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Cap´
ıtulo 7

SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
7.1.

Introducci´n
o

Se denomina ecuaci´n lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,
o
las inc´gnitas no est´n elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ ni en el denominador.
o
a
ı,
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci´n lineal con tres inc´gnitas.
o
o
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 inc´gnitas representan una recta en el plano.
o
Si la ecuaci´n lineal tiene 3 inc´gnitas, su representaci´n gr´fica es un plano en el espacio.
o
o
o
a
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Figura 7.1: Representaci´n gr´fica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1
o
a
en el espacio

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de
varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,
o geom´tricamente representan la misma recta o plano.
e

109
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

7.2.

110

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · + a1n · xn = b1 


a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · + a2n · xn = b2 
.
.

.



am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · + amn · xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´gnitas.
o
o
u
Los n´meros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan inc´gnitas (o n´meros a
u
e
determinar) y bj se denominan t´rminos independientes.
En el caso de que las inc´gnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2
o
, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1 , x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las inc´gnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones
o
del sistema simult´neamente.
a
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

7.3.

Expresi´n matricial de un sistema
o

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
    

x1
b1
a11 a12 a13 . . . a1n
 a21 a22 a23 . . . a2n   x2   b2 
    

 .
.
.
. · .  =  . 
..
.
.
.
.   .   . 
 .
.
.
.
.
.
.
am1 am2 am3 . . . amn
xn
bm
mxn



nx1

mx1


 
a1n
x1
x2 
a2n 

 
.  se llama matriz de coeficientes, la matriz X =  . 
. 
 . 
.
.
am1 am2 am3 . . . amn
xn
 
b1
 b2 
 
e
se llama matriz de inc´gnitas, y la matriz B =  .  se llama matriz de t´rminos independientes.
o
 . 
.
bm
La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:


a11 a12 a13 . . . a1n b1
 a21 a22 a23 . . . a2n b2 


(A|B) =  .
.
.
.
. 
..
.
.
.
.
.
 .
.
.
.
.
. 
a11
 a21

La matriz A =  .
 .
.

a12
a22
.
.
.

a13
a23
.
.
.

...
...
..
.

am1 am2 am3 . . .

amn bm

se llama matriz ampliada del sistema y se representar´ por (A|B) o bien por A∗ .
a

x+y−z = 5 
Ejemplo: El sistema:
x+y =7
escrito matricialmente es:

2x + 2y − z = 12

    
1 1 −1
x
5
1 1 0  ·  y  =  7 
2 2 −1
z
12
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

111

y la matriz ampliada es:



1 1 −1 5
(A|B) = 1 1 0 7 
2 2 −1 12

7.4.

Tipos de sistemas

En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los n´ meros reales R. Dependiendo del
u
posible n´mero de tales soluciones reales que tenga un sistema, ´stos de pueden clasificar en:
u
e

o
 * INCOMPATIBLES (No tienen soluci´n)→ S.I.
o ´
* DETERMINADOS (Soluci´n unica)→ S.C.D.
o
 * COMPATIBLES (Tienen soluci´n)
* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.

7.5.

Sistemas con dos inc´gnitas
o

Los sistemas m´s sencillos son aquellos en los que s´lo hay dos inc´gnitas y 2 ecuaciones, y que ya
a
o
o
son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas para resolverlos, los m´s habituales:
a
* Reducci´n
o
* Igualaci´n
o
* Sustituci´n
o
en los que ya no nos entretendremos.
Como cada ecuaci´n lineal con 2 inc´gnitas se interpreta geom´tricamente como una recta, el estudio
o
o
e
de la soluci´n del sistema se limita a estudiar la posici´n de 2 rectas en el plano.
o
o
Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el
x + 2y = −3
sistema:
.
−2x + y = 1
Por reducci´n:
o
2x+4y=-6
-2x+ y=1
5y=-5
de donde y = -1 y sustituyendo x + 2ó(-1) = -3, x = -1.
Es decir, la soluci´n del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible
o
´
y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1):

Figura 7.2: Soluci´n del sistema, punto (-1,-1)
o
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolver e interpretar el sistema:

112

x + 2y = −3
.
−2x − 4y = 5


x = −3 − 2y
5 + 4y
de donde:
Por igualaci´n:
o

x=
−2
−3 − 2y =

5 + 4y
=⇒ 4y + 6 = 5 + 4y =⇒ 0y = −1 =⇒ 0 = −1
−2

lo cu´l es imposible y por tanto el sistema no tiene soluci´n, es un sistema incompatible y por
a
o
tanto las rectas son paralelas. Geom´tricamente:
e

Figura 7.3: Sistema sin soluci´n. Rectas paralelas
o

Resolver e interpretar el sistema:

x + 2y = −3
.
3x + 6y = −9

Por sustituci´n, como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, por
o
tanto 0y = 0, 0 = 0.
Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones,
es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.

Figura 7.4: Infinitas soluciones. Las rectas coinciden
Lo expresaremos as´ Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x.
ı.
As´ si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la soluci´n como:
ı
o
x = −2λ − 3
siendo λ ∈ R
y=λ
y como λ puede ser cualquier n´mero real, hay infinitas soluciones.
u
Estos son los unicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos inc´gnitas, y su interpretaci´n
´
o
o
geom´trica.
e
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

113

Ejercicio: Estudiar la soluci´n de los siguientes sistemas e interpretarla geom´tricamente:
o
e
a)

7.5.1.

x+y = 5
2x − y = 7

b)

