Unidad I de Estructuras Discretas "Calculo Proporcional" Por Oswaldo R. Perez M.

2. Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Facultad de Ingeniería en Computación
Autor: Oswaldo Pérez
Cedula: 17305581
Tutor: Domingo Méndez
Sección: SAIA “A”
Cabudare; Junio del 2013

3. Ejemplo:
El Número 3 es Menor que 9
El Número 17 es Par
Es el significado de una oración que cumple una función
informativa o referencial y que además, tiene valor veritativo, es decir
ser verdadera o falsa.

4. Es aquella que contiene una sola afirmación y no contiene
conectivos lógicos. Estas se simboliza con las letras p, q, r, s, t.
a esté tipo de proposiciones las llamaremos atómicas o simples)
Ejemplo:
Caracas es la Capital de Venezuela
15 es un número primo
El Oxigeno es un gas

5. Son aquella que están formadas por dos o más proposiciones
simples o es la negación de una proposición simple, en estas también
aparecen los conectores lógicos.
De acuerdo a conectores estas proposiciones se dividen en:
Negación
Conjunción
Disyunción Exclusiva
Condicional
Bicondicional.

6. Es un operador que se utiliza, sobre un único valor de
verdad, devolviendo el valor contrario de la proporción. Para la
Negación se utiliza en conector “NO” dentro de la Proposición.
Operación Conectivo Simbólicamente Se lee
Negación ~ ~p - No es cierto que p
- Es falso que p
Valor Lógico Ejemplo
VL(p) = 1 – VL (~p)
VL(p) = 1 VL (~p) = 0
VL(p) = 0 VL (~p) = 1
p: “Todo número elevado al cuadrado es positivo”
~p: “No todo número elevado al cuadrado es positivo”

7. NOTA: También son Conectivos de la
Conjunción las palabras: “pero”, “sin embargo”,
“anqué”, “además”, “no obstante”, entre otros
Es un operador compuesto en dos proposiciones típicamente
sus valores son verdad. Se relacionan con el conectivo “y”, cuyo
símbolo es “^” el cual se llama conjuntor.
Operación Conectivo Simbólicamente Se lee
Conjunción ^ p^q y p U q p y q
Valor Lógico Ejemplo
VL(p^q) = mínimo Valor[VL(p).VL(q)]
VL(p) = 1 VL (q) = 1 VL(p^q) = 1
VL(p) = 1 VL (q) = 0 VL(p^q) = 0
VL(p) = 0 VL (q) = 1 VL(p^q) = 0
VL(p) = 0 VL (q) = 0 VL(p^q) = 0
p: Las Computadoras son veloces
q: Ayudan en los cálculos
p^q: Las computadoras son Veloces y Ayudan con los
Cálculos.
VL(p) = 1 VL (q) = 1 VL(p^q) = 1

8. NOTA: Es el Conectivos “o” cuyo símbolo es “V”
Es un operador que se utiliza sobre dos valores de verdad.
Todas las proposiciones son Verdaderas excepto en el caso de que
ambas proposiciones sean falsas. En ese caso seria Falsas (0)
Operación Conectivo Simbólicamente Se lee
Disyunción Excesiva V p V q p o q
Valor Lógico Ejemplo
VL(pVq) = mínimo Valor[VL(p).VL(q)]
VL(p) = 1 VL (q) = 1 VL(pVq) = 1
VL(p) = 1 VL (q) = 0 VL(pVq) = 1
VL(p) = 0 VL (q) = 1 VL(pVq) = 1
VL(p) = 0 VL (q) = 0 VL(pVq) = 0
p: El numero 10 es par
q: 15 es un numero primo.
pVq: El numero 10 es par o 15 es un numero primo
VL(p) = 1 VL (q) = 0 VL(pVq) = 1

9. NOTA: Es el Conectivos “o” y su símbolo es “v ”
Es un operador sobre dos valores de verdad, típicamente los
valores de la verdad de dos proposiciones, devolviendo valor verdadero
cuando las proposiciones son distintas y falsas cuando las
proposiciones son iguales
Operación Conectivo Simbólicamente Se lee
Disyunción Excesiva v p v q o p o q
Valor Lógico Ejemplo
VL(pvq) = mínimo Valor[VL(p).VL(q)]
VL(p) = 1 VL (q) = 1 VL(pvq) = 0
VL(p) = 0 VL (q) = 1 VL(pvq) = 1
VL(p) = 1 VL (q) = 0 VL(pvq) = 1
VL(p) = 0 VL (q) = 0 VL(pvq) = 0
p: Oswaldo esta en Barquisimeto
q: Oswaldo esta en Cabudare.
pvq: Oswaldo esta en Barquisimeto o esta en Cabudare
VL(p) = 1 VL (q) = 1 VL(pvq) = 0

10. NOTA: La palabra conectiva es “entonces” y su
símbolo es “”
Es un operador sobre dos valores de verdad, típicamente los
valores de la verdad de dos proposiciones, devolviendo valor falso
únicamente cuando las proposiciones son verdaderas + falso el resto de
las proposiciones son verdaderas.
Operación Conectivo Simbólicamente Se lee
Condicional  p  q p indica q o
Si p entonces es q
Valor Lógico Ejemplo
VL(p) = 1 VL (q) = 1 VL(p  q) = 1
VL(p) = 1 VL (q) = 0 VL(p  q) = 0
VL(p) = 0 VL (q) = 1 VL(p  q) = 1
VL(p) = 0 VL (q) = 0 VL(p  q) = 1
p: 12 es un número Par.
q: 12 es un número divisible entre 2.
P  q: 12 es un número par entonces es divisible entre 2,
VL(p) = 1 VL (q) = 1 VL(p  q) = 1

