asas

1. Estadística:
Ciencia que proporciona técnicas para tratar gran volumen de datos para extraer y
mostrar la información que subyace en ellos. Permite obtener información de un
colectivo muy amplio de datos a partir de un conjunto relativamente pequeño de datos
procedentes de él, gracias a ello se formulan modelos matemáticos que representen la
repuesta obtenida en alguna característica de interés al ser influenciada por diferentes
factores. Con esta información en la mano se puede tomar decisiones cuando exista un
marco de incertidumbre.
En Estadística se estudian fenómenos aleatorios, que son aquellos cuyo resultado no es
previsible aunque se repitan en idénticas condiciones.
Colectivo o Población: es el conjunto todos los individuos a los que va dirigido el
estudio estadístico.
Muestra: es el subconjunto de datos elegidos del colectivo que realmente se analizan.
Variable estadística: es cada una de las características que se miden de cada uno de los
individuos que forman la muestra.
Las variables estadísticas pueden ser cualitativas y cuantitativas.
Se dice que una variable estadística es cualitativa cuando los valores que puede tomar
son atributos. Variables cuantitativas son aquellas que pueden tomar valores numéricos.
Las variables cualitativas pueden ser:
Nominales o categóricas: los valores no admiten ordenación, por ejemplo, el color, o la
marca de bebida preferida, o el partido político elegido, o el lugar de procedencia, etc.
Ordinales: los valores de este tipo de variables admiten ordenación, aunque sean
cualitativas, por ejemplo, el estado de salud de pacientes de un hospital: Muy grave,
Grave, Leve. También son ordinales las variables que miden el grado de satisfacción
conseguido por algún servicio: Muy mal, Mal, Regular, Bien, Muy bien.
Las variables cuantitativas pueden ser:
Discretas: aquellas que solo pueden tomar valores aislados, y dados dos consecutivos
no puede haber valores intermedios, frecuentemente van asociadas a procesos de
conteo: Nº de ramas de un árbol, Nº de puestas en nidos, Nº de miembros por familia,
etc.
Continuas: aquellas variables numéricas que, si se poseyesen instrumentos con infinita
precisión, su valor podría ser expresado con infinitas cifras decimales, dados dos
valores, por próximos que estén, siempre sería posible encontrar valores intermedios
entre ambos. La mayoría de las variables que implican una medición son de este tipo: la
temperatura de la atmósfera, la velocidad del vuelo de un ave, la altura que alcanza un
árbol, son ejemplos de variables cuantitativas Continuas.
A veces, cuando las variables son numéricas, es necesario conocer su escala de medida:
Decimos que una variable numérica está medida en escala por intervalos cuando no
hay un cero absoluto origen de las medidas, por ejemplo: la hora de llegada de un tren a
una estación, si se toma como cero las 24 horas del día anterior y ha llegado un tren a
las 0h 10 min. y otro a las 0h 20 min., sabemos que el segundo llegó 10 minutos
después que el primero, pero no podemos decir que el segundo haya tardado el doble
que el primero en llegar, pues no se ha adoptado un cero absoluto común a todos los
recorridos. Un ejemplo clásico de este tipo de variable es la temperatura: si el aire hoy
está a 10ºC y ayer estaba a 20ºC, no podemos decir que la temperatura hoy sea el doble
de la de ayer, pues el cero en la escala de medida se ha tomado de modo arbitrario, para
comprobarlo, basta con expresar ambas temperaturas en grados Fahrenheit.
Una variable estadística está medida en escala por ratios cuando existe un cero
absoluto, entonces podemos considerar diferencias entre las medidas y también
proporciones. La mayoría de los fenómenos físicos que consideremos están medidos en
1

2. este tipo de escala, por ejemplo, la temperatura absoluta, en grados Kelvin es una
variable medida en escala por ratios, también el peso, la longitud, o la masa lo son.
Estadística descriptiva:
Es la parte de la estadística que proporciona técnicas para extraer y mostrar la
información que subyace en conjuntos de muy numerosos datos.
Cuando se acomete un estudio científico, es habitual medir gran cantidad de parámetros
sobre cada uno de los individuos elegidos, la estadística descriptiva univariante
permite estudiar los datos correspondientes a cada característica sin considerar la
influencia de las demás.