2x + y = 1
3x + 2y = 4

c)

x + 2y = 3
x−y = 4

Discuci´n de sistemas de 2 ecuaciones con 2 inc´gnitas
o
o

ax + 3y = 5
, no estamos
2x − y = 6
ante un s´lo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor de a, y cada sistema ser´ distinto en
o
a
funci´n del valor que tome dicha letra (llamada par´metro).
o
a
Para estudiarlo, se resuelve el sistema como habitualmente y se estudian los distintos casos que se
pueden dar. Por ejemplo , por reducci´n:
o
Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo,

ax+3y=5
6x-3y=18
ax+6x =23
por tanto, x(6 + a) = 23. Entonces, si 6 + a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = −6, obtenemos
una ecuaci´n del tipo 0 = 23, es decir, imposible.
o
Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible.
23
, y se puede sacar y sustituyendo, por tanto,
En cualquier otro caso, podemos despejar x,x =
6+a
si a = −6, el sistema es compatible determinado.
Ejercicio: Discutir los sistemas en funci´n del par´metro desconocido:
o
a
x+y =5
a)
ax + 2y = 10

7.6.

b)

1
2
y − 3x = 5

ky + x =

Sistemas de 2 inc´gnitas y 3 ecuaciones
o

Podemos a˜adir a los cl´sicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 inc´gnitas cuantas ecuaciones queramos
n
a
o
para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o m´s ecuaciones.
a
En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos rese˜ados anteriormente.
n
Al aumentar el n´mero de ecuaciones, la resoluci´n del sistema por alguno de los tres m´todos
u
o
e
cl´sicos se vuelve m´s farragoso, por lo que conviene aplicar ya el conocido m´todo de Gauss para
a
a
e
determinar el tipo de sistema.
Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada,
que tendr´ 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos.
a
Analizaremos tan s´lo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 inc´gnitas.
o
o
La matriz ampliada gen´rica es:
e


a11 a12 b1
(A|B) = a21 a22 b2 
a31 a32 b3
Aplicar el m´todo de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de la
e
matriz para obtener la matriz escalonada siguiente:


a11 a12 b1
(A|B) =  0 a∗ b∗ 
22 2
0
0 b∗
3
Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema)
eran:
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

114

T1) Multiplicar o dividir una fila por un n´mero real distinto de cero.
u
T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un n´mero real no nulo.
u
T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre s´
ı.
Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones.
Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento a31 , utilizando
a
e
tambi´n la fila 1, y por ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de modo an´logo al m´todo de
e
´
Gauss-Jordan para la inversa.
Adem´s, es conveniente en cada paso indicar la operaci´n realizada con las filas, poniendo en
a
o
primer lugar aquella que se va a sustituir por otra.
Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los casos siguientes:
1. a∗ = 0. Entonces hay dos posibilidades:
22
a)

o
o
b∗ = 0. Sistema incompatible (hay una ecuaci´n del tipo 0=k), sin soluci´n.
3
Geom´tricamente, puede ocurrir que:
e
a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte.
b) Las rectas se corten dos a dos (formen un tri´ngulo).
a

b) b∗ = 0. Aparece una ecuaci´n 0=0 que no influye en la resoluci´n del sistema, que reduo
o
3
cido a las dos ecuaciones iniciales tiene soluci´n unica, es decir, el Sistema es Compatible
o ´
Determinado.
Geom´tricamente:
e
a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta.
b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto.

2. a∗ = 0. Entonces hay tres posibilidades:
22
a)

o
Si b∗ = b∗ = 0, aparecen dos ecuaciones 0=0, que no influyen en la resoluci´n del siste2
3
ma, que ahora tiene infinitas soluciones (1 ecuaci´n y dos inc´gnitas). Sistema compatible
o
o
indeterminado.
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

115

Geom´tricamente, las tres rectas coinciden (son la misma):
e

b) Si b∗ = 0, b∗ = 0 o bien b∗ = 0, b∗ = 0, aparece una ecuaci´n 0=0 (que no influye) y otra
o
2
3
2
3
0=k (que es imposible). El sistema es incompatible.
Geom´tricamente:
e
a) Dos rectas son paralelas y la otra las corta.
b) Dos rectas coinciden y la otra es paralela.

c) Si b∗ = 0, b∗ = 0, hay dos ecuaciones 0=k que son imposibles, el sistema es incompatible.
2
3
Geom´tricamente, las tres rectas son paralelas o dos son coincidentes y una paralela.
e

En cada uno de los casos, para determinar la posici´n concreta de las rectas, basta representarlas.
o
Ejemplo Estudiar el sistema siguiente, dando la interpretaci´n geom´trica:
o
e

−x + 2y = 5 
3x + y = 7

2x + 3y = 12
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
A partir de la matriz ampliada

−1
(A|B) =  3
2

y aplicando el m´todo
e


−1
2 5
F +3F1
− −→
1 7  −2− −  0
F3 +2F1
0
3 12

116

de Gauss, obtenemos:



−1 2 5
2 5
F −F2
−−
7 22 −3− →  0 7 22
0 0 0
7 22

En este caso aparece una ecuaci´n 0=0 que no influye y el elemento a∗ es no nulo. El sistema es
o
22
compatible determinado, tiene soluci´n unica.
o ´
Geom´tricamente, puede ocurrir que:
e
a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta.
b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto.
Resolviendo y dibujando, obtenemos:
−x + 2y = 5
7y = 22
9
22
y sustituyendo es x = (compru´balo).
e
De donde y =
7
7
Dibujando las rectas:

Figura 7.5: Soluci´n del sistema. Las tres rectas se cortan en un punto: P=
o

9 22
,
7 7

se observa que las rectas se cortan en un punto, precisamente el punto soluci´n del sistema: P =
o
9 22
,
.
7 7
Ejercicios
a) Resuelve e interpreta geom´tricamente los sistemas:
e


 x+y =0
 x − y = −2
a) −x + y = 2 b)
x + 2y = 1


x + 3y = −2
4x − 10y = −14


 2x + y = 2
c) −x + y = −3

y = −2x

b) Discute y resuelve en funci´n del par´metro:
o
a


 x−y = 1
 2x + y = 3
a) x + 2y = −1 b) −x + 3y = 0


2x + my = 0
mx + 4y = 3
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

7.7.

