Procesos de consenso en redes dinámicas

Introducción Modelo General Coherencia Comunidades Multivariable Resumen
Procesos de consenso en redes dinámicas
Miguel Rebollo
GSC. Doctorado en Sistemas Complejos
Tutores: R. Benito, J.C. Losada, J. Galeano
Enero 2015
@mrebollo GSC. Doctorado en Sistemas Complejos Tutores: R. Benito, J.C. Losada, J. Galeano

Consenso
¿qué es el consenso?

Consenso
¿para qué sirve?

Algoritmo de consenso (Olfati, 2007)
1.
cada nodo tiene un valor inicial
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x1 = 0.4

2.
pasa su valor a sus vecinos
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x1 = 0.4
x1 = 0.4
x1 = 0.4

3.
recibe los valores de los vecinos
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x2 = 0.2
x4 = 0.9
x3 = 0.3

4.
calcula el nuevo valor con
xi (t+1) = xi (t)+ε
j∈Ni
[xj(t) − xi (t)]
siendo ε < 1
m«ax di
x(t + 1) =
P
(I − εL) x(t)
1 2
3 4
x1 = 0.45 x2 = 0.425
x3 = 0.325 x4 = 0.6
x1 = 0.4

Proceso de consenso
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x = 0.45

Limitaciones
red estática: no se permiten cambios en
valores iniciales
pesos
estructura
parámetros globales: ε
consenso sobre una variable

Conservación de la suma
Concepto clave: la suma de los valores de x permanece constante
durante todo el proceso
i
xi (0) =
i
xi (t) ∀t

Adaptaciones a la dinámica
0 5 10 15
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
time
x
Consensus with changes in initial values
0 5 10 15
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
time
x
Consensus with changes in weights
0 2 4 6 8 10
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
time
x
Consensus process with node deletion
0 2 4 6 8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
time
x
Consensus process

Modelo general
Dos procesos de consenso en paralelo
1 consenso de mínimos para εi
εt+1
i = minj∈Nt
i ∪i εt
j
2 consenso general para xi
xt+1
i = xt
i + f (xt
i ) +
εt
i
wt
i j∈Nt
i
xt
j − xt
i +
xt
i
wt
i j∈Nt
i
εt
i − εt
j
Adaptación con información local exclusivamente

Problema de coherencia
red con pesos negativos
encontrar partición en 2
grupos C+, C−
i, j pertenecen al mismo
grupo si aij > 0
se busca maximizar el
valor de la partición
W =
i,j∈C+ aij − i∈C+,j∈C− aij
|E|
1 2
3 4
-0,5
0,5
-0,50,5
0,5
-1

Coherencia mediante consenso
Laplaciana con signo
¯L = ¯D − A, con ¯dii =
j=i
|aij|
x(t + 1) =
¯P
(I − ε¯L) x(t)
Al aplicar el consenso
la red converge a un único valor |x| (en valor absoluto)
el signo de x determina el grupo al que pertenece
si no es completamente separable, xi → 0

Resultados
0 200 400 600 800 1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
iterations
Evolution of the consensus
0 200 400 600 800 1000
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000

Comunidades en redes con signo
Generalización del problema de coherencia a n comunidades
caso: tribus Nueva
Zelanda
detección por valores
propios
3 grupos claramente
separados
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5

Proceso iterativo
1 se aplica consenso (coherencia)
2 los nodos desactivan los enlaces con los vecinos del otro grupo
3 para cada grupo, se vuelve a aplicar consenso
4 si un grupo no se divide más, para
5 el proceso termina cuando no se producen divisiones
6 cada nodo pertenece al mismo grupo que los vecinos con los
que al ﬁnal mantenga un enlace (positivo)

Resultado
0 20 40 60 80 100 120 140 160
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 50 100 150 200 250 300 350
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Original Network Communities Detected

Trabajo actual
consenso multivariable

Representación: Redes multicapa
x1
1
x2
1
capa 1
capa 2
w2
1
w1
1
Cada variable se representa en
una capa. Hay una copia del
nodo en cada capa
xα
i valor de i en la capa α
wα
i importancia que
asigna i a la capa α
(privado)
α wα
i = 1∀i
Consenso en cada capa +
ascenso por gradiente entre
capas

Función de utilidad local
Función de utilidad: gaussiana
¯x = xi (0) la media es el
valor inicial (máximo)
σ = 1 − wi la desv.
depende del peso
uα
i (xα
i ) = e
− 1
2
xα
i
−xα
i
(0)
1−wα
i
2
Se combinan asumiendo que
son independientes
ui (xi ) =
α
uα
i (xα
i )

Consenso + ascenso por gradiente
Proceso combinado (Yuan&Yin, 2014)
xα
i (t+1) = xα
i +
fi
ε
wα
i j∈Nα
i
(xα
j (t) − xα
i (t)) + ϕ ui (x1
i (t), . . . , xp
i (t))
gi
Al usar la gaussiana como función de utilidad
∂ui (xi )
∂xα
i
= −
xα
i (t)−xα
i (0)
(1−wα
i )2 ui (xi )
converge si ϕ ≤ mini
1
Lui
Lui (derivada máxima) en xα
i ± (1 − wα
i )
xα
i (t + 1) =
xα
i + ε
wα
i
j∈Nα
i
(xα
j (t) − xα
i (t)) − 1
m«axi || ui (xi )||2
·
xα
i (t)−xα
i (0)
(1−wα
i )2 ui (xi )

Máximos locales
¿Qué ocurre si hay máximos
locales?
hay nodos que el en
máximo absoluto tienen
utilidad 0
rompen los enlaces que
les llevan a zonas de
baja utilidad
crean enlaces con
nodos cercanos →
utilidad semejante
los nodos se reagrupan en
máximos locales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3

Trabajo realizado
modelo de consenso general
extensión a redes con signo
problemas de coherencia
detección de comunidades
otras extensiones
redes móviles
consenso solidario
disenso
efecto de la memoria (resistencia)
combinación con otras técnicas de difusión (gossip)
combinación con gradiente

Trabajo futuro
generalización del modelo completo
modelo asíncrono
cheating: detección de nodos que no siguen el algoritmo
estudio teórico de las propiedades
estudio en el límite de los parámetros ε y ϕ

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