Tablas de frecuencias
Como resultado del estudio estadístico se posee una serie de estadillos o cuestionarios,
uno por cada individuo considerado en el que se recogen todas las medidas realizadas a
cada individuo. La tabla siguiente es un ejemplo de uno de estos estadillos , en él se han
anotado seis características de árboles de un vivero después de un año de haber sido
plantadas, la tabla recoge las medidas correspondientes a los diez primeros.
Árbol nº Replantado Grado de
afección
Nº de
ramas
primarias
Diámetro
(cm)
Altura (cm)
1 N MG 1 3,9 160,4
2 S NA 0 4,3 203,7
3 N M 2 3,9 160,5
4 N G 1 2,5 146,3
5 N M 3 3,9 123,0
6 S NA 4 4,2 184,4
7 N L 2 4,5 153,0
8 N L 1 5,3 186,0
9 S MG 0 2,5 169,8
10 S M 2 2,9 168,8
Códigos: S: Si
N: No
NA: No Afectado
L: Leve
M: Medio
G: Grave
MG: Muy Grave
el primer paso para sintetizar la información es tabular los datos. Consideraremos
distintos tipos de agrupaciones de datos:
Tablas de frecuencias de datos en agrupamiento discreto:
Realizamos este tipo de agrupamiento cuando el número de posibles respuestas a la
variable en estudio es reducido. Las variables cualitativas se prestan muy bien a este
sistema de agrupamiento
Para construir una tabla de frecuencias de agrupamiento discreto se anotan en una
columna cada uno de los distintos valores que tome la variable y en la columna
siguiente su frecuencia o número de veces que se repite.
La tabla de frecuencia de la variable Replantado es:
Replantado frecuencia
S 4
N 6
Total: 10
2

3. La tabla de frecuencia de la variable X = Grado de afección es:
Grado de
afección
xi
frecuencia
ni
frecuencia
relativa
fi
NA 2 0.2
L 2 0.2
M 3 0.3
G 1 0.1
MG 2 0.2
Total 10 1.0
La frecuencia relativa es la frecuencia absoluta dividida entre el número de
observaciones, indica la proporción de datos que muestran un determinado valor de la
variable. Se puede expresar también en %.
La tabla de frecuencia de la variable X=Número de ramas primarias es.
Nº ramas
primarias
xi
frecuencia
ni
frecuencia
relativa
fi
Frecuencia
acumulada
Ni
Frecuencia
acumulada
relativa
Fi
0 2 0.2 2 0.2
1 3 0.3 5 0.5
2 3 0.3 8 0.8
3 1 0.1 9 0.9
4 1 0.1 10 1.0
Total 10 1.0
La frecuencia acumulada es el número de datos que presentan un valor menor o igual
que uno dado de la variable. La frecuencia acumulada relativa es la proporción de datos
menores o iguales a uno dado.
Tablas de frecuencias de datos agrupados en clases:
Cuando tenemos una variable continua, o cuando, siendo discreta, el número de valores
diferentes es muy grande, se agrupan los datos en clases o intervalos.
El número de intervalos o clases I a considerar es una cuestión importante y no hay un
criterio fijo para establecerlo. La fórmula de Sturges es una de las que se pueden utilizar
para determinarlo, según ella, I es el exponente de la primera potencia de dos cuyo
resultado supera al número de datos, con un mínimo de 4 clases.
Para el ejemplo que estamos comentando, con 10 datos, como 24>10, se toma I=4.
Para determinar la amplitud de cada clase se divide el rango o diferencia entre el mayor
y el menor de los valores observados entre el número de clases I.
Para la variable diámetro, la amplitud es:
= = 5.3 - 2.5 = 2.8 =
0.7
4 4
Si el cociente no es exacto se puede redondear por exceso, aunque eso hará que la
última clase termine en un valor superior al máximo observado.
Para evitar dudas, se consideran todos los intervalos cerrados por la derecha y abiertos
por la izquierda, salvo el primero que se considera cerrado por ambos extremos.
a R
I
3

4. Cada clase o intervalo se identifica con una cifra llamada marca de clase, que es la
media entre ambos extremos.
