desarrollo de un problema

1. EJEMPLO
SUSECION
CONVERGENTE
JORGE A GARRIDO LIZCANO

2. EJERCICIO
El tamaño de una población de peces inalterada esta modelado
mediante la formula
=
donde p n es la población de peces después de n años y a y b
son constantes positivas que dependen de la especie y su medio.
Suponga que la población es enp 0 año 0 es
el >0.
bp 0 bp 1 bp 2 bp n
pn
p1 , p2 a p1 , 3
p ,…….
1
a p0 a p2 a pn

3.  (a) Demuestre que sip n )es convergente, después
(
los únicos valores posibles de este limite son 0 y (b –
a)
pn
si converge a L entonces
bL
L
a L
= =
2 L(L a b) 0
L(a L) bL L aL bL 0
= =
Entonces el limite es L=0 o L=(a-b)

4. b
 (b) Demuestre que p n 1 n
pn
b
bp n pn
a b
pn 1
a pn
= 1
pn n
pn
a
pn
Ya que 1
a
1
b
Por tanto pn 1 pn
a

5. (c) mediante el inciso (b) demuestre que si
a>b en seguida en otras palabras la
población muere
b b b
Por el inciso (b) a p p a p p
p 1 pn
0, 2 1, , , , , , n 1
a
b
si multiplicamos por a obtenemos la
desigualdad b 2
b b b b
3
p1 p0 , p2 p1 p0 , p 3 p2 p0
a a a a a
n
pn
b
p0 ,
a
b
En generalr ahora
a
Sea b<a con y -1< r < 1
Por tanto

6.  (d) ahora supóngase que a<b demuestre que.
p 0 b a por lo tanto p n es creciente y p b a
0 n
A si mismo demuestre que si0 b a
p en tal
pncaso pn b a
es decreciente y . Deduzca que si
a<b, por lo tanto
p0 b a
demostramos por inducción matemática que si p n
pn b a pn 1
entonces bp 0
p0 p 0 (b a p 0 )
p1 p 0 también se cumple
y a p0 0 p0 b a
a p0
p1 p0
Para n=0 = = p k bcomo p k 1
a pk
bp k a (b a p k )
Entonces k 1
b a p b a 0 pk b a
a pk a pk
Ahora supongamos que es cierto para n=k que y
pk 1 b= a por que entonces

7.  Ahora cumple para (k+1)
pk 2
pk 1
bp k 1
p k 1 (b a pk 1 )
pk 2
pk 1
pk 1
0
a pk 1
a pk 1
Ya quep b a por tanto p n es creciente
k 1
y se cumple para n=k+1 y es cierto para todo n
Análogamente se demuestra para b a
p0 y
pn
decreciente
pn b a
Y
- Si a<b para esto es cierto por la parte
pn
(a)
- Y por la parde (d) (b-a) es una cota superior o inferior
de