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Ingeniería Económica Patricio Berrocal Contenido
CONTENIDO
1 INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA ECONÓMICA ...........................................................................................................................................2
1.1 PAPEL DE LA INGENIERÍA EN LA TOMA DE DECISIONES......................................................................................................................2
1.2 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.............................................................................................................................................................2
2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES.............................................................................................................................................................................3
2.1 INTERÉS Y TASA DE INTERÉS..........................................................................................................................................................................3
2.2 INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO...................................................................................................................................................4
2.2.1 INTERÉS SIMPLE....................................................................................................................................................................................4
2.2.2 INTERÉS COMPUESTO .......................................................................................................................................................................4
3 FACTORES DE LA INGENIERÍA.................................................................................................................................................................................5
3.1 DERIVACIÓN DE FACTORES DE PAGO ÚNICO........................................................................................................................................5
3.2 DERIVACIÓN FACTOR VALOR PRESENTE SERIE UNIFORME Y EL FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL ......................6
3.3 DERIVACIÓN FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME Y DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN ......................7
3.4 DERIVACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE GRADIENTES................................................................................................................................8
3.5 DERIVACIÓN VALOR PRESENTE DE SERIES GEOMÉTRICAS.............................................................................................................. 10
3.6 NOTACIÓN ESTÁNDAR DE FACTORES Y USO DE LAS TABLAS DE INTERÉS............................................................................... 11
4 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA........................................................................................................................................................ 14
4.1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA PARA PERIODOS DE PAGO IGUALES AL PERIODO DE INTERÉS ...................... 14
4.2 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA PARA PERIODOS DE PAGO DISTINTOS AL PERIODO DE INTERÉS.................. 16
4.2.1 PERIODO DE PAGO MAYOR AL PERIODO DE INTERÉS...................................................................................................... 16
4.2.2 PERIODO DE PAGO MENOR AL PERIODO DE INTERÉS...................................................................................................... 17
5 INFLACIÓN.................................................................................................................................................................................................................. 21
5.1 TERMINOLOGÍA DE LA INFLACIÓN.......................................................................................................................................................... 21
5.2 CÁLCULO DE LA INFLACIÓN ...................................................................................................................................................................... 21
5.2.1 TASA DE INFLACIÓN ................................................................................................................................................................... 22
5.2.2 TASA DE INTERÉS REAL ............................................................................................................................................................. 22
5.2.3 TASA DE INTERÉS INFLADA ..................................................................................................................................................... 22

Ingeniería Económica Patricio Berrocal 2
INGENIERÍA ECONÓMICA
1 INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA ECONÓMICA
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que se tomen cambian la vida
de las personas poco y algunas veces considerablemente. Los individuos, los propietarios de pequeños
negocios, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan
rutinariamente al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son
decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios.
El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo
disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza
de que sea para mejorar. Sin embargo, cuando las corporaciones y agencias públicas seleccionan una
alternativa sobre otra, los aspectos financieros, el retorno del capital invertido, las consideraciones sociales y
los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor importancia que los aspectos correspondientes a una
selección individual.
La ingeniería económica, en forma bastante simple, hace referencia a la determinación de los factores y criterios
económicos utilizados cuando se considera una selección entre una o más alternativas. Otra definición de la
ingeniería económica plantea que es una colección de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones
económicas. Con estas técnicas, es posible desarrollar un enfoque racional y significativo para evaluar los
aspectos económicos de los diferentes métodos (alternativas) empleados en el logro de un objetivo
determinado.
1.1 PAPEL DE LA INGENIERÍA EN LA TOMA DE DECISIONES
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
La gente toma decisiones; los computadores, las metodologías y otras herramientas no lo hacen. Las técnicas y
los modelos de ingeniería económica ayudan a la gente a tomar decisiones. Puesto que las decisiones afectan
lo que se realizará, el marco de tiempo de la ingeniería económica es generalmente El futuro. Por consiguiente,
los números utilizados en un análisis de ingeniería económica son las mejores estimaciones de lo que se espera
que ocurra.
Un procedimiento muy popular utilizado para considerar el desarrollo y selección de alternativas es el
denominado enfoque de solución de problemas o proceso de toma de decisiones. Los pasos habituales en el
enfoque son los siguientes:
1. Entender el problema y la meta.
2. Reunir información relevante.
3. Definir las soluciones alternativas.
4. Evaluar cada alternativa.
5. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios.
6. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.
1.2 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Con frecuencia se dice que el dinero hace dinero. La afirmación es cierta, en efecto, puesto que si se elige
invertir dinero hoy (por ejemplo, en un banco, un negocio, o un fondo mutuo de acciones), inherentemente se
espera tener más dinero en el futuro. Este cambio en la cantidad de dinero durante un periodo de tiempo dado
se denomina el valor del dinero en el tiempo; es el concepto más importante en ingeniería económica.
El valor del dinero en el tiempo o TVM (Time Value of Money) es un concepto basado en la premisa de que
un inversor prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo monto en una
fecha futura. En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre ese dinero.
Adicionalmente, debido al efecto de la inflación (si esta es positiva), en el futuro esa misma suma de dinero
perderá poder adquisitivo.

