Este documento presenta información sobre Zenón de Elea, un filósofo presocrático griego del siglo V a. C. Discuten sus argumentos filosóficos contra la pluralidad y el movimiento, así como anécdotas sobre su vida política y muerte a manos de un tirano. El documento analiza cuatro de sus principales paradojas lógicas dirigidas a refutar la existencia del movimiento y la pluralidad de entes. También resume pasajes de Diógenes Laercio que describen eventos en la vida de Zenón como su participación en un

1. “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria”
“Universidad Andina Néstor Cáceres Velázquez”
C.A.P. ADM. TURISMO, HOTELERÍA Y GASTRONOMIA
ZENÓN DE ELEA
Lic. Tur. Aliaga Tapia Carmen
INTEGRANTES:
AriasCcama Oscarlos
GálvezCruzYodwi Adriani
TicahuancaGutiérrezZintya
SENESTRE I
PUNO – PERÚ

2. DEDICATORIA
El presente trabajo está dedicado a mis padres
por su apoyo y comprensión para siempre seguir
adelante y continuar con la frente en alto sin
importar las dificultades y adversidades que
e presenten en el desarrollo de mi formación profesional.

3. ZENON DE ELEA
Al igual que ocurre con la mayoría de los filósofospresocráticosespocoloque sabemosde la
vidade Zenón.NacióenElea entre losaños 490-485, si tomamoscomo referenciael
testimoniode Platón.Fue pitagórico,al igual que se dice de Parménides,siendo
posteriormente discípulode éste yreconocidodefensorde ladoctrinaparmenídeade la
unidade inmovilidaddel ser.Se refiere,enrelaciónconsuactividadpolítica,laparticipación
enuna conjurapara derrocara untirano,y su posteriorenterezaante latortura,al fracasar la
conspiración,pero,aunque sondiversaslasfuentes,lainformaciónsobre loshechoses
confusa.Este esel relatode loshechos,segúnlanoticiatransmitidaporDiógenesLaercio:
"Queriendodestronaral tiranoNearco(oDiomedonte,comoquierenalgunos),fue
aprehendido,comorefiereHeráclidesenel Epítome de Sátiro.Enestaocasión,como fuese
preguntadoacercade losconjuradosyde lasarmas conducidasa Lípara, dijoque los
conjuradoserantodoslosamigosdel tirano;con locual quisosuponerloabandonadoydejado
ya solo.Después,diciendoteníaalgoque hablarle ala orejatocante a algunos,se lacogió con
losdientesynola soltóhasta que loacribillaronaestocadas,comosucedióal tiranicida
Aristogitón.Demetriodice ensusColombroñosque lanarizfue loque le arrancó de un
bocado".
TambiénDiógenesLaercio,ensuVidasde losfilósofosilustres,nosofrece estaotraversión:
"AntístenesescribeenlasSucesionesque despuésde habercitadoporcómplicesenla
conjuracióna losamigosdel tirano,comoéste le preguntase si habíaotro inculpado,
respondió:Tú,ohdestrucciónde laciudad.Y que hablóde estaformaa lospresentes:estoy
admiradode vuestracobardía, puespormiedode loque yo padezcosoisesclavosde un
tirano;y que luego,cortándose lalenguaconlosdientes,se laescupióal tirano.Incitadoscon
estolosciudadadanos,al puntoquitaronlavidaa pedradasal tirano.Finalmente,Hermipo
dice que Zenónfue metidoenunmorteroymachacado allí".

4. Pensamiento
Algomás conocemosde supensamiento,del que tenemosreferenciasporPlatónyAristóteles,
especialmenteenloque respectaasu actividaddialéctica,orientadahaciael combate del
pluralismo(engeneral,segúnunos;del pitagórico,segúnotrosestudiosos,dadalaoposición
que la escuelade Eleahabíamanifestadohacialospitagóricos).Tal actividadse caracterizapor
haberelaboradonumerososargumentos(aporíasoparadojas) contrala pluralidadyel
movimiento,enconsonanciaconladefensade lasteoríaseleáticasde launidade inmovilidad
del ser,de losque conservamosalgunos,basadosenlareducciónal absurdo;se parte de las
tesisque se quiere criticaryse conduce laargumentaciónauna, o una serie de
contradiccionesque ponende manifiesto,enconsecuencia,lainvalidezde lastesis.