11. NOTA: La palabra conectiva es “si y solo si” y
su símbolo es “”
Es un operador sobre dos valores de verdad, típicamente los
valores de la verdad de dos proposiciones, devolviendo valor verdadero
cuando las proposiciones son iguales y falsas cuando las proposiciones
son distintas.
Operación Conectivo Simbólicamente Se lee
Bicondicional  p  q p si solo
si p o q es equivalente a q
Valor Lógico Ejemplo
VL(p  q) = SI VL(p) = VL(q)
VL(p) = 1 VL (q) = 1 VL(p  q) = 1
VL(p) = 1 VL (q) = 0 VL(p  q) = 0
VL(p) = 0 VL (q) = 1 VL(p  q) = 0
VL(p) = 0 VL (q) = 0 VL(p  q) = 1
p: 20 + 7 = 27
q: 5 + 5 = 10
P  q: 20 + 7 = 27 si y solo si 5 + 5 = 10
VL(p) = 1 VL (q) = 1 VL(p  q) = 1

12. Permiten determinar el valor de verdad de una proposición
compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores
que contengan. Para elaborar las tablas de la verdad va a depender el
numero de posiciones dadas
• Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones
• Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones
• Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones
• Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones
Ejemplo:
Para construir la tabla de verdad para
realizamos el calculo 22 resultando 4 Combinaciones

13. Son las estructuras construidas por variables proporcionables y
los operadores lógicos que las relacionan.
Ejemplo:
Voy al parque
Compro Helado
Si voy al parque entonces compro helado y si
compro helado, voy al parque.

14. Son todas aquellas proposiciones que siempre da como
resultado verdadero
Ejemplo:
Voy al parque
Compro Helado
Si voy al parque entonces compro helado solo si al
parque.

15. Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir
cuando los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad son
todos 0)
Ejemplo:
Voy al parque
Compro Helado
no voy al parque y compro helado y voy al parque.

16. Estas demuestran los valores de la verdad de una posición con
más rapidez lógica, y sin la necesidad de usar el método de la tabla de
la verdad para conocer los valores de esta.
Propiedad Unión Intercepción
Idempotencia p V q = p p^q = p
Conmutativa p V q = q V p p^q = q^p
Asociativa (p V q ) V r = p V (q V r) (p^q) ^r = p^ (q^r)
Distributiva p V( q^r) = (p V q) ^(p V r) p^(q V r) = (p^q) V (p^r)
Identidad p V f = p
p V v = v
p ^ f = f
p ^ v = p
Complementación p V ~p = v p ^ ~p = f
Ley de Morgan ~(p V q) = ~p^~q ~(p^q) = ~p V ~q

17. Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica
Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe.
si el condicional es una tautología
Sean A y B dos formas proposicionales. Diremos que A es
Lógicamente Equivalente a B, o simplemente que A es equivalente a
B, y escribimos
o v ,
Si y sólo si la forma bicondicional v es una tautología

18. Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una
proposición, llamada conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas
llamadas premisas.
Ejemplo: tenemos el siguiente razonamiento:
1. Si hoy es domingo, entonces mañana habrá examen.
2. Si hoy es sábado, entonces mañana no hay examen.
3. Hoy es domingo.
4. Luego, mañana habrá examen.
Donde
Premisa 1:
Premisa 2:
Premisa 3:
Conclusión:
Donde:
hoy es domingo
hoy es sábado
mañana habrá examen

19. Desde el punto de vista de la lógica, una demostración de un
teorema es un argumento lógico que establece la verdad del teorema.
Consiste en una sucesión de afirmaciones por ejemplo (A1);
(A2); (A1); (Ax); (Ax); (Ax); (Ax); (An); tales que cada afirmación
tiene una o mas razones que justifiquen su validez, las mismas pueden
ser hipótesis, definiciones, afirmación anteriores en la misma
demostración o proposición matemática, ya demostradas y además la
ultima afirmación, (An), es la tesis que se desea demostrar.

20. La forma natura de demostración de un teorema o proposición, que
sea una proposición condicional es la demostración directa.
analizando la tabla de Verdad vemos si se desea demostrar el
teorema o proposición es suficiente demostrar que es verdadera
siempre que lo sea (pues es Verdadera cuando es falsa).
V V V
V F F
F V V
F F V

21. Dentro de este método veremos dos formas de demostración:
Método del Contrarecíproco: Se usa para demostrar, al igual que la
demostración directa, teoremas y proposiciones que tienen la forma
condicional : Esta forma de demostración se basa en el hecho de que
es lógicamente equivalente a
Método por reducción al Absurdo: consiste en suponer lo contrario de
lo que se busca demostrar, de forma que esto queda demostrado si a partir de
dicha suposición se llega a una contradicción, a un resultado imposible. Lo
demuestra la siguiente proposición

22. Surge a partir de una evaluación mental entre distintas
expresiones que, al ser relacionadas como abstracciones, permiten
trazar una implicación lógica.
El condicional o implicación es aquella operación que establece entre
dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla „ponendo ponens‟
significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el
antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se
afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).

23. Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una
disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales,
podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos
miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si
planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección
igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.
Tollendo Tollens, significa “negando, niego”, y se refiere a una
propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer
lugar.

24. Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección
(disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado.
Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el
consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación
cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de
la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era
consecuencia del primero.

25. Es un conjunto de símbolos y operaciones que satisfacen
la regla de la lógica, simulando el comportamiento de los
circuitos eléctricos.
Conexión en serie, se representa como
Conexión en paralelo se representa como

26. Construcción de un circuito mediante una proposición