2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
2.1 INTERÉS Y TASA DE INTERÉS
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
El interés puede definirse como la manifestación del valor del dinero en el tiempo, en concreto, una persona o
entidad financiera que presta dinero lo hace con la expectativa de que le sea devuelto al cabo de un tiempo
con cierta compensación por ello, es decir, que la cantidad devuelta sea ligeramente superior a la inicialmente
prestada. El objetivo de esto es compensar al prestamista por la dilación de su consumo, es decir, por la
inconveniencia de no poder hacer uso de ese dinero durante un tiempo, además de los riesgos asociados a que
el préstamo no le sea devuelto o que la cantidad que sea devuelta tenga en el futuro una menor capacidad de
compra debido a la inflación.
La diferencia entre la cantidad inicialmente prestada (Valor Inicial) y la cantidad devuelta (Valor final) se
conoce como interés
Cuando el interés se expresa como un porcentaje de la suma original por unidad de tiempo, el resultado se
denomina tasa de interés. Esta tasa se calcula como:
El periodo de tiempo más común en el cual se expresa una tasa de interés es 1 año. Sin embargo, dado que las
tasas de interés pueden estar expresadas en periodos de tiempo menores de 1 año, por ejemplo, 1% mensual,
la unidad de tiempo utilizada al expresar una tasa de interés también debe ser identificada. Este periodo se
denomina el periodo de interés.
Ejemplo Una firma de Inversiones invirtió y retiró exactamente un año más tarde. Calcular:
a) El interés obtenido
b) La tasa de interés sobre la inversión
a)
b)
Ejemplo Equipos Estereofónicos S.A. planea obtener un préstamo bancario de durante 1 año a un interés del
9% para adquirir un nuevo equipo de grabación. Calcular:
a) El interés
b) El valor total adeudado después de 1 año
a)
b)

2.2 INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés son útiles para el cálculo de sumas equivalentes de
dinero para un periodo de interés en el pasado y un periodo en el futuro. Sin embargo, para más de un periodo
de interés, los términos interés simple e interés compuesto resultan importantes.
2.2.1 INTERÉS SIMPLE
El interés simple se calcula utilizando sólo el valor inicial, ignorando cualquier interés causado en los periodos
de interés anteriores. Por ejemplo, si se obtiene un préstamo de durante un periodo de años a
una tasa de interés simple del ¿Cuánto dinero se pagará al final de cada periodo?
1º años: Interés del 1er año
Deuda al final del año
Para generalizar, descomponemos la deuda al final del 3er año, es decir.
( )
( ) Valor presente o inicial
Valor futuro o final
Nº de periodos de interés
2.2.2 INTERÉS COMPUESTO
Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el valor inicial
más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Por tanto, el interés compuesto
significa un interés sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo también sobre
el interés. Usando el ejemplo anterior ¿Cuánto dinero se pagará al final de cada periodo a una tasa compuesta?
Deuda al final del años
Para generalizar, descomponemos la deuda al final del 3er año, es decir.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) Valor presente o inicial
Valor futuro o final
Nº de periodos de interés

