1) Los métodos de integración son técnicas que permiten calcular una antiderivada o integral indefinida de una función mediante el Teorema Fundamental del Cálculo. 2) Los principales métodos son la integración directa, el uso de funciones analíticas y sustituciones trigonométricas. 3) Estos métodos reducen la integral a una ya conocida o más sencilla.

1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas
para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado)
permite encontrar una función F(x) tal que
,
lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal
que f(x) es su derivada:
.
Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas,
fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la
primitiva puede resolverse con problemas elementales llamados métodos de
integración como los tratados a continuación.
Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma
directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por
disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el
resultado de la antiderivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y
sus antiderivadas o funciones primitivas.
Ejemplo
Calcular la integral indefinida
.
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es .
Por tanto:

2. Funciones analíticas
El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite
como primitivas potencias de series formales ya que:
TRIGONOMETRICAS:
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo
en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:
con y
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones
trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
a.
El integrando contiene una función de la forma con
Se hace el cambio de variable escribiendo
donde
Si entonces
Además:
pues y como
entonces por lo que

3. Luego:
Como entonces
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura
siguiente:
Ejemplos:
1.
Sea con
Luego:
Sustituyendo:

4. Como entonces y
Además por lo que
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:
Por último:
2.

5. Sea
Luego
Sustituyendo
Como entonces por lo que puede utilizarse la siguiente figura para
dar el resultado final:
Luego:

6. 3.
Sea
Además:
Sustituyendo:
4.
Sea

7. Luego
Sustituyendo
pues y
Introducción.
En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las
principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas
de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se
presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos
permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.
estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la
integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bien
reducirla a una integral más sencilla.

8. BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n
http://www.monografias.com/
En física, la fuerza es una magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento
lineal entre dos partículas o sistemas de partículas (en lenguaje de la física de partículas se
habla de interacción). Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz de modificar la
cantidad de movimiento o la forma de los materiales. No debe confundirse con los conceptos
de esfuerzo o de energía.
FUERZA GRAVITACIONAL: Es la fuerza atracción ejercida entre dos cuerpos de grandes
dimensiones.
Representa una de las cuatro fuerzas fundamentales del universo.
La Tierra atrae gravitacionalmente a los cuerpos masivos con una fuerza proporcional a su
masa (como descubrió Newton), así que la manera más común de determinar la masa de un
cuerpo consiste en medir esa fuerza gravitacional
Es la más pequeña de las cuatro Fuerzas Fundamentales. La interacción gravitatoria entre dos
cuerpos es la dominante a grandes escalas gracias a
que es una fuerza siempre atractiva. Esta acción "Atractiva" de la gravedad se supone
causada por unas partículas llamadas Gravitrones.
Con respecto a la Pretensión de Unificar las distintas fuerzas como manifestaciones de una
sola fuerza, la interacción gravitatoria se escapa por completo de ser unificada con las demás
en una teoría abordable
humanamente (por el momento). Ello quizá sea debido a su naturaleza aparente, radicalmente
distinta de las otras tres.
Fuerza eléctrica:
Entre dos o más cargas aparece una fuerza denominada fuerza eléctrica cuyo módulo depende del
valor de las cargas y de la distancia que las separa, mientras que su signo depende del signo de cada

9. carga. Las cargas del mismo signo se repelen entre sí, mientras que las de distinto signo se atraen.
Una fuerza nuclear es aquella fuerza que tiene origen exclusivamente en el interior de los
núcleos atómicos. Existen dos fuerzas nucleares, la fuerza fuerte que actúa sobre los
nucleones y la fuerza débil que actúa en el interior de los mismos.
Representación: la fuerza es una cantidad vectorial; es decir tiene magnitud, dirección
y sentido. Por ser un vector Gráficamente, se representa por un segmento de recta con una
punta de flecha en uno de sus extremos, donde el tamaño de esta es la magnitud, la punta de la
flecha indica el sentido y el ángulo la dirección.
Vectorialmente se denota con la letra (F) con una flecha sobre la misma o con la letra sola en negrita.
Su magnitud letra sola o el vector entre barras verticales.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Un diagrama de cuerpo libre muestra a un cuerpo aislado con todas las fuerzas (en forma de
vectores) que actúan sobre él (incluídas, si las hay, el peso, la normal, el rozamiento, la
tensión, etc). No aparecen los pares de reacción, ya que los mismos están aplicados siempre
en el otro cuerpo.
Ejemplos
1) Cuerpo sobre el piso con una fuerza ejercida sobre el mismo, además del peso y su normal.
2) Cuerpo sobre un plano inclinado con el peso, la fuerza normal y la fuerza de rozamiento
hacia arriba
MOMENTO DE UNA FUERZA: En mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza
(respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del
vector de posición del punto de aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el
momento) por el vector fuerza, en ese orden. También se denomina momento dinámico o

