trabajo

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE - RECTORADO ACADÉMICO
DECANATO DE INGENIERÍA
Proposiciones
Alumno:
Yolbert Peralta C.I. 20.321.615
Prof: Alba Espinoza

2. Una proposicion es un enunciado cuyo contenido esta sujeto a
ser clasificado como “Verdadero” o “Falso”, pero no ambas
cosas a las vez.
Notacion: Las proposiciones se notaran con letras minusculas:
p, q, r, s, t, ya que las letras mayusculas las usaremos para
denotar los conjuntos.
Llamaremos valor logico de una proposicion, el cual
denotaremos por VL, al valor 1 si la proposicion es verdadera; y
0 si es falsa.

3. Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o
conectivos que nos permiten construir otras proposiones; o
simplemente unir dos o más proposiciones, a partir de
proposiciones dadas.
Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos
que es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario,
diremos que es una proposición molecular o compuesta.
Estas operaciones son llamadas operaciones veritativas. Aqui g
y t representan dos proposiciones cualquiera.

4. CONECTIVO OPERACION SIMBOLICAMENTE SE LEE
~ Negacion ~ g
No g o no es
cierto g
^
Conjuncion o
producto logico
g ^ t g y t
v
Disyuncion o
suma logica
(inclusiva)
g v t g o t
→
Condicional o
implicacion
g → t
g implica t o si
g entonces
↔
Bicondicional o
doble implicacion
g ↔ t
g si solo si t o
g es
equivalente a t
v
Disyuncion
Exclusiva
g v t O g o t

5. Tabla de verdad de los conectivos logicos:
p ~p p q
1 0 V F
0 1 F V
Este mismo resultado lo podemos expresar en forma analitica
mediante la siguiente igualdad:
VL(p) = 1 - VL(~p)

6. Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la
proposición p ^ q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está
dado con la tabla o igualdad siguiente:
p q p ^ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
VL(p ^ q) = minimo valor (VL(p), VL(q)) en otras palabras el
menor valor de los números dados.

7. Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la
proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está
dado por la tabla siguiente:
p q p v q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
VL(p v q) = maximo valor (VL(p), VL(q))

8. Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q
es la proposición p v q, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico
está dado por la tabla. En otras palabras, la disyunción
exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales.
p v q
V F V
F V V
V V F
F F F

9. Seam p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p
y consecuente q es la proposicion p → q, que se lee “si p,
entonces q”, y cuyo valor logico esta dado por la siguiente tabla:
p q p →q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

10. Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q a
la proposición p ↔ q, que se lee "p si sólo si q", o "p es
condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es
dado por la siguiente tabla.
p q p ↔q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
En otras palabras el VL(p↔q) = 1 si VL(p) = VL(q)

11.  Formas Proporcionales:
A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar los
conectivos lógicos a las variables proposicionales p, q, r, s, t,
etc., se les llaman formas proposicionales, por ejemplo
t→(q^~r)~ [(p↔s)^(r↔q)] son formas proposicionales y podemos
decir, para ser más preciso que las variables proposicionales
también son formas proposicionales.

12. Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de
una proposición compuesta y depende de las proposiciones
simples y de los operadores que contengan.
Ejemplo:
(p v q) v ¬ q
p q (p v q) ¬ q (p v q) v ¬q
V V V F V
V F V V V
F V V F V
F F F F V
En este caso, es una Tautología, ya que no importa si p y q
sean falsas o verdaderas, la resolución siempre es verdadera.

13.  Proposición Tautológica o Tautología
Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir,
todos los valores de verdad que aparecen en su tabla de verdad
son 1) independientemente de los valores de sus variables.
Ejemplo: Probar que p v ~ p es una Tautología.
p v ~ p
1 1 0
0 1 1

14.  Contradicción
Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decir
cuando los valores de verdad que aparecen en su tabla de
verdad son todos 0) independientemente de los valores de sus
variables proposicionales que la forman. Por ejemplo, la
proposición molecular del ejemplo siguiente es una
contradicción, p ^ ~ p, para chequearlo recurrimos al método de
las tablas de verdad.
Ejemplo: Probar que p ^ ~ p es una contradicción.
p ^ ~ p
1 0 0
0 0 1

15.  Leyes Idempotentes:
p v q ↔ p
p ^ q ↔ p
 Leyes Asociativas:
(p v q) v r ↔ p v (q v r)
(p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r)
 Leyes Conmutativas:
p v q ↔ q v p
p ^ q ↔ q ^ p

16.  Leyes Distributivas:
p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r)
p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r)
 Leyes de Identidad:
p v F ↔ p
p ^ F ↔ F
p v V ↔ V
p ^ V ↔ p

17.  Leyes de Complementación:
p v ~ p ↔ V (Tercio excluido)
p ^ ~ p ↔ F (Contradicción)
~ (~ p) ↔ p (Doble negación)
~ V ↔ F ; ~ F ↔ V
 Leyes de Morgan:
~ (p v q) ↔ ~ p ^ ~ q
~ (p ^ q) ↔ ~ p v ~ q

18.  Otras Equivalencias Notables:
p → q ↔ ~ p v q (Ley del condicional)
p ↔ q ↔ (p → q) ^ (q → p) (Ley del bicondicional)
p v q ↔ (p ^ ~ q) v (~ p ^ q) (Ley de disyunción exclusiva)
p → q ↔ ~ q → ~ p (Ley del contrarrecíproco)
p v q ↔ ~ (~p ^ ~ q)
((p v q) → r) ↔ (p → r) ^ (q → r) (Ley de demostración por casos)
(p → q) ↔ [(p ^ ~ q) → F] (Ley de reducción al absurdo)

19. Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A Implica
Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se escribe:
A  B si el condicional A → B es una tautología.
 Proposiciones Equivalentes:
Sean A y B dos formas proposicionales. Diremos que A es
Lógicamente Equivalente a B, o simplemente que A es
equivalente a B, y escribimos
A → B o A v B,
Si y sólo si la forma bicondicional A v B es una tautología.

20. Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una proposición,
llamada conclusión es consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas
premisas.
Forma Proposicional de un Razonamiento
Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo
escribiremos en forma proposicional como:
P1
P2
P3
P4
.
.
.
Pn
----
C

21. Demostración Directa
En la demostración directa debemos probar una implicación:
p  q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p
mediante una secuencia de proposiciones en las que se utilizan
axiomas, definiciones, teoremas o propiedades demostradas
previamente.

22. Demostración Indirecta
Dentro de este método veremos dos formas de demostración:
Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional
equivalente a p → C nos proporciona la Ley del contrarrecíproco:
P → C ≡ ~ C → ~ P.
Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la
proposición p  q es tautológicamente equivalente a la
proposición (p ^ ~ q)  (r ^ ~ r) siendo r una proposición
cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de
verdad.

23. Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos
identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma
proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito
podemos asociarle la forma proposicional correspondiente.
Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos
simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la
misma función que el original. Veamos los siguientes interruptores
en conexión:

24. Conexión en serie la cual se representa p ^ q.
Conexión en paralelo la cual se representa como p v q.
Esta representaciones nos servirán de base para la
correspondencia entre los circuitos y proposiciones.