00675591402IA02S11079323Semana1dealgebraLineal2022-2.pdf

UNIVERSIDADNACIONALTECNOLOGICADELIMASUR
ESTUDIOS GENERALES
ÁLGEBRALINEAL
SEMANA 1
Sistema de Ecuaciones Lineales.
Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales.
Sistemas equivalentes.
El método de Gauss.
LOS PROFESORES

1– DEFINICIÓN: Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con
una o varias incógnitas.
b
x
.
a
...
x
.
a
x
.
a n
n
2
2
1
1 =
+
+
+
coeficientes incógnitas
Término
independiente
, , 1,2,3,...,
i i i
a x y b R i n
  =
ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES

( )
 
1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , ,..., / ...
n
n n n
S R a a a a b
       
=  + + + + =
se llama conjunto solución o solución general de la ecuación.
El conjunto de todas las soluciones
Así, por ejemplo, para la ecuación (con coeficientes en R) una solución
es x=1, y=1; otra solución es x=0, y=5/3. de una ecuación es una asignación de valores
a las incógnitas de forma que se verifique la igualdad.
2 3 5 0
x y
+ − =

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las incógnitas que la cumplen.
Llamamos grados de libertad o de incertidumbre al número de incógnitas menos uno
y es el número de parámetros que debemos utilizar para resolver la ecuación.
solución
!
2
5
x
0
l
.
g
5
x
2 

=

=

=
soluciones
infinitas
Existen
R
5
2
y
x
1
l
.
g
5
y
x
2 






−

=

=

=

=
−
soluciones
inita
inf
R
,
5
2
5
z
y
x
2
l
.
g
5
z
y
5
x
2 











−

−
=

=

=

=

=
+
+
Solución general
Soluciones particulares: Dándoles valores a los parámetros obtenemos las soluciones
particulares.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
• Dos incógnitas: ax + by = c
Una recta en el plano
• Tres incógnitas: ax + by + cz = d
Un plano en el espacio
• Más de tres incógnitas “Hiperplanos”

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
m
ecuacio
nes
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
...........................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
n incógnitas
Coeficientes del sistema
términos
independientes
incógnitas
DEFINICIÓN

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA
Una solución de un sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn)
tales que
Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . ... .
. . ... .
.......
. . ... .
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =

 + + + =



 + + + =

11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . ... .
. . ... .
.......
. . ... .
n n
n n
m m mn n m
a s a s a s b
a s a s a s b
a s a s a s b
+ + + =

 + + + =



 + + + =


Sistemas de
ecuaciones lineales
Incompatible
Compatible
Sin solución
Con solución
Determinado
Indeterminado
Solución única
Infinitas soluciones
• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece
• Un sistema de ecuaciones lineales no puede tener exactamente dos soluciones, tres
soluciones, cuatro soluciones, ...
1.2.3 - SOLUCIONES

• Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos
independientes son 0.
• En caso contrario se dice que es no homogéneo.
• Estos sistemas son siempre compatibles ya que x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 llamada
solución trivial, es siempre solución del sistema.
• Será determinado si ésta es la única solución del sistema.
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
. . ... . 0
. . ... . 0
.......
. . ... . 0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + + =

 + + + =



 + + + =


II. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
• Sistemas equivalentes: dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen
las mismas soluciones. (Es necesario que tengan el mismo número de incógnitas.
• Para resolver un sistema es útil convertirlo en otro equivalente que sea fácilmente
resoluble.(Sistemas escalonados)
Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:
I. Intercambiar entre sí dos ecuaciones
III. Sumar miembro a miembro una ecuación a otra ecuación.

i j
F F

i i
F kF

i i
F F kFj
 +
Usaremos los siguientes símbolos:
•Tipo I: El intercambio de las filas i y j se indica.
•Tipo II: El producto de K por la fila i se indica
•Tipo III: Sumar a la fila i la fila j multiplicada por k se indica
Teorema:
Si a un sistema se le aplica una operación elemental resulta otro sistema equivalente
al primero.

es fácil ver que también es solución del sistema
Asi pues los Sistema son equivalentes






=
−
+
=
−
+
=
−
+
4
4
2
2
1
3
3
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x





=
−
+
=
−
+
=
−
+
2
2
1
3
3
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x





=
−
+
=
−
+
=
−
+
3
2
2
1
3
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x





−
=
+
−
−
=
+
−
=
−
+
1
2
5
5
2
2
2
z
y
z
y
z
y
x





=
−
−
=
+
−
=
−
+
3
5
5
2
2
2
z
z
y
z
y
x
3
3 2
1
E
E →
1
3
E
E 
1
2
2
3E
E
E −
→
1
3
3
2E
E
E −
→
2
3
3
2 E
E
E −
→
Sistemas
equivalentes
Ejemplo

Un sistema escalonado es aquel en el que los coeficientes de la incógnitas situados por
debajo de la diagonal principal (elementos que repiten subíndice) son nulos.
Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles (De abajo a arriba)