La tabla de frecuencias de la variable diámetro es:
Clases Marcas
de clase
xi
frecuencia
ni
frecuencia
relativa
fi
frecuencia
acumulada
Ni
frecuencia
acumulada
relativa
Fi
[2.5 ; 3.2] 2.85 3 0.3 3 0.3
(3.2 ; 3.9] 3.55 3 0.3 6 0.6
(3.9 ; 4.6] 4.25 3 0.3 9 0.9
(4.6 ; 5.3] 4.95 1 0.1 10 1.0
Representaciones gráficas:
Diagramas de sectores o de tarta:
Son aplicables a cualquier tipo de variables, pero se utilizan sobre todo para las
categóricas. Se construyen dividiendo un círculo en tantos sectores como categorías se
vayan a representar. Cada sector abarca un ángulo proporcional a la frecuencia que se
desea representar. El diagrama de sectores de la variable Replantado es:
Diagrama de sectores
Diagramas de barras:
Son representaciones aplicables a tablas de frecuencias de datos en agrupamiento
discreto, se pueden aplicar tanto a datos cualitativos como cuantitativos discretos.
Consisten en un sistema de ejes cartesianos sobre cuyo eje de abcisas se llevan los
valores de la variable y sobre el de ordenadas la frecuencia absoluta o relativa,
acumulada o no. Por cada valor de la variable se levantará una línea o barra (aunque
puede ser un rectángulo) de altura equivalente a la frecuencia que se desea representar.
Se muestran diagramas de barras de la variable Grado de afección y de la variable Nº
de ramas:
4
S
40%
N
60%

5. 3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Los diagramas de barras, al representar sobre el eje de abcisas los valores de la variable,
y ser el eje numérico, tienen mejor aplicación en variables como mínimo ordinales, pues
en las variables nominales no hay una ordenación de los valores y se pueden representar
en cualquier orden.
Histograma
Aplicables a tablas de frecuencias de datos agrupados en clases. Consiste en llevar sobre
un eje horizontal segmentos consecutivos que representen las amplitudes de cada clase,
posteriormente se traza sobre cada clase un rectángulo cuyo área sea proporcional a la
frecuencia que se desea representar. Si todas las clases tienen igual amplitud, los
rectángulos tienen no solo el área proporcional a la frecuencia, su altura también lo es.
Las alturas de los rectángulos representan frecuencia por cada unidad de amplitud, que
también se llama densidad de frecuencia. Si se traza un eje vertical, la escala sobre este
es la frecuencia por unidad de amplitud.
A continuación se muestran histogramas de la variable Diámetro.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
acumulada por unidad de
En estos dos histogramas se ha tomado la unidad de longitud igual a la amplitud y,
como todas las amplitudes son iguales, la cifra que indica el área de cada rectángulo
coincide con la que indica la altura y ambas con la frecuencia que se representa.
Polígonos de frecuencias:
Aplicables a variables numéricas, aunque también se pueden trazar sobre cualitativas
ordinales, se construyen uniendo los extremos de los diagramas de barras o los centros
de las bases superiores de los rectángulos del histograma mediante líneas rectas. Si se
desea cerrar la línea poligonal por sus dos extremos, se podría inventar un valor o
intervalo por delante del primero y otro mayor que el último, cuyas frecuencias serán
5
diagrama de barras
0
NA L M G MG
Grado de afección
frecuencia absoluta
Diagrama de barras
0
0 1 2 3 4
Nº de ramas primarias
Frecuencia acumulada
relativa
Histograma de frecuencias
0
2.85 3.55 4.25 4.95
Marcas de clase
Frecuencia por unidad de
amplitud
Histograma de frecuencias acumuladas
relativas
0
2.85 3.55 4.25 4.95
Marcas de clase
Frecuencia relativa
amplitud

6. cero. En el caso de datos agrupados también es frecuente unir el origen de la primera
clase con el centro de su base superior y el centro de la base superior del último
rectángulo con el extremo de su base inferior.
Polígono de frecuencias
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Existen otros tipos de gráficos, como los pictogramas que utilizan símbolos gráficos
para representar las frecuencias, ya sea repitiendo un mismo símbolo varias veces para
indicar las mayores o menores frecuencias, o aumentando o disminuyendo el tamaño del
símbolo según la frecuencia que se represente.
