transpuesta. Es decir:
A = -At .
Ejemplo: Sea:
Luego:
Características:
a) La matriz A debe ser cuadrada
b) Los elementos de la diagonal principal deben ser nulos y permanecen fijos al efectuar
la transposición. La simetría se da con respecto a la diagonal principal y son los
elementos opuestos.
jiij -aa   A = –AT









 0 2 -4
-2 0 3
4 -3 0
OPERACIONES CON MATRICES
Las operaciones del algebra matricial son:
1) Suma y Diferencia de Matrices
2) Propiedades
3) Producto de un Número Real por una Matriz
4) Propiedades
5) Producto de Matrices
6) Propiedades
Para establecer el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra
ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.
OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) del mismo orden, es otra matriz
S=(sij) del mismo orden que los sumandos , la representación es: S = (aij + bij).
La suma de las matrices A y B se denota por A+B; El modelo general es:
OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES
Ejemplo:
Sin embargo, no se pueden sumar.
Por tanto, para poder sumar dos matrices, éstas deben tener el mismo orden.
Caso contrario no se puede.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la
suma de A con la opuesta de B, es decir: A–B = A + (–B)
Ejemplo:
Nota: La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son
distintas, es decir si tienen distinto orden.
OPERACIONES CON MATRICES
1. 1. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
Sean las matrices A, B, C y O del mismo orden, entonces se cumple que:
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Conmutativa: A + B = B + A
• Elemento neutro: A + O = O + A = A; donde O es la matriz nula.
• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = O
La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
Ejercicios: Demostrar cada una de las propiedades con un ejemplo. Si las
matrices son:
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Conmutativa: A + B = B + A
• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.
• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0
La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
Sean las matrices A, B y C del mismo orden, entonces se cumple que:
OPERACIONES CON MATRICES
2. PRODUCTO DE UN REAL POR UNA MATRIZ
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica al escalar por todos los
elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden. Es decir:
Si A = [aij], entonces kA = [kaij]; Donde: A∈M y K∈ℝ
k . A = k . (aij) = k·







a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=







ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
= (kaij)
Ejemplo:
Ejemplo:
OPERACIONES CON MATRICES
2.1. PROPIEDADES
Sean A y B dos matrices del mismo orden , y, α y β dos números reales,
entonces tenemos que:
• Distributiva I: α*(A + B) = α * A + α * B
• Distributiva II: (α + β) * A = α * A + β * A
• Elemento neutro de Escalares: 1 * A = A * 1 = A
• Asociativa mixta: α*(β *A) = (α* β )*A
El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por
un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial ya que
también cumple con la Ley de Composición Externa.
Ejercicios:
Demostrar cada una de las propiedades con un ejemplo. Si las matrices son:
OPERACIONES CON MATRICES
3. PRODUCTO DE MATRICES
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se
obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben
coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Pij =  aik · bkj con k=1,….n
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de
filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P
será de orden m x p, es decir:
[aij]m,n
. [bij]n,p =
Posible
filas
columnas
[cij]m,p
Nota: El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con
el número de filas de la otra matriz.
OPERACIONES CON MATRICES
3. PRODUCTO DE MATRICES
no se pueden multiplicar (el número de columnas de la
1ª matriz no es igual al número de filas de la 2ª matriz
Ejemplos:
El producto se
puede realizar
Ejemplos.- Sean:
A = [aij] =







a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ......amn
B = [bij ] =
















np3n2n1n
p3333231
p2232221
p1131211
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
......
..........
......
......
......
Luego el producto de A y B es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la
posición ij es:
cij = ai1
. b1j + ai2
. b2j + ... + ain
. bnj
OPERACIONES CON MATRICES
Determinar: a) A * B; b) ½ A * (-B); c) (-A) * 3/2 B; d)
3. PRODUCTO DE MATRICES
Ejemplos:
Ejercicios: Sean las matrices
OPERACIONES CON MATRICES
3. PRODUCTO DE MATRICES
Ejercicio:
a) El producto de A = 




2 1 –1
3 –2 0 por la matriz B =





1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
cada fila de A por cada columna de B.
se obtiene multiplicando
A · B =








2 1 –1
3 –2 0
.







1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
=








3 3 –1
1 6 6
b) ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?
(aij)2,3
. (bij)3,3 =
producto
posible
(cij)
2, 3
OPERACIONES CON MATRICES
3.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
Sean A, B, C, O, I Elementos de las Matrices, Entonces:
1 En general A * B ≠ B * A; (Por lo general NO es Conmutativa)
En el caso que A * B = B * A se dice que A y B conmutan o son conmutables.
2. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr.
Luego: A * (B * C) = (A * B) * C; (Cumple con la Propiedad Asociativa).
3. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.
Luego: A * (B + C) = A*B + A*C
(A + B) * C = A*C + B*C; (Cumple con la Propiedad Distributiva).
4. Para las matrices O de dimensión mxp, A de dimensión pxn; donde O es la matriz
nula de orden mxn
Luego: O * A = O; (Cumple con la Propiedad Modulativa).
5. Si A es una matriz de orden mxn, I es la matriz identidad de orden n.
Luego: A * I = A y I * A = A; (Cumple con la Existencia del Elemento
Neutro).
6. Si A x B = O, no implica que A = O ó B = O; Donde O es la matriz nula.
Ejemplo:
; Donde: A ≠0 y B ≠ 0
OPERACIONES CON MATRICES
3.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
7. En el caso que: A * B = A * C, esto no implica que B = C.
Por ejemplo:
8. Cuando se tiene:
𝑺𝒆𝒂: 𝑨 =
1 1
0 0
; 𝑩 =
2 3
5 8
𝒚 𝑪 =
5 8
2 3
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 ∗ 𝑩 =
2 + 5 3 + 8
0 0
=
7 11
0 0
𝒚
𝑨 ∗ 𝑪 =
5 + 2 8 + 3
0 0
=
7 11
0 0
𝑺𝒆 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂 𝒒𝒖𝒆: 𝑨 ∗ 𝑩 = 𝑨 ∗ 𝑪, 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝑩 ≠ 𝑪
𝑨 ∗ 𝑩 𝒕
= 𝑩 𝒕
∗ 𝑨 𝒕
9. Cuando se tiene:
10. Cuando se tiene:
𝑰 𝒏 ∗ 𝑰 𝒏 = 𝑰 𝒏
2
= 𝑰 𝒏
11.
𝑰 ∗ 𝑨 = 𝑨 ∗ 𝑰 = 𝑨
𝑺𝒊 𝑨 ∗ 𝑨 𝒕 = 𝑰 𝒚 𝑨 𝒕 ∗ 𝑨 = 𝑰
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑶𝑹𝑻𝑶𝑮𝑶𝑵𝑨𝑳
OPERACIONES CON MATRICES
3.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
12. (A + B)2  A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
13. (A – B)2  A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
14. A2 – B2  (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.
3.2. Ejercicios de clases:
1. Hallar la matriz X, tal que: 𝑿 𝒎∗𝒏 ∗
1 −1 0
0 1 0
0 −1 1 3∗3
=
1 −3 2
0 −1 1 2∗3
2. Si: 𝑨 =
−5 3
16 −6
𝒚 𝑩 =
16 −40
21 23
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: 2𝒙 + 3𝒚 = 𝑨
5𝒙 − 2𝒚 = 𝑩;
Y 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑿
OPERACIONES CON MATRICES
4. POTENCIACIÓN DE MATRICES
4.1. Propiedades:
1. A es IDEMPOTENTE si:
Sea A una matriz cuadrada de orden n, las potencias de A, de exponente natural,
se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el
número de veces que se multiplica la matriz por sí misma. Es decir:
An = A . A . ........... . A
n veces
2. A es INVOLUTIVA si:
3. A es NILPOTENTE si:
𝑨2
= 𝑨
𝑨2 = 𝑰
𝑨 𝒑
= ∅.
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒍𝒈ú𝒏 𝒑+
𝒔𝒊 𝒑 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒍
𝑨 𝒑 = ∅
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑨 𝒆𝒔 𝑵𝑰𝑳𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑻𝑬 𝒅𝒆 í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒑
4.2. Ejemplo en clases:
𝑺𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐: 𝑨 =
0 −1 1
0 1 2
1 0 1
; 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑨2
𝒚 𝑨3







10
11
A



















10
21
10
11
10
11
AAA2



















10
31
10
21
10
11
AAA 23



















10
41
10
31
10
11
AAAAAAA 34











 







10
1
10
11
10
11
AAAAA 1-
veces-
nnn
n
n
321L
OPERACIONES CON MATRICES
Ejemplo:
Generalizando, tenemos:
OPERACIONES CON MATRICES
5. MATRIZ PERIÓDICA
Dada la matriz cuadrada A de orden n, si existe un número p perteneciente a los
Naturales (el menor de todos ellos) tal que se cumpla:
𝑨 𝒑+1 = 𝑨, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑨 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑷𝑬𝑹𝑰Ó𝑫𝑰𝑪𝑨,
𝒄𝒖𝒚𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒊ó𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝒑.
Observaciones:
a) Si se cumple que 𝑨 𝟐
= A, entonces diremos que A es una matriz Idempotente
b) Si ∃𝐩 ∈ ℕ (el menor de todos) tal que, 𝑨 𝒑 = ϕ 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 , entonces A es una
matriz Nilpotente de índice p.
c) Si se cumple que: 𝑨 𝟐 = I (matriz identidad), entonces A es una matriz Involutiva.
Ejercicios:
Determinar una formula para hallar 𝑩 𝒏
, 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑩:
𝑩 =
1 −1 −1
0 1 −1
0 0 1
𝒚 𝒏 ∈ ℕ,
𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏: 𝑩50
𝒚 𝑩73
1. Si las matrices A y B son inversibles (A* B)–1 = B–1 * A–1
2. Si A es una matriz inversible y k  0, (k * A)–1 = (1/k) * A–1
3. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = A
4. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I
5. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A*B
= B*A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se
representa por A-1
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en
caso contrario recibe el nombre de singular.
INVERSA DE UNA MATRIZ, MATRICES INVERSIBLES
OPERACIONES CON MATRICES
PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
Observación: Podemos encontrar matrices que cumplen A*B = I, pero que B*A = I,
en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la
inversa de A "por la derecha".
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
OPERACIONES CON MATRICES
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
1. Directamente (Definición de matriz inversa)
2. Por el método de Gauss-Jordan (Matriz Ampliada)
3. Usando determinantes y la Matriz Adjunta
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
1. Directamente (Definición de matriz inversa).- Aplicando la definición, tenemos,
sí A*A–1 = I, decimos entonces que A–1 es la inversa de A.
Ejemplo:
Dada A =








2 –1
1 1
para obtener A
-1
=








x y
z t
se ha de cumplir








2 –1
1 1
.








x y
z t = 







1 0
0 1
OPERACIONES CON MATRICES
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
Y de aquí se deduce que:








2x–z 2y–t
x+z y+t
=








1 0
0 1

2x – z =1
x +z =0
2y – t =0
y +t =1
Por tanto A-1
=







1
3
1
3
– 1
3
2
3
Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:
𝒙 =
𝟏
𝟑
; 𝒚 =
𝟏
𝟑 𝒛 = −
𝟏
𝟑
; 𝒕 =
𝟐
𝟑
Ejercicios para realizar en clases: Analizar si tienen inversas las siguientes matrices:
Nota: Éste método es de gran
utilidad cuando se tiene que
determinar o calcular las matrices
inversas pero de orden 2.
𝑺𝒆𝒂: 𝑨 =
1 1
−2 3
; 𝑩 =
2 3
4 −1
𝒚 𝑪 =
−1 2
2 3
OPERACIONES CON MATRICES
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
2. Por el método de Gauss-Jordan (Matriz Ampliada)
Dada una matriz cuadrada A de orden n y la matriz identidad I del mismo orden; se
construye la matriz ampliada (A I In), donde por operaciones aritméticas elementales
(por filas) debe obtenerse una nueva matriz ampliada (In I B), concluyendo que B es
la matriz inversa de A, Es decir: B = A–1.
Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos
que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga
rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al
aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la
matriz no tiene inversa.
Las transformaciones elementales son las siguientes:
 Permutar 2 filas ó 2 columnas.
 Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
 Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
 Suprimir las filas o columnas que sean nulas,
Nota: Este tipo de operaciones NO Afectan a las matrices.
En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que estamos
haciendo son las siguientes multiplicaciones:
Si hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente a
multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:










 211
112
011












220
110
011
(– 2)F1 + F2 g F2
F1 + F3 g F3

































220
110
011
211
112
011
*
101
012
001
Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:
Ejemplo:
OPERACIONES CON MATRICES
A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B
Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz
En primer lugar triangulamos inferiormente:
Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente:
Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad:
De donde, la matriz inversa de A es
OPERACIONES CON MATRICES
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan. Ejemplo 1:
Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz se tiene:
Pero podemos observar que hay una fila completa de ceros, entonces la matriz A en
este caso no tiene rango máximo. Por tanto La matriz A no tiene inversa pues es una
matriz singular.
Concluyendo, esto sería una manera de identificar si una matriz posee inversa o no, es
decir si es invertible o no.
OPERACIONES CON MATRICES
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan. Ejemplo 2
2º.- Triangulamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la
matriz de la derecha.
Queremos calcular la inversa de
1º.- Se escribe la matriz A y junto a esta la matriz identidad,
Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por
tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa.
OPERACIONES CON MATRICES
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan. Ejemplo 3:
3º.- Triangulamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la
matriz de la derecha.
4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente.
OPERACIONES CON MATRICES
Ejercicio para realizar en clases: Determine la matriz inversa de la matriz
dada, utilice el método de Gauu-Jordan:
Pasos que se recomiendan para la construcción de la matriz inversa (A-1):
a) Calculamos el determinante
b) Calculamos la matriz de las Menores
c) Calculamos la matriz de los Cofactores
d) Calculamos la matriz Adjunta (transpuesta de la matriz de los cofactores)
e) Calculamos la matriz Inversa, mediante:
OPERACIONES CON MATRICES
3. Usando determinantes y la Matriz Adjunta
Matriz Adjunta.- Es la matriz transpuesta de la matriz que se forma mediante los
cofactores de cada uno de los elementos que forma la matriz original. Es decir:
Menores y Cofactore.-
es el determinante de la matriz de orden n-1
obtenida al borrar la fila i y la columna j a la que pertenece.
es el signo de la Menor, calculada por:
OPERACIONES CON MATRICES
Aplicaciones de la Matriz Inversa
Una de las aplicaciones de gran importancia es en la resolución de ecuaciones
matriciales, puesto que estas no se pueden analizar debido a que algunos pasos
conllevan a la división y por supuesto la división de matrices no está definida; hay
que recordar que: A*I = I*A = A, así como A* A-1 = I. En consecuencia la matriz
inversa es de gran utilidad.
Ejemplo:
Solución:
Ahora: De donde:
Ejercicios para realizar en clases
Resuelva las ecuaciones siguientes:
a) AX – B + C = 0
a) BX + 2A - 2C = 0
En una matriz A, las filas pueden representarse por F1, F2, ... , Fm y las columnas
por C1, C2, ... , Cn.
Se llama combinación lineal de las filas F1, F2, F3 ... , Fm a una expresión de la
forma:
k1
. F1 + k2
. F2 + k3
. F3 + ... + km
. Fm siendo k1, k2, ... , km números reales.
Se llama combinación lineal de las columnas C1, C2, C3 ... , Cn a una expresión
de la forma:
k1
. C1 + k2
. C2 + k3
. C3 + ... + kn
. Cn siendo k1, k2, ... , kn números reales.
A =











a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (C1, C2, C3, ... , Cn) =











F1
F2
F3
......
Fm
OPERACIONES CON MATRICES
Combinación lineal entre filas y columnas
• Una fila (o columna) de una matriz depende linealmente de otras si es combinación
lineal de ellas.
• Si entre las filas (o columnas) de una matriz, alguna depende linealmente de otras, se
dice que son linealmente dependientes; en caso contrario, son linealmente
independientes.
F3 = F1 + 2F2
Ejemplo: En la matriz A =





2 0 –1 1
1 3 1 0
4 6 1 1
la tercera fila es combinación lineal de la primera y la
segunda ya que:
En cambio: En la matriz B=




1 2 4
3 –1 5 las dos filas son linealmente independientes porque ninguna
de ellas es igual a una constante por la otra.
OPERACIONES CON MATRICES
Dependencia lineal entre filas y columnas
OPERACIONES CON MATRICES
Rango de una Matriz
• El rango por filas de una matriz es el número de filas linealmente independientes.
• El rango por columnas de una matriz es el número de columnas linealmente
independientes.
• Se puede demostrar que el rango por filas coincide con el rango por columnas en
cualquier matriz. A este valor común se le llama rango de la matriz y se representa
Rag (A).
Operaciones que no modifican el rango de una matriz
• Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí.
• Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.
• Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de otras filas (o columnas).
Vectores fila de una matriz:
Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible que
sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan
linealmente de otros. Por ejemplo:
Sus dos filas son linealmente independientes







2431
5232
A
Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen linealmente
de las primeras















43
50
12
31
B
2123 FFF  214 FFF 
Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de
las dos primeras











158
209
351
C
312 FFF 
Entonces: Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes
OPERACIONES CON MATRICES
Dependencia e independencia lineal : filas
Teorema.- En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de
columnas L.I.
Vectores columna de una matriz:
También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.
Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente
independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir en algún
caso la anterior.
¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente independientes
sea distinto del número de columnas linealmente independiente?. El siguiente
teorema nos asegura que no.
Por esto podemos dar una nueva definición de Rango:
Rango de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente
independientes.
OPERACIONES CON MATRICES
Dependencia e independencia lineal: columnas







2 0 –1 1
0 1 1 0
0 0 1 1
La matriz A = tiene rango 3.









 
0000
0110
1102
La matriz A = tiene rango 2.









 
1000
0100
1102
La matriz A = tiene rango 3.










0000
0200
1120
La matriz A = tiene rango 2.










0000
0000
1000
La matriz A = tiene rango 1.
OPERACIONES CON MATRICES
Ejemplos rango de una matriz escalonada
El rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodos diferentes:
 Por el método de Gauss
 Usando Determinantes
OPERACIONES CON MATRICES
Métodos de cálculo del rango de una matriz
OPERACIONES CON MATRICES
Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
Transformaciones elementales:
Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango
varíe.
Las transformaciones elementales son las siguientes:
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
Suprimir las filas o columnas que sean nulas,
Suprimir las filas o columnas que sean proporcionales a otras.
a) Si es necesario, reordenar filas para que a11  0 (si esto no fuera posible,
aplicar todo el razonamiento a a12).
b) Anular todos los elementos por debajo de a11: para ello multiplicar la primera
fila por –a21/a11 y sumar a la segunda, multiplicar la primera fila por –a31/a11
y sumar a la tercera, .... multiplicar la primera fila por –am1/a11 y sumar a la
m-ésima.
c) Repetir los pasos anteriores basados en a22 y, después, en cada aii.
d) El proceso termina cuando no quedan más filas o están formadas por ceros.
A =











a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
OPERACIONES CON MATRICES
Proceso para el cálculo del rango de una matriz Método de Gauss
Aplicando los procesos anteriores se puede llegar a una matriz escalonada que
indica el número de filas o columnas independientes y por tanto el rango de la
matriz.







* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
Rango 4







* * * * *
0 * * * *
0 0 * * *
0 0 0 * *
Rango 3







* * * * *
0 * * * *
0 0 * * *
Rango 2








* * * * *
0 * * * *
Rango 1




* * * * *
OPERACIONES CON MATRICES
Cálculo del rango de una matriz
OPERACIONES CON MATRICES
Ejemplos del cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss I
A no es inversible
 Restando a la segunda fila la primera por 4:








1 –
1
2
1
2 0
0 0 –2 1
 Ampliamos la matriz A con la matriz identidad:








2 –1 1 0
4 –2 0 1
 Dividiendo la primera fila por 2:








1 –
1
2
1
2
0
4 –2 0 1
• Al operar con las filas de A se ha llegado a una matriz de rango distinto a la dimensión de
la matriz A.
• Por tanto: una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si Rag (A) = n.
• De otra forma: A es inversible si y sólo si sus filas (o sus columnas) son
linealmente independientes.
Vamos a estudiar si A =








2 –1
4 –2
es inversible:
OPERACIONES CON MATRICES
Condición para que una matriz sea inversible
DETERMINANTES
Definición: El determinante viene a ser una función que aplicada a una matriz
cuadrada la transforma en un escalar.
Notación: Al determinante de una matriz cuadrada se le nota por: IAI ó Det(A)
En términos generales tenemos que:
Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó Det(A), al número:
con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la
signatura de la permutación)
Dada una matriz cuadrada de orden 2:
Se llama determinante de A al número real:
DETERMINANTES
Determinantes de orden 2 y 3
𝑨 =
𝒂11 𝒂12
𝒂21 𝒂22
𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 =
𝒂11 𝒂12
𝒂21 𝒂22
= 𝒂11 ∗ 𝒂22 − 𝒂12 ∗ 𝒂21
Ejemplo 1: Dada la matriz A. Calcule su determinante:
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 =
3 2
2 1
= 3 ∗ 1 − 2 ∗ 2 = 3 − 4 = −1
Ejemplo 2: Dada la matriz A. Calcule su determinante:
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 =
4 −3
1 2
= 4 ∗ 2 − −3 ∗ 1 = 8 + 3 = 11
DETERMINANTES
Dada una matriz cuadrada de orden 3:
𝑨 =
𝒂11 𝒂12 𝒂13
𝒂21 𝒂22 𝒂23
𝒂31 𝒂32 𝒂33
Se llama determinante de A al número real:
𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 =
𝒂11 𝒂12 𝒂13
𝒂21 𝒂22 𝒂23
𝒂31 𝒂32 𝒂33
= 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂12 ∗ 𝒂23 ∗ 𝒂31 + 𝒂21 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂13
− 𝒂13 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31 − 𝒂12 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂33 − 𝒂23
∗ 𝒂32 ∗ 𝒂11
Ejemplo 1: Dada la matriz
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 =
3 2 1
−1 3 1
2 1 −2
= 3 ∗ 3 ∗ −2 + 2 ∗ 1 ∗ 2 + −1 ∗ 1 ∗ 1 − 1 ∗ 3 ∗ 2 − 1 ∗ 1 ∗ 3 − 2 ∗ −1 ∗ −2
= −18 + 4 − 1 − 6 − 3 − 4 = −28
𝑨 =
3 2 1
−1 3 1
2 1 −2
Calcule su determinante:
DETERMINANTES
Reglas analíticas para calcular una determinante de orden 3
= 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂12 ∗ 𝒂23 ∗ 𝒂31 + 𝒂13 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂32 −𝒂13∗ 𝒂22
∗ 𝒂31 −𝒂11∗ 𝒂23 ∗ 𝒂32 − 𝒂12 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂33
Ejemplo 1: Dada la matriz 𝑨 =
3 2 1
−1 3 1
2 1 −2
Calcule su determinante:
1) Regla de Sarrus por columnas:
𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 =
𝒂11 𝒂12 𝒂13
𝒂21 𝒂22 𝒂23
𝒂31 𝒂32 𝒂33
𝒂11
𝒂21
𝒂31
𝒂12
𝒂22
𝒂32
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 =
3 2 1
−1 3 1
2 1 −2
3
−1
2
2
3
1
𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨 = -28
DETERMINANTES
= 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂21 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂13 + 𝒂31 ∗ 𝒂12 ∗ 𝒂23 −𝒂13∗ 𝒂22
∗ 𝒂31 −𝒂 𝟐𝟑∗ 𝒂32 ∗ 𝒂11 − 𝒂33 ∗ 𝒂12 ∗ 𝒂21
Ejemplo 1: Dada la matriz 𝑨 =
3 2 1
−1 3 1
2 1 −2
Calcule su determinante:
2) Regla de Sarrus por filas:
𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨 = -28
𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 =
𝒂11 𝒂12 𝒂13
𝒂21 𝒂22 𝒂23
𝒂31 𝒂32 𝒂33
𝒂11 𝒂12 𝒂13
𝒂21 𝒂22 𝒂23
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 =
3 2 1
−1 3 1
2 1 −2
3 2 1
−1 3 1
DETERMINANTES
Ejemplo 1: Dada la matriz 𝑨 =
3 2 1
−1 3 1
2 1 −2
Calcule su determinante:
3) Regla de Sarrus Por estrella:
𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨 = -28
Consiste en encontrar las tres diagonales principales y las tres secundarias, es decir:
𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 =
𝒂11 𝒂12 𝒂13
𝒂21 𝒂22 𝒂23
𝒂31 𝒂32 𝒂33
= 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂12 ∗ 𝒂23 ∗ 𝒂31 + 𝒂21 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂13 − 𝒂13 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31
− 𝒂12 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂33 − 𝒂23 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂11
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 =
3 2 1
−1 3 1
2 1 −2
24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77
Det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 +5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =
El determinante de la matriz A =












