1. 1
I. MEDIDAS, ERRORES E INCERTIDUMBRE
1.1. Medición de Cantidades Físicas
La física es una ciencia teórico–experimental que busca dar explicación y solución a los
fenómenos naturales y sus consecuencias. Para ello, es necesario cuantificar las variables
(magnitudes físicas) que intervienen en el fenómeno estudiado en el laboratorio o en el campo.
Medir no es más que el procedimiento con el cual se evalúa o se valora una magnitud física. Esto
consiste en establecer la razón numérica entre la magnitud considerada y otra de la misma especie
elegida previamente como unidad de medida o patrón. La unidad patrón debe ser establecida
previa y convenientemente; esto porque si varias personas realizan una medida de una magnitud,
cada una podría dar un valor diferente, dependiendo del tipo de patrón utilizado, y se les
dificultaría entender el significado tanto cuantitativo como cualitativo de la magnitud.
Igualmente, es importante la facilidad que preste para establecer el mejor valor (precisión) del
observable.
Al realizar una medición, el resultado se establece por medio de un número y la unidad
correspondiente (la cual está asociada a la denominada “patrón”). A esto hay que anexarle una
indicación de la incertidumbre con que se ha obtenido el valor de la magnitud. Ejemplo: (2,72 ±
0,02) A, (3,2 ± 0,1) V, (1.275 ± 5) Ω.
Cuando se tiene la medida de una magnitud, ésta se pudo haber obtenido por tres
procedimientos. Es decir, existen tres tipos o métodos de medición que permiten saber la
estimación que se tiene de un observable; éstos son mediciones: directas, indirectas y con
instrumentos calibrados.
En el primer método, las magnitudes se obtienen al utilizar un instrumento de medición;
esto, comparando la cantidad a medir con la unidad elegida (múltiplos o submúltiplos). Por
ejemplo: al medir la longitud del ancho de una mesa con una cinta métrica o al determinar la
intensidad de corriente eléctrica que circula por un conductor con un amperímetro.
En el segundo método, el valor de la variable física se obtiene por medio de una relación
analítica entre cantidades conocidas (constantes, etc.) y previamente medidas (en forma directa o

2. 2
con instrumentos calibrados). Por ejemplo: cuando se determina la resistencia de un conductor
por medio de la relación V= I.R (ley de Ohm), siendo V e I obtenidos previamente con un
multímetro; al determinar la cantidad de carga eléctrica que atraviesa un conductor en un tiempo
determinado, se mide, para tal fin, la intensidad de corriente eléctrica que circula por el conductor
con un multímetro y el tiempo se considera una constante (para cada valor que se le asigne).
En la medición con aparatos calibrados, se utilizan instrumentos previamente calibrados.
Para ello, se establece una correspondencia biunívoca entre la posición del índice en la escala
graduada y el patrón de medida, indicando en la escala dicha relación. De esta manera, las
medidas se leerán por la posición del índice en la escala. Por ejemplo: la mayoría de los
instrumentos utilizados para medir variables eléctricas entran dentro de esta clasificación; los
termómetros son instrumentos que han sido calibrados utilizando la propiedad de dilatación de
una columna de mercurio, de manera que la posición de la columna en una escala indica la
temperatura.
En cualquier caso, se puede observar que la medición es un procedimiento por el cual, se
obtiene una estimación o aproximación del verdadero valor o valor real, de una magnitud.
La Metrología, es la disciplina científica y tecnológica que se ocupa del estudio sistemático
de todo lo relacionado con el proceso de medición.
1.2. Expresión Correcta de las Cantidades Medidas
Recordando la definición inicial de medición, se encuentra que ésta no es más que una
estimación del valor de una magnitud. Esto quiere decir que cuando se hace una medida, el
resultado obtenido no es el valor exacto de la magnitud; lo que es lo mismo que establecer que no
es el valor real o verdadero. La causa que genera esta diferencia es asociada a una serie de
factores que intervienen al realizar el proceso de medición y desvirtúan el resultado final, éstos
están asociados con el: a) observador, b) medio ambiente que rodea la magnitud a medir, c)
parámetro en sí, d) instrumento; a estos factores que desvirtúan la obtención del valor obtenido
del proceso de medición, suele llamárseles, errores. Se plantea así, la existencia de una duda
sobre el valor de la magnitud medida, por lo que garantizar que dicho valor sea lo más próximo al
verdadero o real implica que debe estar acompañado de su incertidumbre. Esto permitirá
establecer los límites (intervalo) dentro de los cuales se encuentra el verdadero valor; ya que

3. 3
existe, pero no es posible como se ha planteado, precisarlo.
Como se estableció en párrafos iniciales, el resultado de una medición se establece al dar el
valor de la magnitud, la incertidumbre o error que se tiene sobre el valor obtenido y la unidad
correspondiente. Ejemplo:
L = (2,25 ± 0,01) cm ; I = (0,042 ± 0,002) mA ; V = 42,4 V con el 0,7%
Donde 2,25 cm, 0,042 mA y 42,4 V representan el valor obtenido por medio del proceso de
medición de la magnitud considerada, junto con su unidad. 0,01 cm., 0,002 mA y 0,7%
representan la incertidumbre que se tiene sobre el valor de la magnitud correspondiente. Ésta,
permite expresar el resultado de la medición como un intervalo dentro del cual, se encuentra el
valor verdadero del parámetro medido, del ejemplo anterior se tiene: [2,24 < L < 2, 26] cm y
[0,040 < I < 0,044] mA.
Como se observa, la incertidumbre se presenta de manera absoluta o estándar (0,01 cm,
0,002 mA) y relativa (0,7%). La forma absoluta viene dada por la apreciación (mínima medida
que puede realizarse con un instrumento) del instrumento o equipo de medición, o por la
realización de una serie de operaciones que permita su determinación (lo cual será objeto de
estudio más adelante). La representación porcentual se tiene de multiplicar el valor relativo (ER)
por cien. Usualmente, esta forma se escribe con dos o tres cifras significativas.
∆x Valor Absoluto
ER = = ; E% = E R ⋅ 100
x Promedio (valor más probable)
1.3. Cifras Significativas
Con este nombre se denomina a todo dígito que tenga significado físico. Viene dado por el
número de cifras, contadas desde la izquierda (a partir de la primera diferente de cero) hasta la
primera cifra afectada por el error, inclusive.
Analicemos las siguientes cantidades: 2,52 mm; 2,520 mm; 2,5200 mm. ¿Representan
físicamente la misma medida?
Desde el punto de vista de la física y otras ciencias, no. El porqué radica en el significado