117

Sistemas de 3 ecuaciones y 3 inc´gnitas
o

Cuando los sistemas tienen m´s de dos ecuaciones y tres o m´s inc´gnitas se utilizar´ el ya conocido
a
a
o
a
m´todo de Gauss.
e
Ahora partiremos de la matriz ampliada:


a11 a12 a13 b1
(A|B) = a21 a22 a23 b2 
a31 a32 a33 b3
para dejar dicha matriz escalonada, es decir, del tipo:


a11 a12 a13 b1
 0 a∗ a∗ b∗ 
22
23 2
0
0 a∗ b∗
33 3
utilizando las transformaciones conocidas, y de la forma indicada en ocasiones anteriores.
Los tipos de sistema que pueden obtenerse dependiendo del n´ mero de soluciones son los rese˜ados
u
n
en apartados anteriores.
Al aplicar el m´todo de Gauss podemos encontrarnos con distintos casos:
e
* Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos, el sistema es compatible determinado, tiene soluci´n unica.
o ´
* Si se obtiene una o m´s filas en las que todos los elementos sean cero, el sistema tiene infinitas
a
soluciones, y hay que despejar una o varias inc´gnitas en funci´n de otras, es un sistema compatible
o
o
indeterminado.
* Si se obtiene una o m´s filas de ceros, salvo el elemento correspondiente al t´rmino independiente,
a
e
que es distinto de cero, digamos k, entonces como la fila en cuesti´n corresponder´ a una ecuaci´n
o
ıa
o
del tipo 0 = k , lo que es imposible, el sistema no tiene soluci´n y por tanto es incompatible.
o
Veamos un ejemplo:

 2x + y − z = 11
Ejemplo Resolver por el m´todo de Gauss:
e
x − 3y = −20 .

4x + 2y + 5z = 8


2 1 −1 11
La matriz ampliada es (A|B) = 1 −3 0 −20. Aplicando el m´todo de Gauss:
e
4 2
5
8




2 1 −1 11
2 1 −1 11
 2x + y − z = 11
2F2
1 −3 0 −20 − −−F1 0 −7 1 −51 =⇒
−7y + z = −51
− −→
−

F3 −2F1
0 0
7 −14
7z = −14
4 2
5
8


obtenemos un sistema escalonado, que es compatible y determinado, pu´s podemos despejar z,
e
obteniendo z = −2, y luego −7y − 2 = −51, de donde −7y = −49 es decir y = 7 y sustituyendo en la
primera ecuaci´n es 2x + 7 + 2 = 11, luego 2x = 2 , es decir x = 1.
o
La soluci´n es (1, 7, −2).
o
Este proceso de resoluci´n, que comienza calculando z y permite calcular las dem´s inc´gnitas
o
a
o
sustituyendo en las ecuaciones anteriores se denomina sustituci´n regresiva.
o

7.7.1.

Interpretaci´n geom´trica de los sistemas con 3 ecuaciones y 3 inc´gnitas
o
e
o

Como cada ecuaci´n lineal con 3 inc´gnitas corresponde a un plano en el espacio, la soluci´n del
o
o
o
sistema correspoder´ a la posici´n en que dichos planos est´n en el espacio.
a
o
e
Lo m´s sencillo es saber que ocurre con los planos 2 a 2, pues en el espacio dos planos s´lo pueden
a
o
estar en 3 posiciones:
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

118

* Son coincidentes: Lo cu´l es f´cil de saber porque sus correspondientes ecuaciones tienen coefia
a
cientes de las inc´gnitas y los t´rminos independientes proporcionales, es decir, si los planos son:
o
e
α ≡ Ax + By + Cz = D
β ≡Ax+B y+C z =D
entonces se verifica:

B
C
D
A
=
=
=
A
B
C
D
(siempre que se puedan realizar las divisiones).
Por ejemplo, los planos 2x + 3y − z = 5, y −10x − 15y + 5z = −15 son coincidentes.
* Son paralelos: Tambi´n es sencillo de saber porque los coeficientes de las inc´gnitas son propore
o
cionales, pero los t´rminos independientes NO. Es decir, en este caso:
e
α ≡ Ax + By + Cz = D
β ≡Ax+B y+C z =D
entonces se verifica:

B
C
D
A
=
=
=
A
B
C
D
(siempre que se puedan realizar las divisiones).
Por ejemplo, los planos 2x + 3y − z = 5 y −10x − 15y + 5z = 7 son paralelos.
* Son secantes: Simplemente los coeficientes no son proporcionales, es decir:
α ≡ Ax + By + Cz = D
β ≡Ax+B y+C z =D
entonces se verifica:

B
C
D
A
=
=
=
A
B
C
D
(siempre que se puedan realizar las divisiones, y basta con que un par de ellas correspondientes a las
inc´gnitas sean diferentes).
o
Por ejemplo, los planos 7x + 3y − z = 5 y −10x − 15y + 5z = 7 son secantes.
Puesto que podemos determinar la posici´n de los planos 2 a 2, podemos determinar en qu´ posici´n
o
e
o
se encuentran los 3 a la vez, fij´ndonos en los casos:
a
1. Si el sistema es S.C.D. (Soluci´n unica), es que los tres planos se cortan en un punto, que es la
o ´
soluci´n del sistema.
o

2. Si el sistema es S.C.I. (Infinitas soluciones), puede ocurrir que:
a)

Los tres planos se corten en una recta.

b) Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta.
c) Los tres planos son coincidentes.
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

119

Y determinaremos la opci´n correspondiente estudi´ndolos de dos en dos.
o
a
3. Si el sistema es S.I. (Sin soluci´n), puede ocurrir que:
o
a)

Los planos se cortan dos a dos.

b) Dos planos son paralelos y el otro los corta.
c) Los tres planos son paralelos.
d ) Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos.