5. Paradojas
Los argumentos de Zenón contrala pluralidad.
Los únicosque subsistensonloscitadosporSimplicio,que recogen,al parecertextualmente,
losargumentosde Zenón.El primerode ellosse formulaasí:
"Si existe unapluralidad,lascosasserántambiéngrandesypequeñas;tangrandescomopara
poderserinfinitasentamañoytan pequeñascomopara notenertamañoalguno
Si el ser no tuvieratamaño,ni siquierasería.Puessi se le añade a cualquierotroser,nolo hace
más grande,ya que,al no tenertamañoalguno,nopuede, consuadicción,aumentarsu
tamaño.Y así lo añadidonopuede sernada.
De lamismamanera,esevidente que ni loañadidoni loquitadosonnadasi,en lasustracción,
el seral que se le detrae noadviene ennadamáspequeñoy,si al añadírselo,noaumenta.
Perosi es,es necesarioque cadacosa tengoun ciertotamañoy espesoryque una parte diste
de la otra. Y el mismorazonamientovale respectoaloexcedente.Tambiénestotendráun
ciertotamañoy una parte de elloexcederá.Yeslo mismodeciresto unavezque irlo
afirmándoloindefinidamente;puesningunaparte suyasemejanteserálaúltimani unaparte
dejaráde tenerrelaciónconla otra.
De maneraque,si existe unapluralidad,esnecesarioque lascosasseanpequeñasygrandes;
tan pequeñasque nopuedantenertamañoytan grandesque seaninfinitas."
En el segundo,argumentaZenóndel siguiente modo
"Si existe unapluralidad,esnecesarioque lascosasseantantas(ennúmero) cuantassony no
más ni menos.Y si son tantascuantas son,debenser ilimitadas.
Si existe unapluralidad,lascosasexistentessoninfinitas;puessiempre hayotracosaentre
ellas,yotras,a suvez,entre estasotras.Y así, losseresexistentessoninfinitos."
Los argumentos de Zenón contra el movimiento.
Presentamos acontinuaciónlosargumentosde Zenóncontrael movimiento,tal comolos
recoge Aristótelesenla"Física"(libroVI,9):losdos primerosse basanenel supuestode que el
espacioyel tiemposoninfinitamentedivisibles;losdosúltimosse basanenel supuestode
que el espacioyel tiempose componende mínimosindivisibles.
"Hay cuatro razonamientosde Zenónsobre el movimiento,llenosde dificultadesparaquien
quieraresolverlos.Enel primero,laimposibilidaddel movimientose deduce de que el móvil
que se desplazadebe llegarprimeroala mitaddel trayectoantesde llegara sutérmino;yanos
hemosreferidoanteriormente aél.