4. 4
que toma cada número que conforma el valor de la medida, especialmente si se encuentra más a
la derecha de la expresión numérica. De esto, la última cifra del valor tiene un especial
significado, ya que está afectada de error y susceptible de aproximarse. Por lo tanto, 2,520 mm y
2,5200 mm. expresan medidas diferentes, puesto que en la primera hay cuatro (4) cifras
significativas y en las milésimas es donde puede realizarse la aproximación e indica que está
afectada de error en su lectura; mientras que en la segunda, existen cinco (5) cifras significativas
y en las diezmilésimas se puede realizar la aproximación y está afectada de error en su lectura.
De lo expuesto se puede plantear que: “El número de cifras significativas de una medida es
el número de cifras con las cuales se expresa su valor, siempre que la última de ellas sea
razonablemente cierta”.
Uno de los aspectos que complican el entendimiento de la definición anterior es saber
establecer cuándo los ceros son significativos y cuándo no. Este aspecto podrá aclararse
considerando la siguiente regla: los ceros a la izquierda de una expresión numérica nunca tiene
significado; por ejemplo: 0,041; 0,001234 y 0,25 tienen 2, 4 y 2 cifras significativas
respectivamente. Los ceros en estos casos sólo sirven para localizar la coma decimal. Por otra
parte, los ceros agregados a la derecha, como en 2,520 mm., sí tienen significado, porque la cifra
de las milésimas es razonablemente cierta, ya que está afectada de error y es susceptible de
aproximarse.
Existen casos de números enteros que terminan en varios ceros, de los cuales algunos de
ellos o todos no son significativos. En este caso, hay que expresar dicha cantidad en notación
científica (NC). Por ejemplo: el radio medio de la Tierra es de 6.370.000 m. aproximadamente;
escrito en NC sería 6,37x106 m., lo que indica que la cifra siete (7) es razonablemente cierta, está
afectada de error y es susceptible de ser aproximada.
Es importante considerar, por lo expuesto, que una medida es tanto más precisa cuanto
mayor es su número de cifras significativas y no de sus cifras decimales.
1.3.1. Operación con Cifras Significativas
Cuando se suma, resta o se aplican ambas operaciones, el resultado, debe tener un número
de cifras significativas después de la coma decimal, igual al sumando con menos cifras
significativas después de la coma decimal; lo que es igual a plantear que la última cifra

5. 5
significativa del resultado debe tener un orden igual a la última cifra significativa del operando
que posea mayor incertidumbre absoluta. Por ejemplo:
A = 132,75 + 23,1 – 46,345 = 109,505
Como el operando con la última cifra significativa con mayor incertidumbre absoluta es 23,1,
entonces:
A = 109,5
O también, en la operación: 23,37 A + 124,3 mA, el resultado será 23,49 A y no 23.494,3
mA.
Si la operación es de multiplicación o de división, o ambas, el resultado debe tener el
mismo número de cifras significativas que el operando con menos cifras significativas. Por
ejemplo:
37, 430 ⋅ 2,1254
= 24,7
3,22
Esto debido a que el operando 3,22 es el que tiene menos cifras significativas.
37,430 (cinco cifras significativas)
2,1254 (cinco cifras significativas)
3,22 (tres cifras significativas).
En el caso que en las operaciones aparezcan una o varias constantes (µ, π, ∈0, etc.), las
cuales poseen un número de cifras significativas muy grande o infinito, se establece que éstas no
introducen error en el cálculo de la magnitud considerada, ya que en el cálculo de dichos
parámetros existen variables medidas que, a lo sumo, pueden obtenerse con cinco cifras
significativas o algunos órdenes superiores.
1.3.2. Aproximación o Redondeo
Se ha establecido que el resultado de una medición depende del número de cifras
significativas de las cantidades que intervienen en su obtención, por lo que es necesario
aproximar o redondear el valor inicial de la magnitud determinada.

6. 6
Para tal efecto, las operaciones se deben realizar considerando todas las cifras significativas
de los operandos y luego aproximar el resultado según los criterios expuestos para operar con
cifras significativas. Por ejemplo:
3πB + 2C 2
A=
P
Donde: B = 4,75
C = 1,123
P = 2,5
π = 3,14
3 ⋅ 3,14 ⋅ 4,75 + 2(1,123) 2
⇒ A=
2,5
44,745 + 2,522258 44,7 + 2,522
⇒ A= Primera aprox. : A =
2,5 2,5
47,222 47,2
⇒ A= Segunda aprox. : A = = 9,44
2,5 2,5
Tercera aprox. : A = 9,4
Al final del capítulo se expondrán varios ejemplos donde se evidencie el procedimiento,
tanto para la medida como para la incertidumbre o error.
1.4. Error en una Medida
La diferencia entre el valor observado de una cantidad física y su valor verdadero se
denomina error de observación.
εi = xi – xv (1)
Siendo: εi el error de observación
xi los diferentes valores que toma la magnitud física
xv el valor verdadero de la cantidad física medida.
También se pueden expresar como error de observación, aquellos aspectos o defectos que
desvirtúan la calidad de una medición.

7. 7
1.5. Clasificación de los Errores
Los errores se clasifican en sistemáticos y aleatorios o casuales.
1.5.1. Errores Sistemáticos
Son los que se repiten constantemente en el transcurso de la experiencia, afectando el
resultado final en un mismo sentido; es decir, tienden a hacer que los valores medidos sean
siempre mayores o menores que el valor verdadero. Contribuyen a que la exactitud sea baja o
alta. Pueden ser constantes o variar de forma regular. Por ejemplo, instrumentos mal calibrados,
condiciones experimentales inadecuadas, método experimental incorrecto o que no es el más
adecuado, la falta de definición (conocimiento) de la magnitud estudiada, etc. Se logra disminuir
los errores sistemáticos siendo cuidadosos al montar y ejecutar una experiencia, o, al identificar
su naturaleza y corregirla.
1.5.2. Errores Casuales
Son aquéllos que aparecen sin aparente causa o fortuitamente y se escapan del control
experimental. Tienen un comportamiento aleatorio, varían en magnitud, son desordenados (al
azar) y oscilan alrededor de un valor medio. Contribuyen a la imprecisión de las medidas. Por lo
general, son inevitables y difíciles de precisar. Entre éstos se encuentran: las pequeñas
alteraciones ambientales, descuidos momentáneos del observador. Usualmente, se disminuyen al
repetir muchas veces la medida de la magnitud estudiada. Los errores casuales contribuyen a la
dispersión.
1.6. Exactitud y Precisión
1.6.1. Exactitud
Se refiere a la cercanía de los valores medidos al valor verdadero. Está relacionada con la
apreciación de los instrumentos de medición y con los errores sistemáticos.