Y determinaremos la opci´n correspondiente estudi´ndolos de dos en dos.
o
a
Ejemplo: Estudiar el sistema e interpretarlo geom´tricamente:
e

 2x + y − z = −6
3x − y + z = −5

4x + 2y − 2z = −1

2 1 −1 −6
Aplicando Gauss a (A|B) = 3 −1 1 −5, se obtiene:
4 2 −2 −1







2 1 −1 −6
2 1 −1 −6
 2x + y − z = −6
2F2 −3F
3 −1 1 −5 − − −1 0 −5 5 8  =⇒
−−→
−5y + 5z = 8

F3 −2F1
0 0
0 11
0 = 11
4 2 −2 −1
Lo que indica que el sistema es incompatible y por tanto no tiene soluci´n, los planos no tienen puntos
o
comunes.
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

120

Si estudiamos la posici´n de los planos 2 a 2, se obtiene que el primero y el segundo tienen
o
coeficientes que no son proporcionales, luego se cortan.
El primero y el tercero tienen coeficientes proporcionales pero no los t´rminos independientes,
e
luego son paralelos.
Y el segundo y el tercero no tienen coeficientes proporcionales, por lo que se cortan.
Concluimos por tanto que los planos primero y tercero son paralelos y son cortados por el segundo
plano, ´sta es la interpretaci´n geom´trica:
e
o
e

Ejercicios: Estudiar e interpretar geom´tricamente los sistemas:
e



 2x − y + 3z = −1
 x+y+z = 2
 x + y − z = −2
a) 4x − 2y + 6z = −5 b) 2x + y + 3z = 1 c) 2x − y + 3z = −5



−2x + y − 3z = −7
x + 2y + z = 4
3x + 2z = −7

7.7.2.


 x+y+z = 8
d) 7x + y + 6z = 7

x + 7y + z = 1

Discusi´n de sistemas de 3 ecuaciones y 3 inc´gnitas
o
o

Si aparece alg´n coeficiente desconocido,aplicaremos el m´todo de Gauss e investigaremos seg´ n
u
e
u
los valores del par´metro la posibilidad de que aparezca o no una fila de ceros.
a

 x+y+z = m+1
Ejemplo: Discutir seg´n los valores de m el sistema: mx + y + (m − 1)z = m
u

x + 7y + z = 1
Aplicando Gauss a la matriz ampliada:




1
1
1 m+1
1 1
1
m+1
F −mF
F −F1
m 1 m − 1 m  −2− −1 0 1 − m −1 −m2  −3− →
− −→
−−
(m=0)
1
1
7
1
1
1 m
1




1
1
1 m+1
1
1
1
m+1
F −F1
F +F2
−3− → 0 1 − m −1 −m2  −3− → 0 1 − m −1
−−
−−
−m2 
0 m − 1 0 −m
0
0
−1 −m − m2
Debemos, llegados a este punto, fijarnos en dos aspectos:
a) El desarrollo anterior s´lo es posible si m = 0, luego el caso m = 0 debe estudiarse por separado.
o
b) En el sistema escalonado final, hay problemas cuando el valor 1 − m = 0, es decir, cuando
m = 1. En cualquier otro caso, no hay problemas.
De modo que, resumiendo, si m = 0 y m = 1, el sistema es S.C.D.
Estudiemos ahora cada caso por separado:
Si m = 0, al aplicar Gauss, queda:






1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
F −F1
F +F2
0 1 −1 0 −3− → 0 1 −1 0 −3− → 0 1 −1 0
−−
−−
0 −1 0 0
0 0 −1 0
1 0 1 1
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

121

que vuelve a ser S.C.D.
Si m = 1, al aplicar Gauss queda:



1 1 1 1
0 0 −1 −1
0 0 −1 −2
Se obtienen dos valores distintos de z, lo que es absurdo y el sistema en este caso no tiene soluci´n
o
(S.I.)
Conclusi´n:
o
* Si m = 1 S.I.
* Si m = 1 S.C.D.
Ejercicios:
1. Discutir en funci´n del par´metro desconocido los sistemas siguientes e interpretar geom´tricao
a
e
mente el resultado:


x + y + az = 1
 x + y − 6z = 0
a) x + ay + z = 1 b)
x − 2y + 6z = 0


ax + y + z = 1
3x + −y + mz = 0


 3x + y + 2z = 1 − a
x + y + az = a2
c) (1 + a)x + 2y + z = a d) x + ay + z = a


ax + y + z = 1
ax − y + z = 1 − a

 x + 2y − z = 8
2. Dado el sistema 2x − 3y + z = −1 , se pide:

3x − y + kz = 5
a) Hallar el valor de k que hace el sistema incompatible.
b) Hallar el valor de k que hace el sistema compatible y adem´s z= -1.
a
c) Para el valor de k hallado en b), resolver el sistema.

7.8.
7.8.1.

Aplicaci´n de las matrices y determinantes a la resoluci´n de
o
o
sistemas. Regla de Cramer
Aplicaci´n de las matrices
o

Si tenemos un sistema con el mismo n´mero de ecuaciones que de inc´gnitas ( un sistema de ese
u
o
tipo de llama cuadrado), entonces la matriz A de coeficientes es cuadrada y podemos escribir el sistema
matricialmente as´
ı:
A·X =B
donde A,X y B son las matrices ya definidas de coeficientes, inc´gnitas y t´rminos independientes
o
e
respectivamente.
Como el objetivo es calcular la matriz X de inc´gnitas, el problema estar´ resuelto si conseguimos
o
ıa
despejar X de dicha ecuaci´n.
o
Sabemos que eso se puede hacer s´lo cuando la matriz A posee inversa, y en ese caso aplicar´
o
ıamos
que:
A · X = B =⇒ A−1 · A · X = A−1 · B =⇒ I · X = A−1 · B =⇒ X = A−1 · B
es decir podr´
ıamos calcular X, y el sistema tendr´ soluci´n unica.
ıa
o ´
Si A no posee inversa, no podemos despejar X y el sistema no se puede resolver de esta manera.
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

122

Conclusi´n: En un sistema cuadrado y cuya matriz de coeficientes tenga inversa, la soluci´n del
o
o
sistema viene dada por:
X = A−1 · B

 2x + y − z = 11
Ejemplo: Resolver, aplicando la inversa, el sistema:
x − 3y = −20 .

