Este documento presenta información sobre la unidad de álgebra lineal sobre matrices. Se detalla que la semana del 9 al 14 de septiembre se cubrirá el tema de matrices. Se espera que los estudiantes aprendan conceptos como la definición de matriz, adición y multiplicación de matrices, y la relación entre matrices y números reales. El plan de trabajo incluye nociones sobre matrices que serán cubiertas, así como actividades sugeridas y los aprendizajes esperados al final de la unidad.

1. 1
ÁLGEBRA LINEAL ITI-713
SEMANA #1:
Del 9 al 14 de setiembre
MATRICES
DOCENTE A CARGO: KATHERINE RIVAS R.

2. 2
Carrera: Ingeniería en Tecnologías de Información
APRENDIZAJES ESPERADOS:
Los alumnos:
 Reconocen la utilidad de las diferentes clases de números para ordenar, expresar códigos,
aproximar y estimar medidas.
 Incorporan al lenguaje habitual la expresión con distintas clases de números para
comunicar los hechos de forma más completa y precisa.
 Entienden el concepto de matriz como una ordenación de números, su uso y sus
características.
 Operan la adición y multiplicación con las matrices, sus características y propiedades.
 Establecen relación entre las matrices y los números reales mediante la multiplicación de
un escalar por una matriz.
ACTIVIDADES SUGERIDAS:
Realizar revisión de la documentación adjunta de acuerdo a las necesidades presentadas.
Resolver ejercicios para determinar la necesidad de crear nuevos números.
Analizan las operatorias con matrices y aplicar en las diferentes definiciones axiomáticas
de adición y multiplicación de ellas.
Tenacidad en la búsqueda de soluciones a los problemas con diferentes tipos de números.
Confianza en encontrar procedimientos y estrategias para resolver y solucionar problemas.
PLAN DE TRABAJO
Lo que voy a hacer
NOCIONES :
Inicio Término Aprendido Indicaciones
Definición de matriz
Igualdad de matrices.
Definición de matriz traspuesta.
Adición de matrices.
Propiedades de la adición de matrices.
Propiedades de la adición de matrices.
Matriz nula y opuesta de una matriz
Ponderación de una matriz por un real
Multiplicación de matrices.
Propiedades de la multiplicación de matrices
Al término de esta unidad, tú :
1. Entender la utilización de diferentes formas de expresar números.
2. Reconocerás una matriz, su orden y su uso
3. Operarás la adición y la multiplicación de matrices
PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA #1
ALUMNO: _________________________________________

3. 3
M A T R I C E S.
CONCEPTO GENERAL: Es un ordenamiento rectangular de elementos de un
cuerpo K (para nuestro caso K = IR), es decir , en la forma :
A =
a11 a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
j m
j m
i i i ij im
n n n nj nm
nxm
12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3
1 2 3
     
     
          
          
     
    
    
     


























 aij  IK ,  i ,  j , i = 1,2,3,...,n ; j = 1,2,3,....,m.
Cada “ aij “ recibe el nombre de componente de una matriz.
Cada línea horizontal de
componentes es una fila,
cada línea vertical es una
columna.
Los subíndices indican la
posición de cada
componente, el primero
“n” a la fila a que
pertenece y el segundo
“m” a la columna.
Una matriz de “n” filas y
“m” columnas la
llamaremos matriz de
orden “n por m “ y su
notación es “ nxm ”.
Ejemplo : La matríz A =
4 3 4 10
0 7 5 8
5 12 9 0













tiene 3 filas y 4 columnas,
es decir es de orden 3 x 4.
Aquí, podemos identificar algunos elementos: a13 = -4 , a22 = -7 , etc.
Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas se dice que es
una matriz cuadrada de orden según el número de filas y columnas que tenga.

4. 4
TIPOS DE MATRICES .
1. MATRIZ CUADRADA: es aquella que tiene el mismo número de filas que
de columnas, es decir m = n, y se dice que la matriz cuadrada es de orden n
.
La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto formado por
los elementos a11 , a22 , a33 , a44 ,…… an n y la traza de la matriz cuadrada
es el número dado por la suma de los elementos de la diagonal principal ,
es decir :
Traza (A) = a11 + a22 + a33 + a44 +……+ a n n
2. MATRIZ RECTANGULAR: es toda matriz en la que m  n
3. MATRIZ FILA: es una matriz de orden 1 x n:
 11 12 13 1... nA a a a a
4. MATRIZ COLUMNA: es una matriz de orden m x 1:
11
21
31
1m
a
a
A a
a
 
 
 
 
 
 
 
 
5. MATRIZ NULA: es la matriz que tiene todos sus elementos nulos
0 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 
 
 
 