3 5 1
4 –2 –1
2 –3 –4
es
DETERMINANTES
Aplicaciones a la regla de Sarrus
Ejercicios a realizar en clases:
Hallar el determinante de las matrices A y B, de orden 3, utilice los tres métodos de
análisis:
𝑆𝑒𝑎: 𝐴 =
1 2 −2
4 5 3
3 5 −7
; 𝐵 =
−1 2 3
5 −1 2
4 1 −3
DETERMINANTES
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces tenemos que:
1) Si: I A + B I ≠ I A I + I B I
Ejemplo: 𝑆𝑒𝑎 𝐴 =
2 1
3 −4
𝑦 𝐵 =
5 2
0 3
, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴 + 𝐵 =
7 3
3 −1
𝐴 + 𝐵 =
7 3
3 −1
= −16; 𝐴 =
2 1
3 −4
= −11; 𝐵 =
5 2
0 3
= 15
De donde: I A + B I ≠ I A I + I B I
-16 ≠ −11 + 15
-16 ≠ 4
2) Si: I A * B I = I A I * I B I
𝑆𝑒𝑎 𝐴 =
1 2
−4 3
𝑦 𝐵 =
2 5
3 1
, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴 ∗ 𝐵 =
2 + 6 5 + 2
−8 + 9 −20 + 3
=
8 7
1 −17
De donde: I A * B I = I A I * I B I
-143 = (11) ∗ (-13)
-143 = -143
I A * B I = -143; I A I = 11; I B I = -13
DETERMINANTES
3) Para toda matriz cuadrada A se cumple que:
Ejemplo: 𝑆𝑒𝑎 𝐴 =
3 2
5 1
, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐀𝐭
=
3 5
2 1
𝐴 =
3 2
5 1
= −7; 𝐀𝐭 =
3 5
2 1
= −7
De donde: 𝐀 = 𝐀𝐭
-7 = -7
4) El determinante de una matriz es igual a cero, si todos los elementos de una fila o
de una columna son iguales a cero.
𝐀 = 𝐀𝐭
𝑆𝑒𝑎: 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
0 0 0
𝑑 𝑒 𝑓
, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐴 = 0
5) El determinante de una matriz es igual a cero, si una de sus filas o columnas es
igual o múltiplo de otra fila o columna.
𝐵 =
𝑎 𝑚 3𝑎
𝑏 𝑝 3𝑏
𝑐 𝑛 3𝑐
, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐵 = 0𝑆𝑒𝑎: 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
m n p
𝑎 𝑏 𝑐
, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐴 = 0;
ya que: c1 = 3*C3
DETERMINANTES
6) El determinante de una matriz A cambia de signo si se intercambian dos filas o
dos columnas.
Ejemplo:
Ahora, sí: 𝐀 = 𝐾, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 = −𝐾
7) Si B es una matriz que se obtiene a partir de una matriz A trasladando una de sus
filas o columnas K lugares, entonces se cumple que: 𝑩 = (−𝟏) 𝑲
∗ 𝑨
𝑆𝑒𝑎 𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 𝑕 𝑖
𝑓1 ∗ 𝑓3, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐵 =
𝑔 𝑕 𝑖
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎 𝑏 𝑐
Es decir:
𝐴 =
𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑤1
𝑥2
𝑥3
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
𝑤2
𝑤3
𝑥4 𝑦4 𝑧4 𝑤4
Entonces: 𝐵 =
𝑥4 𝑦4 𝑧4 𝑤4
𝑥1
𝑥2
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
𝑤1
𝑤2
𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝑤3Trasladamos
𝐴𝑕𝑜𝑟𝑎, 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓4 𝑎 𝑓1 𝑦 𝑠𝑖 𝐴 = 𝑝, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 = −1 3 ∗ 𝐴 = −1 ∗ 𝑝
𝐷𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐵 = −𝑝
DETERMINANTES
8) Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican
por un escalar K donde k ≠ 0, entonces el valor del determinante queda
multiplicado por K.
𝑆𝑒𝑎 𝐴 =
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑦1 𝑦2 𝑦3
𝑧1 𝑧2 𝑧3
; 𝑆𝑖 𝐾 ≠ 0 𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑙𝑎 3ª 𝑓𝑖𝑙𝑎, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐵 =
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑦1 𝑦2 𝑦3
𝑘 ∗ 𝑧1 𝑘 ∗ 𝑧2 𝑘 ∗ 𝑧3
; 𝑌 𝑠𝑖: 𝐴 = 𝑝, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐵 = 𝐾 ∗ 𝑝
Nota: Consecuentemente, si todos los elementos de una fila o columna de un determinante son
múltiplos de un escalar K, se puede sacar el factor común K en dicha determinante. Es decir:
Nota: Si A es una matriz cuadrada de orden n y K es un escalar diferente de cero, entonces
tendremos:
𝐵 =
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑦1 𝑦2 𝑦3
𝑘 ∗ 𝑧1 𝑘 ∗ 𝑧2 𝑘 ∗ 𝑧3
𝐵 = K ∗
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑦1 𝑦2 𝑦3
𝑧1 𝑧2 𝑧3
𝑲 ∗ 𝑨 = 𝑲 𝒏
∗ 𝑨 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒
𝐾 ∗ 𝐴 =
𝑘 ∗ 𝑎11 ⋯ 𝑘 ∗ 𝑎1(𝑛−1) 𝑘 ∗ 𝑎1𝑛
⋮
𝑘 ∗ 𝑎 𝑛−1 1
⋱
⋮
𝑘 ∗ 𝑎 𝑛−1 𝑛
𝑘 ∗ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛(𝑛−1) 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛𝑛
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐾 ∗ 𝐴 = 𝑘 ∗ 𝑘 ∗ 𝑘 ∗ ⋯ ∗ 𝑘 ∗ 𝐴 ,
Luego: 𝐾 ∗ 𝐴 = 𝑘 𝑛
∗ 𝐴
DETERMINANTES
9) Si a una fila o columna de una matriz A se le suma o se le resta K veces otra fila o
columna, el valor del determinante de A no varía. Es decir:
𝐴 =
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4
𝑦1
𝑧1
𝑦2 𝑦3
𝑧2 𝑧3
𝑦4
𝑧4
𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑤4
; 𝑠𝑖 𝑘 ∗ 𝑐4 + 𝑐2 𝐵 =
𝑥1 𝑥2 + 𝑘 ∗ 𝑥4 𝑥3 𝑥4
𝑦1
𝑧1
𝑦2 + 𝑘 ∗ 𝑦4 𝑦3
𝑧2 + 𝑘 ∗ 𝑧4 𝑧3
𝑦4
𝑧4
𝑤1 𝑤2 + 𝑘 ∗ 𝑤4 𝑤3 𝑤4
𝐴𝑕𝑜𝑟𝑎, 𝑠í: 𝐴 = 𝑝 ⇒ 𝐵 = 𝑝; 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒, 𝐴 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:
𝑎) 𝑓𝑖 + 𝑘 ∗ 𝑓𝑗 − 𝑟 ∗ 𝑓𝑛
𝑏) 𝑐𝑖 + 𝑘 ∗ 𝑐𝑗
10) El determinante de una matriz triangular, diagonal o escalar es igual al producto
de los elementos de la diagonal.
Es decir: Sea A una matriz triangular superior, entonces el determinante de A, es:
𝐴 =
𝑎 𝑏 𝑐
0 𝑑 𝑓
0 0 𝑒
= 𝑎 ∗ 𝑑 ∗ 𝑒 ó 𝐵 =
𝑎 0 0
0 𝑏 0
0 0 𝑐
= 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
𝐶 =
𝑎 0 0
0 𝑎 0
0 0 𝑎
= 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎3
ó 𝐷 =
𝑎 0 0
𝑏 𝑐 0
𝑑 0 𝑓
= 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
DETERMINANTES
11) Si los elementos de una fila o columna de un determinante están formados de
“p” términos cada uno, entonces el determinante se puede descomponer en la
suma de “p” determinantes.
Es decir: La fila 1 del determinante A, cada elemento esta formado por dos términos,
entonces:
𝐴 =
𝑥1 + 𝑤1 𝑦1 + 𝑤2 𝑧1 + 𝑤3
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
=
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
+
𝑤1 𝑤2 𝑤3
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
= 𝐴
Ejercicios y Aplicaciones
Realizar los siguientes ejercicios:
1) Hallar la relación angular entre α y β para que se cumpla que el determinante de la
matriz:
𝐵 =
𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑆𝑒𝑛 𝛼
𝑆𝑒𝑛 𝛽 𝐶𝑜𝑠 𝛽
𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜
2) Si el determinante:
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 𝑕 𝑖
= 10; 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑃 = 3 ∗
𝑎 𝑏 𝑐
𝑔 𝑕 𝑖
𝑑 𝑒 𝑓
− 12 ∗
𝑎 𝑏 𝑐
𝑒 𝑑 𝑓
𝑕 𝑔 𝑖
. 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
DETERMINANTES
Sea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 una matriz cuadrada de orden n > 1. Entonces:
Métodos de calculo de determinantes de orden n
Tenemos los siguientes métodos:
1) Método de los cofactores
2) Método de variante de cofactores
3) Método de los elementos de la diagonal
4) Método Pivotal o de Chio
1) Método de los cofactores
Utiliza los Menores o Menores complementarios, donde el determinante es el
resultado de la suma de los cofactores.
Definición de Menores (𝑴𝒊𝒋) y Cofactores (𝑪𝒊𝒋)
La Menor 𝑀𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗 es el determinante de la matriz de orden n-1 obtenido
al borrar la fila i y la columna j a la que pertenece.
El Cofactor 𝐶𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗 es el signo de la Menor, calculado por:
𝑪𝒊𝒋= −𝟏 𝒊+𝒋
∗ 𝑴𝒊𝒋
DETERMINANTES
Una vez identificado las Menores y los Cofactores, la Determinante viene definido por:
𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 ∗ 𝒄𝒊𝒋
𝒏
𝒋=𝟏 ó 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 ∗ −𝟏 𝒊+𝒋
∗ 𝑴𝒊𝒋
𝒏
𝒋=𝟏
Ejemplo de Menores y Cofactores:
Matriz
𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟏𝟑
𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐𝟑
𝒂 𝟑𝟏 𝒂 𝟑𝟐 𝒂 𝟑𝟑
Menor
𝑴 𝟏𝟏 =
𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐𝟑
𝒂 𝟑𝟐 𝒂 𝟑𝟑
= 𝒂 𝟐𝟐 ∗ 𝒂 𝟑𝟑 − 𝒂 𝟐𝟑 ∗ 𝒂 𝟑𝟐
𝑴 𝟐𝟑 =
𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐
𝒂 𝟑𝟏 𝒂 𝟑𝟐
= 𝒂 𝟏𝟏 ∗ 𝒂 𝟑𝟐 − 𝒂 𝟏𝟐 ∗ 𝒂 𝟑𝟏
Cofactor
𝑪 𝟏𝟏 = −𝟏 𝟏+𝟏 ∗ 𝑴 𝟏𝟏 = 𝑴 𝟏𝟏
𝑪 𝟐𝟑 = −𝟏 𝟐+𝟑
∗ 𝑴 𝟐𝟑 = −𝑴 𝟐𝟑
El Procedimiento por este método , es:
a) Se escoge una fila o columna para hacer la expansión por los cofactores (preferencia
mayor cantidad de nulos)
b) Se calculan los cofactores
c) Se realiza la sumatoria de los productos de cada elemento de la fila o columna
escogida por su correspondiente cofactor
DETERMINANTES
Ejercicio: Calcular el determinante de la siguiente matriz
Matriz
𝑨 =
𝟑 𝟐 𝟏
𝟒 𝟑 𝟐
𝟓 𝟕 𝟑
Solución.- Determinamos los cofactores:
𝑪 𝟐𝟏 = −𝟏 𝟐+𝟏
∗
𝟐 𝟏
𝟕 𝟑
= −𝟏 ∗ 𝟔 − 𝟕 = −𝟏 ∗ −𝟏 = 𝟏
𝑪 𝟐𝟐 = −𝟏 𝟐+𝟐
∗
𝟑 𝟏
𝟓 𝟑
= 𝟏 ∗ 𝟗 − 𝟓 = 𝟒
𝑪 𝟐𝟑 = −𝟏 𝟐+𝟑
∗
𝟑 𝟐
𝟓 𝟕
= −𝟏 ∗ 𝟐𝟏 − 𝟏𝟎 = −𝟏 ∗ 𝟏𝟏 = −𝟏𝟏
𝑨 = 𝒂 𝟐𝟏 ∗ 𝑪 𝟐𝟏 + 𝒂 𝟐𝟐 ∗ 𝑪 𝟐𝟐 + 𝒂 𝟐𝟑 ∗ 𝑪 𝟐𝟑
𝑨 = 4 ∗ 1 + 3 ∗ 4 + 2 ∗ (−11) = 4+12-22
𝑨 = −𝟔
–3 5
–1 –1
= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) =34
El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de
una fila o columna con sus respectivos cofactores:
Det (A) = ai1 * Ci1 + ai2 * Ci2 + ... + ain * Cin sería el desarrollo por la i-ésima fila
Det (A) = a1j * C1j + a2j * C2j + .. .+ amj * Cmj sería el desarrollo por la j-ésima columna
𝐴 =
2 –1 1 2
1 6 1 0
3 –1 –1 3
2 –1 0 1
= 1 · (–1)2+1
–1 1 2
–1 –1 3
–1 0 1
+ 6 · (–1)2+2
2 1 2
3 –1 3
2 0 1
+
+ 1 · (–1)2+3
2 –1 2
3 –1 3
2 –1 1
+ 0 · (–1)2+4
2 –1 1
3 –1 –1
2 –1 0
=
DETERMINANTES
Solución:
Ejercicio: Calcular el determinante de la matriz dada:
DETERMINANTES
2) Método de la variante de cofactores
Utiliza las operaciones aritméticas elementales (de las propiedades) con el propósito
de hacerles ceros a los elementos de una fila o columna de una matriz dada.
Ejercicio: Calcular el determinante de la siguiente matriz:
𝐴 =
3 2 1 0
1
0
3 1
0 2
0
2
4 1 3 3
⇒ 𝐴 =
3 2 1 0
1
0
3 1
0 2
0
2
4 1 1 1
−2 𝐹4 + 𝐹3
−1 𝐹2 + 𝐹4 ⇒ 𝐴 =
3 2 1 0
1
−8
3 1
−2 0
0
0
4 1 1 1
𝑪 𝟒𝟒 = −𝟏 𝟐+𝟐
∗
𝟑 𝟐 𝟏
𝟏 𝟑 𝟏
−𝟖 −𝟐 𝟎
⇒ 𝐴 = 𝟏 ∗
𝟑 𝟐 𝟏
𝟏 𝟑 𝟏
−𝟖 −𝟐 𝟎
−1 𝐹1 + 𝐹2
⇒ 𝐴 = 𝟏 ∗
𝟑 𝟐 𝟏
−𝟐 𝟏 𝟎
−𝟖 −𝟐 𝟎
⇒ 𝑪 𝟏𝟑 = (−𝟏) 𝟏+𝟑 −𝟐 𝟏
−𝟖 −𝟐
= 𝟏 ∗ (𝟒 + 𝟖)
𝐴 = 𝑎13 ∗ 𝐶13 = 1 ∗ 12
𝐴 = 12
DETERMINANTES
3) Método de los elementos de la diagonal
Utiliza las operaciones aritméticas elementales (de las propiedades) con el propósito
de transformarle en una matriz triangular superior, inferior o matriz diagonal. Luego:
Solución:
Ejercicio: Calcular el determinante de la siguiente matriz:
2 ∗ 𝑓2 + 𝑓3
⇒ 𝐴 =
1 1 1 6
0
0
2 −1
1 −4
−6
−27
0 2 0 −5
−2 ∗ 𝑓3 + 𝑓4
⇒ 𝐴 =
1 1 1 6
0
0
1 −4
0 −7
−27
−48
0 0 8 49 1 ∗ 𝑓4 + 𝑓3
⇒ 𝐴 =
1 1 1 6
0
0
1 −4
0 1
−27
1
0 0 8 49
−8 ∗ 𝑓3 + 𝑓4
𝐴 = 41
⇒ 𝐴 =
1 1 1 6
0
0
1 −4
0 1
−27
1
0 0 0 41
𝐴 =
1 1 1 6
2
4
4 1
1 2
6
9
2 4 2 7
DETERMINANTES
4) Método Pivotal o de Chio
El propósito es disminuir el orden de la matriz, manteniendo el primer elemento como
un pivote de las determinantes que se formen; la determinante obtenida de esta
manera se le multiplicará para uno sobre el pivote elevado al orden de la matriz
menos dos. Entonces, sea la matriz A,
Y así sucesivamente hasta llegar a una matriz de orden mínimo, mediante la cual se
pueda obtener fácilmente la determinante.
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21
𝑎31
⋮
𝑎22 𝑎23
𝑎32
⋮
𝑎33
⋮
⋯ 𝑎2𝑛
⋯
𝑎3𝑛
⋮
𝑎n1 𝑎n2 𝑎n3 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 𝑛El procedimiento es:
𝐴 =
1
𝑎11
𝑛−2
∗
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎11 𝑎13
𝑎21 𝑎23
𝑎11 𝑎14
𝑎21 𝑎24
…
𝑎11 𝑎1n
𝑎21 𝑎2𝑛
𝑎11 𝑎12
𝑎31 𝑎32
𝑎11 𝑎13
𝑎31 𝑎33
𝑎11 𝑎14
𝑎31 𝑎34
…
𝑎11 𝑎1n
𝑎31 𝑎3𝑛
⋮
𝑎11 𝑎12
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2
⋮
𝑎11 𝑎13
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛3
⋮ … ⋮
𝑎11 𝑎14
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛4
…
𝑎11 𝑎1n
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛𝑛
DETERMINANTES
Ejercicios para realizar en clases:
Ejercicio: Calcular el determinante de la siguiente matriz: 𝐴 =
3 2 1 0
1
0
3 1
0 2
0
2
4 1 3 3
Solución:
𝐴 =
1
34−2
∗
3 2
1 3
3 1
1 1
3 0
1 0
3 2
0 0
3 1
0 2
3 0
0 2
3 2
4 1
3 1
4 3
3 0
4 3
=
1
32
7 2 0
0 6 6
−5 5 9
=
1
9
∗
1
73−2
∗
7 2
0 6
7 0
0 6
7 2
−5 5
3 0
−5 9
𝐴 =
1
63
∗
42 42
45 63
=
1
63
∗ 2646 − 1890 = 12
1) 𝐴 =
1 1 0 1
0
2
1 4
3 1
1
4
0 2 0 2
2) 𝐵 =
1 1 1 6
2
4
4 1
1 2
6
9
2 4 2 7
3) 𝐶 =
1 3 2
0 7 7
2 1 3
Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar
ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al
determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo
alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p
dado.
Definición
El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores
distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por Rag(A).
Consecuencias.- El rango no puede ser mayor al número de filas o de
columnas.
Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si, su
determinante es cero.
RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 4.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A)  3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A)  2.
En caso contrario rang(A) = 1
En caso contrario rang(A) = 2
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden cuatro es distinto de cero rang(A)  4.
En caso contrario rang(A) = 3
Y así hasta que no sea posible continuar
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A)  1.
ALGORITMO PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ
• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.
• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a
la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.
OBTENCIÓN DE LA MATIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES (I)
Ejemplo: Dada la matriz (A) =







