apunte

1. Lógica proposicional
Francois Moraga
Semana 7
2019

2. Lógica proposicional
En esta parte del curso trabajaremos con el lenguaje matemático: la lógica proposicional y los cuantica-
dores.
1.1.- Lógica
1.1.1.- Proposiciones
EN MATEMÁTICAS, se consideran frases que son verdaderas, o bien falsas, como las siguientes:
2 + 3 = 4
Hoy es lunes
Si x = 2 entonces x2 = 4
Estas frases son denominadas propisiciones. No son proposiciones frases como:
Ojalá no llueva hoy!
x 0 y x 1
Tampoco es una proposición, cuando x es una variables
sin valor asignado,porque puede ser verdadera
o
falsa, dependiendo del valor de x. Estas
frases las llamamos predicados
.
Nos referimos al carácter verdadero o falso de una proposición con la palabra valor de verdad de
la proposición: el valor de verdad de una proposición verdadera es verdadera, y el valor de verdad de una
proposición falsa es falsa.
Ejemplo. Considerése:
Existe una innidad de números primos p tal que p + 2 es primo
No sabemos si esta frase es verdadera o falsa (es un problema sin resolver en matemáticas). Sin embargo,
esta frase es bien una proposición. Simplemente,ignoramos su valor de verdad.
Ejemplo. Determine, para cada una de las frases siguientes,si son proposiciones o no. Determinar, cuando se
pueda, su valor de verdad (cierto o falso)
.
1. Napoleón ganó la batallade Austerlitz
2. 2 + 2 = 5
3. cierra la puerta
4. x ≥ 2
1

3. 1.1.2.- Componiendo proposiciones: y, o, no, implicancia, equivalente
Considérese la proposición siguiente:
Hoy es lunes y llueve
Esta proposición esta compuesta de dos proposiciones más pequeñas (la primera es Hoy es lunes, la segunda
es llueve) por medio de un conector lógico (y). Aquí están otros ejemplos de proposiciones compuestas:
Si llueve, no salgo
5 ≥ 3 y 5 ≤ 6
Las proposiciones que no son compuestas, las llamamos proposiciones simples, como:
5 ≥ 3
Hay muchos conectores lógicos, pero cinco de ellos son fundamentales. Están presentados en el siguiente
cuadro:
Conector Proposición compuesta Formas equivalentes Símbolos
y p y q Conjunción de p y de q. p ∧ q
o p o q Disyunción de p y de q p ∨ q
no no p Negación de p ∼ p
implica p implica q Si p entonces q p =⇒ q
si y solo si p si y solo si q p ssi q p ⇐⇒
!Ojo½ El sentido en matemáticas de estas palabras puede diferir del que se les da en el leguaje ordinario o
en losofía.
A continuación analizaremos con mayor profundidad estos cinco conectores lógicos.
El conector o
A partir de dos proposiciones p, q se forman una nueva proposición: p o q. Su valor de verdad es determi-
nado a partir de los valores de p y de q. Su valor de verdad es determinado a partir de los valores de p y de q
de la manera siguiente: p o q es verdadera si por lo menos una de las dos proposiciones p, q es verdadera,
y es falsa cuando ambas son falsas.
Se puede resumir esta denición utilizando una tabla de verdad:
p q p o q
V V V
V F V
F V V
F F F
2

4. Explicación: hay cuatro posibilidades para los valores de verdad de p y de q, que corresponden a las cuatro
las de la tabla. La segunda la, por ejemplo, indica que si p es verdadera (V ) y q es falsa, entonces p o q
es verdadera (V ).
OBSERVACIÓN: Este o matemático no es el o exclusivo utilizando a menudo en el lenguaje, ordinario,
como en:
En este menú, puede pedir un café o un postre
INTERPRETACIÓN EN LENGUAJE ORDI-
NARIO:
Puedo pedir o bien el café, o bien el postre, pero
no ambos.
INTERPRETACIÓN EN LENGUAJE MA
TE-
MÁ
TICO:
Puedopedir el café,puedo pedir el postre,y pue-do
también pedir ambos .
Este o exclusivo (que corresponde más explicitamente a o bien... o bien...) también es un conector lógico
(aunque no hace parte de los cinco fundamentales presentados aquí). Tiene una tabla de diferente de la del
o:
p q p o (exclusivo) q
V V F
V F V
F V V
F F F
El conector y
Dadas dos proposiciones p y q (por ejemplo, p es hoy es lunes y q es llueve), denimos una nueva pro-
posición p y q. Le atribuimos un valor de verdad así: p y q es verdadera si ambas proposiciones son
verdaderas, y es falsa sino. O sea, es el y del lenguaje ordinario.
La tabla de verdad de y es:
p q p y q
V V V
V F F
F V F
F F F
El conector no
A partir de una proposición p formamos una nueva proposición: no p. La proposición no p es verdadera
cuando p es falsa, y falsa cuando p es verdadera.
La tabla de verdad de la negación es:
3

5. p no p
V F
F V
El conector de equivalente
A partir de dos proposiciones p, q formamos una nueva proposición: p es equivalente a q. Se puede emplear
con el mismo sentido: p si y solo si q (abreviación: p ssi q). La proposición p es equivalente a q es
verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa si no.
La tabla de verdad de la equivalencia es:
p q p es equivalente q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo. Cuando resolvemos sistemas de ecuaciones solemos razonar por equivalencia. El sistema es una
proposición, que cambiamos por etapas, cada etapa es equivalente a la anterior, hasta llegar a una descripción
explcita de las soluciones. Consideremos que queremos resolver:
x + 2y = 0
3x + 4y = 1
Lo que sigue es una resolución, con las relaciones lógicas explcitas:
Sea (x, y) ∈ R2. Entonces:
x + 2y = 0
3x + 4y = 1
Es equivalente a:
x + 2y = 0
−2y = 1
Esta proposición es equivalente a:
x + 2y = 0
y = −1/2
Es equivalente a:
x − 1 = 0
y = −1/2
Es equivalente a:
x = 1
y = −1/2
En resumen, tenemos que el sistema es equivalente a x = 1 y y = −1/2. Por lo tanto, el sistema tiene
solución única.
4