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Figura 1
1.6.2. Precisión
Se refiere a la cercanía de los valores medidos entre sí. Es independiente de los errores
sistemáticos y está relacionada con los errores casuales.
Figura 2
1.7. Clasificación y Cálculo de la Incertidumbre
La incertidumbre puede clasificarse en:
1. TIPO A: se debe a la dispersión a posteriori de un conjunto de medidas, efectuadas bajo
las mismas condiciones

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2. TIPO B: está asociada a una medida de dispersión estadística que viene de una
distribución a priori(dada por el fabricante o el operador) y no necesariamente se realiza
bajo las mismas condiciones
3. TIPO COMBINADA (A, B): se plantea cuando la magnitud a medir depende de otra o
varias magnitudes (medidas indirectas), por lo que la incertidumbre de la variable a
medir depende de la de otro parámetro ya medido de forma directa o indirecta
Para que sea aplicable la teoría que va a exponerse, es necesario que todas las medidas se
realicen con las mismas condiciones, por lo que debe utilizarse el mismo instrumento y escala
para medir una magnitud dentro de todo el proceso experimental, igualmente en lo posible
mantener las condiciones ambientales estables, así como, cualquier otro factor que pueda afectar
la medición.
1.7.1. Para Medidas Directas (Incertidumbre Tipo A)
Se sabe que, para minimizar los errores casuales, se debe repetir muchas veces la medida de
la magnitud en cuestión. De aquí que los cálculos a plantearse se encuentren dentro de un proceso
estadístico.
Al no poderse conocer el valor verdadero de una magnitud A, se debe considerar el valor
más probable de éste, el cual será una medida de posición o de tendencia central (moda, mediana
y media aritmética), ya que indica hacia dónde los datos tienden a agruparse (esto, dentro de un
análisis estadístico, es decir, con muchas medidas o valores de A) y éstos deben tender a
agruparse alrededor del valor que se aproxima o es igual a xv (verdadero valor de la magnitud A).
Para una relación simétrica, las tres medidas de tendencia central coinciden, pero si la relación es
asimétrica, la diferencia es sustancial.
Para una distribución gaussiana(ver Figura 3), se tiene que:
2
1  x− x 
−  

e −h ( x − x )
1 h
e 2 µ 
2 2
f ( x) = = (2)
µ 2 π
1
Donde: h =
µ 2

10. 10
Mientras mayor sea h, los valores medidos serán más próximos entre sí, garantizando que
la medida de tendencia central esté más cerca del valor verdadero; esto, debido a que, del
universo de medidas, las de tendencia central son las que arrojan resultados más cercanos al valor
verdadero o iguales a él.
De una muestra del universo de valores de A, las medias aritméticas ( x ) de las muestras se
agrupan con mayor densidad alrededor de la media del universo; es decir, la media aritmética está
más próxima del valor verdadero. De aquí que, mientras más medidas se realicen, x y xv estarán
más próximos.
La justificación para considerar a x como el valor más cercano o igual a xv se debe al
siguiente planteamiento: Si una cantidad xv (valor verdadero) es medida n veces y denotada como
x1, x2, x3......xn, se puede, entonces, escribir xi = xv + Ei, donde Ei es el error de observación de la
medida xi.
El valor medio, promedio o media aritmética x de las n mediciones se define como:
n
∑ xi x1 + x 2 + x3 + .... + x n
i =1
x= =
n n
Por lo tanto:
(xv + E1 ) + (xv + E 2 ) + (xv + E3 ) + ... + (xv + E n ) = x E1 + E 2 + E3 + ... + E n
x= v +
n n
E1 + E2 + E3 + .... + E n
⇒ x = xv + (a)
n
Siendo el error en x la desviación estándar o el promedio de los valores absolutos de las
desviaciones de cada medida respecto a x .
Como algunos errores pueden ser positivos y otros negativos, el valor medio de los errores
E + E2 + E3 + .... + En
( 1 ) debe ser muy pequeño; para cualquier caso, siempre será menor que el
n
valor absoluto mayor de los errores (Em):
E1 + E2 + E3 + .... + En
≤ Em
n
De esto y de (a) se tiene: x − xv ≤ Em

11. 11
De esta última relación se concluye que el valor medio x estará cerca del
valor verdadero xv y, por lo tanto, se puede considerar como el mejor valor de la cantidad medida.
Este razonamiento y la definición de error de observación son intuitivamente correctos (no son
rigurosamente exactos), ya que es imposible determinar E1, E2, E3....En porque xv es desconocido.
Por esta razón, es usual estudiar la dispersión de las medidas alrededor del valor medio o más
probable x y no del verdadero valor xv.
A continuación, se presenta la manera de determinar la incertidumbre estándar para
diferentes casos. De lo anteriormente planteado se tiene que la media aritmética de una serie de
medidas se definió como:
n
∑ xi
i =1
x= (3)
n
La diferencia entre este valor y cualquiera de las n medidas, se denomina valor aparente ei
de una medida xi con respecto al valor promedio x .
ei = xi – x ei → valor aparente (4)
Una medida de dispersión, la cual muestra cómo se reparten los datos alrededor de la
medida de posición ( x → promedio), es la desviación estándar, la cual se define como:
n
∑ ei2
i =1
S= (5)
n
Para un conjunto de medidas (muestreo) reales, la mejor estimación de la desviación
estándar es:
n
∑ ei2
i =1
µ= (6)
n −1
La cual se denomina valor cuadrático medio. Éste define la proximidad de los valores
medidos al valor de tendencia central (dispersión alrededor del valor central).