6. El segundoesel llamadode Aquiles,yeseste:enunacarrera,el más lentonuncaserá
alcanzadopor el más rápido;ya que el que persigue al otrosiempre debecomenzarpor
alcanzar el puntodel que hapartidoel primero,de modoque el más lentosiempre tendrá
algunaventaja.Esel mismorazonamientoque el de ladicotomía:La únicadiferenciaesque si
bienlamagnitudsucesivamenteañadidasigue siendodividida,yanolo espor dos.Como
conclusióndel razonamientose deduce que el máslentonoseráalcanzadoporel más rápido,
por la mismarazónque en ladicotomía:en amboscasos,en efecto,se concluye que nose
puede llegaral límite,tantosi lamagnitudse divide de unamaneracomode la otra; peroaquí
se añade que,inclusoeste héroe de lavelocidad,persiguiendoal máslento,nopodrá
alcanzarle.Enconsecuencia,lasoluciónserátambiénlamisma.Encuantoa pensarque el que
va delante noseráalcanzado,esfalso;yaque no obstante,esalcanzado,si se consideraque la
distanciarecorridaesuna líneafinita.Talessonlosdosrazonamientos.
El tercero,que ya se ha mencionado,pretende que laflechalanzadapermaneceenreposo.Es
la consecuenciade lasuposiciónde que el tiempoestácompuestode instantes;si se rechaza
tal hipótesisyanohay silogismo.
El cuarto se refiere afilas(masas) igualesmoviéndose ensentidocontrarioenel estadioalo
largode otras filas(masas) iguales,unasapartirdel fondodel estadio,lasotrasdesde el
medio,conla mismavelocidad;lapretendidaconsecuenciaesque lamitaddel tiempoesigual
al doble del mismo.El paralogismoconsiste enque se piense que uncuerpo,con igual
velocidad,se mueveenel mismotiempo,tantoalolargo de un cuerpoenmovimientocomo
lolargo del que estáenreposo.Ahorabien,estoesfalso.SeanA,A...lasfilasigualesque
permaneceninmóviles;B,B ...las que partendel mediode lasA,A...ylessonigualesen
númeroy magnitud;C,C ...las que partendel fondo,igualesaestasennúmeroymagnitudy
con la mismavelocidadque lasB,B ....Consecuencias:el primerBse encuentraenel extremo
al mismotiempoque el primerC,yaque se muevenparalelamente.Porotraparte,losC han
recorridotodoel intervaloalolargo de todoslos B,y los B, lamitaddel intervaloalolargo de
losA; enconsecuencia,el tiempoeslamitad:enefecto,paragruposcogidosde dos endos el
tiempode pasoante cada uno de losA es el mismo.Pero,al mismotiempo,losBhanpasado
por delante de todoslosC;ya que el primerB y el primerC están,al mismotiempo,en
extremosopuestos,siendoel tiempoparacada unode losB, dice,el mismoque para losC
porque ambosdesfilanenel mismotiempoalolargode los A.Tal esel razonamiento;pero
cae enla falsedadque hemosdichoanteriormente."(Aristóteles,"Física",libroVI,9).
Análisis de los argumentos de Zenón
El primerargumento,conocidocomoel argumentodel estadioode ladicotomía supone que,
si el espacioesinfinitamentedivisible,parallegaral final de unalínea(pararecorrer un
estadio) habremosde llegarprimeroasumitad;peropara llegarala mitadhemosde llegara
la mitadde la mitad,yasí sucesivamente,de modoque resultaimposible,llevadaladivisiónal
infinito,alcanzarel finalde lalínea(odel estadio).El segundoargumento,el de Aquilesyla
tortuga,hace lomismo,peroimplicandoadosobjetosmóviles,enlugarde uno,yrecurriendo
a una división"proporcional"del espacio.(CuandoAquileshayaalcanzadoel puntoque acaba
de abandonarla tortuga,ésta habrá avanzadounanuevadistancia,yasí hastael infinito).

7. Los argumentostercero(laflechayel blanco) ycuarto (filasenmovimiento) partende la
consideracióndel espacioyel tiempocomocompuestosporunidadesindivisibles(latesis
contraria a la utilizadaanteriormente).Enel tercerorecurre Zenónaun sóloobjetoen
movimiento(laflecha);eneste argumento se suponeque:
"un objetoestáenreposocuandoocupaun espacioigual asus propiasdimensiones.Esasí que
una flechaenvueloocupa,enunmomentodado,unespacioigual a suspropiasdimensiones;
luegounaflechaenvueloestáenreposo"(KirkyRaven,Losfilósofospresocráticos,Gredos,
Madrid,1970). En el cuarto, unamultiplicidadde "indivisibles"ordenadosentresfilas,de las
que dos se desplazanenlamismadirección,peroensentidocontrario,ya lamismavelocidad.
Perotambiénenestos casoslosargumentosconducenal absurdo,porlo que bajoninguna
consideraciónesposible el movimiento.
Representacióngráficaplausibledel cuartoargumentode Zenón:
La filaA permanece estática.MientraslafilaBavanzahacia la derecha,lafila Cavanza hacia la
izquierda,ambasala mismavelocidad.CuandolaprimeraBse sitúabajola primeraA (por la
izquierda) laprimeraChace lomismo.Al situarse laprimeraB bajola segundaA,laprimeraC
se sitúabajo latercera B, y nobajo lasegunda,esdecir,segúnZenón,avanzapuesdos
unidades,enlugarde una,de lo que hayque deducirque avanzaa unavelocidaddoble que la
filaB, loque va contra loque habíamos supuesto(que avanzabanalamismavelocidad).Si
afirmamos,pues,que el espacioyel tiempose componende mínimosindivisiblescaeríamos
enel absurdo,ya que enla mismaunidadde tiempo,ya la mismavelocidad,Brecorreríaun
espacioindivisibleyCel doble,olo que esequivalente:Bnecesitael doble de unidadesde
tiempopararecorrer lasmismasunidadesde espacioque C.
Noticias recogidas por Diógenes Laercio sobre Zenón
Zenón,natural de Elea,fue hijode Pireto,segúnApolodoroenlasCrónicas;segúnotros,de
Parménides.Otros,finalmente,lohacenhijode Teleutágoras pornaturaleza,yde Parménides
por adopción.De él y de Melisodice Timón:
En una y otra lenguapoderoso, difícilfue Zenónde servencido, sívencedorde todos,
Igualmente Meliso,que supera todaslasfantasíasde la mente, yacaso essuperadode muy
pocos.
Zenónfue discípulode Parménides,yaunsubardaja.Platónensu "Parménides"dice que fue
altode cuerpo;y ensu "Sofista"lollamaPalamedesEleático.