Medidas de posición:
Otra vía de resumir la información es expresar algunas cifras que de algún modo
resuman lo más característico de los datos, podemos calcular medidas de posición y de
dispersión. Entre las primeras se verán:
Moda: es la categoría, valor o marca de clase que más se repite. Cuando tengamos
datos de tipo contínuo solo tendrá sentido la moda después de haber sido agrupados en
clases.
La moda de la variable Replantado es N, pues su frecuencia es la mayor entre las dos
categorías posibles. La moda de la variable Grado de afección es M, en tanto que para la
variable Nº de ramas primarias hay dos valores con máxima frecuencia, son 1 y 2
ramas.
La moda puede no ser única, y hablamos de distribuciones de frecuencias bimodales,
trimodales, etc.
Mediana: es aplicable a datos como mínimo ordinales, y se define como aquél valor de
la variable que ocupa la posición central del conjunto de datos ordenados, también se
puede definir como aquél valor de la variable que resulta ser mayor o igual que la mitad
de los datos y menor que la otra mitad.
Cuando se considera los N datos sin agrupar, la mediana es el dato que ocupa la
posición (N+1)/2, de los datos ordenados.
Si el número de datos N es impar la mediana se calcula de modo inmediato, si el
número de datos es par, la mediana es la media aritmética de los datos que ocupan las
posiciones N/2 y N/2 + 1.
6
0
0 1 2 3 4
Nº de ramas primarias
frecuencia absoluta

7. Para el conjunto de datos que se están considerando, la mediana es el dato que ocupa la
posición 11/2=5.5, por tanto es la media entre los datos que ocupen las posiciones 5ª y
6ª .
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º
Datos ordenados Mediana
Grado de afección NA NA L L M M M G MG MG M
Nº de ramas primarias 0 0 1 1 1 2 2 2 3 4 1.5
Diámetro 2.5 2.5 2.9 3.9 3.9 3.9 4.2 4.3 4.5 5.3 3.9
En realidad, si los datos son cualitativos no tiene sentido calcular la mediana, en este
caso se puede calcular la mediana del grado de afección porque los datos 5º y 6º son
ambos M.
Cuando los datos son de tipo contínuo y no se posee la lista original de valores, sino
solo los intervalos, sus marcas y frecuencias, el modo de proceder es diferente:
En este caso buscaremos el intervalo mediano, que es aquél cuya frecuencia acumulada
es N/2 o su frecuencia acumulada relativa es 0.5. Si estas cifras no aparecen entre las
frecuencias, el intervalo mediano es aquél que primero supera dicha cantidad.
Una vez localizado el intervalo mediano, un modo de proceder será decir que la
mediana es la marca de la clase de ese intervalo.
Procediendo de este modo, la mediana para la variable Diámetro, calculada a partir de
los datos de la tabla de frecuencias es:
Para 10 datos, N/2=5
Intervalo mediano: el 2º, pues es el primero en que se supera la cantidad 5 en la
columna Frecuencia acumulada (0.5 si se mira la acumulada relativa). La mediana es la
marca de este intervalo:
me = 3.55
Este modo de proceder se basa en suponer que todos los datos de cada intervalo son
iguales entre sí e iguales a la marca de clase.
Hay otro modo de proceder, consiste en suponer que los datos dentro de cada intervalo
se reparten uniformemente con valores crecientes de la variable, bajo esta suposición, y
suponiendo que el intervalo mediano es el j-ésimo, cuyos extremos son xj, xj+1, con una
frecuencia absoluta nj y siendo Nj y Nj-1 las frecuencias acumuladas correspondientes al
intervalo mediano y al inmediato anterior, la mediana se calcula como:
x x N x x N me x N x N
j + 1 - = j æ ö j +
1
- j
æ ö j + - = + - N j - N ç j - 1 ÷ j ç j
-
1
÷ , para el caso actual:
j -
1 è 2 ø n
j
è 2
ø 3.29 3.9 3.2 ( 5 3) 3.757
me = + - - =
3
Este valor no coincide con el calculado con la marca de clase ni con el que se obtuvo a
partir de los datos originales, por ello siempre que se disponga de los datos originales,
se calculará la mediana como si se tratase de datos discretos.