−
=
+
+
−
=
+
−
=
−
+
5
z
2
y
0
x
0
14
z
8
y
3
x
0
9
z
2
y
x





−
=
−
=
+
−
=
−
+

5
z
2
14
z
8
y
3
9
z
2
y
x
• Sistema escalonado compatible determinado





−
=
−
=
+
−
=
−
+
5
z
2
14
z
8
y
3
9
z
2
y
x









−
=
−
=
−
+
−
=
−
−
−
=
=
−
+
=
+
−
=
2
5
z
2
3
20
14
3
z
8
14
y
6
5
2
9
z
2
y
9
x
(x,y,z) = (6,-2,-5/2)
Sistemas escalonados

• Sistemas escalonados compatibles indeterminados



−
=
+
−
=
−
+
14
z
8
y
3
9
z
2
y
x
z
3
14
8
3
14
z
8
y
3
2
13
2
3
14
8
9
z
2
y
9
x










=
+

=
+
=

−
=

+
+

−
=
+
−
=
R
,
3
14
8
,
3
2
13
)
z
,
y
,
x
( 









+


−
=

Este sistema es incompatible porque no hay ninguna solución (x, y, z) que pueda
cumplir la tercera ecuación (la última ecuación no tiene sentido)





−
=
+
+
−
=
+
−
=
−
+
5
z
0
y
0
x
0
14
z
8
y
3
x
0
9
z
2
y
x





−
=
−
=
+
−
=
−
+

5
0
14
z
8
y
3
9
z
2
y
x
Sistemas incompatibles

Para convertir un sistema como:
en un sistema escalonado, se pueden dar los siguientes pasos:
I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.
II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la
primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.
III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii)
IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.
Nota: Si al hacer Gauss queda un “cuadrado” hay que seguir haciendo ceros.





=
+
+
=
+
+
=
+
+
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
b
x
.
a
x
.
a
x
.
a
b
x
.
a
x
.
a
x
.
a
b
x
.
a
x
.
a
x
.
a
Método de Gauss

Gauss: Compatible determinado





−
=
+
−
=
+
−
=
−
+
1
z
6
y
x
2
4
z
4
y
x
2
9
z
2
y
x 1 1 2 9
2 1 4 4
2 1 6 1
−
 
 
 −
 
 
− −
 










−
−
−
−
−

19
10
3
0
14
8
3
0
9
2
1
1










−
−
−
−

5
2
0
0
14
8
3
0
9
2
1
1
1
2
2 F
2
F
F −
=
Hacer ceros Hacer ceros
2
3
3 F
F
F −
=





−
=
−
=
+
−
=
−
+
5
z
2
14
z
8
y
3
9
z
2
y
x









−
=
−
=
−
+
−
=
−
−
−
=
=
−
+
=
+
−
=
2
5
z
2
3
20
14
3
z
8
14
y
6
5
2
9
z
2
y
9
x
Clasificación: Sistema compatible determinado solución
!


Solución: (x,y,z) = (6,-2,-5/2)
Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en un punto.
1
3
3 F
2
F
F −
=

Hacer ceros Hacer ceros
Clasificación: Sistema compatible determinado solución
!


Solución: (x,y,z) = (6,-2,-5/2)
Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en un punto.
1 1 2 9
0 3 8 14
5
0 0 1
2
 
 
−
 
 − −
 
 
−
 
 
1 1 0 4
0 3 0 6
0 0 1 5/ 2
 
 
 −
 
 
−
 
1 0 0 6
0 1 0 2
0 0 1 5/ 2
 
 
 −
 
 
−
 

Gauss: Compatible indeterminado





=
+
=
+
−
=
−
+
22
y
x
4
4
z
4
y
x
2
9
z
2
y
x










−
−

22
0
1
4
4
4
1
2
9
2
1
1










−
−
−
−
−

14
8
3
0
14
8
3
0
9
2
1
1










−
−
−

0
0
0
0
14
8
3
0
9
2
1
1
1
2
2 F
2
F
F −
=
Hacer ceros
Hacer ceros
2
3
3 F
F
F −
=
Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones
Solución:
Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta



−
=
+
−
=
−
+
14
z
8
y
3
9
z
2
y
x
z
3
14
8
3
14
z
8
y
3
2
13
2
3
14
8
9
z
2
y
9
x










=
+

=
+
=

−
=

+
+

−
=
+
−
=
R
,
3
14
8
,
3
2
13
)
z
,
y
,
x
( 









+


−
=
1
3
3 F
4
F
F −
=

Gauss: Incompatible





−
=
+
−
=
+
−
=
−
+
1
z
4
y
x
2
4
z
4
y
x
2
9
z
2
y
x










−
−
−
−

1
4
1
2
4
4
1
2
9
2
1
1










−
−
−
−
−

19
8
3
0
14
8
3
0
9
2
1
1










−
−
−
−

5
0
0
0
14
8
3
0
9
2
1
1
1
2
2 F
2
F
F −
=
Hacer ceros
Hacer ceros
2
3
3 F
F
F −
=





−
=
−
=
+
−
=
−
+
5
0
14
z
8
y
3
9
z
2
y
x
Clasificación: Sistema Incompatible
Solución: No existe solución
Interpretación geométrica: Tres planos que no se cortan
1
3
3 F
2
F
F −
=