3 FACTORES DE LA INGENIERÍA
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
En esta unidad se aborda la derivación de los factores de la ingeniería económica y el uso de estos factores
básicos en los cálculos económicos. Es uno de los más importantes, puesto que los conceptos presentados en
se utilizarán a lo largo de todo el ramo.
3.1 DERIVACIÓN DE FACTORES DE PAGO ÚNICO
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
En esta sección, se desarrolla una fórmula que permite la determinación de cantidades futuras de dinero que
se acumulan después de periodos a partir de una inversión única con interés compuesto una vez por
periodo.
0 1 2 3 ≙ 1 2 3 n
El valor futuro se calcula como:
( )
El factor ( ) se denomina Factor de cantidad compuesta de pago único (FCCPU), pero en general se hace
referencia a éste como el factor . Cuando el factor es multiplicado por , éste produce la suma futura
de una inversión inicial después de años, a la tasa de interés . Al despejar en la ecuación resulta:
[
( )
]
La expresión en corchetes se conoce como el Factor de valor presente de pago único (FVPPU), o el factor .
Dicha expresión determina el valor presente P de una cantidad futura dada ; después de años a una tasa de
interés .
Es importante observar que los dos factores y las fórmulas derivadas aquí son fórmulas de pago único; es decir,
son utilizadas para encontrar la cantidad presente o futura cuando solamente hay un pago o recibo
involucrado.
Ejemplo Si para comprar un auto a un costo es necesario solicitar un préstamo con un interés anual del
¿Cuánto será lo adeudado en 5 años si dicho préstamo es cancelado en una solo cuota al final del 5to año?
años
anual
( )
( )
Ejemplo Una persona desea poder retirar en 7 años más de una cuenta de ahorro un total de ¿Cuánto es lo
que es necesario depositar hoy en un banco que entrega una tasa de interés mensual de ?
( )
mensual
[
( )
]
[
( )
]

3.2 DERIVACIÓN FACTOR VALOR PRESENTE SERIE UNIFORME Y EL FACTOR DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
El valor presente de una serie uniforme, puede ser determinado considerando cada valor de como un valor
futuro y utilizando la ecuación [( )
] con el factor para luego sumar los valores del valor presente.
La fórmula general es:
[
( )
] [
( )
] [
( )
] [
( )
] [
( )
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Ahora restamos ( ) menos
( ) (
( ) ( )
) (
( ) ( ) ( )
)
( )
[
( )
]
[
( )
( )
]
[
( )
( )
]
La expresión en corchetes se conoce como el factor de valor presente serie uniforme (FVP-SU), o factor .
Esta ecuación dará el valor presente de una serie anual uniforme equivalente que empieza al final del año
1 y se extiende durante años a una tasa de interés .
Al despejar en la ecuación , resulta:
[
( )
( )
]
La expresión en corchetes se conoce como el factor de recuperación del capital (FRC), o factor . Produce
el valor anual uniforme equivalente durante años de una inversión dada cuando la tasa de interés es .
Ejemplo Si para comprar un auto a un costo es necesario solicitar un préstamo con un interés anual del
¿De cuánto será el valor de cada cuota anual?
años
anual
[
( )
( )
]
[
( )
( )
]
0 1 2 3 ≙ 0 1 2 3 4 5 ≙ 0 1 2 3 4 5
$5.000.000
$1.318.987
$1.318.987
$1.318.987
$1.318.987
$1.318.987
$8.052.550

3.3 DERIVACIÓN FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME Y DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Si de la ecuación [( )
] se sustituye en la ecuación [
( )
( )
] resulta la fórmula
[
( )
( )
]
[
( )
] [
( )
( )
]
[
( )
( ) (( ) )
]
[
( )
]
La expresión en corchetes se conoce como el factor del fondo de amortización, o . Se utiliza para
determinar la serie de valor anual uniforme que sería equivalente a un valor futuro determinado
La ecuación puede ser reordenada para expresar en términos de :
[
( )
]
La expresión en corchetes se conoce como el factor de cantidad compuesta serie uniforme o factor . El
cual, cuando se multiplica por una suma anual uniforme dada, produce el valor futuro de la serie uniforme.
Ejemplo Una persona desea poder retirar en 7 años más de una cuenta de ahorro un total de ¿Cuánto es lo
que debe depositar mensualmente en el banco que entrega una tasa de interés mensual de ?
( )
mensual
[
( )
]
[
( )
]
0 1 2 3 ≙ 0 1 2 3 84 ≙ 0 1 2 3 4 5
$9.729.560
$128.600
$128.600
$128.600
$128.600
$12.000.000
Ejemplo Un trabajador de 35 años preocupado por su jubilación decide depositar mensualmente en una cuenta
APV (Ahorro Previsional Voluntario), ¿Cuánto podrá retirar a los 65 años sabiendo que la AFP ofrece un tasa de
interés mensual del ?
( )
mensual
[
( )
]
[
( )
]