8. Aristótelesdice que fue inventorde ladialéctica,cornoEmpédoclesde laretórica.Fue varón
clarísimoenfilosofíaypolítica,comovemosensus escritos,tanllenosde sabiduría.Queriendo
destronaral tirano Nearco(oDiomedonte,comoquierenalgunos),fueaprehendido,como
refiere Heráclidesenel Epitomede Sátiro.En esta ocasión,comofuese preguntadoacercade
losconjuradosy de lasarmas conducidasa Lípara. Dijoque losconjurarloserantodoslos
amigosdel tirano;con locual quisosuponerlo abandonadoydejadoyasolo.Después,diciendo
tenía algoque hablarle ala orejatocante a algunos,se lacogiócon losdientesynola soltó
hasta que loacribillaronaestocadas,comosucedióal tiranicidaAristogitón.Demetriodice en
sus Colombroñosque lanarizfue loque le arrancó de un bocado.
Antístenesescribe enlasSucesionesque después de habercitadoporcómplicesenla
conjuracióna losamigosdel tirano,comoéste le preguntase si habíaotro culpado,respondió:
«Tú,oh destrucciónde esta ciudad».Y que a loscircunstanteshablóenestaforma:«Estoy
admiradode vuestracobardía, puespormiedode loque yo padezcosoisesclavosde un
tirano»;y que luego,cortándose lalenguaconlosdientes,se laescupióaaquél encima.
Incitadosconestolos ciudadanos,al puntoquitaronlavidaa pedradasal tirano.Finalmente,
Hermipodice que Zenónfue metidoenunmorteroymachacado allí.Mis versosa él sonéstos:
Promoviste,ohZenón,solicitaste unafacciónilustre.Túquerías, al tiranoacabando,a Elea
libertarde cautiverio. Másnolo conseguiste:antes,sobrecogidodel tirano, te mandó
machacar en unmortero.Pero ¿qué eslo que digo?Note machacó a ti,sinoa tu cuerpo.
Fue Zenónbuenotambiénenotrascosas;perohombre fastidiosoyque se sobreponíaasus
mayores,comoHeráclito.A su patria(llamadaantesHile ydespuésElea),siendocoloniade los
focensesyciudadhumilde yque sólosolíaproducirhombresde bien,laestimabaenmásque
la magnificenciade Atenas,adonderarasvecesiba, viviendosiempre ensucasa.Fue este
Zenónél. Primeroque usóel argumentoque llaman Aquiles, aunqueFavoritodice que
Parménidesyotrosmuchos.
Sus opinionesson:«Que haymuchosmundos.Que nohayvacuo. Que lanaturalezade todas
lascosas proviene del cálidoyfrígido,del secoyhúmedo, conmutándose éstosentresí.Que la
generaciónde loshombresesde latierra;y el almauna mixtiónde todolodicho,sinque
tengamayor porciónde unoque de otro».Dicenque habiendosidomaltratadode palabras,se
indignómucho;ycomo unole dijese porqué se indignaba,respondió:«Sinome indignoyme
acostumbroa losultrajesydesprecios,tampocome alegraré de losloores».Cuandotratamos
de ZenónCiteoyadijimosque hayochoXenones.El presente floreció hacialaOlimpíadaLXXIX.
(DiógenesLaercio,"Vidasde filósofosilustres",trad.José Ortiz,ed.Iberia,Barcelona,1962)
Estructuray propósito de las paradojas