La expresión anterior para la mediana se puede formular en función de las frecuencias
relativas:
x x
1 ( )
0.5 1 j j
j j
me x F
j
f
+
-
-
= + -
Media: solo es aplicable a datos de tipo numérico, es la media aritmética de los datos
observados, o sea, la suma de todos ellos dividido por el número de observaciones:
7

8. N
å K para datos sin tabular, si están tabulados en tablas de
= + + + = =
1 2 1
i
N i
x
x x x x
N N
frecuencias:
å , siendo k el número de valores distintos y ni la frecuencia absoluta
1
k
i i
i
x n
x
N
= =
correspondiente al valor xi de la variable.
En caso que tengamos una variable tabulada en clases, en la formula anterior, k es el
número de clases y xi cada marca de clase. Como siempre, si se puede, es preferible
realizar los cálculos sobre los datos originales.
La media de la variable Nº de ramas primarias es:
x = + + + + + + + + + = + + + + = =
y la de la variable diámetro:
0 0 1 1 1 2 2 2 3 4 0* 2 1*3 2*3 3*1 4*1 16 1.6
10 10 10
x = 3.9 + 4.3 + 3.9 + 2.5 + 3.9 + 4.2 + 4.5 + 5.3 + 2.5 + 2.9 = 37.9 = 3.79
cm
10 10
esta última calculada a partir de la tabla de frecuencias es:
x = 2.85*3 + 3.55*3 + 4.25*3 + 4.95*1 = 8.55 + 10.65 + 12.75 + 4.95 = 36.9 = 3.69
cm
10 10 10
y no coincide con el valor calculado para los datos originales, por lo que se vuelve a
poner de manifiesto que siempre que se pueda, se debe operar con ellos.
Otras medidas de posición:
La media, mediana y moda son medidas que indican el centro de la distribución, vamos
a ver algunas más, que no indican el centro:
Cuartiles:
Si se localiza en el conjunto de datos ordenados aquellos que lo dividen en cuatro
intervalos con el mismo número de observaciones, habremos encontrado los cuartiles
primero, segundo y tercero.
Primer cuartil Q1: Es aquél valor de la variable que resulta ser mayor o igual que el
25% de los datos y menor que el 75% restante.
Para calcular Q1 se procede de diferente modo si los datos están agrupados en clases o
no. Para datos sin agrupar o con agrupamiento discreto, consideraremos el conjunto
original de datos ordenados, si de este conjunto eliminamos la mediana, quedan dos
subconjuntos, la mediana del primero de ellos es Q1.
Si se divide la lista de datos ordenados correspondiente a la variable Nº de ramas
primarias por el punto que corresponde a la mediana , quedan dos grupos de datos,
ambos con cinco datos :
Nº de ramas primarias 0 0 1 1 1 mediana 2 2 2 3 4
La mediana de la primera mitad es el dato (5+1)/2 = 3º, por tanto
Q1
Q1 = 1 : Nº de ramas primarias 0 0 1 1 1
Si los datos están agrupados en clases y no se dispone de los datos originales, se
procede de modo similar a lo hecho para la mediana en estos casos, y se puede aplicar la
8

9. fórmula vista, sustituyendo la frecuencia acumulada por N/4 o la acumulada relativa por
0.25:
x x
1 ( )
1 0.25 1 j j
j j
Q x F
j
f
+
-
-
= + -
aquí se considera que el intervalo que contiene al primer cuartil es el j-ésimo.
Para la variable diámetro, el intervalo que contiene el primer cuartil es el primero, cuyos
límites son 2.5 y 3.2 , la frecuencia relativa es 0.3 y la acumulada relativa, 0.3 también,
por ser el 1º por ello la frecuencia acumulada relativa correspondiente al intervalo
anterior es 0.
1 2.5 3.2 2.5 ( 0.25 0) 2.5 0.7 0.25 3.0833
Q = + - - = + =
0.3 0.3
Para esta variable, procediendo como datos discretos, Q1 = 2.9, siempre que se pueda se
debe trabajar sobre los datos originales, sin agrupar.
Segundo cuartil: Q2 es la mediana.