12. 12
Sin embargo, al considerar que las medias de las muestras se agrupan con mayor densidad
alrededor de la media del universo (valor próximo o igual al valor verdadero), la dispersión de las
medias de las muestras se representa como la desviación estándar de la distribución de medias de
las muestras y se denomina desviación estándar de la media, siendo su valor:
µ
σ= (7)
n
Como la incertidumbre tipo A se define como un parámetro que caracteriza la dispersión de
los resultados de la medición, diremos que σ representa la mejor estimación, ya que es la que
genera menor dispersión y se denomina incertidumbre estándar o absoluta.
Procedimiento a seguir en el laboratorio:
Como se planteó anteriormente, para medidas directas (realizadas con el mismo
instrumento y apreciación) se hace un análisis estadístico en el cual se deben efectuar muchas
medidas, pero limitaciones de tiempo impiden realizar grandes cantidades de medidas en el
laboratorio; por esto, en este laboratorio se considerará diez (10) como el mínimo número de
medidas para poder aplicar el método estadístico.
El procedimiento consiste en tomar un conjunto de medidas ligeramente superior al
mínimo, alrededor de quince (15) medidas; esto dentro de lo posible. Si las condiciones lo
permiten, se tomará un número mayor de medidas.
Una vez que se tiene el número de medidas hechas, se calcula el valor promedio ( x ) y el
valor cuadrático medio (µ). Luego, se halla el intervalo [ x – 3µ, x + 3µ] y se desprecian todas
aquellas medidas que queden fuera del intervalo. Este procedimiento se repite hasta que todas las
medidas queden dentro del intervalo definido, o hasta que el número de medidas se haga inferior
a diez (10).
Después del procedimiento anterior, se tiene que: a) cuando el número de
medidas que quedan es mayor o igual a diez (n ≥ 10) se determina σ de la forma
establecida y el resultado se expresa como x ± 3σ; b) si el número de medidas es menor que diez
(n < 10), se tomará como incertidumbre de la magnitud medida el valor de ½ (valor máximo de x
– valor mínimo de x), denominado mínima incertidumbre; c) si n = 1, la incertidumbre será igual

13. 13
a la apreciación del instrumento.
Es importante tener presente que, para aplicar el criterio anterior, se deben tomar en cuenta
las siguientes consideraciones:
1. Todas las medidas deben realizarse con la misma apreciación.
2. Aun teniendo un número muy grande de medidas, la incertidumbre nunca puede ser nula.
4. En el caso en que 3σ sea menor que la apreciación, se tomará ésta última como la
incertidumbre que se tiene sobre la medida.
Nota: El hecho de usar 3µ y 3σ en los procedimientos anteriores se debe a que µ es una medida
del ancho de la curva normal y, por lo tanto, de la incertidumbre que se tiene al efectuar la
medida. Se ha comprobado que cuando se tiene un conjunto muy grande de medidas, el 68,3% de
las medidas estarán comprendidas entre x – µ y x + µ; el 95,45% entre x – 2µ y x + 2µ;
alcanzándose el 99,73% entre x – 3µ y x + 3µ. Como µ no se utiliza como incertidumbre, sino
el parámetro σ, entonces se considera 3σ como la incertidumbre en la medida de la magnitud
estudiada. A este criterio establecido se le conoce como el criterio de las tres sigmas y determina
el intervalo de confiabilidad, el cual indica la probabilidad de que el valor de una magnitud
medida se encuentre dentro de los límites del intervalo de incertidumbre. A menudo, los
fabricantes suministran la información bajo este concepto.
Figura 3

14. 14
Es importante tener presente que el criterio establecido por este laboratorio para n = 1, es
considerar la incertidumbre como la apreciación del instrumento, lo cual es válido dentro de
ciertas consideraciones estadísticas y metrológicas (no mencionadas, ya que están fuera del nivel
del curso). Realmente, cuando se va establecer el intervalo de incertidumbre de una magnitud que
se mide con un instrumento, una sola vez, se deben tener en cuenta los siguientes parámetros: la
apreciación de éste, su resolución y sensibilidad
La apreciación es la distancia entre dos divisiones sucesivas (si se trata de un instrumento
analógico) o la mínima lectura que puede obtenerse con un instrumento.
La resolución es la capacidad que posee un instrumento para diferenciar dos medidas
consecutivas.
En el caso de instrumentos analógicos con galvanómetros (como los multímetros
analógicos), se tiene el parámetro llamado sensibilidad, el cual es igual a la menor variación de la
magnitud que produzca deflexión en la aguja del instrumento.
En el caso de los equipos digitales de medición, por lo general, la incertidumbre viene
establecida por una serie de factores dados por el fabricante (ver ejemplo en medidas de
resistencias, sección 1.4 pág.63).
1.7.2. Incertidumbre tipo B
Se desea evaluar la incertidumbre de una magnitud o parámetro, que no ha sido obtenido de
una serie de medidas(por la persona que realiza la evaluación), en este caso se debe recoger y
considerar toda información relevante sobre la obtención de dicha magnitud, como: conocimiento
general del parámetro, propiedades de los materiales y equipos de medición usados en la
obtención de la magnitud estudiada, incertidumbres relacionadas con los valores suministrados
por el fabricante e inclusive, la experiencia previa del operario sobre el manejo de instrumentos y
posibles distribuciones obtenidas de experimentos anteriores, que le permitan establecer un
criterio con propiedad para escoger la incertidumbre, también es importante tener presente las
especificaciones de los fabricantes sobre certificaciones, incertidumbres relacionadas con datos
que provengan de tablas o manuales(estas especificaciones certificaciones y datos, como se
expreso anteriormente, son presentados generalmente en intervalos de confiabilidad bajo el
criterio de las tres sigmas).