 
6. MATRIZ DIAGONAL: es una matriz cuadrada en la que todos los
elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos
B=
11
22
33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
...........................
............................
0 0 0 nn
a
a
a
a
 
 
 
 
 
 
 
  
 
Ejemplo
B =
5 0 0
0 2 0
0 0 7
 
 
 
 
 

5. 5
7. MATRIZ ESCALAR: es una matriz diagonal en la que todos los elementos
de la diagonal principal son iguales a una constante
B=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
...........................
............................
0 0 0
k
k
k
k
 
 
 
 
 
 
 
  
 
8. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD: es la matriz escalar en la que k = 1
B=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
............................
0 0 0 1 n xn
 
 
 
 
 
 
 
 
= I n
9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: es la matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos que se encuentran por debajo de la diagonal
principal nulos, es decir a ij = 0, para todo i > j .
A =
11 12 13 14
22 23 24
33 34
44
0
0 0
0 0 0
a a a a
a a a
a a
a
 
 
 
 
  
 
10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: es la matriz cuadrada que
tiene todos sus elementos que se encuentran por encima de la diagonal
principal nulos, es decir a ij = 0, para todo j > i.
A =
11
21 22
31 32 33
41 42 43 44
0 0 0
0 0
0
a
a a
a a a
a a a a
 
 
 
 
  
 

6. 6
11. MATRIZ TRASPUESTA: es la matriz que se obtiene de la matriz
A=( aij )mxn intercambiando las filas por columnas se denota At
= (aji )nxm
A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43 4 3x
a a a
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
  
 
 At
=
11 21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43 3 4x
a a a a
a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 Si
1 5
1 3 2
entonces A 3 6
5 6 7
2 7
t
A
 
   
         
12. MATRIZ SIMETRICA: es toda matriz tal que A = At
A =
1 0 1 1 0 1
0 2 4 , 0 2 4
1 4 3 1 4 3
t
A
   
   
   
   
   
13. MATRIZ ANTISIMETRICA: es toda matriz tal que A = - At
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
t t
A A A A
      
           
     
IGUALDAD DE MATRICES.
Dos matrices pertenecientes a Iknxm (del mismo orden) son iguales si tienen los
mismos elementos en las mismas posiciones , es decir :
a b
c d
y
z w





 





 
x a = x b = y
c = z d = w

7. 7
Ejercicios:
Encuentra el valor de las variables en cada caso.



















 






 62
2c3
5b2
32+x
2.
zu
1z2u
x1z
yu
.1
2 1
0 2( 1) 1
2 0 3
0
2
0
1
1 0 1
1
u u y z
u u y
u y
u
u
z u x z
z x
z
   
    
  


  
   
 

8. 8
TRASPUESTA DE UNA MATRIZ:
Sea A =
a a
a a
11 12
21 22





 se llama matriz traspuesta a la que se obtiene
intercambiando las filas por las columnas, es decir a : AT
=
a a
a a
11 21
12 22






Ejemplo : Dado A =
3 1 0
12 10 6







 entonces AT
=
3 12
1 10
0 6












Ejeercicios :
Encuentra la matriz transpuesta de:




















15
4-0
76
=B4.
1205
3-41
5-43
=A.3

9. 9
OPERACIONES CON MATRICES.
Operaciones análogas a las de adición, sustracción y multiplicación de números reales se
pueden definir para las matrices. Puesto que una matriz es una disposición de números
reales, en lugar de un solo número real, algunas propiedades de las operaciones para los
números reales no tienen equivalencia en las operaciones análogas con matrices; ejemplos
específicos se dan en las siguientes secciones. En esta sección se definen e ilustran la
adición y la sustracción de matrices, la multiplicación de una matriz por un escalar, y la
multiplicación de matrices entre sí.
ADICION Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES.
Las matrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. La suma o la
diferencia de dos matrices m x n es otra matriz m x n cuyos elementos son las sumas o
diferencias de los elementos correspondientes de las matrices originales; de modo que si
Dadas las matrices A, B , C  IKnxm , entonces :
A + B = C  cij = aij + bij ,  aij  A ,  bij  B
Ejemplo : En IK2x2
A+ B =
a a
a a
b
b b
b a b
a b a b
11 12
21 22
12
21 22
11 12 12
21 21 22 22












 
 