2 -2 2
2 1 0
3 -2 2
, su adjunta sería:
adj (A)=













1 0
–2 2 –
2 0
3 2
2 1
3 –2
–
–2 2
–2 2
2 2
3 2 –
2 –2
3 –2
–2 2
1 0 –
2 2
2 0
2 –2
2 1
=







2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
• Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado
por (-1)i+j
La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2  0
OBTENCIÓN DE LA MATIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES (II)
Ejemplo: Dada la matriz A =







2 –2 2
2 1 0
3 –2 2
, pretendemos encontrar su inversa:
Ya hemos visto que: adj (A) =





2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
Entonces: [adj (A)]
t
=







2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
Por lo tanto: A
–1
=
1
| A | [adj (A)]
t
=
1
–2 






2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
=







–1 0 1
2 1 –2
7/2 1 –3
Si se cumple que | A | ≠ 0 entonces la matriz inversa A-1 es igual a:
A
–1
=
1
| A | adj(A
t
) =
1
| A | [adj(A)]
t
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los
elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de
los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0
CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LOS ADJUNTOS I
CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LOS ADJUNTOS II
• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de
una fila o columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los
elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga
1 ó –1, para simplificar los cálculos.
• 2ª fila por (–3) + 1ª fila
• 2ª fila por (–2) + 3ª fila
• 2ª fila por (–3) + 4ª fila
desarrollo por 1ª
columna
• 1ª fila por 1 + 3ª fila
desarrollo por 1ª
columna
–18
CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EL MÉTODO DE GAUS
Ejemplo:
3 5 – 2 6
1 2 – 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
=
0 – 1 1 3
1 2 –1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
= –1
.
– 1 1 3
0 3 3
1 8 0
=–1
.
– 1 1 3
0 3 3
0 9 3
=
= (–1)
.
(–1)
3 3
9 3 =