3.4 DERIVACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE GRADIENTES
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Un gradiente uniforme es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma uniforme. Es decir,
el flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo de
interés. La cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente. Por ejemplo, si un fabricante de
automóviles predice que el costo de mantener un robot aumentará en $500 anuales hasta que la máquina haya
sido retirada, hay una serie de gradientes involucrada y la cantidad del gradiente es $500. En forma similar, si la
compañía espera que el ingreso disminuya en $3000 anualmente durante los próximos 5 años, el ingreso
decreciente representa un gradiente negativo por una suma de $3000 anuales.
Las fórmulas desarrolladas anteriormente para los flujos de efectivo de serie uniforme fueron generadas con
base en cantidades de final de año de igual valor. En el caso de un gradiente, el flujo de efectivo de cada final
de año es diferente, de manera que es preciso derivar una nueva fórmula. Para hacerlo, es conveniente suponer
que el flujo de efectivo que ocurre al final del primer periodo no hace parte de la serie del gradiente sino que
es una cantidad base, lo cual es conveniente porque en las aplicaciones reales, la cantidad base es en general
más grande o más pequeña que el aumento o la disminución del gradiente.
0 1 2 3 4
()
()
cambio aritmético uniforme en la magnitud de los recibos o desembolsos de un periodo al siguiente
El valor de puede ser positivo o negativo. Si se ignora la cantidad base, se puede construir un diagrama de
flujo de efectivo generalizado de gradientes en forma uniformemente creciente, Observe que el gradiente
empieza entre los periodos 1 y 2, denominándose gradiente convencional.
Hay diversas formas para derivar factores de gradientes uniformes. Se utilizará el factor de valor presente, pago
único ( ), pero puede obtenerse el mismo resultado utilizando el factor , o .
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ ) [( ) ]( ⁄ )
[
( )
] [
( )
] [
( )
] [( ) ] [
( )
]
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
Ahora restamos ( ) menos
( ) (
( ) ( )
( )
( )
) (
( ) ( )
( )
( )
)
[
( )
( ) ( )
]
[
( )
( )
]
[
( )
( )
]
La expresión en corchetes se conoce como el factor de valor presente, gradiente uniforme, o factor y
puede expresarme como ( ⁄ )

El valor anual uniforme equivalente de un gradiente uniforme G se encuentra multiplicando el valor presente
en la ecuación anterior por la expresión del factor ( ). Al utilizar la notación estándar de factores,
( ⁄ ) ( )
[
( )
( ) ( )
] [
( )
( )
]
[
( )
]
La expresión en corchetes se conoce como el factor del valor anual de un gradiente uniforme o factor y se
identifica por ( )
Un factor podría obtenerse fácilmente multiplicando los factores y para los mismos valores de
tasa de interés y de de la siguiente manera:
( ⁄ ) ( ⁄ ) ( )
[
( )
( )
] ( )
[
( )
]
[
( )
]
[( ) (
( )
)]
[( ) (
( )
)]
La expresión en corchetes se conoce como el factor de valor futuro, gradiente uniforme o factor y se
identifica por ( )
Ejemplo Suponga que las utilidades de una empresa se incrementan en por mes desde febrero hasta fin de
año, a su vez estas utilidades deciden invertirse en una corporación de ahorro que paga una tasa de interés del
mensual ¿Cuánto obtendrá dicha empresa para fin de año?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
mensual
( )
[( ) (
( )
)]
[( )(
( )
)]

3.5 DERIVACIÓN VALOR PRESENTE DE SERIES GEOMÉTRICAS
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
En la sección 3.5 se introdujeron factores de gradientes uniformes que podrían ser utilizados para calcular el
valor presente o el valor anual uniforme equivalente de una serie de pagos que aumenta o disminuye por una
cantidad aritmética constante en periodos de pago consecutivos. Con frecuencia, los flujos de efectivo cambian
por un porcentaje constante en periodos de pago consecutivos, por ejemplo, 5% anual. Este tipo de flujo de
efectivo, llamado una serie geométrica o escalonada
0 1 2 3
()
()
()
()
La ecuación para calcular el valor presente de una serie escalonada se encuentra al calular el alor presente
de los flujos de efectivo utilizando el factor es decir, [ ( )⁄ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
]
Se multiplica ambos lados por
( )
( )
, se resta la ecuación anterior del resultado, se factoriza y se obtiene
( ) [
( )
( )
]
Se resuelve para y se simplifica para obtener
[
( )
( )
]
Donde es el valor presente de una serie escalonada que empieza en el año en . Para la condición
la ecuación anterior se convierte en
[ ]