+
b
=
a11 11

a 
3 2 4
5 6 8
3 0 0











0 3 8
5 6 2
0 0 4











3 5 4
0 0 10
3 0 4











b 
3 10
11 25






6 4
22 21






9 6
33 46







c  4, 6, 12  3, 2, 12  1, 8, 0 

(d)
1
1
2
4
1

















1
1
2
4
1

















0
0
0
0
0

















(e)
2 3
6 4






1 1
1 2






0 0
6 4






3 4
1 2







( f )
1
1
1











3
2
4











6
8
10











0
1
0











2
4
5











(g) 2, 1  3, 4  6, 7  11, 12  0, 0 

(h)
1 4
2 6
3 8











0 5
7 9
11 12











10 13
20 0
1 0











9 14
25 3
9 4











10. 10
PROPIEDADES DE LA ADICION Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES.
Dadas las matrices A, B , C y 0  IKnxm , entonces :
1) COMPOSICION INTERNA : A + B  IKnxm
2) ASOCIATIVA : A + (B + C) = (A + B) + C
3) CONMUTATIVA : A + B = B + A
4) ELEMENTO NEUTRO ADITIVO :
 A  IKnxm ,  ! 0  IKnxm : A + 0 = A = 0 + A
5) ELEMENTO INVERSO :
 A  IKnxm ,  ! (-A)  IKnxm : A + ( - A) = 0 = (-A) + A

11. 11
E J E R C I C I O S.
Dada la matriz : A =

 










5 10 3
7 4 2
10 5 0
encuentra :
1. 3a12 + 5a32 - a33 =__________
2. -2a21 + 6a11 + 7a22 = ________
3. 5a32 + 3a31 =_____________
4. En la UTN sede Guanacaste hay 5 grupos de cálculo 1; en la primera hay 30
chicas y 5 chicos ; en la 2ª , 25 chicas y 12 chicos ; en la 3ª , 20 chicas y 20
chicos ; en la 4ª , 13 chicas y 25 chicos ; y , en la 5ª , 19 chicas y 11 chicos .
Haz una matriz en la que pongas un 1 si el número de chicas excede al de chicos;
un 0 si es al revés; y un 2 si son iguales. Así te podrás hacer una idea de la
proporción de chicos y chicas estudiando en esta universidad.
5. Obtener la matriz que resulta de cada una de las siguientes operaciones:

1.
2 3 6
5 4 5
0 1 9











1 3 4
0 2 5
1 0 1










2.
6 1 0
4 2 1






5 0 2
0 1 3






2 1 3
4 1 1






3.
1
3
4











2
0
2











3
1
2










4.
2 1
1 2






1 0
0 1






2 2
2 2






5. 1, 3, 1, 2  0, 1, 2, 3  6. 1, 2  3, 4  1, 2  6, 5 
6. Encuentra el valor de las variables:
2 3
3 4
5 2
8 1
5 0
1 5







 

 





 







x
w
x y
w z
7. Resuelve las ecuaciones matriciales:
x +
2 5
3 12
6 1
3 0







 





 15.
12 0
6 9
2 5 3 6
4 5 58 





  







X
, ,
, ,

12. 12
MULTILICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR:
Un solo número real (que equivale a una matriz 1 x 1) se denomina escalar en las
operaciones del álgebra matricial. Cuando una matriz se multiplica por un escalar, cada
elemento de la matriz queda multiplicado por ese escalar (que es una constante); por lo
tanto, si
Sea p  IK , aij  IKnxm , entonces p  aij = bij ,  aij  A ,  bij  B
Ejemplos :
p
a a
a a
p a p a
p a p a






 
 
 






11 12
21 22
11 12
21 22
5
6 3
2 10
30 15
10 50





 







a  3
4 3
8 2
1 0











12 9
24 6
3 0










b  5
0
1
0











0
5
0










c  1 6, 2, 3  6, 2, 3  d  a
5 6 2 4
3 1 0 6






5a 6a 2a 4a
3a a 0 6a






e   b
0
2
3
1
5

















0
2b
3b
b
5b
















f  c 0, 0, 0, 0, 16  0, 0, 0, 0, 16c 
PROPIEDADES DE MULTILICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.
p , q  IK , A  IKnxm
1) p(A + B) = pA + pB
2) (p + q)A = pA + q A
3) (pq)A = p(qA)
4) 1  A = A , 1 = neutro multiplicativo en IK.

13. 13
E J E R C I C I O S
Dadas las matrices : A =
3 2
1 0





 ,B =
5 3
4 9





 , calcula en cada caso :
1. 2(A + B) = 2. 3A + 2B = 3. (2A - B)T
=
Determina el valor de las variables, en las expresiones:
4. x







 






4 0
2 1
2 y
w z
MULTIPLICACION DE MATRICES.
Dos matrices se pueden multiplicar entre sí sólo si el número de columnas en una
de ellas es igual al número de filas en la otra. En particular, la matriz producto
AB está definida solamente si el número de columnas en A es el mismo que el
número de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B son compatibles
ante la multiplicación, y la matriz producto tiene el mismo número de filas que A
y el mismo número de columnas que B. Así, una matriz m x n se puede multiplicar
con una matriz n x p para obtener una matriz m x p.
La multiplicación de matrices en IK2x2 , tales como las matrices
A
a a
a a