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  • 1.
  • 2. MATRICES Y DETERMINANTES OBJETIVO GENERAL Analizar la teoría de Matrices de orden n, Determinantes, sus relaciones, operaciones, y propiedades para la resolución de problemas. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Definir una matriz, tipos y operaciones básicas.  Resolver sistemas de m ecuaciones lineales con n variables, e interpretar sus soluciones.  Aplicar los sistemas de ecuaciones lineales a problemas referentes a la profesión.  Calcular determinantes, la matriz adjunta y la inversa de una matriz
  • 3. MATRICES Y DETERMINANTES CONTENIDOS 1. DEFINICIÓN DE MATRIZ 2. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES 3. OPERACIONES CON MATRICES 4. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE MATRICES. MATRIZ TRANSPUESTA 5. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA 6. DETERMINANTES 7. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE 8. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 9. APLICACIONES DEL CÁLCULO MATRICIAL 10. EXPRESIÓN DE LA MATRIZ INVERSA
  • 4. Dimensión de la matriz nm 2ª columna 3ª fila Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.              a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n .. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn = (aij) MATRIZ
  • 5. DEFINICIÓN DE MATRIZ Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.                 nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa      321 3333231 2232221 1131211 A = (ai,j)=
  • 6. MATRIZ: EJEMPLO Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente: 1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel. 2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel. 3. Elena compró un bocadillo y un refresco. Estos datos se pueden agrupar en una matriz           2 1 1 1 1 1 1 1 0
  • 7. EXPRESIÓN MATRICIAL: EJEMPLO Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =         2 5 –3 1 –4 1 Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =         2 5 –3 1 1 –4 1 –2 Tiene la siguiente expresión matricial:         2 5 –3 1 –4 1        x y z =         1 – 2      2z4y-x 1352 zyx Sea el sistema Con un sistema de ecuaciones tenemos:
  • 8. Las dos matrices tienen el mismo orden (2x2), y los elementos de cada una son iguales y ocupan las mismas posiciones, es decir en la matriz A y B, tenemos que: Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales. Es decir: IGUALDAD DE MATRICES Ejemplo: Solución: De donde: A = B. Ejemplo: Entonces A = B, sí y solo sí, x = 12, e y = 7.
  • 9.  Matriz fila (Vector Fila): Aquella que tiene una fila y n columnas, es decir: Ejemplo: A = (1 3 5 7 9 )  Matriz columna (Vector Columna):  Matriz rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden mxn, donde m ≠ n, es decir: TIPOS ESPECIALES DE MATRICES Ejemplo:
  • 10.  Matriz cuadrada: Aquella que tiene el número de filas igual al número de columnas (m = n), es decir: TIPOS ESPECIALES DE MATRICES Ejemplo: Ejemplo: Diagonal PrincipalDiagonal Secundaria Traza de una matriz (Tr(A)): La Traza de una matriz, se determina en matrices cuadradas, y, no es más que la suma de los elementos de la diagonal principal. Ejemplo: Tr(A) = 1+2+1/3 = 10/3.
  • 11. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES • Matriz escalar: es una matriz diagonal en la cual todos sus elementos no nulos de la diagonal principal son iguales, es decir: • Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, donde los elementos fuera de la diagonal principal son ceros (nulos). Es decir: A = [aij]n tal que aij = 0, si i ≠ j.            100 030 002 D            200 020 002 A Ejemplo: Propiedades de la matriz diagonal: Sea A, B y C matrices diagonales, tenemos que: 1) Si A y B son matrices del mismo orden; entonces: A*B = B*A 2) Si A = Diagonal Entonces: (a11* b11, a22* b22, a33* b33, a44* b44, …, ann* bnn ) 3) Sea: C = (c11,c22, c33,c44, …, cnn), Entonces: Cm = (a11, a22, a33, a44, …, ann) y B = Diagonal (b11, b22, b33, b44, …, bnn) Ejemplo:
  • 12. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES • Matriz triangular : Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos nulos por encima (por debajo) de la diagonal principal y puede dividirse en: Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada si y solo si, aij = 0 para i > j. Ejemplo: • Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1. Suele representarse a una matriz identidad de orden nxn por In. Ejemplo:            100 010 001 I3 • Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos. También se denomina matriz cero y se nota por Omxn. Ejemplo: 33 000 000 000 O             23 00 00 00 O                        400 320 631 T
  • 13. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada si y solo si, aij = 0 para todo i < j. Ejemplo:            453 023 001 T • Matriz Escalonada: Se llama matriz escalonada si tiene la siguiente estructura: a) Las primeras K filas no son nulas y las restantes (m-K) son nulas. b) El primer elemento no nulo de cada una de las K filas es la unidad. c) En cada una de las K filas, el número de ceros anteriores al 1, crece de fila a fila. Ejemplo:
  • 14. RELACIÓN ENTRE MATRICES 1. Matriz Transpuesta Dada una matriz de orden m x n, A = [aij], se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas o viceversa. Es decir: Propiedades de la matriz traspuesta: Sean las Matrices A y B, entonces tenemos: I. Para la matriz A, (At)t = A II. Para las matrices A y B, (A+ B)t = At + Bt III. Para la matriz A y el número real k, (k * A)t = k * At IV. Para las matrices A y B, (A * B)t = Bt . At V. Si A es una matriz simétrica, (An)t = (At)n
  • 15. La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm. Es decir: Si A =         1 2 3 4 5 6 entonces A t =        1 4 2 5 3 6 RELACIÓN ENTRE MATRICES Ejemplo: 2. Matriz Ortogonal Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = At . La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. (El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1). Ejemplo: Sea A la matriz, entonces sí cumple que: A * At = At * A = I Entonces tenemos que: A es una matriz Ortogonal. Es decir:
  • 16. RELACIÓN ENTRE MATRICES 3. Matriz Inversa Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, que se nota por A-1 , si se verifica que: A * A-1 = A-1 * A = I Nota: Si una matriz cuadrada A tiene inversa, decimos que A es Invertible. Ejemplo: Sea A la matriz, entonces sí cumple que: A * At = At * A = I Entonces tenemos que: A es una matriz Ortogonal. Es decir: 4. Matriz Normal Una matriz es Normal si conmuta con su transpuesta. Es decir: A * At = At * A Ejemplo: Sea , Entonces: Luego: es una matriz NORMAL. Nota.- Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.
  • 17. RELACIÓN ENTRE MATRICES 5. Matriz Opuesta La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de la matriz A es –A. Ejemplo: 6. Matriz Simétrica Una matriz es simétrica, cuando esta es cuadrada y ésta es igual a su transpuesta, es decir: su transpuesta. Es decir: A = At Ejemplo: Sea:           1 2 4 2 3 5 4 5 -1 jiij aa   A = AT Luego: Características: a) La matriz A debe ser cuadrada b) Los elementos de la diagonal principal permanecen fijos al efectuar la transposición. La simetría se da con respecto a la diagonal principal, ésta se comporta como un espejo.
  • 18. RELACIÓN ENTRE MATRICES 7. Matriz Antisimétrica Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta a la opuesta de su transpuesta. Es decir: A = -At . Ejemplo: Sea: Luego: Características: a) La matriz A debe ser cuadrada b) Los elementos de la diagonal principal deben ser nulos y permanecen fijos al efectuar la transposición. La simetría se da con respecto a la diagonal principal y son los elementos opuestos. jiij -aa   A = –AT           0 2 -4 -2 0 3 4 -3 0
  • 19. OPERACIONES CON MATRICES Las operaciones del algebra matricial son: 1) Suma y Diferencia de Matrices 2) Propiedades 3) Producto de un Número Real por una Matriz 4) Propiedades 5) Producto de Matrices 6) Propiedades Para establecer el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.
  • 20. OPERACIONES CON MATRICES 1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) del mismo orden, es otra matriz S=(sij) del mismo orden que los sumandos , la representación es: S = (aij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B; El modelo general es:
  • 21. OPERACIONES CON MATRICES 1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES Ejemplo: Sin embargo, no se pueden sumar. Por tanto, para poder sumar dos matrices, éstas deben tener el mismo orden. Caso contrario no se puede. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B, es decir: A–B = A + (–B) Ejemplo: Nota: La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas, es decir si tienen distinto orden.
  • 22. OPERACIONES CON MATRICES 1. 1. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Sean las matrices A, B, C y O del mismo orden, entonces se cumple que: • Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C • Conmutativa: A + B = B + A • Elemento neutro: A + O = O + A = A; donde O es la matriz nula. • Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = O La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A. Ejercicios: Demostrar cada una de las propiedades con un ejemplo. Si las matrices son:
  • 23. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES • Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C • Conmutativa: A + B = B + A • Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula. • Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0 La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A. Sean las matrices A, B y C del mismo orden, entonces se cumple que:
  • 24. OPERACIONES CON MATRICES 2. PRODUCTO DE UN REAL POR UNA MATRIZ Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica al escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden. Es decir: Si A = [aij], entonces kA = [kaij]; Donde: A∈M y K∈ℝ k . A = k . (aij) = k·        a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =        ka11 ka12 ka13 ka21 ka22 ka23 ka31 ka32 ka33 = (kaij) Ejemplo: Ejemplo:
  • 25. OPERACIONES CON MATRICES 2.1. PROPIEDADES Sean A y B dos matrices del mismo orden , y, α y β dos números reales, entonces tenemos que: • Distributiva I: α*(A + B) = α * A + α * B • Distributiva II: (α + β) * A = α * A + β * A • Elemento neutro de Escalares: 1 * A = A * 1 = A • Asociativa mixta: α*(β *A) = (α* β )*A El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial ya que también cumple con la Ley de Composición Externa. Ejercicios: Demostrar cada una de las propiedades con un ejemplo. Si las matrices son:
  • 26. OPERACIONES CON MATRICES 3. PRODUCTO DE MATRICES Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Pij =  aik · bkj con k=1,….n Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, es decir: [aij]m,n . [bij]n,p = Posible filas columnas [cij]m,p Nota: El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.
  • 27. OPERACIONES CON MATRICES 3. PRODUCTO DE MATRICES no se pueden multiplicar (el número de columnas de la 1ª matriz no es igual al número de filas de la 2ª matriz Ejemplos: El producto se puede realizar Ejemplos.- Sean: A = [aij] =        a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n .. .. .. .. .. am1 am2 am3 ......amn B = [bij ] =                 np3n2n1n p3333231 p2232221 p1131211 bbbb bbbb bbbb bbbb ...... .......... ...... ...... ...... Luego el producto de A y B es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es: cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ... + ain . bnj
  • 28. OPERACIONES CON MATRICES Determinar: a) A * B; b) ½ A * (-B); c) (-A) * 3/2 B; d) 3. PRODUCTO DE MATRICES Ejemplos: Ejercicios: Sean las matrices