4x + 2y + 5z = 8


2 1 −1
La matriz de coeficentes es 1 −3 0 .
4 2
5
Para poder aplicar lo anterior es necesario que A tenga inversa, lo que por ejemplo comprobamos
haciendo det (A).
Como det(A) = −49, no nulo, A tiene inversa. Por tanto y seg´n lo dicho,X = A−1 · B , es decir:
u

  
−1 
11
x
2 1 −1
y  = 1 −3 0  · −20
8
z
4 2
5
Si hacemos la inversa de A (¡compru´balo!), resulta:
e
 15
A−1 =
y por tanto,

   15
x
49
y  =  5
49
−2
z
49

49
 5
49
−2
49

1
7
−2
7

0

1
7
−2
7

0



3
49
1 
49
1
7

 

3
49
1 
49
1
7

  
11
1
· −20 = 2
8
7

es decir x=1, y=7 , z=-2 , soluci´n que ya hab´
o
ıamos obtenido utilizando el m´todo de Gauss.
e

7.8.2.

Regla de Cramer

En el caso de sistemas que cumplan las mismas condiciones que los del anterior apartado, es decir,
que sean cuadrados y tales que su matriz de coeficientes tenga inversa (los sistemas que cumplen estas
dos condiciones se llaman sistemas de Cramer ), se puede aplicar una regla muy sencilla para calular
la soluci´n y que se basa en los determinantes, conocida como regla de Cramer.
o
Si det(A) es cero, evidentemente la regla no se puede aplicar.
La regla de Cramer:
Para un sistema de Cramer (cuadrado y con matriz regular) se verifica que la inc´nita n´mero k
o
u
se calcula dividiendo entre el determinante de A el determinante que resulta de sustituir la columna
k (correspodiente al lugar que ocupe la inc´gnita que se est´ calculando) por la columna de t´rminos
o
a
e
independientes.

 2x + y − z = 11
x − 3y = −20 .
Ejemplo: Resolver el sistema

4x + 2y + 5z = 8
Como el sistema es de Cramer puesto que det(A) = −49, aplicamos la regla de Cramer:
Para x sustituimos la primera columna por la de t´rminos independientes pues x es la primera
e
inc´gnita:
o
11
1 −1
−20 −3 0
8
2
5
−49
=
=1
x=
−49
−49
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

123

Para y sustituimos la segunda columna por la de t´rminos independientes pues y es la segunda inc´gnie
o
ta.
2 11 −1
1 −20 0
4
8
5
−343
=
=7
y=
−49
−49
Para z sustituimos la tercera columna por la de t´rminos independientes pues z es la tercera inc´gnita).
e
o
2 1
11
1 −3 −20
4 2
8
98
=
= −2
x=
−49
−49
Y obtenemos la soluci´n como antes.
o
Recordemos que esto s´lo se puede aplicar para sistemas de Cramer.
o
Ejercicio: Resolver, mediante estos dos m´todos, los sistemas:
e



3x − 2y + z = −1
x+y+z = 6
 3x + y + z = 2
a)
2x + y − z = 2
b) x − y + 2z = 5 c) 2x + 2y + z = 5



x − 3y + z = 0
x+y−z = 0
x−y +z = 0

7.9.

Estudio de sistemas cualesquiera mediante el c´lculo del rango.
a
Teorema de Rouch´-Frobenius
e

Saber si un sistema tiene o no soluci´n (si es compatible), y cu´ntas soluciones tiene (si es detero
a
minado o indeterminado), se reduce para cualquier tipo de sistemas a estudiar rangos. El resultado
fundamental es el:
Teorema de Rouch´-Frobenius:
e
Un sistema cualquiera de matriz A y matriz ampliada (A|B) tiene soluci´n (es compatible) si y
o
solamente si Rg(A) = Rg(A|B).
Por tanto si los dos rangos son distintos el sistema no tiene soluci´n (S.I.).
o
Adem´s, si dicho rango coincide con el n´mero de inc´gnitas del sistema, la soluci´n es unica
a
u
o
o
´
(S.C.D.), y si dicho rango es menor que el n´mero de inc´gnitas, hay infinitas soluciones (S.C.I.).
u
o
Es importante darse cuenta de que Rg(A) ≤ Rg(A|B), puesto que la matriz de coeficientes forma
parte de la ampliada, es decir, la matriz A no puede tener rango mayor que la ampliada.
A´n siendo importante, el unico problema que plantea este teorema es que NO ofrece ning´n m´todo
u
´
u
e
para calcular la soluci´n, s´lamente dice si hay soluci´n o no.
o
o
o
Ejercicio: Aplicar el teorema de Rouch´ para determinar el tipo de sistema que es:
e



x+y−z+t = 4

 2x − y = 1
 x + 3y = 3
3x + 3y − z = −1
a)
2x − y + 3z + 2t = −1
b) x + 3y = −2 c) 3x + 5y = 7 d)
x + y − 5z = 2



−4x + 5y − 11z − 4t = 11
5x − 4y = 7
2x + 4y = 5
CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

7.10.