10. sencillamente momento.
2)
Se denomina momento de una fuerza, o torque, a aquella magnitud vectorial que es una medida de la
capacidad de rotación que dicha fuerza es capaz de producir a un cuerpo, cuando este puede rotar
alrededor de un punto que se considera fijo.
Por ejemplo consideremos el caso de que una persona intenta aflojar una tuerca de una llanta de un
camión.
En un primer caso la fuerza se aplica a 0,2 m de la tuerca y en un segundo caso se aplica a 0,3 m.
¿En cuál de los dos casos la persona, aplicando la misma fuerza, producirá mayor efecto de rotación?
Es obvio que en el segundo caso. Esto se explica por la mayor distancia que existe entre la fuerza
aplicada y el eje de rotación.
EQUILIBRIO:
EQUILIBRIO
La estática estudia los cuerpos que están en equilibrio, que es el estado de un cuerpo no sometido a
aceleración; un cuerpo, que está en reposo, o estático, se halla por lo tanto en equilibrio.
Para que un objeto este en equilibrio es necesario que todas las fuerzas que actúan sobre él se
compese exactamente. Cuando, empleado este criterio, se establece que un objeto este en equilibrio,
se puede deducir la estabilidad de dicho equilibro.

11. LEYES DE NEWTON: La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo
sólo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que:
Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no
ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.
Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en
reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de
fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él. Newton toma en cuenta, así, el que los cuerpos en
movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma
progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o
la detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca
entendiendo como esta a la fricción.
En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna
fuerza externa neta o, dicho de otra forma; un objeto en movimiento no se detiene de forma natural
si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su
velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza
neta.
La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos
como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se
observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.
En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay algún
tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de
referencia en el que el problema que estemos estudiando se pueda tratar como si estuviésemos en
un sistema inercial. En muchos casos, por ejemplo, suponer a un observador fijo en la Tierra es una
buena aproximación de sistema inercial. Lo anterior porque a pesar que la Tierra cuenta con una
aceleración traslacional y rotacional estas son del orden de 0.01 m/s^2 y en consecuencia podemos
considerar que un sistema de referencia de un observador dentro de la superficie terrestre es un
sistema de referencia inercial.

12. TERCERA LEY DE NEWTON:Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria:
quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido
opuesto.
La tercera ley de Newton es completamente original (pues las dos primeras ya habían sido
propuestas de otras maneras por Galileo, Hooke y Huygens) y hace de las leyes de la mecánica un
conjunto lógico y completo.9 Expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo (empuje), este
realiza una fuerza de igual intensidad, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo.
Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de
igual magnitud y de dirección, pero con sentido opuesto.
Este principio presupone que la interacción entre dos partículas se propaga instantáneamente en el
espacio (lo cual requeriría velocidad infinita), y en su formulación original no es válido para fuerzas
electromagnéticas puesto que estas no se propagan por el espacio de modo instantáneo sino que lo
hacen a velocidad finita "c".
Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están
aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Por
lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley. Junto con las anteriores
leyes, ésta permite enunciar los principios de conservación del momento lineal y del momento
angular.
La tercera ley, también conocida como Principio de acción y reacción nos dice esencialmente que si
un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de
senti
do
contr
ario.
3.2
Equili
brio
(de
una partícula)
En física, consideramos una partícula a la
abstracción que hacemos de un cuerpo de la
realidad para considerarla como un punto. Tal
punto puede ser la concentración imaginaria del

13. cuerpo en su centro de gravedad.
Para que el cuerpo (partícula) esté en equilibrio
mecánico, la fuerza neta (total) que actúa sobre
éste debe ser cero.
En física, consideramos un cuerpo rígido a aquel
cuyas partículas tienen posiciones relativas fijas
entre sí cuando se someten a una fuerza. Es decir,
no se deforma. Con ello, se elimina la posibilidad de
que el objeto tenga deformación.
Los cuerpos rígidos pueden trasladarse y también
rotar.
Por ello, adicionalmente a la primera
condición, introducimos una segunda condición de
equilibrio mecánico: el torque o momento de la
fuerza (osea, su efecto de giro) neto debe ser cero
∑Fx = 0
∑Fy = 0
∑Fy = 0
Cuando se aplica una fuerza en algún
punto de un cuerpo rígido, el cuerpo
tiende a realizar un movimiento de
rotación en torno a algún eje. La
propiedad de la fuerza para hacer girar al
cuerpo se mide con una magnitud física
que llamamos torque o momento de la
fuerza.
El rozamiento seco es el producido entre dos superficies, no lubricadas, en contacto. El típico

14. ejemplo es un bloque apoyado sobre un plano horizontal o inclinado.
Este rozamiento se produce debido a que los átomos de uno y otro sólido forman pequeños enlaces
temporales, que es necesario romper para conseguir el desplazamiento relativo. Estos enlaces se
forman debido a las irregularidades del material, a la presión con la que se forma el contacto y al
área de la superficie de contacto.
La fuerza de rozamiento seco tiende dos modalidades:
 Rozamiento estático: se produce cuando las dos superficies están en reposo relativo
 Rozamiento dinámico: se da cuando una de las superficies desliza sobre la otra.
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