  • 29. OPERACIONES CON MATRICES 3. PRODUCTO DE MATRICES Ejercicio: a) El producto de A =      2 1 –1 3 –2 0 por la matriz B =      1 2 0 1 0 –3 0 1 –2 cada fila de A por cada columna de B. se obtiene multiplicando A · B =         2 1 –1 3 –2 0 .        1 2 0 1 0 –3 0 1 –2 =         3 3 –1 1 6 6 b) ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto? (aij)2,3 . (bij)3,3 = producto posible (cij) 2, 3
  • 30. OPERACIONES CON MATRICES 3.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Sean A, B, C, O, I Elementos de las Matrices, Entonces: 1 En general A * B ≠ B * A; (Por lo general NO es Conmutativa) En el caso que A * B = B * A se dice que A y B conmutan o son conmutables. 2. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr. Luego: A * (B * C) = (A * B) * C; (Cumple con la Propiedad Asociativa). 3. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr. Luego: A * (B + C) = A*B + A*C (A + B) * C = A*C + B*C; (Cumple con la Propiedad Distributiva). 4. Para las matrices O de dimensión mxp, A de dimensión pxn; donde O es la matriz nula de orden mxn Luego: O * A = O; (Cumple con la Propiedad Modulativa). 5. Si A es una matriz de orden mxn, I es la matriz identidad de orden n. Luego: A * I = A y I * A = A; (Cumple con la Existencia del Elemento Neutro). 6. Si A x B = O, no implica que A = O ó B = O; Donde O es la matriz nula. Ejemplo: ; Donde: A ≠0 y B ≠ 0
  • 31. OPERACIONES CON MATRICES 3.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES 7. En el caso que: A * B = A * C, esto no implica que B = C. Por ejemplo: 8. Cuando se tiene: 𝑺𝒆𝒂: 𝑨 = 1 1 0 0 ; 𝑩 = 2 3 5 8 𝒚 𝑪 = 5 8 2 3 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 ∗ 𝑩 = 2 + 5 3 + 8 0 0 = 7 11 0 0 𝒚 𝑨 ∗ 𝑪 = 5 + 2 8 + 3 0 0 = 7 11 0 0 𝑺𝒆 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂 𝒒𝒖𝒆: 𝑨 ∗ 𝑩 = 𝑨 ∗ 𝑪, 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝑩 ≠ 𝑪 𝑨 ∗ 𝑩 𝒕 = 𝑩 𝒕 ∗ 𝑨 𝒕 9. Cuando se tiene: 10. Cuando se tiene: 𝑰 𝒏 ∗ 𝑰 𝒏 = 𝑰 𝒏 2 = 𝑰 𝒏 11. 𝑰 ∗ 𝑨 = 𝑨 ∗ 𝑰 = 𝑨 𝑺𝒊 𝑨 ∗ 𝑨 𝒕 = 𝑰 𝒚 𝑨 𝒕 ∗ 𝑨 = 𝑰 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑶𝑹𝑻𝑶𝑮𝑶𝑵𝑨𝑳
  • 32. OPERACIONES CON MATRICES 3.1. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES 12. (A + B)2  A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten. 13. (A – B)2  A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten. 14. A2 – B2  (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten. 3.2. Ejercicios de clases: 1. Hallar la matriz X, tal que: 𝑿 𝒎∗𝒏 ∗ 1 −1 0 0 1 0 0 −1 1 3∗3 = 1 −3 2 0 −1 1 2∗3 2. Si: 𝑨 = −5 3 16 −6 𝒚 𝑩 = 16 −40 21 23 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: 2𝒙 + 3𝒚 = 𝑨 5𝒙 − 2𝒚 = 𝑩; Y 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑿
  • 33. OPERACIONES CON MATRICES 4. POTENCIACIÓN DE MATRICES 4.1. Propiedades: 1. A es IDEMPOTENTE si: Sea A una matriz cuadrada de orden n, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma. Es decir: An = A . A . ........... . A n veces 2. A es INVOLUTIVA si: 3. A es NILPOTENTE si: 𝑨2 = 𝑨 𝑨2 = 𝑰 𝑨 𝒑 = ∅. 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒍𝒈ú𝒏 𝒑+ 𝒔𝒊 𝒑 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒍 𝑨 𝒑 = ∅ 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑨 𝒆𝒔 𝑵𝑰𝑳𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑻𝑬 𝒅𝒆 í𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒑 4.2. Ejemplo en clases: 𝑺𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐: 𝑨 = 0 −1 1 0 1 2 1 0 1 ; 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑨2 𝒚 𝑨3
  • 35. OPERACIONES CON MATRICES 5. MATRIZ PERIÓDICA Dada la matriz cuadrada A de orden n, si existe un número p perteneciente a los Naturales (el menor de todos ellos) tal que se cumpla: 𝑨 𝒑+1 = 𝑨, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑨 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑷𝑬𝑹𝑰Ó𝑫𝑰𝑪𝑨, 𝒄𝒖𝒚𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒊ó𝒅𝒐 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝒑. Observaciones: a) Si se cumple que 𝑨 𝟐 = A, entonces diremos que A es una matriz Idempotente b) Si ∃𝐩 ∈ ℕ (el menor de todos) tal que, 𝑨 𝒑 = ϕ 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 , entonces A es una matriz Nilpotente de índice p. c) Si se cumple que: 𝑨 𝟐 = I (matriz identidad), entonces A es una matriz Involutiva. Ejercicios: Determinar una formula para hallar 𝑩 𝒏 , 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑩: 𝑩 = 1 −1 −1 0 1 −1 0 0 1 𝒚 𝒏 ∈ ℕ, 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏: 𝑩50 𝒚 𝑩73
  • 36. 1. Si las matrices A y B son inversibles (A* B)–1 = B–1 * A–1 2. Si A es una matriz inversible y k  0, (k * A)–1 = (1/k) * A–1 3. Si A es una matriz inversible, (A–1)–1 = A 4. La matriz unidad es inversible y además I–1 = I 5. Si A es una matriz inversible, (A–1)t = (At)–1 Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A*B = B*A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A-1 Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. INVERSA DE UNA MATRIZ, MATRICES INVERSIBLES OPERACIONES CON MATRICES PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA Observación: Podemos encontrar matrices que cumplen A*B = I, pero que B*A = I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".
  • 37. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA OPERACIONES CON MATRICES Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: 1. Directamente (Definición de matriz inversa) 2. Por el método de Gauss-Jordan (Matriz Ampliada) 3. Usando determinantes y la Matriz Adjunta CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA 1. Directamente (Definición de matriz inversa).- Aplicando la definición, tenemos, sí A*A–1 = I, decimos entonces que A–1 es la inversa de A. Ejemplo: Dada A =         2 –1 1 1 para obtener A -1 =         x y z t se ha de cumplir         2 –1 1 1 .         x y z t =         1 0 0 1
  • 38. OPERACIONES CON MATRICES CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Y de aquí se deduce que:         2x–z 2y–t x+z y+t =         1 0 0 1  2x – z =1 x +z =0 2y – t =0 y +t =1 Por tanto A-1 =        1 3 1 3 – 1 3 2 3 Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos: 𝒙 = 𝟏 𝟑 ; 𝒚 = 𝟏 𝟑 𝒛 = − 𝟏 𝟑 ; 𝒕 = 𝟐 𝟑 Ejercicios para realizar en clases: Analizar si tienen inversas las siguientes matrices: Nota: Éste método es de gran utilidad cuando se tiene que determinar o calcular las matrices inversas pero de orden 2. 𝑺𝒆𝒂: 𝑨 = 1 1 −2 3 ; 𝑩 = 2 3 4 −1 𝒚 𝑪 = −1 2 2 3
  • 39. OPERACIONES CON MATRICES CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA 2. Por el método de Gauss-Jordan (Matriz Ampliada) Dada una matriz cuadrada A de orden n y la matriz identidad I del mismo orden; se construye la matriz ampliada (A I In), donde por operaciones aritméticas elementales (por filas) debe obtenerse una nueva matriz ampliada (In I B), concluyendo que B es la matriz inversa de A, Es decir: B = A–1. Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa. Las transformaciones elementales son las siguientes:  Permutar 2 filas ó 2 columnas.  Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.  Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.  Suprimir las filas o columnas que sean nulas, Nota: Este tipo de operaciones NO Afectan a las matrices.
  • 40. En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones: Si hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:            211 112 011             220 110 011 (– 2)F1 + F2 g F2 F1 + F3 g F3                                  220 110 011 211 112 011 * 101 012 001 Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación: Ejemplo: OPERACIONES CON MATRICES A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B
  • 41. Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz En primer lugar triangulamos inferiormente: Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente: Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad: De donde, la matriz inversa de A es OPERACIONES CON MATRICES Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan. Ejemplo 1:
  • 42. Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz se tiene: Pero podemos observar que hay una fila completa de ceros, entonces la matriz A en este caso no tiene rango máximo. Por tanto La matriz A no tiene inversa pues es una matriz singular. Concluyendo, esto sería una manera de identificar si una matriz posee inversa o no, es decir si es invertible o no. OPERACIONES CON MATRICES Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan. Ejemplo 2
  • 43. 2º.- Triangulamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha. Queremos calcular la inversa de 1º.- Se escribe la matriz A y junto a esta la matriz identidad, Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa. OPERACIONES CON MATRICES Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan. Ejemplo 3:
  • 44. 3º.- Triangulamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha. 4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente. OPERACIONES CON MATRICES Ejercicio para realizar en clases: Determine la matriz inversa de la matriz dada, utilice el método de Gauu-Jordan:
  • 45. Pasos que se recomiendan para la construcción de la matriz inversa (A-1): a) Calculamos el determinante b) Calculamos la matriz de las Menores c) Calculamos la matriz de los Cofactores d) Calculamos la matriz Adjunta (transpuesta de la matriz de los cofactores) e) Calculamos la matriz Inversa, mediante: OPERACIONES CON MATRICES 3. Usando determinantes y la Matriz Adjunta Matriz Adjunta.- Es la matriz transpuesta de la matriz que se forma mediante los cofactores de cada uno de los elementos que forma la matriz original. Es decir: Menores y Cofactore.- es el determinante de la matriz de orden n-1 obtenida al borrar la fila i y la columna j a la que pertenece. es el signo de la Menor, calculada por:
  • 46. OPERACIONES CON MATRICES Aplicaciones de la Matriz Inversa Una de las aplicaciones de gran importancia es en la resolución de ecuaciones matriciales, puesto que estas no se pueden analizar debido a que algunos pasos conllevan a la división y por supuesto la división de matrices no está definida; hay que recordar que: A*I = I*A = A, así como A* A-1 = I. En consecuencia la matriz inversa es de gran utilidad. Ejemplo: Solución: Ahora: De donde: Ejercicios para realizar en clases Resuelva las ecuaciones siguientes: a) AX – B + C = 0 a) BX + 2A - 2C = 0
  • 47. En una matriz A, las filas pueden representarse por F1, F2, ... , Fm y las columnas por C1, C2, ... , Cn. Se llama combinación lineal de las filas F1, F2, F3 ... , Fm a una expresión de la forma: k1 . F1 + k2 . F2 + k3 . F3 + ... + km . Fm siendo k1, k2, ... , km números reales. Se llama combinación lineal de las columnas C1, C2, C3 ... , Cn a una expresión de la forma: k1 . C1 + k2 . C2 + k3 . C3 + ... + kn . Cn siendo k1, k2, ... , kn números reales. A =            a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n .. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn = (C1, C2, C3, ... , Cn) =            F1 F2 F3 ...... Fm OPERACIONES CON MATRICES Combinación lineal entre filas y columnas
  • 48. • Una fila (o columna) de una matriz depende linealmente de otras si es combinación lineal de ellas. • Si entre las filas (o columnas) de una matriz, alguna depende linealmente de otras, se dice que son linealmente dependientes; en caso contrario, son linealmente independientes. F3 = F1 + 2F2 Ejemplo: En la matriz A =      2 0 –1 1 1 3 1 0 4 6 1 1 la tercera fila es combinación lineal de la primera y la segunda ya que: En cambio: En la matriz B=     1 2 4 3 –1 5 las dos filas son linealmente independientes porque ninguna de ellas es igual a una constante por la otra. OPERACIONES CON MATRICES Dependencia lineal entre filas y columnas