Tercer cuartil: Q3 , es aquél valor de la variable que resulta ser mayor o igual que el
75% de los datos y menor que el 25% restante.
Para datos sin agrupar, se calcula como la mediana de la segunda mitad de los datos
ordenados que se obtiene al dividir la lista original eliminando el dato mediano.
Respecto de la variable Nº de ramas primarias, la mediana de la segunda mitad es el
dato 5+(5+1)/2 = 8º, por tanto
Q3
Nº de ramas primarias 0 0 1 1 1 mediana 2 2 2 3 4
Q3 = 2
Para datos agrupados en clases, se localiza primero el intervalo que contiene el tercer
cuartil, que es aquél cuya frecuencia relativa acumulada es mayor o igual a 0.75, sea
este intervalo el j-ésimo, entonces:
x Q 3 = x + j + 1 -
x
j j ( 0.75 -
F
j
)
j
f
El tercer cuartil de la variable Diámetro está en el tercer intervalo (frecuencia
acumulada relativa = 0.9), su valor se puede calcular como:
3 3.9 4.6 3.9 ( 0.75 0.6) 4.25
Q = + - - =
0.3
mientras que de los datos originales como si fuesen discretos, Q3=4.3
Percentiles: Como extensión, si el primer cuartil es el valor de la variable que resulta ser
mayor o igual que el 25% de los datos y menor que el 75%, se define Percentil como el
valor de la variable que resulta ser mayor o igual que un porcentaje dado de los datos,
así se habla del percentil 10, del percentil 20, etc., se fácil comprobar que:
p25 = Q1; p50 = Q2 = me ; p75 = Q3
Si se desea calcular el percentil pa y el primer intervalo cuya frecuencia acumulada
relativa es igual o mayor que a/100 es el j-ésimo:
x x
+ 1
- = + æ a
ç - ö è ÷ ø
p x F
a f
100 1
j j
j j
j
-
9

10. En general, definimos el cuantil a ( en tanto por 1) como aquél valor de la variable que
resulta ser menor que el 100a% de los datos y mayor o igual que el 100(1- a)%
restante, es evidente que cuantil a = p100(1-a) .
Medidas de dispersión:
Para mejorar la información sobre el conjunto de datos no basta saber en torno a qué
valores está la mayoría de los datos, también es conveniente saber si el conjunto de
medidas son todas muy parecidas entre sí o si son muy diferentes, esto se consigue con
las medidas de dispersión o variabilidad.
Rango: es la medida de variabilidad más simple, es el mayor valor menos el más
pequeño, conforme más próximos sean los valores observados, menor será el rango.
R= max(xi) – min(xi)
Rango intercuartílico: El rango está influenciado por la presencia de algún error de
medida, que suele traducirse en valores excesivamente grandes o pequeños, por eso se
prefiere como medida de variabilidad, la diferencia entre los cuartiles tercero y primero,
también llamado Rango intercuartílico:
RI = Q3-Q1
Desviación media es la media de las diferencias o desviaciones de cada dato hasta la
media, tomadas en valor absoluto, pues de lo contrario la suma se anula:
N
1
i
i
m
x x
d
N
=
-
=
k
å si los datos están agrupados: 1
i i
i
m
x x n
d
N
=
-
=
å
Varianza: es la media de los cuadrados de las diferencias o desviaciones de cada dato
hasta la media:
N N
å å
( x -
x ) x
2
i i
2 i = 1 i
=
1 2
s = = -
x
N N
k k
å å
si los datos están agrupados en clases, la fórmula es: ( ) 2
x -
x n x n
i i i i
2 i = 1 i
=
1 2
s = = -
x
N N
Para la variable Nº de ramas primarias, el cálculo de la varianza es:
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
2 0 1.6 0 1.6 1 1.6 K
4 1.6 14.4 1.44
10 10
s
- + - + - + + -
= = =
Tratándolos como datos y frecuencias:
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
s - ´ + - ´ + - ´ + - ´ + - ´
2 0 1.6 2 1 1.6 3 2 1.6 3 3 1.6 1 4 1.6 1
1.44
= =
10
y por la fórmula reducida:
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
s ´ + ´ + ´ + ´ + ´
2 0 2 1 3 2 3 3 1 4 1 1.6 2 40 2.56 4 2.56 1.44
= - = - = - =
10 10
La varianza se expresa en unidades al cuadrado y no es comparable con los datos, por
eso se define
Desviación típica, es la raíz cuadrada positiva de la varianza,
s = s2
La desviación típica de la variable Nº de ramas primarias es : s = 1.44 =1.2