6. El conector de implicación
A partir de dos proposiciones p y q formamos la nueva proposición p implica q. Se puede emplear con el
mismo sentido: si p entonces q.
Este conector es el más complicado de los cinco. En efecto, la implicancia matemática tiene un sentido
bien diferente de la implicación del lenguaje ordinario. El valor de verdad de la proposición p implica q se
dene así: la implicancia es falsa solamente cuando la hipótesis p es cierta mientras que la conclusión q es
verdadera. En todos los otros casos, la implicancia es verdadera. En particular:
Si la hipótesis p es falsa, entonces la implicancia es verdadera, independiente del valor de verdad de q.
Si la hipótesis q es verdadera, entonces la implicancia es verdadera, independiente del valor de verdad
de p.
La tabla de verdad de la implicancia es:
p q p implica q
V V V
V F F
F V V
F F V
Observación: En primer lugar, la implicación del lenguaje ordinario sobreentiende una relación de causa-
lidad entre sus dos partes: si p entonces q es incorrecto cuando p no es la causa de q. En matemática no
es necesaria la existencia de una relación de causalidad. La implicancia matemática expresa solamente una
coincidencia de los valores de verdad.
Ejemplo. Analicemos la proposición:
Si hay vida extraterrestre entonces 1 + 1 = 2
Interpretación en lenguaje ordinario: la implicación no es correcta, ya que la existencia de vida extra-
terrestre no es causa de que 1 + 1 = 2.
Interpretación en Lógica Matemática: La implicación es cierta, ya que la conclusión es cierta. No es
necesario comprobar el valor de verdad de la hipótesis.
Segundo, se utiliza a menudo, en lenguaje ordinario, a si... entonces, como una equivalencia lógica.
Ejemplo. En algunas deniciones de los libros de matemáticas, como por ejemplo:
Si n es distinto de 1 y no tiene otro divisor que 1 y el mismo, decimos que n es un número primo
Hay que entender que n es primo si y sólo si n es distinto de 1 y no tiene otro divisor que 1 y él mismo. En
cambio, siempre se evita tales ambiguedades en los teoremas y demostraciones.
5

7. 1.1.3 Equivalencias lógicas de proposiciones
Consideremos la expresión:
p ∨ (∼ p ∧ q)
donde p y q son proposiciones sin determinar ¿Cuáles son sus posibles valores de verdad en función de los de p y
de q? Podemos contestar por un estudio exhaustivo de los casos, resumido en una tabla de verdad:
p q ∼ p ∼ p ∧ q p ∨ (∼ p ∧ q)
V V F F V
V F F F V
V V V V V
F F V F F
Y vemos que el valor de verdad de la expresión siempre coincide con el de p o q, independietemente de los
valores de verdad de p y de q. Decimos que las expresiones (p) o ((no p)) y q) y p o q son lógicamente
equivalentes.
Denición 1: Dos expresiones construidas a partir de variables p, q, . . . (es decir letras que representan
proposiciones sin determinar), conectores lógicos y paréntesis son lógicamente equivalentes cuando toman los
mismos valores de verdad,para todos los valores de verdad posibles de p y de q.
A continuación presentamos una tabla con equivalenciaslógicas:
Ley de la doble negación:
∼∼ p ≡ p
; ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
Leyes de Morgan:
∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
Conmutatividad de ∨ y ∧:
p ∨ q ≡ q ∨ p ; p ∧ q ≡ q ∧ p
Asociatividad de ∨ y ∧:
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ; (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
Distributividad de cada una de las operaciones con respecto a la otra:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ; p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Ley de idempotencia:
p ∨ p ≡ p ; p ∧ p ≡ p
Ley de identidad:
p ∨ F ≡ p ; p ∧ V ≡ p ; p ∨ V ≡ V ; p ∧ F ≡ F
6

8. Ley de complementación:
p∨ ∼ p ≡ V ; p∧ ∼ p ≡ F
Ley de absorción:
p ∨ (p ∧ q) ≡ p ; p ∧ (p ∨ q)
1.1.4.- Cálculo de proposiciones
La expresión
∼ (∼ ((p ∨ q) ∧ r)) ∧ (−q))
puede simplicarse en la expresión mucho más sencilla q∨r. Se puede demostrar como anteriormente utilizan-
do tablas de verdad. Otra manera de hacer esta simplicación consiste en aplicar las reglas de simplicación
antes mencionadas.
Ejemplo. Veamos como simplicar la expresión
∼ (∼ ((p ∨ q) ∧ r)) ∧ (−q))
utilizando estas reglas:
∼ (∼ ((p ∨ q) ∧ r)) ∧ (−q)) Justicación
∼ (∼ ((p ∨ q) ∧ r)) ∧ ∼ (∼ q) Ley de De Morgan
((p ∨ q) ∧ r) ∧ ∼ (∼ q) Ley de la doble negación
((p ∨ q) ∧ r) ∧ q Ley de De Morgan
(p ∨ q) ∧ (r ∧ q) Asociatividad de ∧
(p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Conmutatividad de ∧
((p ∨ q) ∧ q) ∧ r Asociatividad de ∧
q ∧ r Ley de absorción de ∧
7

9. Bibliografía
Matemáticas para administración y economía. Haeussler y Paul. Editorial Prentice Hall. 2003
Algebra y trigonometría. Sullivan. Editorial Pearson. Educación.2006..
8