9. La estructurade lasparadojassigue el principiode lademostraciónindirecta.Estánplanteadas
de manera tal que al comienzose enunciacomosupuestolamismaposiciónque se quiere
refutar.A partir de los supuestosse construye unaregresióninfinita.Así,porejemplo,enla
paradojade ladicotomíase divide el tramoque aúnestápor recorrerpara argumentarque la
segundaparte tambiéntiene que recorrerseya esaparte tambiénaplicaa suvez lomismo.
Esto se puede repetirenel pensamientoinfinitamente.
La argumentaciónde Zenóngiraentornoa la preguntade si el mundopuede serdivididoen
unidadesdiscretas,esdecir,si acasoexiste ladivisibilidadoel mundoconstituyerealmente
una unidadcontinua.El supuestode ladivisibilidadconduce al problemade que obientodoes
infinitamentedivisible otienenque existircuantoselementalesúltimosde espacioyde
tiempo.Lamayor parte de lasparadojasparte de unode estosdos supuestosyconcluye desde
allíla imposibilidadde ciertascosasyprocesosque,enla vidacotidiana,se experimentan
como absolutamenteposibles.Así,porejemplo,se sabe porexperienciaque cadacorredor
alcanzará sumeta.Zenóndiscute de estamaneratanto el conceptode espaciocomoel de
movimiento.
Algunosrelatossuponenque Zenónse orientabaconsusparadojasa defenderladoctrinade
su maestroParménidesde que existiríasolamente loúnicoinfinitoytodomovimientosería
una ilusión.Segúnesto,porejemplo,unapersonanopodríarecorrerun estadiode longitud,
porque primerodebe llegarala mitadde éste,antesa lamitad de la mitad,peroantesaún
deberíarecorrerla mitadde la mitadde la mitady así eternamentehastael infinito.De este
modo,enel ejerciciomental,unapersonanopodríarecorrernunca un estadiode longitud,
aunque larealidadmuestre que síesposible.
Platón(ensudiálogoParmenides) presentaaZenóninformandoque intentóprotegera
Parménidescontralascríticas por surechazode la pluralidadydel movimiento(el que llevaría
a consecuenciasdescabelladas),conlademostraciónde que laadhesiónal movimientoya la
pluralidadllevaríaaconclusionesaúnmásinsensatas.
En todo caso,Zenónseñalaallítambiénque este textode Platónque se trataríade unaobra
de juventudyque la gente se lohabría sustraídosin que él hayadado su consentimiento
expresoparaello.Noobstante,loque al menosse puede afirmarconseguridadesque la
filosofíade Zenónse orientabaencontrade la adopciónde determinadasposiciones
filosóficasfundamentalesparalaexplicacióndel mundo.Contraestasposicionesargumenta
tambiénParménides.Sinembargo,enalgunasde lasparadojashaycontradiccionesconel
conceptode mundode forma esféricade Parménides.Enrigor,de losargumentosde Zenón
solose puede deducirque el supuestode espacioymovimiento,bajolaspremisasque se
establecenencadaunade lasparadojas,conduce a consecuenciasabsurdas,esdecirlas
premisasnopuedenserverdaderassi nose quiere dudarde laexperienciacotidiana.
Con susparadojas,Zenóncuestionadeterminadasconcepcionesintuitivaspreexistentes
acerca de loinfinitamentepequeñoyloinfinitamentegrande.Yaantesse solíacreer que una
suma de infinitossumandospodíacrecerindefinidamente,aunque lossumandosfueran
infinitamentepequeños,yque lasumade unnúmerofinitooinfinitode términostodos
igualesacero volvíaa dar cero como resultado.Lacrítica de Zenónobjetalaadmisibilidadde
talesconceptos.