10

11. La varianza mide la dispersión de los datos respecto de la media de los propios datos. Si
lo que tenemos es una muestra, y se desea estimar la varianza de toda la población
con los datos de la muestra, se utiliza la
Cuasivarianza: ( ) 2
2 1
1 1
N
i
i
x x
s Ns
N N
=
-
= =
- -
å
para datos agrupados en clases, la fórmula es: ( ) 2
2 1
1 1
k
i i
i
x x n
s Ns
N N
=
-
= =
- -
å
De modo similar a la desviación típica, se define:
Cuasi desviación típica: s = s 2
Para estimar la varianza de toda la población respecto a la variable Nº de ramas
primarias, se usa la cuasivarianza de esa variable calculada con los datos de la muestra:
2 10 1.44 14.4 1.6
s = ´ = =
9 9
y la cuasidesviación típica: s = s 2 = 1.6 =1.265
Para comparar variabilidad entre magnitudes diferentes o entre diferentes muestras, se
utiliza el coeficiente de variación, que es la desviación típica expresada en medias:
CV s
x
=
El coeficiente de variación de la variable Nº ramas primarias es: CV = 1.4 =
0.875
1.6
En ocasiones, al tomar las medidas de un experimento, o cuando se transcriben los datos
para procesarlos, se comenten errores y aparecen datos mucho más grandes o mucho
menores que el resto, son los denominados Outliers, y es importante poder detectarlos y
comprobar si se trata o no de un error. Tanto la media como la varianza son muy
sensibles a la presencia de Outliers y por eso interesa detectarlos. La detección de
Outliers se puede hacer a partir de la media y desviación típica ya calculadas, se puede
demostrar que datos cuya desviación respecto de la media sea superior en valor absoluto
a tres desviaciones típicas son raros, por eso se suelen considerar outliers aquellos datos
que cumplan:
xi - x > 3s
No obstante, la presencia de los posibles outliers ha intervenido en el cálculo de la
media y de la desviación típica, por lo que sería recomendable utilizar otras medidas de
posición y dispersión para localizarlos, por eso se consideran outliers aquellas medidas
que sean menores que el primer cuartil menos 1.5 veces el rango intercuartílico, o
mayores que el tercer cuartil más 1.5 veces RI:
xi es un outlier por defecto, si: Q1- xi >1.5RI
xi es un outlier por exceso, si: xi - Q3 >1.5RI
Si la distancia llega a superar las 3 veces RI, entonces el outlier se considera grave, en
caso contrario, lo consideraremos leve.
Medidas de asimetría y de forma:
Además de dar información sobre la tendencia central de los datos y sobre cómo se
reparten respecto del centro, en ocasiones interesa conocer si los datos se reparten de un
modo simétrico a ambos lados de la media o no.
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12. El coeficiente de asimetría mide esta propiedad, y se calcula como:
( )
( )
3
å
1 3
1
1
=
1 3 3
=
-
-
= =
å
N
i N
i i
i
x x
x x
g N
s s N
, o , si los datos están agrupados:
( )
( )
3
å
1 3
1
1
=
1 3 3
=
-
-
= =
å
k
i i k
i i i
i
x x n
x x n
g N
s s N
Si g<0, existe asimetría hacia la izquierda. Si g>0, la asimetría es hacia la derecha. Si
g=0, la distribución de datos es simétrica.
El coeficiente de curtosis o apuntamiento mide si las frecuencias de los datos
centrales son mucho mayores que las de los datos extremos, o si, por el contrario, todos
los datos se repiten un número más o menos igual de veces. Se calcula como:
( )
( )
4
4
å
1
1
1
4 4
N
i N
i i
i
x x
x x
k N
s s N
=
=
-
-
= =
å , y , si los datos están agrupados: ( ) 4
=
1
1
4
k
-
i i
i
x x n
k
s N
=
å
Cuando los datos proceden de una distribución Normal, tomando la fórmula de la
densidad de una distribución normal se puede demostrar que el anterior coeficiente k
toma el valor 3. Por este motivo, el coeficiente de apuntamiento que se usa
habitualmente es:
å k
( ) 4
1
x x n
i i
3 1 = 3
g k
2 4
-
i
= - = -
s N
y compara el apuntamiento de los datos con el que
tendría una distribución normal teórica con igual media y varianza que la de nuestros
datos.