124

Sistemas homog´neos
e

Un sistema homog´neo es aqu´l que tiene todos los t´rminos independientes nulos.
e
e
e
Cualquier sistema homogeneo es evidente que es compatible, pues dando a cada inc´gnita el valor
o
0, se cumplen las ecuaciones. Esta soluci´n (que todas las inc´gnitas sean nulas) se llama soluci´n
o
o
o
trivial.
El problema entonces est´ en determinar si dichos sistemas son compatibles determinados o indea
terminados.
Aplicando el teorema de Rouch´ s´lo podemos tener dos casos:
e o
o
a) Rg (A) = nö inc´gnitas. En este caso el sistema es compatible determinado, y por tanto tiene
soluci´n unica que es la trivial (todas las inc´gnitas valen cero)
o ´
o
o
b) Rg(A) < nö inc´gnitas. En este caso el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas
soluciones que se determinan de la manera conocida.
Ejercicios:
1. Estudiar la soluci´n de los sistemas homog´neos siguientes:
o
e

x+y−z = 0
x+y = 0
x+y+z = 0
a)
b)
c) 2x − y + z = 0
x−y = 0
2x − y + z = 0

4x + y − z = 0

 6x + 18y − bz = 0
2. Discutir el sistema homog´neo: 7x − 2y − 4z = 0 .
e

4x + 10y − 6z = 0

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Sistemas de ecuaciones Lineales