15. 15
Ejemplo: el certificado de fabricación de un diodo semiconductor, indica que éste tiene un
potencial de conducción de 0,72v, con una incertidumbre de 0,06v, bajo el criterio de las tres
0,06
sigmas, por lo que la incertidumbre estándar es σ = = 0,02 v .
3
Bajo la definición anterior, se podría establecer que, cuando se obtiene una medida a través
de una sola medición, la incertidumbre(apreciación) asociada a la magnitud es tipo B, ya que está
dada bajo un criterio a priori, dado por la experiencia y habilidad del operador. Esto es válido,
porque se puede determinar dentro del intervalo establecido, que una serie de medidas
semejantes, caen dentro del rango dado con la apreciación como incertidumbre.
Por ejemplo: cuando se mide con un multímetro analógico la resistencia de un
conductor(fuera del contexto de la demostración de una ley o fenómeno), se realiza comúnmente
una sola medición(caso usual en el laboratorio, para verificar el valor nominal o utilizarlo como
dato fiel en un cálculo). En este caso, el usuario utiliza el criterio de establecer como
incertidumbre la apreciación del instrumento según la escala escogida, aún más, puede refinar
dicho criterio al considerar que la medida se aproxima al valor medio de la apreciación, por lo
que está considerando que su experiencia establece que las medidas que puede realizar, se
distribuirán alrededor de este último valor.
También dentro de este tipo de incertidumbre puede considerarse, el valor obtenido de una
gráfica, el cual tiene asociado una incertidumbre.
1.7.3. Medidas Indirectas (Incertidumbre Combinada)
Existen muchas magnitudes físicas que no pueden obtenerse a través de una medida directa,
por ejemplo: el volumen de una esfera, la frecuencia de una señal eléctrica, el trabajo realizado
por una fuerza, la energía almacenada en un condensador, etc. Las magnitudes de este tipo
dependen de otras, medidas previamente, que por supuesto, poseen incertidumbre que va a influir
en el resultado de la magnitud física requerida.
Para el cálculo de este valor de propagación existen diferentes métodos; de ellos, sólo se
estudiará el método de las derivadas parciales. Éste se basa en el desarrollo de Taylor de una
función.

16. 16
Considérese la función F(x), la cual será evaluada en el punto x0 + ∆x. Si se conoce el valor
de la función en x0 e, igualmente, las derivadas de diferentes órdenes en x0, entonces, F(x0 + ∆x)
vendrá dada por:
dF 1 d 2F 1 d nF
F ( x 0 + ∆x ) = F ( x0 ) + ∆x + 2
(∆x) + .... +
2
n
(∆x ) n + ...
dx x= x0 2! dx x= x0 n! dx x = x0
Si ∆x << x0, los términos de orden superior a dos son muy pequeños y, por lo tanto, se
pueden despreciar, quedando:
dF
F ( x 0 + ∆x ) = F ( x0 ) + ∆x
dx x= x0
Para el caso que la función sea evaluada en el punto x0 – ∆x, se tendrán que efectuar las
mismas consideraciones y desarrollo, lo que vendría a dar:
dF
F ( x 0 − ∆x ) = F ( x0 ) − ∆x
dx x= x0
dF
De las dos últimas operaciones, despejando ∆x y operando, se obtiene:
dx x= x0
dF
∆F ( x 0 ) = ∆x (8)
dx x= x0
De esta manera, se puede asociar a F(x0) una medida indirecta de otra medida x0.
Si la medida indirecta es una función de varias variables, se tiene:
δF δF
F ( x ± ∆x, y ± ∆y, z ± ∆z ,..., w ± ∆w) = F ( x0 , y 0 , z 0 ,..., w0 ) ± ∆x ± ∆y ±
δx x = x0 δy y = y0
δF δF
± ∆z ± ... ± ∆w ± ... ± Términos de orden superior que se desprecian
δz z = z0 δw w= w0
δF δF δF δF
Donde , , y son las derivadas parciales de la función.
δx δy δz δw

17. 17
Utilizando el procedimiento para el caso de una variable, se tiene:
δF δF δF δF
∆F ( x 0 , y 0 , z 0 ,..., w0 ) = ∆x ± ∆y ± ∆z ± ... ± ∆w
δx x= x0 δy y = y0 δz z = z0 δw w= w0
Se puede ver que la contribución de las derivadas parciales de F(x, y, z,..., w) puede ser
positiva o negativa. Como al realizar la medida se debe tomar el caso más desfavorable, se debe
considerar, entonces, el mismo signo para todos los términos. Por esto, el error de la función F
vendrá dado por:
w
δF
∆F ( x 0 , y 0 , z 0 ,..., w0 ) = ∑ ∆i (9)
i= x δi i =i0
1.7.4. Método Indirecto con Múltiples Medidas de las Variables que Intervienen
Usando el mismo instrumento y apreciación. En el análisis anterior, realizado para
medidas indirectas, se ha considerado que las variables que intervienen en la determinación de la
magnitud medida y su incertidumbre han sido medida una sola vez. ¿Qué sucede si estas
variables son medidas varias veces (manteniendo la condición de ser obtenidas con el mismo
instrumento y la misma apreciación)? En este caso, se aplica el siguiente procedimiento: primero,
se calcula para cada conjunto de variables x1, x2, x3,..., xn la función F (considerada como medida
indirecta); así se obtiene un grupo de F1, F2, F3,..., Fn y con estos valores se determina la F .
Segundo, se determinan µF y σF de la misma forma en que se realiza para medidas directas
(estadístico).
Otra forma es determinar, primero, el promedio de cada una de las variables que
intervienen en la obtención de F, así como la µ y σ correspondientes (aplicando el método para
medidas directas). Posteriormente, cada promedio se sustituye en la relación de F,
determinándose F . Para los µF y σF se aplican las siguientes ecuaciones:
2
n  δF 
µF = ∑ µ2
j

 δx j


(10)
j =1  

18. 18
2
n  δF 
σF = ∑ σ2
j

 δx j


(11)
j =1  
Donde µj y σj son los valores cuadráticos medio y estándar de las variables x1, x2, x3,..., xn
 δF 
respectivamente, mientras que   es la derivada parcial de F con respecto a la variable xi.
 δx j 
 
Si las variables xi se han medido un número de veces menor que diez, entonces no se puede
aplicar el tratamiento estadístico para la obtención de la incertidumbre. En este caso, se procede a
aplicar la siguiente relación:
n
δF
∆F = ∑ ∆xi (12)
i =1 δxi
Nota: Para este análisis se está considerando que las medidas de las variables que intervienen en
la determinación de F y sus respectivas incertidumbres, son estadísticamente independientes (una
medida y su incertidumbre no están relacionados con otra y su incertidumbre). La condición
planteada es la que se presenta en forma general en el laboratorio.
Usando diferentes instrumentos y apreciaciones. En todo el estudio previo se consideró
que las medidas realizadas se obtuvieron con la misma apreciación. ¿Qué sucede si esta
condición es alterada (situación usual en las medidas de variables eléctricas), es decir, las
medidas realizadas se determinan con diferentes apreciaciones (cambio de instrumento o escala)?
Para dicha situación se debe aplicar la ponderación de los resultados y la media pesada.
En el presente estudio sólo se plantearán las relaciones pertinentes, sin entrar en el análisis
y discusión de las mismas.
2
 1 
∑ xi 
σ 

x =  i  (13)
2
 1 
∑σ
 

 i 
2
 1 
Donde x se denomina media pesada de las magnitudes xi, mientras que 
σ  es el peso

 i 
de cada una de éstas. La incertidumbre asociada a x viene dada por:

19. 19
1 (14)
σx = 2
 1 
∑σ
 

 i 
Nota: Aquí la incertidumbre estándar no se multiplica por 3 para obtener ∆x. En este caso, σx y
∆x son iguales; esto, debido a que en la determinación de σx ya está incluido el producto por 3.
Por tal motivo, σx representa directamente la incertidumbre absoluta.
Para cada caso, se presentará al final de la unidad un ejemplo de cómo utilizar las diferentes
relaciones y en qué caso aplicarlas.
1.8. Método de las Derivadas Logarítmicas
Este método permite simplificar el cálculo del valor relativo de la incertidumbre, por medio
del uso de las derivadas logarítmicas en funciones dependientes de productos, cocientes y
potencias de varias variables.
Consiste en tomar el logaritmo neperiano de la función y luego diferenciarlo; se agrupan
los términos comunes al diferencial de cada variable, los diferenciales se presentan como errores
y se toma el valor absoluto de cada factor acompañante.
A continuación se presentan algunos ejemplos donde se evidencia la utilidad del método.
1. Para una partícula cargada que entra en una región de campo magnético uniforme y
suficientemente extenso, el movimiento descrito es circular uniforme, donde el radio de
la trayectoria circular viene dado por:
m⋅v
R= Donde: m → masa de partícula
q⋅B
q → carga de la partícula
v → velocidad tangencial de la partícula
B → magnitud del campo magnético
Aplicando el logaritmo neperiano a ambos lados de la igualdad y aplicando las
propiedades, se tiene:
ln R = ln m + ln v – ln q – ln B
dR dm dv d q dB
Diferenciando: = + − −
R m v q B

20. 20
Considerando los diferenciando como los valores absolutos de las incertidumbres y
tomando el valor absoluto de cada factor, queda:
∆R ∆m ∆v ∆q ∆B
= + + +
R m v q B
V2
2. La potencia eléctrica viene dada por: P =
R
Utilizando el procedimiento descrito, se tiene:
ln P = 2ln V – ln R
dP dV dR
=2 −
P V R
∆P 2 1
Y, finalmente: = ∆V + ∆R
P V R
2. Se tiene que, cuando un condensador se descarga, la relación para la carga del
condensador viene dada por:
t
−
τ
Donde: Q → carga del condensador
Q = C ⋅ε⋅e
C → capacidad del condensador
ε → fuerza electromotriz
t → tiempo
τ → constante de tiempo
Se suponen conocidas todas las magnitudes y sus incertidumbres, a excepción de τ. Se
quiere, determinar ∆τ.
t
ln Q = ln C + ln å −
ô
dQ dc då 1 t
= + − dt + 2 dô
Q c ε τ τ
∆Q ∆C ∆ε ∆τ t
− − + = 2 ∆τ
Q C ε τ τ
τ2  ∆Q ∆C ∆ε ∆t 
⇒ ∆τ =  + + + 
t Q
 C ε τ


21. 21
4. La velocidad media viene definida por la relación:
x 2 − x1
Vm =
t 2 − t1
El error relativo de Vm será:
ln Vm = ln (x2 – x1) – ln (t2 – t1)
dVm d ( x2 − x1 ) d (t 2 − t1 )
= −
Vm x 2 − x1 t 2 − t1
dVm dx2 − dx1 dt 2 − dt1
= −
Vm x2 − x1 t 2 − t1
dVm dx2 dx1 dt 2 dt1
= − − −
Vm x 2 − x1 x2 − x1 t 2 − t1 t 2 − t1
∆Vm ∆x 2 ∆x1 ∆t 2 ∆t1
= + + +
Vm x 2 − x1 x2 − x1 t 2 − t1 t 2 − t1
1.9. Ejemplos y Ejercicios
1.9.1. Medidas Directas
1. Se procede a determinar el ancho de una pieza metálica con un vernier, obteniéndose las
siguientes lecturas:
40,0 mm. 40,1 mm. 40,0 mm.
39,8 mm. 40,0 mm. 40,0 mm.
40,2 mm. 40,0 mm. 39,7 mm.
40,0 mm. 39,9 mm. 40,3 mm.
39,9 mm. 40,1 mm.
Determinar el valor más probable y la incertidumbre que se tiene sobre la medida del ancho
de la pieza.
Razonamiento:
Lo primero que se debe determinar es x y µ; esto, con el fin de buscar la dispersión x –
3µ, x + 3µ y despreciar todas aquellas medidas que queden fuera del intervalo. Se repite el
procedimiento hasta que todas las medidas queden dentro del intervalo o hasta que el número de

22. 22
medidas se menor que diez (n < 10). Finalizado este procedimiento, se escoge el criterio para
determinar ∆x, si:
n ≥ 10 ⇒ ∆x = 3σ
LM − Lm
n < 10 ⇒ ∆x =
2
n = 1 ⇒ ∆x = Apreciación del instrumento
Procedimiento:
x = 40,0 mm.
ei = xi – x
e1 =0,0 mm. e5 =–0,1 mm. e9 =–0,1 mm. e13 =–0,3 mm.
e2 =–0,2 mm. e6 =0,1 mm. e10 =0,1 mm. e14 =0,3 mm.
e3 =0,2 mm. e7 =0,0 mm. e11 =0,0 mm.
e4 =0,0 mm. e8 =0,0 mm. e12 =0,0 mm.
n
∑ ei2
i =1
µ=
n −1
n
∑ ei2 = (0,0)2 + (− 0,2)2 + (0,2)2 + (0,0)2 + (− 0,1)2 + (0,1)2 + (0,0)2 + (0,0)2 + (− 0,1)2
i =1
+ (0,1)2 + (0,0 )2 + (0,0 )2 + (− 0,3)2 + (0,3)2
n
⇒ ∑ ei2 = 0,3 mm 2
i =1
0,3 mm 2
⇒µ= = 0,15 mm. ≅ 0,2mm; 3µ = 0,6 mm.
13
x – 3µ = 39,4 mm. x + 3µ = 40,6 mm.
Intervalo = [39,4 – 40,6] mm.
Todas las lecturas de las medidas realizadas se encuentran dentro del intervalo; por tal
motivo, no se desprecia ninguna de las medidas y n ≥ 10, escogiéndose ∆x = 3σ.
µ 0,2 mm.
σ= ⇒ σ= = 0,05 ≅ 0,1 mm.
n 14
⇒ 3σ = 0,3 mm.