10. Las aporías o sofismasde Zenónpertenecenalacategoría de paradojasfalsídicas,también
llamadassofismas,estoes,que nosóloalcanzanunresultadoque aparentaserfalso,sinoque
ademásloson (falaciaenel razonamiento).
Es probable que el propioZenónnohayatenidoclaraconcienciade lasconsecuenciasque sus
consideracionesteníanparalasmatemáticas.Enla discusiónfilosóficayteológicayahabían
surgidoproblemasdel tipotratadoporél ensus paradojas:losproblemasde larelaciónentre
el infinitopotencial yel infinitoactual oalcanzado.3Sinembargo,lasparadojasinfluyeronen
el pensamientomatemáticode muchasgeneraciones,másaúndespuésdel descubrimientode
losnúmerosirracionales,llegandoacuestionarse laposibilidadde lasmatemáticascomouna
cienciaexacta.Se ha llegadoaplantearque este escándalomarcaunaauténticacrisisde las
matemáticasgriegasenlaspostrimeríasde lasGuerrasdel Peloponesoque culminaranconla
caída de Atenasen404 a. C., que significóel finde lademocraciaesclavistayel iniciodel
régimenaristocrático.
Contra lasparadojasse han aportadolos másdiversosargumentos,porloque se lesconsidera
refutadas4Sinembargo,para medicionesenel mundode lafísicacuánticalas paradojasse
confirmaronen1994 enla Universidadde Múnich:Se comprobóque se detuvoel movimiento
de un sistemacuánticoexclusivamentepormediode unasecuenciadensade mediciones,lo
cual condujoa laformulacióndel modeloteóricodel efectocuánticode Zenón.
Paradojas del movimiento
Aquiles y la tortuga
Aquiles,llamado"el de lospiesligeros"yel máshábil guerrerode losaqueos,quienmatóa
Héctor,decide salira competirenunacarrera contra una tortuga.Ya que corre muchomás
rápidoque ella,ysegurode sus posibilidades,le daunagranventajainicial.Al darse lasalida,
Aquilesrecorre enpocotiempoladistanciaque losseparabainicialmente,peroal llegarallí
descubre que latortuga yano está,sinoque ha avanzado,más lentamente,unpequeño
trecho.Sindesanimarse,siguecorriendo,peroal llegarde nuevodonde estabalatortuga,ésta
ha avanzadoun pocomás. De este modo,Aquilesnoganarála carrera, ya que latortuga estará
siempre pordelante de él.
Aunque parezcalógico,esunaparadojaporque lasituaciónplanteadacontradice cualquier
experienciacotidiana:todoel mundosabe que uncorredorvelozalcanzaráa uno lentoaunque
le dé ventaja.
Si supusiéramos(parasimplificar) que Aquilesessolodiezvecesmásvelozque latortugay que
la ventajaotorgadaa estaúltimaesde 10 metros,entonces,segúnargumentaZenón,cuando
Aquileshayarecorridoestosprimeros10 metrosinícialeslatortugayaestará más lejos(estará
un metromás allá,esdecirhabrá recorrido11 metros) ycuandoAquileshayarecorridoeste
nuevometropara alcanzarla,latortuga estaránuevamente máslejos(10centímetrosmás).
Aquilescontinúaperoal llegarallí,latortugaestará otro centímetromáslejos(esdecirenlos
11 metrosy 11 centímetros) asísucesivamente.

11. Desde el puntode vistamatemático,el conceptoque subyace alaparadojaes el de serie,más
precisamente,laexistenciade lasseriesconvergentes.Loque aplicaa lasituaciónque plantea
la paradojaesque la suma de infinitostérminospuede serfinita.Si se sumanlossegmentos
recorridosporAquilesse obtiene unaserie geométricaconvergente:
Así, enla interpretación moderna,basadaenel cálculoinfinitesimalque eradesconocidoen
épocade Zenón,se puede demostrarque Aquilesrealmentealcanzaráala tortuga,sobre la
base de la demostracióndel matemáticoescocésJamesGregory(1638-1675) acerca de que
una sumade infinitostérminospuedetenerunresultadofinito.Lostiemposenlosque Aquiles
recorre la distanciaque loseparadel puntoanteriorenel que se encontrabala tortugason
cada vezmás y más pequeños(hastalosinfinitosmáspequeños),ysusuma da un resultado
finito,que esel momentoenque alcanzaráala tortuga.
Otra manerade plantearloesque Aquilespuede fijarunpuntode llegadaque estámetros
delante de latortugaen vezdel puntoenque ellase encuentra.Ahora,envezde cantidades
infinitas,tenemosdoscantidadesfinitasconlascualesse puede calcularunintervalofinitode
tiempoenel cual Aquilespasaráala tortuga.
Tambiénse puede encararel problemaevitandoel cálculoinfinitesimal,cuyoplanteamiento
matemáticose desconocíaen tal época,para reconvertirloenanálisisdiscreto:Filípides —el
campeónolímpicoal que se ordenóque abandonaralas filasdel ejércitoparacomunicara
Atenaslavictoriaconseguidasobre lospersasenlaplayade Marathon— norecorre espacios
infinitesimales,sinodiscretos,que podemosdenominarzancada.A cada zancada le podemos
asignarun espacioconcreto.Porejemplopodemossuponerque Filípidesrecorre unmetroa
cada zancada. Ahorael problemase reduce a lacomparaciónde velocidadesrelativas: calcular
enqué momentolaúltimazancadade Filípidesrecorreráunadistanciamayorala que haya
podidorecorrerlatortuga enel mismotiempo,inclusoaunquenosepamosdefinirladistancia
exactaque la tortuga recorrería.Es decir,basta que unade lasvariablesseadiscretayque
podamossuponerque,endeterminadotiempo,puede superaralas distanciasinfinitesimales,
para demostrar,inclusoteóricamente,que el movimientoexiste.
Existe ademásotravariante para describirlaparadoja,segúnlacual Aquilesnuncapodría
partir siquiera.Asíplanteadalaaporía,se sostiene que Aquiles,antesde que puedarecorrerel
tramo que dioenventajaa la tortugatendría que haberya recorridola mitadde ese trechoy
antesde él,habersuperadoya uncuarto, previamenteunoctavoy antesde esoun
dieciseisavoyasísucesivamente,de modoque nuncapodríaponerse enmarcha.5
Lo que sí esseguroque la soluciónnopuede salirde unaargumentacióndistintaalaoriginal,
sinodel estudiodel enunciadooriginal, lugarenel que se encuentrael error,mal entendido,o
paradoja.