3.6 NOTACIÓN ESTÁNDAR DE FACTORES Y USO DE LAS TABLAS DE INTERÉS
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
A medida que cada factor fue derivado se introdujeron los términos abreviados, los cuales se utilizan para
evitar la labor dispendiosa de escribir las fórmulas cada vez que se emplea uno de los factores. Se ha
adoptado una notación estándar que incluye la tasa de interés y el número de periodos.
La fórmula general es:
( ⁄ ) Representa lo que se desea encontrar
Representa lo dado
Tasa de interés
Número de periodos de interés
Para identificar factores es más sencillo utilizar la notación estándar que los nombres de los factores y ésta será
utilizada en forma exclusiva en lo sucesivo. La siguiente tabla muestra un resumen con la notación estándar
para las fórmulas derivadas en la unidad 3
Encontrar Dado
Factor
Notación estándar
Ecuación Fórmula
F P ( ⁄ ) ( ⁄ ) ( )
P F ( ⁄ ) ( ⁄ ) [
( )
]
P A ( ⁄ ) ( ⁄ ) [
( )
( )
]
A P ( ⁄ ) ( ⁄ ) [
( )
( )
]
A F ( ⁄ ) ( ⁄ ) [
( )
]
F A ( ⁄ ) ( ⁄ ) [
( )
]
P G ( ⁄ ) ( ⁄ ) [
( )
( )
]
A G ( ⁄ ) ( ⁄ ) [
( )
]
F G ( ⁄ ) ( ⁄ ) [( ) (
( )
)]
P D ( ⁄ ) ( ⁄ )
[
[( ) ( )⁄ ]
]
[ ]
Donde Valor equivalente por periodo
Valor Presente
Valor Futuro
Gradiente uniforme aritmético
Gradiente geométrico
Número de periodos de interés
Tasa de interés por periodo de interés

Ejercicios
Ejercicio 1. ¿Cuánto va a ser mi deuda con el banco si me prestan hoy en 3 años más a una tasa de interés de
un trimestral?
( )
( )
( ⁄ )
( ⁄ )
( )
Ejercicio 2. ¿Cuánto debo depositar hoy para poder retirar en el banco en 4 años más , si la tasa de interés que
me paga el banco es un semestral?
( )
[
( )
]
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
]
Ejercicio 3. ¿Cuánto debo depositar mensualmente en el banco que me da una tasa de interés de mensual para juntar
en 4 años
( )
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
]
Ejercicio 4. Si deposito bimensualmente durante 6 años ¿Cuánto tendré acumulado al final de sentuario si la tasa
de interés bimensual que me paga el banco es de un
( )
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
]

Ejercicio 5. Si yo deposito hoy en un banco ¿Cuánto es lo que puedo sacar del banco mensualmente durante
6 años si el banco da una tasa de interés de mensual?
( )
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
( )
]
Ejercicio 6. Para poder retirar mensual (6 años) cuanto debo depositar hoy si el banco me da una tasa de
mensual
( )
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
( )
]
Ejercicio 7. ¿A cuánto equivale al día de hoy la siguiente operación?: debe depositar por espacio de un año los siguientes
valores por mes desde enero a abril; luego con pagos mensuales comenzando en mayo con
hasta fin de año, y aumentando en por cada periodo. Los intereses que va a ganar son del
mensual.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 84
0 1 2 3 4 + 4 5 6 7 8 9 10 11 12 + 4 5 6 7 8 9 10 11 12
( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ )

4 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Esta unidad les enseñará a hacer cálculos de ingeniería económica utilizando periodos y frecuencias de
capitalización diferentes a 1 año. El material de este capítulo le ayuda a manejar asuntos financieros personales
que, con frecuencia, comprenden periodos de tiempos mensuales, diarios o continuos.
4.1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA PARA PERIODOS DE PAGO IGUALES AL PERIODO DE INTERÉS
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
En la unidad 2 se introdujeron los conceptos de tasas de interés simple y compuesto. Las diferencias básicas
entre las dos es que el interés compuesto incluye el interés sobre el interés ganado durante el periodo anterior
mientras que el interés simple no lo hace. En esencia, las tasas de interés nominales y efectivas tienen la misma
relación que entre sí guardan el interés simple y el compuesto. La diferencia es que las tasas de interés
efectivas se utilizan cuando el periodo de capitalización (o periodo de interés) es menor de un año. Por tanto,
cuando una tasa de interés se expresa en periodos de tiempo menores a un año.
El diccionario define la palabra nominal como “pretendida, llamada, ostensible o profesada”. Estos sinónimos
implican que una tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva. Como se analiza más
adelante, las tasas de interés nominales deben convertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma
precisa, consideraciones del valor del tiempo.
Valor Nominal: Es el valor definido como nombre en cada documento, ya sea billetes, acciones, etc.
Valor Efectivo : Es el valor determinado por su capacidad de compra (poder adquisitivo)
Por ejemplo, se solicita a un banco un préstamo de con un tasa de interés del nominal anual
capitalizado semestralmente, para calcular el interés efectivo semestral de divide el interés nominal anual por
el número de semestres contenidos en un año
( )
Para calcular el interés efectivo anual aplicamos lo visto en la unidad 2.1, es decir:
Lo mismo podemos hacer con otros periodos, por ejemplo:
( )
( )
( )
( )
( )
Generalizando lo anterior obtenemos:
( ) Número de periodos de interés contenidos en el periodo mayor
√ Número de periodos de interés contenidos en el periodo menor

Ejercicio Un banco ofrece una tasa de interés nominal trianual de un capitalizado trimestralmente
a) ¿Cuánto podría retirar una persona después de 4 años de haber depositado ?
b) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva trianual?
c) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva de los 4 años?
d) ¿Cuál es la tasa de interés anual equivalente?
( )
a) ( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
( )
≙
≙ : Equivalente desde el punto de vista del valor del dinero en el tiempo a una tasa del
b)
( )
( )
( )
≙
≙ : Equivalente desde el punto de vista del valor del dinero en el tiempo
( )
( )
c) ( )
( )
d) ( )
( )
≙ ≙ ≙
≙ : Equivalente desde el punto de vista del valor del dinero en el tiempo
( )
( )
( )

4.2 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA PARA PERIODOS DE PAGO DISTINTOS AL PERIODO DE INTERÉS
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
4.2.1 PERIODO DE PAGO MAYOR AL PERIODO DE INTERÉS
Cuando el periodo de capitalización de una inversión o préstamo no coincide con el periodo de pago, se hace
necesario manipular la tasa de interés y/o el pago con el fin de determinar la cantidad correcta de dinero
acumulado o pagado en diversos momentos. Recuerde que si el pago y los periodos de capitalización no
coinciden no es posible utilizar las tablas de interés hasta hacer las correcciones apropiadas. En esta sección,
se considera la situación en la cual el periodo de pago (por ejemplo, un año) es mayor que el periodo de
capitalización (por ejemplo, un mes).
En esencia, un número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando solamente hay factores
únicos involucrados. Esto se debe a que sólo hay dos requisitos que deben ser satisfechos:
1. Debe utilizarse una tasa efectiva para ,
2. Las unidades en deben ser las mismas que aquéllas en .
En notación estándar de factores, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente manera:
( ⁄ )
( ⁄ )
Por consiguiente, para una tasa de interés del anual capitalizado mensualmente, si se utiliza una tasa
efectiva equivalente por mes, la tasa sería del y el termino debe estar en meses ( ), Si se utiliza una tasa
de interés efectiva trimestral la tasa sería entonces el termino debe estar en trimestre ( ) ó si se
utiliza una tasa de interés anual, la tasa sería y el periodo igual a
Ejemplo Si se desea depositar semestralmente a una tasa de interés del anual capitalizados
mensualmente ¿Cuánto dinero se tendrá en 2 años?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 meses
1 2 3 4 4 semestres
( )
( )
( )
≙
( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
]

4.2.2 PERIODO DE PAGO MENOR AL PERIODO DE INTERÉS
Cuando el periodo de pago es más corto que el periodo de capitalización ( ), el procedimiento para
calcular el valor futuro o el valor presente depende de las condiciones especificadas (o supuestas) en relación
con la capitalización entre los periodos. La capitalización interperíodica, como se utiliza aquí, se refiere al
manejo de los pagos efectuados entre los periodos de capitalización
Por ejemplo, si se desea depositar mensualmente a una tasa de interés del anual capitalizado
semestralmente ¿Cuánto dinero se tendrá en 2 años?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 meses
Tres casos son posibles:
1. No hay un interés pagado sobre el dinero depositado (o retirado) entre los periodos de capitalización.
2. El dinero depositado (o retirado) entre los periodos de capitalización gana un interés simple.
3. Todas las transacciones entre los periodos ganan un interés compuesto.
La mayoría de las transacciones del mundo real se encuentran dentro de la primera categoría (No hay un
interés pagado sobre el dinero depositado o retirado entre los periodos de capitalización). Si no se paga
interés sobre las transacciones entre los periodos, entonces se considera que cualquier cantidad de dinero
depositado o retirado entre los periodos de capitalización ha sido depositada al final del periodo de
capitalización o retirada al principio de dicho periodo. Éste es el modo usual de operación de los bancos y de
otras instituciones crediticias.
1. Sin pago de interés interperíodo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 meses
1 2 3 4 4 semestres
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
]
Podemos generalizar lo anterior con la ecuación
( ⁄ )
Donde es el número de periodos de pago contenidos en el período de interés