23. 23
Respuesta: x ± ∆x = [40,0 ± 0,3] mm.
2. Se midió el diámetro de una varilla en distintos sitios, por medio de un tornillo
micrométrico cuya apreciación es de 0,01 mm. Los resultados de las medidas fueron los
siguientes: 8,07; 8,10; 8,03; 8,12; 8,17; 8,14; 8,16; 8,17; 8,13; 8,14; 8,18; 8,20 y 8,05; todas en
milímetros. Determinar el valor medio y la incertidumbre.
3. Con un ohmímetro se procedió a medir la resistencia de un resistor, siendo los resultados
de las medidas los siguientes: 1.003, 997, 1.009, 1.011, 1.005, 1.001, 995, 998, 997, 1.002, 1.012,
1.006, 1.003, 996 y 1.001; todas en ohmios. Si la apreciación del instrumento es de 25 Ω,
determinar el valor más probable de R, la incertidumbre que se tiene sobre la medida y el valor
relativo.
1.9.2. Medidas Indirectas
1. Se miden la resistencia R y la corriente I. Los resultados son los siguientes: R = (10,0 ±
0,2) Ω; I = (5,0 ± 0,5) A.
¿Cuál es el valor de la potencia disipada en la resistencia, su incertidumbre absoluta y su
valor relativo?
Datos: Relación:
R = (10,0 ± 0,2) Ω P = I2 ⋅R
I = (5,0 ± 0,5) A
Procedimiento:
P = (5,0 A) ⋅ (10,0 Ω ) = 250 watts = 2,5 ⋅ 10 2 watts
2
δP δP
∆P = ∆I + ∆R
δi δR
∆P = 2 IR∆I + I 2 ∆R = 2 (5,0 A )(10,0 Ω )(0,5 A ) + (5,0 A ) (0,2 Ω )
2
∆P = 50 W + 5 W = 55 W = 0,55 ⋅10 2 W ≅ 0,6 ⋅ 10 2 W
∆P
eR = ⋅ 100 = 22%
P

24. 24
Respuesta:
a) 2,5 x 102 W b) 0,6 x 102 W c) 22%
2. Dada la función F = 3xy2z, con:
x = 5,22 ± 0,03
y = 12,5 ± 0,5
z = 145,4 ± 0,1
Determinar el valor de la función, la incertidumbre absoluta y el valor relativo.
3. Un experimento para medir la densidad ρ de un objeto cilíndrico utiliza la ecuación
ρ = m/π . R2 . l, en donde:
m = (0,029 ± 0,005) Kg.
R = (8,2 ± 0,1) mm.
l = (15,4 ± 0,1) mm.
¿Cuál es el valor calculado y la incertidumbre absoluta de la densidad?
3. La distancia focal f de un lente delgado se va a medir usando la ecuación:
1 1 1
+ =
a b f
Donde:
a = (0,154 ± 0,002) m.
b = (0,382 ± 0,002) m.
¿Cuál es el valor calculado de la distancia focal y su incertidumbre absoluta y relativa?
5. En una experiencia para determinar la resistencia de un alambre, se mide la diferencia de
potencial V = (12,4 ± 0,2) V a los extremos del alambre y la intensidad de corriente eléctrica que
circula por el alambre es I = (3,25 ± 0,05) A. Sabiendo por la ley de Ohm que R = V/I,
determinar: a) El valor de R, b) la incertidumbre absoluta y la c) la incertidumbre relativa.

25. 25
1.9.3. Ejemplos de Aplicación del Método Indirecto con Múltiples Medidas de las Variables
que Intervienen (Iguales Instrumentos y Apreciaciones)
1. En el laboratorio se conecta el primario de un transformador a la salida del generador de
frecuencias. Manteniendo la amplitud de salida del generador constante y variando la frecuencia
(diez valores) entre 400 Hz y 40.000 Hz, se procedió a tomar lectura del voltaje en el primario
(Vp) y en el secundario (Vs), para luego determinar la razón de transformación (a) del
transformador utilizado. Los valores obtenidos para Vp y Vs son:
(Vp ± 0,01)V (Vs ± 0,001)V Aplicando la primera forma del método planteado
8,15 0,510 en 1.6.5, se tiene que:
8,20 0,510 Vs
a=
8,24 0,510 Vp
8,32 0,510 Con esta relación se determina la razón de
8,49 0,510 transformación para cada par de valores Vp y Vs.
8,90 0,470 El error absoluto se calculará con la siguiente
8,92 0,420 relación:
8,83 0,350 δa δa 1 −V
∆a = ∆Vs + ∆V p = ∆Vs + 2s ∆V p
8,74 0,310 δVs Vp Vp Vp
7,83 0,254 Los resultados se presentan en la siguiente tabla:
a ± 0,0002
0,0626
a=
∑ ai = 0,0516
0,0622 n
0,0619
0,0613 µ a = 0,0120 σ a = 0,00379 3σ a = 0,0114
0,0601
a ± 3σ a = (5,16 ± 1,14 ) ⋅ 10 −2
0,0528
0,0471
0,0396
0,0355
0,0324

26. 26

27. 27
A continuación se plantea la segunda forma del método discutido en 1.6.5. para la obtención
de a y ∆a.
Vp =
∑V pi
= 8, 46 V Vs =
∑V = 0,411V
si
n n
µV p = 0,373V µ Vs = 0,160 V
σV p = 0,118V σVs = 0,051V
Aplicando la ecuación 11 de la sección 1.6.5, se tiene:
2 2
 −V
 + σ2  1 