12. La dicotomía
Esta paradoja,conocidacomo argumentooparadojade la dicotomía,esunavariante de la
anterior.
Zenónestáa ocho metrosde un árbol.Llegadounmomento,lanzaunapiedra,tratandode dar
al árbol.La piedra,para llegaral objetivo,tiene que recorreranteslaprimeramitadde la
distanciaque loseparade él,esdecir,losprimeroscuatrometros,y tardará un tiempo(finito)
enhacerlo.Una vezllegue aestara cuatro metrosdel árbol,deberárecorrerloscuatrometros
que le quedan,ypara ellodebe recorrerprimerolamitadde esadistancia.Perocuandoesté a
dos metrosdel árbol,tardarátiempoenrecorrerel primermetro,yluegoel primermedio
metrorestante,yluegoel primercuartode metro...De este modo,lapiedranunca llegaráal
árbol.
Al igual que enla paradojade Aquilesylatortuga,es ciertoque el númerode puntos
recorridos(ytiemposinvertidosenhacerlo,segúnel argumentode laparadoja) esinfinito,
perosu sumaes finitaypor tantola piedrallegaráal árbol.Es posible utilizareste
razonamiento,de formaanáloga,para«demostrar» que lapiedranuncallegaráasalirde la
mano de Zenón.
Por eso,laparadojade lapiedratambiénpuede serplanteadamatemáticamenteusando
seriesinfinitas.Lasseriesinfinitassonsumascuyotérminovariante (quepuedetomar
cualquiervalornumérico) vahastael infinito.Lasseriesinfinitaspuedenserconvergenteso
divergentes,enel primercasolasumade las mismasesun númerofinito,enel segundono.
Para plantearunaserie que modele laparadojade lapiedrase hace una serie que sume la
mitad,luegolamitadde la mitad,luegolamitadde la mitadde la mitady así, hasta el infinito:
La serie que se planteaesunaserie geométrica,porloque susuma puede sercalculadaconla
siguiente fórmula:
Suma =
En la sumatoriade la paradojade Zenón,«a» es y «r» esla razón de incremento(producto),
que es . Sustituyendoesosvaloresenlafórmulade sumase tiene:
Suma =
Entoncesse tiene que lasumade lamitadde «algo» másla mitadde la mitadde «algo» y así
sucesivamente da1,«algo» completo.Estotambiénesaplicablealaparadoja,la mitadde la
distancia,másla mitadde la mitadde la distanciayasí sucesivamente dacomoresultadola
distanciaentera.Porlotanto se concluye que,recorriendoinfinitasmitadesesposiblerecorrer
toda ladistancia.