2. Con pago de interés simple interperíodo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 meses
1 2 3 4 4 semestres
0 1 2 3 4 5 6
( )
(∑ )
(
( )
)
(
( )
)
(
( )
)
[ (
( )
)]
Donde número de periodos de pago contenidos en el período de interés
número de periodos de interés
Representamos la ecuación anterior como una periodicidad
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 meses
1 2 3 4 4 semestres
[ (
( )
)] [ (
( )
)] [ (
( )
)] [ (
( )
)]
Por lo tanto, la ecuación final resulta
[ (
( )
)] ( ⁄ )
Ejemplo Utilizando el ejemplo visto anteriormente, si se desea depositar mensualmente a una tasa de
interés del anual capitalizado mensualmente, con pago de interés simple interperíodo ¿Cuánto dinero
se tendrá en 2 años?
[ (
( )
)] ( ⁄ )
[ (
( )
)] ( ⁄ )

3. Con pago de interés compuesto interperíodo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 meses
√
√ Número de periodos de interés contenidos en el periodo de pago
( ⁄ )
Ejemplo Utilizando el mismo ejemplo anterior, si se desea depositar mensualmente a una tasa de interés
del anual capitalizado mensualmente, con pago de interés compuesto interperíodo ¿Cuánto dinero se
tendrá en 2 años?
√
√
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
]
Ejercicio Una persona va a depositar bimensualmente, si el banco le señala que le va a pagar una tasa de interés
de bianual capitalizado semestralmente ¿Cuánto podrá retirar esta persona en 6 años más?
a) Sin pago de interés interperíodo
b) Con pago de interés simple interperíodo
c) Con pago de interés compuesto interperíodo
a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 36 bimensualidades
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 semestres
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
]

b) Con pago de interés simple interperíodo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 semestres
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
( ) ( )
[ ( ) ( )]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ( ⁄ )
[ ] [
( )
]
c) Con pago de interés compuesto interperíodo
√
√
≙
( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
[
( )
]

5 INFLACIÓN
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Este capítulo se concentra en la comprensión de la forma de considerar la inflación en los cálculos de valor
del dinero en el tiempo y en un estudio de ingeniería económica. La inflación es una realidad con la cual todas
las personas tratan casi cada día. Es el incremento sostenido y generalizado de los precios en los bienes y
servicios. Las causas que la provocan son variadas, aunque destacan el crecimiento del dinero en circulación,
que favorece una mayor demanda, o del costo de los factores de la producción (materias primas, energía,
salarios, etc.). Si se produce una baja continua de los precios se denomina deflación.
5.1 TERMINOLOGÍA DE LA INFLACIÓN
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
La mayoría de las personas están bien conscientes del hecho de que hoy no permiten comprar la
misma cantidad de lo que se compraba con en 1995 o en 1990 y mucho menos de lo que se
compraba en 1970. ¿Por qué? Es la inflación en acción. Simplemente, la inflación es un incremento en la
cantidad de dinero necesaria para obtener la misma cantidad de producto o servicio antes de la presencia del
precio inflado. La inflación ocurre porque el valor del dinero ha cambiado, se ha reducido. El valor del dinero
se ha reducido y, como resultado, se necesita más dinero para menos bienes. Éste es un signo de inflación. Para
comparar cantidades monetarias que ocurren en diferentes periodos de tiempo, el dinero valorado en forma
diferente debe ser convertidos primero a dinero de valor constante con el fin de representar el mismo poder
de compra en el tiempo, lo cual es especialmente importante cuando se consideran cantidades futuras de
dinero, como es el caso con todas las evaluaciones de alternativas.
5.2 CÁLCULO DE LA INFLACIÓN
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
¿Cuál será el precio futuro dentro de 4 años de un equipo cuyo precio actual es de a una tasa de
inflación del ?
próximos 4 años
Precio de hoy
Precio 1º año ( )
Precio 2º año ( )
Precio 3º año ( )
Precio 4º año ( )
Generalizando
Precio de hoy
Precio 1º año ( )
Precio 2º año ( ) ( )
Precio 3º año ( ) ( ) ( )
Precio 4º año ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
El precio de hoy se denomina precio expresado en moneda con el poder adquisitivo de hoy y el precio futuro,
precio expresado en moneda con el poder adquisitivo de entonces. representa la tasa de inflación por
periodo y es el número de periodos, la ecuación anterior puede ser expresada como:
( ⁄ )
Al despejar el en la ecuación resulta:
[
( )
]