σ a = σV p  2s
2
Vs 

V  Vp 
 
 p 
⇒ σ a = 0,00607 ⇒ 3σ a = 0,0182
V
a = s = 0,0486
Vp
a ± 3σa = (4,86 ± 1,82 )
Como puede verse, el intervalo obtenido por la segunda forma del método explicado en la
sección 1.6.4 incluye el determinado por la primera forma del método. Es importante hacer notar
que a no depende de la variación de la frecuencia; sin embargo, a pesar de que los valores
obtenidos difieren un poco, esto es debido a factores inherentes al transformador (tema que se
estudiará posteriormente).
1. En una experiencia, se quiere demostrar que un conductor óhmico (cumple con la ley de
Ohm) no varía su resistencia con la temperatura. Para tal efecto, se aplica una diferencia de
potencial constante y se procede a medir con un multímetro, cada 5 minutos, la intensidad de
corriente eléctrica que circula por el conductor. Los valores obtenidos, con los cuales se
procederá a determinar R y su incertidumbre, se presentan en la siguiente tabla:
(V ± 0,01) V (I± 0,01)mA (t ± 1) seg. (V± 0,01) V (I± 0,01)mA (t ± 1) seg.
5,00 6,25 0 5,07 6,33 40
5,01 6,24 5 5,10 6,38 45
5,12 6,38 10 5,13 6,40 50
5,16 6,45 15 4,98 6,23 55
5,11 6,38 20 5,19 6,49 60

28. 28
4,98 6,23 25 5,04 6,29 65
4,97 6,21 30 5,08 6,36 70
5,09 6,35 35 5,12 6,40 75
Para cada par de valores de V e I se calcula R y su error absoluto.
v 1 −v
R= ∆R = ∆v + 2 ∆i
I I I
Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla:
(R ± ∆R) KΩ (R ± ∆R) KΩ Aplicando el primer procedimiento del método dado
0,800 ± 0,003 0,801 ± 0,003 en 1.6.5, se tiene:
0,803 ± 0,003 0,799 ± 0,003
R=
∑R i
= 0,801 KΩ
0,803 ± 0,003 0,802 ± 0,003 n
0,800 ± 0,003 0,799 ± 0,003 µ R = 0,001 KΩ, 3µ R = 0,003 KΩ ⇒ [0,798; 0,804]KΩ
0,801 ± 0,003 0,800 ± 0,003 Todos los valores se encuentran dentro del intervalo;
0,801 ± 0,003 0,801 ± 0,003 por lo tanto:
0,799 ± 0,003 0,799 ± 0,003
σR = 0,00025 KΩ y 3σR = 0,00075 KΩ ≅ 0,001 KΩ
0,800 ± 0,003 0,800 ± 0,003
R ± 3σ R = [0,801 ± 0,001]KΩ o [801 ± 1]Ω
Aplicando el segundo procedimiento:
v=
∑v i
= 5,07 V I=
∑I I
= 6,34 mA
n n
µV = 0,0682 V ≅ 0,07 V µI = 0,0852 mA ≅ 0,09 mA
3µV = 0,21 V 3µI = 0,27 mA
[4,86; 5,28] V [6,07; 6,61] mA
σV = 0,0175 V ≅ 0,02 V σI = 0,0225 mA ≅ 0,02 mA

29. 29
2 2
vI  1 −v 
R= = 0,800 KΩ σ R = σ 2   + σ2  2 
v i
I I  I 
σR = 0,004 KΩ, 3σR = 0,012 KΩ
⇒ R ± 3σR = [0,800; 0,012] KΩ o [800 ± 12] Ω
Al igual que en el ejemplo anterior, el segundo intervalo incluye al primero.
1.9.4. Ejemplos de Aplicación del Método Indirecto con Múltiples Medidas de las Variables
que Intervienen (Diferentes Apreciaciones)
1. Considérese el caso de la determinación de la resistencia de un conductor, midiendo
previamente la diferencia de potencial a los extremos del mismo y la intensidad de corriente que
circula por él. Las mediciones de cada variable se realizaron con un multímetro digital y
manteniendo la misma escala. Los valores obtenidos se presentan a continuación:
(VR ± 0,01) V (I± 0,1) mA (R ± ∆R) KΩ
El valor de R se calcula para cada par de
1,27 2,0 0,63 ± 0,04
valores de VR e I a través de la siguiente
3,08 5,1 0,62 ± 0,01
4,95 8,2 0.62 ± 0,01 relación:
6,92 11,5 0,601 ± 0,006 v
R=
8,58 14,3 0,600 ± 0,001 I
9,62 15,8 0,601 ± 0,004 ∆R se calcula por medio de:
10,94 18,0 0,607 ± 0,004
12,21 20,3 0,610 ± 0,003 1 −v
∆R = ∆v + 2 ∆I
13,34 22,0 0,606 ± 0,003 I I
14,43 23,9 0,601 ± 0,001
Como puede observarse, los R determinados tienen su mayoría ∆R diferentes. Por ello, se
aplicarán las relaciones 13 y 14 de la sección 1.6.5 para obtener R y σR:
2
 1 
∑ Ri  σ 
 
R=  i  = 0,601556 KΩ ≅ 0,602 KΩ
2
 1 
∑ σ 
 
 i

30. 30
1
σR = 2
= 0,000646 KΩ ≅ 0,001 KΩ
 1 
∑ σ
 

 i 
R ± σ R = (0,602 ± 0,001) KΩ o (602 ± 1) Ω
Nota: El segundo procedimiento del método tratado en 1.6.5 no es aplicable en este caso, aunque
VR e I tienen las mismas apreciaciones, porque los valores extremos de VR e I están muy alejados,
dando valores de incertidumbre grandes comparados con sus medias.
2. Con varios vatímetros se midió 12 veces la potencia disipada en un conductor
manteniendo constante la diferencia de potencial a sus extremos. Los valores obtenidos se
presentan en la siguiente tabla. Se quiere conocer los valores de P y σP.
(P ± ∆P) mW
Utilizando las ecuaciones 13 y 14 de la sección 1.6.5., se tiene:
1,25 ± 0,05
2
 1
1,28 ± 0,02 ∑ Pi  σ 
 
P=  i  = 1,2619 mW ≅ 1,262 mW
1,27 ± 0,02 2
 1
1,29 ± 0,01 ∑ σ 
 
 i
1,26 ± 0,02
1,25 ± 0,05
1,27 ± 0,01
1
1,23 ± 0,01 σP = 2
= 0,00481 mW ≅ 0,005 mW
 1 
1,24 ± 0,02 ∑ σ
 

 i 
1,26 ± 0,03
1,28 ± 0,04 P ± σ P = (1,262 ± 0,005 ) mW
1,28 ± 0,04