11 12
21 22
, B =
b b
b b
11 12
21 22
se define así:
A  B =
a a
a a
b b
b b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
11 12
21 22
11 12
21 22
11 11 12 21 11 12 12 22
21 11 22 21 21 12 22 22





 





 
     
     






Para poder multiplicar debemos revisar primero el número de filas x columnas
Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si
Matriz A Matriz B
3 x 5 5 x 2
Debe ser igual entonces
si se puede multiplicar
Si los números centrales son
iguales entonces se puede
multiplicar y el tamaño de la
respuesta son los números de los
extremos 3 x 2
El tamaño de la
respuesta es 3 x 2

14. 14
Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y
cuál es el tamaño de la matriz de la respuesta.
Matriz A Matriz B ¿se puede multiplicar? Tamaño de respuesta
3 x 4 4 x 5
5 x 6 6 x 2
5 x 3 4 x 6
7 x 8 8 x 2
4 x 2 3 x 4
5 x 7 7 x 2
Ejemplo paso por paso:







33
141312
11109
876
543
210
Se opera asi:
     
332490
1229160









3633
141312
11109
876
543
210
     
3626100
13210170









393633
141312
11109
876
543
210
     
3928110
14211180









114
393633
141312
11109
876
543
210
     
114603618
1259463









126114
393633
141312
11109
876
543
210
     
126654021
13510473









138126114
393633
141312
11109
876
543
210
     
138704424
14511483


1) Reviso el tamaño de la matriz
A = 2 x 3 B = 3 x 3
Como son iguales se puede multiplicar.
El tamaño de la matriz de la respuesta es
2 x 3
2) Siempre se toma la primera matriz con la fila
1 (horizontal) con la 1 columna (vertical)
marcada en la matriz.
Respuesta:

141312
11109
876
543
210
138126114
393633

15. 15
Ejemplos:
3 4
2 0
2 5
1 6
3 2 4 1 3 5 4 6
2 2 0 1 2 5 0 6
2 9
4 10





 





 
       
     





 







a 
1 3 1
2 0 0
0 1 6










33
1 0
1 2
1 3










32

3 3
2 0
7 16










32
en donde

11 3 1  1 1 3
2 1 0 1  0 1 2
0 1 1 1  6 1 7
10  3 2  1 3  3
2 0  0 2  0 3  0
0 0  1 2  6 3 16

b  1, 0, 6, 3, 2 15
3 0
4 0
2 3
1 8
0 2















52
 12, 38 12
en donde

1 3  0 4  6 2  3 1 2 0  12
1 0  0 0  6 3  3 8  2 2  38
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION .
1. Propiedad General : La multiplicación entre matrices sólo existe entre
aquellas matrices cuadradas del mismo orden y entre aquellas que tienen el
número de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segunda
matriz, es decir, una matriz perteneciente a IKnxm se puede multiplicar sólo
con una matriz perteneciente Ikmxp , resultando una matriz de orden nxp .
2. La multiplicación de matrices es una ley de composición interna para aquellas
matrices que cumplen la propiedad general.
3. La multiplicación de matrices es asociativa.
4. En Iknxn existe la matriz identidad I :
 A  IKnxn ,  ! I  Iknxn : AI = A = IA
5. La multiplicación de matrices en Iknxn es distributiva sobre la adición :
A(B + C) = AB + AC

16. 16
NOTA: Cuando un vector fila premultiplica a un vector columna, el resultado es
un producto interior, es decir, un escalar cuyo valor es la suma de los productos
de los elementos de los dos vectores. Cuando un vector columna n x 1
premultiplica a un vector fila 1 x n, el resultado es una matriz cuadrada n x n
cuyos elementos son los productos interiores de los vectores dados; por tanto, si
u =

u1, , un  y v =

v1
vn










entonces, como se indicó anteriormente, u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde

w  ui vi
i1
n
 , y vnx1 u1xn = xnxn (una matriz cuadrada), siendo

xi j  viu j .
Verificar que:

a  1, 3, 6 
2
4
1










 2126  4
2
4
1










1, 3, 6 
2 6 12
4 12 24
1 3 6











b  1, 0, 0, 2, 3 
0
1
4
3
2
















 00066  0
0
1
4
3
2
















1, 0, 0, 2, 3 
0 0 0 0 0
1 0 0 2 3
4 0 0 8 12
3 0 0 6 9
2 0 0 4 6

















17. 17
EJERCICIOS .
Dadas las matrices : A =








3 2
4 1
, B =
2 5
0 1





 , C =
2 3 4
5 1 0








1) Determina:
a. A B = b. A2
= c. (A + B)C = d. AC + BC =
2. Encuentra el valor de las variables:
3 1
2 1
1
9











 






x
y