Gauss : Caso especial
Clasificación: Sistema Compatible indeterminado . Infinitas soluciones
Solución:
Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta





=
−
+
=
+
+
=
+
+
5
z
y
3
x
3
5
z
y
2
x
2
3
z
y
x










−
−

0
0
0
0
1
1
0
0
3
1
1
1
1
2
2 F
2
F
F −
=
Hacer ceros
Hacer ceros










−

5
1
3
3
5
1
2
2
3
1
1
1
1
3
3 F
3
F
F −
=










−
−
−
−

4
4
0
0
1
1
0
0
3
1
1
1
2
3
-z -1
1
x
x y z
y
z


= −

+ + =
 
  =
 
=
  =

(x,y,z) = (2 - , , 1)    R
2
3
3 F
4
F
F −
=
1 1 0 2
0 0 1 1
0 0 0 0
 
 
  
 
 

Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales
1. Se identifican las incógnitas.
2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.
3. Se resuelve el sistema.
4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al
enunciado del problema.

Sistemas con parámetros
1. Se ordenan las ecuaciones e incógnitas: El parámetro lo más abajo y la derecha posible.
2. Se aplica el método de Gauss teniendo en cuenta que la fila que cambiamos no
podemos multiplicarla por el parámetro
3. Se igualan por separado los elementos de la diagonal a cero
4. Un caso más que el número de valores del parámetro.






=
+
+
=
+
+
=
−
+
2
4
3
5
1
2
3
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
E2-3E1
E3-5E1





−
=
+
−
−
=
+
−
=
−
+
3
9
2
2
4
1
z
y
z
y
z
y
x
E3-2E2





=
−
=
+
−
=
−
+
1
2
4
1
z
z
y
z
y
x
Pivote. Preferiblemente, coeficiente 1
Pivote, se puede
multiplicar por -1
SCD. Solución: (-4,6,1)





=
+
−
=
−
+
=
+
+
3
2
0
6
z
y
x
z
y
x
z
y
x
E2-E1
E3-2E1





−
=
−
−
−
=
−
=
+
+
9
3
6
2
6
z
y
z
z
y
x





−
=
−
−
=
−
−
=
+
+
6
2
9
3
6
z
z
y
z
y
x
SCD. Solución: (1,2,3)
EJEMPL0
EJEMPL0






=
−
+
−
=
−
+
=
−
+
4
4
5
2
3
2
2
7
7
7
z
y
x
z
y
x
z
y
x E2-2E1
E3+E1





=
−
−
=
+
−
=
−
+
11
11
12
12
11
12
7
7
7
z
y
z
y
z
y
x
E3+E2 




−
=
−
=
+
−
=
−
+
1
0
12
11
12
7
7
7
z
y
z
y
x
Igualdad numérica falsa Sistema Incompatible SI





=
−
+
−
=
−
+
=
−
+
4
4
5
3
3
2
2
7
7
7
z
y
x
z
y
x
z
y
x E2-2E1
E3+E1





=
−
−
=
+
−
=
−
+
11
11
12
11
11
12
7
7
7
z
y
z
y
z
y
x
E3+E2 




=
−
=
+
−
=
−
+
0
0
11
11
12
7
7
7
z
y
z
y
x
Igualdad numérica cierta ¿?
EJEMPL0
EJEMPL0

Una igualdad numérica cierta se puede eliminar y continuamos resolviendo
el sistema. En el caso del último ejemplo hemos acabado en un sistema
triangular pero tenemos un “exceso” de incógnitas. Lo que haremos será
“pasar” la z al otro miembro y resolver el sistema en función de z



−
=
+
−
=
−
+
11
11
12
7
7
7
z
y
z
y
x



−
−
=
−
+
=
+
z
y
z
y
x
11
11
12
7
7
7
z
y
12
11
12
11
+
=
z
x
12
7
12
7
+
=
Para cada valor de z obtenemos unos valores de x e y. Por tanto el sistema
tiene infinitas soluciones. (SCI). Para que quede más elegante, hacemos:



12
7
12
7
,
12
11
12
11
, +
=
+
=
= x
y
z
EJEMPL0

SISTEMAS HOMOGÉNEOS: Un sistema es homogéneo si todos los términos
independientes son cero
2 -3 1 0
3 -1 0 0
4 1 -1 0
2x -3y +z =0
3x -y =0
4x +y -z =0
2E2-3E1
E3-2E1
2 -3 1 0
0 7 -3 0
0 7 -3 0
2x -3y +z =0
7y -3z =0
SCI: (t/7, 3t/7, t)
x -2y +z =0
x -y -2z =0
4x +y -z =0
SCD (0,0,0)
Un sistema homogéneo ¿puede ser incompatible?¿Por qué?
EJEMPL0

METACOGNICIÓN
¿Qué aprendimos en esta sesión?
¿Qué dificultades tuviste?
¿Cómo lo superaste o piensas superarlo?
¿De qué manera influye el concepto de matrices en tu vida cotidiana?

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