13. La paradoja de la flecha
En estaparadoja,se lanzauna flecha.Encada momentoenel tiempo,laflechaestáenuna
posiciónespecífica,ysi ese momentoeslosuficientemente pequeño,laflechanotiene tiempo
para moverse,porloque estáen el reposodurante ese instante.Ahorabien,durante los
siguientesperiodosde tiempo,laflecha tambiénestaráenreposoporel mismomotivo.De
modoque la flechaestásiempre enreposo:el movimientoesimposible.Unmodode
resolverloesobservarque,apesarde que en cada instante laflechase percibe comoen
reposo,estarenreposoesun términorelativo.Nose puede juzgar,observandosóloun
instante cualquiera,si unobjetoestáenreposo.Enlugar de ello,esnecesariocompararlocon
otros instantesadyacentes.Así,si locomparamosconotros instantes,laflechaestáendistinta
posiciónde laque estabaantesy enla que estará después.Portanto,laflechase está
moviendo.
Otra perspectivaesacudir,directamente,ala definiciónde velocidad,cuyaideaesencial esla
de cambio:se cambiade espacioenun tiempodeterminado.Asíque,por definición,un
cuerpoque se mueve,sinalterarel volumende espacioque ocupaencadamomento,cambia
de espacio,esdecir,ocupala mismacantidad,volumen,yformade espacio,peroenunlugar
distinto,al momentosiguiente.El movimientoseríalasucesiónde losdistintosespacios
ocupadospor el cuerpo(móvil) enlasucesiónde losdistintosmomentosque componenla
magnitudde tiempoconsiderada.Así,si asumimosque el conceptovelocidad,esdecir,
movimiento,puededefinirse racionalmente,simultáneamenteestamosadmitiendoque el
movimiento,racionalmente,enteoría,existe.
Paradojas de la pluralidad
En contraste con las paradojasdel movimiento,enladivulgaciónde lasparadojasde la
pluralidadnose ha logradoimponerunadenominaciónúnica yengeneral el significadode los
textosgriegosque se conservanesnotoriamente menosclaroque lasparadojasdel
movimientoque indirectamente han transmitidootrosautores.
La evaluaciónde laimportanciaparalasmatemáticasyla filosofíade losgriegos
contemporáneosysuulteriorinfluenciadifiere de unautora otro. La influenciasobre las
ampliasconsecuenciasde lalimitaciónde AristótelesyEuclidesainfinitospotenciales,losque
reciénpudieronresolverse conlos trabajosde GeorgCantor, no se estimaconcluyente.
Más recientemente,e impulsadaporlaobra de Adolf Grünbaum,se le haotorgado
nuevamente atenciónalaparadojade ladivisióncompletaporparte de la investigaciónbásica
enmatemáticas.
El argumento de la densidad
Simplicio ensucomentarioacercade laFísica de Aristóteles,citaasí el argumentode la
densidad:

14. Si existe lapluralidad,entoncesnecesariamente tieneque haberexactamente lacantidadde
cosas que hay,ni más,ni menos,Perosi hay tantascosas como hay,entoncesestán[encuanto
a su número] limitadas.
Si existe lapluralidad,entoncesel ser[encuantoa sunúmero] esilimitado.Porque entre las
cosas individualessiempre hayotrascosasy entre ellasasu vez,nuevamenteotras.Así,el ser
esilimitado.
Simpl.,Phys,140 (29), en:Die Fragmente der Vorsokratiker.Ediciónengriegoyalemánpor
HermannDiels.Vol.I,Berlín1922, p. 173–175.
La ideaque estaríaenla base de este argumentopodríaserque cosas diferentes,si estasno
son divididasporalgotercero,sonuna misma,juntoaun rechazode laideadel espaciovacío.
De elloresultaunacontradicción,debidoaque unacantidadfinitadeterminadade cosas
arrastra consigola existenciade unacantidadilimitada,infinita.9
El argumentodel tamañofinito[editar]
El argumentodel tamañofinitotambiénfue enparte transmitidoporel comentariode
Simplicio.Primeramente Zenónmuestra- Simpliciosoloresume,sincitarlademostración -
que si hay pluralidad,lamismanopuede tenertamaño.LuegoargumentaZenón(apartirde
aquí Simpliciocitatextualmente lademostraciónde Zenón)que algoque notuvieratamaño
sería justamente nada.

15. Conclusiones
Con estasaporías Zenónestabaatacandodos teoríasdistintassobre el espacioyel tiempoque
permitíancreerque el movimientoesanalizable de modoracional.
Las aporías del estadioyde la tortuga atacaban a losmatemáticosque creíanque el espacio
era ilimitadamente divisible,loque conducíaa considerarcualquiermagnitudespacial como
un conjuntoilimitadode puntosgeométricossindimensión.Esollevaba,alavez,a pensarel
tiempocomoilimitadamente divisible,loque significabaconsiderarel tiempocomoun
conjuntoilimitadode instantessinduración.
Las aporías de laflechay de los batallones(estanolaexplicamosporsercomplicada) atacaban
a los pitagóricosque concebíanel espaciocomounconjuntode unidadesinfinitesimales
yuxtapuestasyel tiempocomounconjuntode instantesconduraciónconsecutivos.
Atacandoa lospitagóricosya los matemáticosZenónde Eleaestabadefendiendodospuntos
doctrinalesde sumaestroParménides:
 El vacío, el espacio,lanadano existen.
 Lo que existe esUno,eterno,inmutable,homogéneo,indivisibley,enconsecuencia,el
tiempoesUno.

16. Bibliografía
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