Si g2<0 decimos que los datos son poco apuntados (distribución platicúrtica,
apuntamiento menor que el de una normal), si g2 » 0 diremos que los datos tienen un
apuntamiento semejante al de una normal (distribución mesocúrtica), si g2>0 diremos
que nuestros datos tienen una distribución leptocúrtica o más apuntados que la normal.
Análisis exploratorio de datos:
Se conoce con este nombre a un conjunto de técnicas que mezclan gráficos y medidas
numéricas, y facilitan mucho la visión rápida de la distribución de los datos.
Diagrama de tallo y hojas:
Se construye considerando, por una parte la cifra de menor valor significativo de todos
los datos. Habitualmente esta cifra es la de las unidades, pero puede ser las decenas, si
todas las cifras terminan en cero, o las décimas o centésimas, etc., si los datos poseen
decimales. Con estas cifras se forman lo que se denomina “hojas”. Por otra parte se
considera el resto de dígitos que forma la cifra de los datos, es lo que se denomina
“tallo”.
Para construir el diagrama se tabulan los datos en varias filas. Cada fila está encabezada
por un tallo, y detrás de él se escriben ordenados e igualmente espaciados los dígitos
que forman las hojas correspondientes a cada tallo. Para la variable Diámetro:
12

13. Diámetro, datos ordenados 2.5 2.5 2.9 3.9 3.9 3.9 4.2 4.3 4.5 5.3
De cada dato, Tallo 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5
Hoja 5 5 9 9 9 9 2 3 5 3
Diagrama de tallo y hojas:
Tallo Hojas
2 5 5 9
3 9 9 9
4 2 3 5
5 3
Si lo vemos como en sentido horizontal, se muestra como un diagrama de barras y se
aprecia la forma de la distribución de frecuencias, y la simetría.
Para completar la información se suele añadir una columna delante del tallo en la que se
cuentan las frecuencias de cada tallo acumulándolas de arriba hacia abajo y viceversa,
en el tallo donde se encuentre el dato mediano se escribe solamente la frecuencia de ese
tallo, encerrada entre paréntesis. Si se desea se pueden marcar las filas donde estén los
cuartiles colocando un asterisco a continuación de la frecuencia. Para los datos
anteriores:
frecuencias Tallo Hojas
3* 2 5 5 9
(3) 3 9 9 9
4* 4 2 3 5
1 5 3
Diagrama de cajón y pata:
Es un gráfico en el que se incide más en la simetría y en la presencia de outliers,
consiste en dibujar un eje horizontal (también se podría hacer vertical) en el que se lleva
una escala correspondiente a los datos, más arriba se dibuja un segmento vertical sobre
la mediana y dos más, uno sobre cada cuartil posteriormente se cierran ambos
segmentos por segmentos horizontales, con esto se forma la caja. La posición relativa
del segmento mediano respecto de los lados de la caja ya nos informa sobre la simetría
de los datos.
A continuación y desde el centro de cada uno de los lados de la caja se lleva un
segmento horizontal que termina en el los valores observados menor y mayor que no
son outliers, si los hay, o en los valores menor y mayor de los observados. Si hay
outliers se marcan con símbolos especiales, por ejemplo, * para los leves y # para los
graves.
El diagrama de cajón y pata para la variable diámetro es:
Q1 me Q3
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Diagrama de caja
0 1 2 3 4 5 6

14. En este caso no hay outliers, y por eso la pata empieza con el menor dato y termina con
el mayor. Se puede ver que los datos se extienden desde algo más de 2 hasta algo más
de 5, que la distribución presenta una cola o asimetría hacia la derecha y que no hay
outliers; además se aprecia la ubicación y valor de la mediana y cuartiles. Respecto del
50% de los datos centrales, como puede verse en la caja, la asimetría es hacia la
izquierda.
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