5.2.1 TASA DE INFLACIÓN
Como se describió antes, ésta es una medida de la tasa de cambio en el valor de la moneda.
5.2.2 TASA DE INTERÉS REAL
También llamada Tasa libre de inflación, A esta tasa se obtiene el interés cuando se ha retirado el efecto de los
cambios en el valor de la moneda. Por tanto, la tasa de interés real presenta una ganancia real en el poder de
compra. Ésta tasa permite relacionar montos de dinero de diferentes instantes de tiempo, todos ellos
expresados en moneda con el poder adquisitivo de hoy
Para calcular la tasa de interés real consideremos el ejemplo anterior ¿Cuánto se debe depositar hoy en un
deposito a plazo que entrega una tasa de interés de un para comprar el equipo en 4 años mas?
( ⁄ )
( ⁄ ) Expresado en moneda con el poder adquisitivo de hoy
Para calcular el interés ( ) ambos valores deben estar expresados en moneda con
el poder adquisitivo del mismo periodo, es decir, ambos deben estar expresados con el poder adquisitivo de
hoy. Por lo cual seria un error calcular el interés restando a , puesto que este último
esta expresado en moneda con el poder adquisitivo de 4 años más.
Por ello debemos considerar que ≙ , es decir, que dichos valores son equivalentes
desde el punto de vista del poder adquisitivo, al ser equivalentes podemos utilizar los como
valor futuro puesto que éste también esta expresando con el poder adquisitivo de hoy.
Expresado en moneda con
el poder adquisitivo de hoy
Por lo que el interés real ganado en los 4 años será
√ √ (El resto del interés del se perdieron con la inflación)
Generalizando lo anterior obtenemos
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
5.2.3 TASA DE INTERÉS INFLADA
También llamada Tasa de interés del mercado, Como su nombre lo implica, ésta es la tasa de interés en el
mercado, la tasa de la cual se escucha hablar y a la cual se hace referencia todos los días. Es una combinación
de la tasa de interés real y la tasa de inflación , y por consiguiente, cambia a medida que cambia la tasa de
inflación. Ésta tasa permite relacionar montos de dinero de diferentes instantes de tiempo, donde cada uno de
ellos se encuentra expresado en moneda con el poder adquisitivo del respectivo entonces. Al despegar de
la ecuación obtenemos la ecuación de la tasa de interés inflada
( )

Ejercicio Una persona quiere comprar un equipo en 4 años más, cuyo precio de hoy es de sabiendo que la
inflación en Chile y en Estados Unidos se comportará de la siguiente forma.
USA
Chile
Y teniendo la posibilidad de depositar en una cuenta que le entrega una tasa de interés de un
capitalizado mensualmente:
a) ¿Cuánto tendrá que depositar hoy para comprar el equipo en 4 años más?
b) ¿Cuál es la tasa de interés real promedio entregada por el banco en estos 4 años?
c) ¿Cuál es la tasa de interés real anual que paga el banco?
d) Si un banco es USA le entrega una tasa de un anual ¿Dónde le conviene a esta persona depositar, en
Chile o en Estados Unidos?. Considere que el tipo de cambio hoy es de y que se estima que el tipo
de cambio en 4 años más será de por dólar.
e) ¿Cuál es la tasa de interés real promedio entregada por el banco estadounidense en estos 4 años? Comente
a) ̅
( )⏟ ( )
⏟
( )
⏟
( )
⏟
( ⁄ ̅ )
b) (
( ) ( ) ( ) ( )
)
( )
( )
( )
√
c) √
d) ( ⁄ ) Conviene depositar en USA
e)
√
Aunque la tasa interés real promedio entregada por el banco estadounidense es menor que el entregado por
el banco chileno, conviene depositar en USA debido al tipo de cambio

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