  • 49. OPERACIONES CON MATRICES Rango de una Matriz • El rango por filas de una matriz es el número de filas linealmente independientes. • El rango por columnas de una matriz es el número de columnas linealmente independientes. • Se puede demostrar que el rango por filas coincide con el rango por columnas en cualquier matriz. A este valor común se le llama rango de la matriz y se representa Rag (A). Operaciones que no modifican el rango de una matriz • Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí. • Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero. • Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de otras filas (o columnas).
  • 50. Vectores fila de una matriz: Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan linealmente de otros. Por ejemplo: Sus dos filas son linealmente independientes        2431 5232 A Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen linealmente de las primeras                43 50 12 31 B 2123 FFF  214 FFF  Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de las dos primeras            158 209 351 C 312 FFF  Entonces: Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes OPERACIONES CON MATRICES Dependencia e independencia lineal : filas
  • 51. Teorema.- En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Vectores columna de una matriz: También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir en algún caso la anterior. ¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente independientes sea distinto del número de columnas linealmente independiente?. El siguiente teorema nos asegura que no. Por esto podemos dar una nueva definición de Rango: Rango de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente independientes. OPERACIONES CON MATRICES Dependencia e independencia lineal: columnas
  • 52.        2 0 –1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 La matriz A = tiene rango 3.            0000 0110 1102 La matriz A = tiene rango 2.            1000 0100 1102 La matriz A = tiene rango 3.           0000 0200 1120 La matriz A = tiene rango 2.           0000 0000 1000 La matriz A = tiene rango 1. OPERACIONES CON MATRICES Ejemplos rango de una matriz escalonada
  • 53. El rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodos diferentes:  Por el método de Gauss  Usando Determinantes OPERACIONES CON MATRICES Métodos de cálculo del rango de una matriz
  • 54. OPERACIONES CON MATRICES Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss Transformaciones elementales: Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango varíe. Las transformaciones elementales son las siguientes: Permutar 2 filas ó 2 columnas. Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo. Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo. Suprimir las filas o columnas que sean nulas, Suprimir las filas o columnas que sean proporcionales a otras.
  • 55. a) Si es necesario, reordenar filas para que a11  0 (si esto no fuera posible, aplicar todo el razonamiento a a12). b) Anular todos los elementos por debajo de a11: para ello multiplicar la primera fila por –a21/a11 y sumar a la segunda, multiplicar la primera fila por –a31/a11 y sumar a la tercera, .... multiplicar la primera fila por –am1/a11 y sumar a la m-ésima. c) Repetir los pasos anteriores basados en a22 y, después, en cada aii. d) El proceso termina cuando no quedan más filas o están formadas por ceros. A =            a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n .. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn OPERACIONES CON MATRICES Proceso para el cálculo del rango de una matriz Método de Gauss
  • 56. Aplicando los procesos anteriores se puede llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas o columnas independientes y por tanto el rango de la matriz.        * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Rango 4        * * * * * 0 * * * * 0 0 * * * 0 0 0 * * Rango 3        * * * * * 0 * * * * 0 0 * * * Rango 2         * * * * * 0 * * * * Rango 1     * * * * * OPERACIONES CON MATRICES Cálculo del rango de una matriz
  • 57. OPERACIONES CON MATRICES Ejemplos del cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss I
  • 58. A no es inversible  Restando a la segunda fila la primera por 4:         1 – 1 2 1 2 0 0 0 –2 1  Ampliamos la matriz A con la matriz identidad:         2 –1 1 0 4 –2 0 1  Dividiendo la primera fila por 2:         1 – 1 2 1 2 0 4 –2 0 1 • Al operar con las filas de A se ha llegado a una matriz de rango distinto a la dimensión de la matriz A. • Por tanto: una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si Rag (A) = n. • De otra forma: A es inversible si y sólo si sus filas (o sus columnas) son linealmente independientes. Vamos a estudiar si A =         2 –1 4 –2 es inversible: OPERACIONES CON MATRICES Condición para que una matriz sea inversible
  • 59. DETERMINANTES Definición: El determinante viene a ser una función que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en un escalar. Notación: Al determinante de una matriz cuadrada se le nota por: IAI ó Det(A) En términos generales tenemos que: Dada una matriz cuadrada se llama determinante de A, y se representa por |A| ó Det(A), al número: con (Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la signatura de la permutación)
  • 60. Dada una matriz cuadrada de orden 2: Se llama determinante de A al número real: DETERMINANTES Determinantes de orden 2 y 3 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂21 𝒂22 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂21 𝒂22 = 𝒂11 ∗ 𝒂22 − 𝒂12 ∗ 𝒂21 Ejemplo 1: Dada la matriz A. Calcule su determinante: 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 = 3 2 2 1 = 3 ∗ 1 − 2 ∗ 2 = 3 − 4 = −1 Ejemplo 2: Dada la matriz A. Calcule su determinante: 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 = 4 −3 1 2 = 4 ∗ 2 − −3 ∗ 1 = 8 + 3 = 11
  • 61. DETERMINANTES Dada una matriz cuadrada de orden 3: 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝒂31 𝒂32 𝒂33 Se llama determinante de A al número real: 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝒂31 𝒂32 𝒂33 = 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂12 ∗ 𝒂23 ∗ 𝒂31 + 𝒂21 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂13 − 𝒂13 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31 − 𝒂12 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂33 − 𝒂23 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂11 Ejemplo 1: Dada la matriz 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 = 3 ∗ 3 ∗ −2 + 2 ∗ 1 ∗ 2 + −1 ∗ 1 ∗ 1 − 1 ∗ 3 ∗ 2 − 1 ∗ 1 ∗ 3 − 2 ∗ −1 ∗ −2 = −18 + 4 − 1 − 6 − 3 − 4 = −28 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 Calcule su determinante:
  • 62. DETERMINANTES Reglas analíticas para calcular una determinante de orden 3 = 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂12 ∗ 𝒂23 ∗ 𝒂31 + 𝒂13 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂32 −𝒂13∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31 −𝒂11∗ 𝒂23 ∗ 𝒂32 − 𝒂12 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂33 Ejemplo 1: Dada la matriz 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 Calcule su determinante: 1) Regla de Sarrus por columnas: 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝒂31 𝒂32 𝒂33 𝒂11 𝒂21 𝒂31 𝒂12 𝒂22 𝒂32 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 3 −1 2 2 3 1 𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨 = -28
  • 63. DETERMINANTES = 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂21 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂13 + 𝒂31 ∗ 𝒂12 ∗ 𝒂23 −𝒂13∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31 −𝒂 𝟐𝟑∗ 𝒂32 ∗ 𝒂11 − 𝒂33 ∗ 𝒂12 ∗ 𝒂21 Ejemplo 1: Dada la matriz 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 Calcule su determinante: 2) Regla de Sarrus por filas: 𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨 = -28 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝒂31 𝒂32 𝒂33 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 3 2 1 −1 3 1
  • 64. DETERMINANTES Ejemplo 1: Dada la matriz 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2 Calcule su determinante: 3) Regla de Sarrus Por estrella: 𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝑨 = -28 Consiste en encontrar las tres diagonales principales y las tres secundarias, es decir: 𝑫𝒆𝒕 𝑨 = 𝑨 = 𝒂11 𝒂12 𝒂13 𝒂21 𝒂22 𝒂23 𝒂31 𝒂32 𝒂33 = 𝒂11 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂33 + 𝒂12 ∗ 𝒂23 ∗ 𝒂31 + 𝒂21 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂13 − 𝒂13 ∗ 𝒂22 ∗ 𝒂31 − 𝒂12 ∗ 𝒂21 ∗ 𝒂33 − 𝒂23 ∗ 𝒂32 ∗ 𝒂11 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝑨 = 3 2 1 −1 3 1 2 1 −2
  • 65. 24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77 Det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 +5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] = El determinante de la matriz A =             3 5 1 4 –2 –1 2 –3 –4 es DETERMINANTES Aplicaciones a la regla de Sarrus Ejercicios a realizar en clases: Hallar el determinante de las matrices A y B, de orden 3, utilice los tres métodos de análisis: 𝑆𝑒𝑎: 𝐴 = 1 2 −2 4 5 3 3 5 −7 ; 𝐵 = −1 2 3 5 −1 2 4 1 −3
  • 66. DETERMINANTES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces tenemos que: 1) Si: I A + B I ≠ I A I + I B I Ejemplo: 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 2 1 3 −4 𝑦 𝐵 = 5 2 0 3 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴 + 𝐵 = 7 3 3 −1 𝐴 + 𝐵 = 7 3 3 −1 = −16; 𝐴 = 2 1 3 −4 = −11; 𝐵 = 5 2 0 3 = 15 De donde: I A + B I ≠ I A I + I B I -16 ≠ −11 + 15 -16 ≠ 4 2) Si: I A * B I = I A I * I B I 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 1 2 −4 3 𝑦 𝐵 = 2 5 3 1 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴 ∗ 𝐵 = 2 + 6 5 + 2 −8 + 9 −20 + 3 = 8 7 1 −17 De donde: I A * B I = I A I * I B I -143 = (11) ∗ (-13) -143 = -143 I A * B I = -143; I A I = 11; I B I = -13
  • 67. DETERMINANTES 3) Para toda matriz cuadrada A se cumple que: Ejemplo: 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 3 2 5 1 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐀𝐭 = 3 5 2 1 𝐴 = 3 2 5 1 = −7; 𝐀𝐭 = 3 5 2 1 = −7 De donde: 𝐀 = 𝐀𝐭 -7 = -7 4) El determinante de una matriz es igual a cero, si todos los elementos de una fila o de una columna son iguales a cero. 𝐀 = 𝐀𝐭 𝑆𝑒𝑎: 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 0 0 0 𝑑 𝑒 𝑓 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐴 = 0 5) El determinante de una matriz es igual a cero, si una de sus filas o columnas es igual o múltiplo de otra fila o columna. 𝐵 = 𝑎 𝑚 3𝑎 𝑏 𝑝 3𝑏 𝑐 𝑛 3𝑐 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐵 = 0𝑆𝑒𝑎: 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 m n p 𝑎 𝑏 𝑐 , 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐴 = 0; ya que: c1 = 3*C3
  • 68. DETERMINANTES 6) El determinante de una matriz A cambia de signo si se intercambian dos filas o dos columnas. Ejemplo: Ahora, sí: 𝐀 = 𝐾, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 = −𝐾 7) Si B es una matriz que se obtiene a partir de una matriz A trasladando una de sus filas o columnas K lugares, entonces se cumple que: 𝑩 = (−𝟏) 𝑲 ∗ 𝑨 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑕 𝑖 𝑓1 ∗ 𝑓3, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐵 = 𝑔 𝑕 𝑖 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 Es decir: 𝐴 = 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑤1 𝑥2 𝑥3 𝑦2 𝑧2 𝑦3 𝑧3 𝑤2 𝑤3 𝑥4 𝑦4 𝑧4 𝑤4 Entonces: 𝐵 = 𝑥4 𝑦4 𝑧4 𝑤4 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑧1 𝑦2 𝑧2 𝑤1 𝑤2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝑤3Trasladamos 𝐴𝑕𝑜𝑟𝑎, 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓4 𝑎 𝑓1 𝑦 𝑠𝑖 𝐴 = 𝑝, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 = −1 3 ∗ 𝐴 = −1 ∗ 𝑝 𝐷𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐵 = −𝑝
  • 69. DETERMINANTES 8) Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un escalar K donde k ≠ 0, entonces el valor del determinante queda multiplicado por K. 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑧1 𝑧2 𝑧3 ; 𝑆𝑖 𝐾 ≠ 0 𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑙𝑎 3ª 𝑓𝑖𝑙𝑎, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐵 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑘 ∗ 𝑧1 𝑘 ∗ 𝑧2 𝑘 ∗ 𝑧3 ; 𝑌 𝑠𝑖: 𝐴 = 𝑝, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐵 = 𝐾 ∗ 𝑝 Nota: Consecuentemente, si todos los elementos de una fila o columna de un determinante son múltiplos de un escalar K, se puede sacar el factor común K en dicha determinante. Es decir: Nota: Si A es una matriz cuadrada de orden n y K es un escalar diferente de cero, entonces tendremos: 𝐵 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑘 ∗ 𝑧1 𝑘 ∗ 𝑧2 𝑘 ∗ 𝑧3 𝐵 = K ∗ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑲 ∗ 𝑨 = 𝑲 𝒏 ∗ 𝑨 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐾 ∗ 𝐴 = 𝑘 ∗ 𝑎11 ⋯ 𝑘 ∗ 𝑎1(𝑛−1) 𝑘 ∗ 𝑎1𝑛 ⋮ 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛−1 1 ⋱ ⋮ 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛−1 𝑛 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛(𝑛−1) 𝑘 ∗ 𝑎 𝑛𝑛 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐾 ∗ 𝐴 = 𝑘 ∗ 𝑘 ∗ 𝑘 ∗ ⋯ ∗ 𝑘 ∗ 𝐴 , Luego: 𝐾 ∗ 𝐴 = 𝑘 𝑛 ∗ 𝐴
  • 70. DETERMINANTES 9) Si a una fila o columna de una matriz A se le suma o se le resta K veces otra fila o columna, el valor del determinante de A no varía. Es decir: 𝐴 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑦1 𝑧1 𝑦2 𝑦3 𝑧2 𝑧3 𝑦4 𝑧4 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑤4 ; 𝑠𝑖 𝑘 ∗ 𝑐4 + 𝑐2 𝐵 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑘 ∗ 𝑥4 𝑥3 𝑥4 𝑦1 𝑧1 𝑦2 + 𝑘 ∗ 𝑦4 𝑦3 𝑧2 + 𝑘 ∗ 𝑧4 𝑧3 𝑦4 𝑧4 𝑤1 𝑤2 + 𝑘 ∗ 𝑤4 𝑤3 𝑤4 𝐴𝑕𝑜𝑟𝑎, 𝑠í: 𝐴 = 𝑝 ⇒ 𝐵 = 𝑝; 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒, 𝐴 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠: 𝑎) 𝑓𝑖 + 𝑘 ∗ 𝑓𝑗 − 𝑟 ∗ 𝑓𝑛 𝑏) 𝑐𝑖 + 𝑘 ∗ 𝑐𝑗 10) El determinante de una matriz triangular, diagonal o escalar es igual al producto de los elementos de la diagonal. Es decir: Sea A una matriz triangular superior, entonces el determinante de A, es: 𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐 0 𝑑 𝑓 0 0 𝑒 = 𝑎 ∗ 𝑑 ∗ 𝑒 ó 𝐵 = 𝑎 0 0 0 𝑏 0 0 0 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 𝐶 = 𝑎 0 0 0 𝑎 0 0 0 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎3 ó 𝐷 = 𝑎 0 0 𝑏 𝑐 0 𝑑 0 𝑓 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
  • 71. DETERMINANTES 11) Si los elementos de una fila o columna de un determinante están formados de “p” términos cada uno, entonces el determinante se puede descomponer en la suma de “p” determinantes. Es decir: La fila 1 del determinante A, cada elemento esta formado por dos términos, entonces: 𝐴 = 𝑥1 + 𝑤1 𝑦1 + 𝑤2 𝑧1 + 𝑤3 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 = 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 + 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 = 𝐴 Ejercicios y Aplicaciones Realizar los siguientes ejercicios: 1) Hallar la relación angular entre α y β para que se cumpla que el determinante de la matriz: 𝐵 = 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑆𝑒𝑛 𝛽 𝐶𝑜𝑠 𝛽 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 2) Si el determinante: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑕 𝑖 = 10; 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑃 = 3 ∗ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑔 𝑕 𝑖 𝑑 𝑒 𝑓 − 12 ∗ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 𝑑 𝑓 𝑕 𝑔 𝑖 . 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
  • 72. DETERMINANTES Sea 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 una matriz cuadrada de orden n > 1. Entonces: Métodos de calculo de determinantes de orden n Tenemos los siguientes métodos: 1) Método de los cofactores 2) Método de variante de cofactores 3) Método de los elementos de la diagonal 4) Método Pivotal o de Chio 1) Método de los cofactores Utiliza los Menores o Menores complementarios, donde el determinante es el resultado de la suma de los cofactores. Definición de Menores (𝑴𝒊𝒋) y Cofactores (𝑪𝒊𝒋) La Menor 𝑀𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗 es el determinante de la matriz de orden n-1 obtenido al borrar la fila i y la columna j a la que pertenece. El Cofactor 𝐶𝑖𝑗 del elemento 𝑎𝑖𝑗 es el signo de la Menor, calculado por: 𝑪𝒊𝒋= −𝟏 𝒊+𝒋 ∗ 𝑴𝒊𝒋
  • 73. DETERMINANTES Una vez identificado las Menores y los Cofactores, la Determinante viene definido por: 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 ∗ 𝒄𝒊𝒋 𝒏 𝒋=𝟏 ó 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 ∗ −𝟏 𝒊+𝒋 ∗ 𝑴𝒊𝒋 𝒏 𝒋=𝟏 Ejemplo de Menores y Cofactores: Matriz 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟏𝟑 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐𝟑 𝒂 𝟑𝟏 𝒂 𝟑𝟐 𝒂 𝟑𝟑 Menor 𝑴 𝟏𝟏 = 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐𝟑 𝒂 𝟑𝟐 𝒂 𝟑𝟑 = 𝒂 𝟐𝟐 ∗ 𝒂 𝟑𝟑 − 𝒂 𝟐𝟑 ∗ 𝒂 𝟑𝟐 𝑴 𝟐𝟑 = 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟑𝟏 𝒂 𝟑𝟐 = 𝒂 𝟏𝟏 ∗ 𝒂 𝟑𝟐 − 𝒂 𝟏𝟐 ∗ 𝒂 𝟑𝟏 Cofactor 𝑪 𝟏𝟏 = −𝟏 𝟏+𝟏 ∗ 𝑴 𝟏𝟏 = 𝑴 𝟏𝟏 𝑪 𝟐𝟑 = −𝟏 𝟐+𝟑 ∗ 𝑴 𝟐𝟑 = −𝑴 𝟐𝟑 El Procedimiento por este método , es: a) Se escoge una fila o columna para hacer la expansión por los cofactores (preferencia mayor cantidad de nulos) b) Se calculan los cofactores c) Se realiza la sumatoria de los productos de cada elemento de la fila o columna escogida por su correspondiente cofactor
  • 74. DETERMINANTES Ejercicio: Calcular el determinante de la siguiente matriz Matriz 𝑨 = 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 𝟕 𝟑 Solución.- Determinamos los cofactores: 𝑪 𝟐𝟏 = −𝟏 𝟐+𝟏 ∗ 𝟐 𝟏 𝟕 𝟑 = −𝟏 ∗ 𝟔 − 𝟕 = −𝟏 ∗ −𝟏 = 𝟏 𝑪 𝟐𝟐 = −𝟏 𝟐+𝟐 ∗ 𝟑 𝟏 𝟓 𝟑 = 𝟏 ∗ 𝟗 − 𝟓 = 𝟒 𝑪 𝟐𝟑 = −𝟏 𝟐+𝟑 ∗ 𝟑 𝟐 𝟓 𝟕 = −𝟏 ∗ 𝟐𝟏 − 𝟏𝟎 = −𝟏 ∗ 𝟏𝟏 = −𝟏𝟏 𝑨 = 𝒂 𝟐𝟏 ∗ 𝑪 𝟐𝟏 + 𝒂 𝟐𝟐 ∗ 𝑪 𝟐𝟐 + 𝒂 𝟐𝟑 ∗ 𝑪 𝟐𝟑 𝑨 = 4 ∗ 1 + 3 ∗ 4 + 2 ∗ (−11) = 4+12-22 𝑨 = −𝟔
  • 75. –3 5 –1 –1 = 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) =34 El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna con sus respectivos cofactores: Det (A) = ai1 * Ci1 + ai2 * Ci2 + ... + ain * Cin sería el desarrollo por la i-ésima fila Det (A) = a1j * C1j + a2j * C2j + .. .+ amj * Cmj sería el desarrollo por la j-ésima columna 𝐴 = 2 –1 1 2 1 6 1 0 3 –1 –1 3 2 –1 0 1 = 1 · (–1)2+1 –1 1 2 –1 –1 3 –1 0 1 + 6 · (–1)2+2 2 1 2 3 –1 3 2 0 1 + + 1 · (–1)2+3 2 –1 2 3 –1 3 2 –1 1 + 0 · (–1)2+4 2 –1 1 3 –1 –1 2 –1 0 = DETERMINANTES Solución: Ejercicio: Calcular el determinante de la matriz dada:
  • 76. DETERMINANTES 2) Método de la variante de cofactores Utiliza las operaciones aritméticas elementales (de las propiedades) con el propósito de hacerles ceros a los elementos de una fila o columna de una matriz dada. Ejercicio: Calcular el determinante de la siguiente matriz: 𝐴 = 3 2 1 0 1 0 3 1 0 2 0 2 4 1 3 3 ⇒ 𝐴 = 3 2 1 0 1 0 3 1 0 2 0 2 4 1 1 1 −2 𝐹4 + 𝐹3 −1 𝐹2 + 𝐹4 ⇒ 𝐴 = 3 2 1 0 1 −8 3 1 −2 0 0 0 4 1 1 1 𝑪 𝟒𝟒 = −𝟏 𝟐+𝟐 ∗ 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 −𝟖 −𝟐 𝟎 ⇒ 𝐴 = 𝟏 ∗ 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 −𝟖 −𝟐 𝟎 −1 𝐹1 + 𝐹2 ⇒ 𝐴 = 𝟏 ∗ 𝟑 𝟐 𝟏 −𝟐 𝟏 𝟎 −𝟖 −𝟐 𝟎 ⇒ 𝑪 𝟏𝟑 = (−𝟏) 𝟏+𝟑 −𝟐 𝟏 −𝟖 −𝟐 = 𝟏 ∗ (𝟒 + 𝟖) 𝐴 = 𝑎13 ∗ 𝐶13 = 1 ∗ 12 𝐴 = 12
  • 77. DETERMINANTES 3) Método de los elementos de la diagonal Utiliza las operaciones aritméticas elementales (de las propiedades) con el propósito de transformarle en una matriz triangular superior, inferior o matriz diagonal. Luego: Solución: Ejercicio: Calcular el determinante de la siguiente matriz: 2 ∗ 𝑓2 + 𝑓3 ⇒ 𝐴 = 1 1 1 6 0 0 2 −1 1 −4 −6 −27 0 2 0 −5 −2 ∗ 𝑓3 + 𝑓4 ⇒ 𝐴 = 1 1 1 6 0 0 1 −4 0 −7 −27 −48 0 0 8 49 1 ∗ 𝑓4 + 𝑓3 ⇒ 𝐴 = 1 1 1 6 0 0 1 −4 0 1 −27 1 0 0 8 49 −8 ∗ 𝑓3 + 𝑓4 𝐴 = 41 ⇒ 𝐴 = 1 1 1 6 0 0 1 −4 0 1 −27 1 0 0 0 41 𝐴 = 1 1 1 6 2 4 4 1 1 2 6 9 2 4 2 7
  • 78. DETERMINANTES 4) Método Pivotal o de Chio El propósito es disminuir el orden de la matriz, manteniendo el primer elemento como un pivote de las determinantes que se formen; la determinante obtenida de esta manera se le multiplicará para uno sobre el pivote elevado al orden de la matriz menos dos. Entonces, sea la matriz A, Y así sucesivamente hasta llegar a una matriz de orden mínimo, mediante la cual se pueda obtener fácilmente la determinante. 𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎31 ⋮ 𝑎22 𝑎23 𝑎32 ⋮ 𝑎33 ⋮ ⋯ 𝑎2𝑛 ⋯ 𝑎3𝑛 ⋮ 𝑎n1 𝑎n2 𝑎n3 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 𝑛El procedimiento es: 𝐴 = 1 𝑎11 𝑛−2 ∗ 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎11 𝑎13 𝑎21 𝑎23 𝑎11 𝑎14 𝑎21 𝑎24 … 𝑎11 𝑎1n 𝑎21 𝑎2𝑛 𝑎11 𝑎12 𝑎31 𝑎32 𝑎11 𝑎13 𝑎31 𝑎33 𝑎11 𝑎14 𝑎31 𝑎34 … 𝑎11 𝑎1n 𝑎31 𝑎3𝑛 ⋮ 𝑎11 𝑎12 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋮ 𝑎11 𝑎13 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛3 ⋮ … ⋮ 𝑎11 𝑎14 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛4 … 𝑎11 𝑎1n 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛𝑛
  • 79. DETERMINANTES Ejercicios para realizar en clases: Ejercicio: Calcular el determinante de la siguiente matriz: 𝐴 = 3 2 1 0 1 0 3 1 0 2 0 2 4 1 3 3 Solución: 𝐴 = 1 34−2 ∗ 3 2 1 3 3 1 1 1 3 0 1 0 3 2 0 0 3 1 0 2 3 0 0 2 3 2 4 1 3 1 4 3 3 0 4 3 = 1 32 7 2 0 0 6 6 −5 5 9 = 1 9 ∗ 1 73−2 ∗ 7 2 0 6 7 0 0 6 7 2 −5 5 3 0 −5 9 𝐴 = 1 63 ∗ 42 42 45 63 = 1 63 ∗ 2646 − 1890 = 12 1) 𝐴 = 1 1 0 1 0 2 1 4 3 1 1 4 0 2 0 2 2) 𝐵 = 1 1 1 6 2 4 4 1 1 2 6 9 2 4 2 7 3) 𝐶 = 1 3 2 0 7 7 2 1 3
  • 80. Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A). En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado. Definición El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por Rag(A). Consecuencias.- El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas. Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si, su determinante es cero. RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
  • 81. • Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4. • Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 3. • Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A)  3. • Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A)  2. En caso contrario rang(A) = 1 En caso contrario rang(A) = 2 • Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(A)  4. En caso contrario rang(A) = 3 Y así hasta que no sea posible continuar • El rango de la matriz nula es 0. • Si la matriz A no es nula rang(A)  1. ALGORITMO PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ
  • 82. • La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0. • Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij. OBTENCIÓN DE LA MATIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES (I) Ejemplo: Dada la matriz (A) =        2 -2 2 2 1 0 3 -2 2 , su adjunta sería: adj (A)=              1 0 –2 2 – 2 0 3 2 2 1 3 –2 – –2 2 –2 2 2 2 3 2 – 2 –2 3 –2 –2 2 1 0 – 2 2 2 0 2 –2 2 1 =        2 –4 –7 0 –2 –2 –2 4 6 • Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado por (-1)i+j
  • 83. La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2  0 OBTENCIÓN DE LA MATIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES (II) Ejemplo: Dada la matriz A =        2 –2 2 2 1 0 3 –2 2 , pretendemos encontrar su inversa: Ya hemos visto que: adj (A) =      2 –4 –7 0 –2 –2 –2 4 6 Entonces: [adj (A)] t =        2 0 –2 –4 –2 4 –7 –2 6 Por lo tanto: A –1 = 1 | A | [adj (A)] t = 1 –2        2 0 –2 –4 –2 4 –7 –2 6 =        –1 0 1 2 1 –2 7/2 1 –3 Si se cumple que | A | ≠ 0 entonces la matriz inversa A-1 es igual a: A –1 = 1 | A | adj(A t ) = 1 | A | [adj(A)] t Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0
  • 84. CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LOS ADJUNTOS I
  • 85. CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LOS ADJUNTOS II
  • 86. • El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos. • El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos. • 2ª fila por (–3) + 1ª fila • 2ª fila por (–2) + 3ª fila • 2ª fila por (–3) + 4ª fila desarrollo por 1ª columna • 1ª fila por 1 + 3ª fila desarrollo por 1ª columna –18 CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EL MÉTODO DE GAUS Ejemplo: 3 5 – 2 6 1 2 – 1 1 2 4 1 5 3 7 5 3 = 0 – 1 1 3 1 2 –1 1 0 0 3 3 0 1 8 0 = –1 . – 1 1 3 0 3 3 1 8 0 =–1 . – 1 1 3 0 3 3 0 9 3 = = (–1) . (–1) 3 3 9 3 =