  • 1. Cap´ ıtulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducci´n o Se denomina ecuaci´n lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, o las inc´gnitas no est´n elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ ni en el denominador. o a ı, Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci´n lineal con tres inc´gnitas. o o Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 inc´gnitas representan una recta en el plano. o Si la ecuaci´n lineal tiene 3 inc´gnitas, su representaci´n gr´fica es un plano en el espacio. o o o a Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura: Figura 7.1: Representaci´n gr´fica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1 o a en el espacio El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geom´tricamente representan la misma recta o plano. e 109
  • 2. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.2. 110 Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:  a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · + a1n · xn = b1    a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · + a2n · xn = b2  . .  .    am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · + amn · xn = bm En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´gnitas. o o u Los n´meros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan inc´gnitas (o n´meros a u e determinar) y bj se denominan t´rminos independientes. En el caso de que las inc´gnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2 o , y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1 , x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las inc´gnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones o del sistema simult´neamente. a Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. 7.3. Expresi´n matricial de un sistema o Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:       x1 b1 a11 a12 a13 . . . a1n  a21 a22 a23 . . . a2n   x2   b2         . . . . · .  =  .  .. . . . .   .   .   . . . . . . . am1 am2 am3 . . . amn xn bm mxn  nx1 mx1    a1n x1 x2  a2n     .  se llama matriz de coeficientes, la matriz X =  .  .   .  . . am1 am2 am3 . . . amn xn   b1  b2    e se llama matriz de inc´gnitas, y la matriz B =  .  se llama matriz de t´rminos independientes. o  .  . bm La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:   a11 a12 a13 . . . a1n b1  a21 a22 a23 . . . a2n b2    (A|B) =  . . . . .  .. . . . . .  . . . . . .  a11  a21  La matriz A =  .  . . a12 a22 . . . a13 a23 . . . ... ... .. . am1 am2 am3 . . . amn bm se llama matriz ampliada del sistema y se representar´ por (A|B) o bien por A∗ . a  x+y−z = 5  Ejemplo: El sistema: x+y =7 escrito matricialmente es:  2x + 2y − z = 12       1 1 −1 x 5 1 1 0  ·  y  =  7  2 2 −1 z 12
  • 3. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 111 y la matriz ampliada es:   1 1 −1 5 (A|B) = 1 1 0 7  2 2 −1 12 7.4. Tipos de sistemas En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los n´ meros reales R. Dependiendo del u posible n´mero de tales soluciones reales que tenga un sistema, ´stos de pueden clasificar en: u e  o  * INCOMPATIBLES (No tienen soluci´n)→ S.I. o ´ * DETERMINADOS (Soluci´n unica)→ S.C.D. o  * COMPATIBLES (Tienen soluci´n) * INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I. 7.5. Sistemas con dos inc´gnitas o Los sistemas m´s sencillos son aquellos en los que s´lo hay dos inc´gnitas y 2 ecuaciones, y que ya a o o son conocidos de cursos pasados. Hay varios sistemas para resolverlos, los m´s habituales: a * Reducci´n o * Igualaci´n o * Sustituci´n o en los que ya no nos entretendremos. Como cada ecuaci´n lineal con 2 inc´gnitas se interpreta geom´tricamente como una recta, el estudio o o e de la soluci´n del sistema se limita a estudiar la posici´n de 2 rectas en el plano. o o Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el x + 2y = −3 sistema: . −2x + y = 1 Por reducci´n: o 2x+4y=-6 -2x+ y=1 5y=-5 de donde y = -1 y sustituyendo x + 2ó(-1) = -3, x = -1. Es decir, la soluci´n del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible o ´ y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1): Figura 7.2: Soluci´n del sistema, punto (-1,-1) o
  • 4. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver e interpretar el sistema: 112 x + 2y = −3 . −2x − 4y = 5  x = −3 − 2y 5 + 4y de donde: Por igualaci´n: o  x= −2 −3 − 2y = 5 + 4y =⇒ 4y + 6 = 5 + 4y =⇒ 0y = −1 =⇒ 0 = −1 −2 lo cu´l es imposible y por tanto el sistema no tiene soluci´n, es un sistema incompatible y por a o tanto las rectas son paralelas. Geom´tricamente: e Figura 7.3: Sistema sin soluci´n. Rectas paralelas o Resolver e interpretar el sistema: x + 2y = −3 . 3x + 6y = −9 Por sustituci´n, como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, por o tanto 0y = 0, 0 = 0. Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma. Figura 7.4: Infinitas soluciones. Las rectas coinciden Lo expresaremos as´ Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x. ı. As´ si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la soluci´n como: ı o x = −2λ − 3 siendo λ ∈ R y=λ y como λ puede ser cualquier n´mero real, hay infinitas soluciones. u Estos son los unicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos inc´gnitas, y su interpretaci´n ´ o o geom´trica. e
  • 5. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 113 Ejercicio: Estudiar la soluci´n de los siguientes sistemas e interpretarla geom´tricamente: o e a) 7.5.1. x+y = 5 2x − y = 7 b) 2x + y = 1 3x + 2y = 4 c) x + 2y = 3 x−y = 4 Discuci´n de sistemas de 2 ecuaciones con 2 inc´gnitas o o ax + 3y = 5 , no estamos 2x − y = 6 ante un s´lo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor de a, y cada sistema ser´ distinto en o a funci´n del valor que tome dicha letra (llamada par´metro). o a Para estudiarlo, se resuelve el sistema como habitualmente y se estudian los distintos casos que se pueden dar. Por ejemplo , por reducci´n: o Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo, ax+3y=5 6x-3y=18 ax+6x =23 por tanto, x(6 + a) = 23. Entonces, si 6 + a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = −6, obtenemos una ecuaci´n del tipo 0 = 23, es decir, imposible. o Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible. 23 , y se puede sacar y sustituyendo, por tanto, En cualquier otro caso, podemos despejar x,x = 6+a si a = −6, el sistema es compatible determinado. Ejercicio: Discutir los sistemas en funci´n del par´metro desconocido: o a x+y =5 a) ax + 2y = 10 7.6. b) 1 2 y − 3x = 5 ky + x = Sistemas de 2 inc´gnitas y 3 ecuaciones o Podemos a˜adir a los cl´sicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 inc´gnitas cuantas ecuaciones queramos n a o para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o m´s ecuaciones. a En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos rese˜ados anteriormente. n Al aumentar el n´mero de ecuaciones, la resoluci´n del sistema por alguno de los tres m´todos u o e cl´sicos se vuelve m´s farragoso, por lo que conviene aplicar ya el conocido m´todo de Gauss para a a e determinar el tipo de sistema. Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada, que tendr´ 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos. a Analizaremos tan s´lo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 inc´gnitas. o o La matriz ampliada gen´rica es: e   a11 a12 b1 (A|B) = a21 a22 b2  a31 a32 b3 Aplicar el m´todo de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de la e matriz para obtener la matriz escalonada siguiente:   a11 a12 b1 (A|B) =  0 a∗ b∗  22 2 0 0 b∗ 3 Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema) eran:
  • 6. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 114 T1) Multiplicar o dividir una fila por un n´mero real distinto de cero. u T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un n´mero real no nulo. u T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre s´ ı. Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones. Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento a31 , utilizando a e tambi´n la fila 1, y por ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de modo an´logo al m´todo de e ´ Gauss-Jordan para la inversa. Adem´s, es conveniente en cada paso indicar la operaci´n realizada con las filas, poniendo en a o primer lugar aquella que se va a sustituir por otra. Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los casos siguientes: 1. a∗ = 0. Entonces hay dos posibilidades: 22 a) o o b∗ = 0. Sistema incompatible (hay una ecuaci´n del tipo 0=k), sin soluci´n. 3 Geom´tricamente, puede ocurrir que: e a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte. b) Las rectas se corten dos a dos (formen un tri´ngulo). a b) b∗ = 0. Aparece una ecuaci´n 0=0 que no influye en la resoluci´n del sistema, que reduo o 3 cido a las dos ecuaciones iniciales tiene soluci´n unica, es decir, el Sistema es Compatible o ´ Determinado. Geom´tricamente: e a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta. b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto. 2. a∗ = 0. Entonces hay tres posibilidades: 22 a) o Si b∗ = b∗ = 0, aparecen dos ecuaciones 0=0, que no influyen en la resoluci´n del siste2 3 ma, que ahora tiene infinitas soluciones (1 ecuaci´n y dos inc´gnitas). Sistema compatible o o indeterminado.
  • 7. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 115 Geom´tricamente, las tres rectas coinciden (son la misma): e b) Si b∗ = 0, b∗ = 0 o bien b∗ = 0, b∗ = 0, aparece una ecuaci´n 0=0 (que no influye) y otra o 2 3 2 3 0=k (que es imposible). El sistema es incompatible. Geom´tricamente: e a) Dos rectas son paralelas y la otra las corta. b) Dos rectas coinciden y la otra es paralela. c) Si b∗ = 0, b∗ = 0, hay dos ecuaciones 0=k que son imposibles, el sistema es incompatible. 2 3 Geom´tricamente, las tres rectas son paralelas o dos son coincidentes y una paralela. e En cada uno de los casos, para determinar la posici´n concreta de las rectas, basta representarlas. o Ejemplo Estudiar el sistema siguiente, dando la interpretaci´n geom´trica: o e  −x + 2y = 5  3x + y = 7  2x + 3y = 12
  • 8. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A partir de la matriz ampliada  −1 (A|B) =  3 2 y aplicando el m´todo e   −1 2 5 F +3F1 − −→ 1 7  −2− −  0 F3 +2F1 0 3 12 116 de Gauss, obtenemos:    −1 2 5 2 5 F −F2 −− 7 22 −3− →  0 7 22 0 0 0 7 22 En este caso aparece una ecuaci´n 0=0 que no influye y el elemento a∗ es no nulo. El sistema es o 22 compatible determinado, tiene soluci´n unica. o ´ Geom´tricamente, puede ocurrir que: e a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta. b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto. Resolviendo y dibujando, obtenemos: −x + 2y = 5 7y = 22 9 22 y sustituyendo es x = (compru´balo). e De donde y = 7 7 Dibujando las rectas: Figura 7.5: Soluci´n del sistema. Las tres rectas se cortan en un punto: P= o 9 22 , 7 7 se observa que las rectas se cortan en un punto, precisamente el punto soluci´n del sistema: P = o 9 22 , . 7 7 Ejercicios a) Resuelve e interpreta geom´tricamente los sistemas: e    x+y =0  x − y = −2 a) −x + y = 2 b) x + 2y = 1   x + 3y = −2 4x − 10y = −14   2x + y = 2 c) −x + y = −3  y = −2x b) Discute y resuelve en funci´n del par´metro: o a    x−y = 1  2x + y = 3 a) x + 2y = −1 b) −x + 3y = 0   2x + my = 0 mx + 4y = 3
  • 9. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.7. 117 Sistemas de 3 ecuaciones y 3 inc´gnitas o Cuando los sistemas tienen m´s de dos ecuaciones y tres o m´s inc´gnitas se utilizar´ el ya conocido a a o a m´todo de Gauss. e Ahora partiremos de la matriz ampliada:   a11 a12 a13 b1 (A|B) = a21 a22 a23 b2  a31 a32 a33 b3 para dejar dicha matriz escalonada, es decir, del tipo:   a11 a12 a13 b1  0 a∗ a∗ b∗  22 23 2 0 0 a∗ b∗ 33 3 utilizando las transformaciones conocidas, y de la forma indicada en ocasiones anteriores. Los tipos de sistema que pueden obtenerse dependiendo del n´ mero de soluciones son los rese˜ados u n en apartados anteriores. Al aplicar el m´todo de Gauss podemos encontrarnos con distintos casos: e * Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos, el sistema es compatible determinado, tiene soluci´n unica. o ´ * Si se obtiene una o m´s filas en las que todos los elementos sean cero, el sistema tiene infinitas a soluciones, y hay que despejar una o varias inc´gnitas en funci´n de otras, es un sistema compatible o o indeterminado. * Si se obtiene una o m´s filas de ceros, salvo el elemento correspondiente al t´rmino independiente, a e que es distinto de cero, digamos k, entonces como la fila en cuesti´n corresponder´ a una ecuaci´n o ıa o del tipo 0 = k , lo que es imposible, el sistema no tiene soluci´n y por tanto es incompatible. o Veamos un ejemplo:   2x + y − z = 11 Ejemplo Resolver por el m´todo de Gauss: e x − 3y = −20 .  4x + 2y + 5z = 8   2 1 −1 11 La matriz ampliada es (A|B) = 1 −3 0 −20. Aplicando el m´todo de Gauss: e 4 2 5 8     2 1 −1 11 2 1 −1 11  2x + y − z = 11 2F2 1 −3 0 −20 − −−F1 0 −7 1 −51 =⇒ −7y + z = −51 − −→ −  F3 −2F1 0 0 7 −14 7z = −14 4 2 5 8  obtenemos un sistema escalonado, que es compatible y determinado, pu´s podemos despejar z, e obteniendo z = −2, y luego −7y − 2 = −51, de donde −7y = −49 es decir y = 7 y sustituyendo en la primera ecuaci´n es 2x + 7 + 2 = 11, luego 2x = 2 , es decir x = 1. o La soluci´n es (1, 7, −2). o Este proceso de resoluci´n, que comienza calculando z y permite calcular las dem´s inc´gnitas o a o sustituyendo en las ecuaciones anteriores se denomina sustituci´n regresiva. o 7.7.1. Interpretaci´n geom´trica de los sistemas con 3 ecuaciones y 3 inc´gnitas o e o Como cada ecuaci´n lineal con 3 inc´gnitas corresponde a un plano en el espacio, la soluci´n del o o o sistema correspoder´ a la posici´n en que dichos planos est´n en el espacio. a o e Lo m´s sencillo es saber que ocurre con los planos 2 a 2, pues en el espacio dos planos s´lo pueden a o estar en 3 posiciones:
  • 10. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 118 * Son coincidentes: Lo cu´l es f´cil de saber porque sus correspondientes ecuaciones tienen coefia a cientes de las inc´gnitas y los t´rminos independientes proporcionales, es decir, si los planos son: o e α ≡ Ax + By + Cz = D β ≡Ax+B y+C z =D entonces se verifica: B C D A = = = A B C D (siempre que se puedan realizar las divisiones). Por ejemplo, los planos 2x + 3y − z = 5, y −10x − 15y + 5z = −15 son coincidentes. * Son paralelos: Tambi´n es sencillo de saber porque los coeficientes de las inc´gnitas son propore o cionales, pero los t´rminos independientes NO. Es decir, en este caso: e α ≡ Ax + By + Cz = D β ≡Ax+B y+C z =D entonces se verifica: B C D A = = = A B C D (siempre que se puedan realizar las divisiones). Por ejemplo, los planos 2x + 3y − z = 5 y −10x − 15y + 5z = 7 son paralelos. * Son secantes: Simplemente los coeficientes no son proporcionales, es decir: α ≡ Ax + By + Cz = D β ≡Ax+B y+C z =D entonces se verifica: B C D A = = = A B C D (siempre que se puedan realizar las divisiones, y basta con que un par de ellas correspondientes a las inc´gnitas sean diferentes). o Por ejemplo, los planos 7x + 3y − z = 5 y −10x − 15y + 5z = 7 son secantes. Puesto que podemos determinar la posici´n de los planos 2 a 2, podemos determinar en qu´ posici´n o e o se encuentran los 3 a la vez, fij´ndonos en los casos: a 1. Si el sistema es S.C.D. (Soluci´n unica), es que los tres planos se cortan en un punto, que es la o ´ soluci´n del sistema. o 2. Si el sistema es S.C.I. (Infinitas soluciones), puede ocurrir que: a) Los tres planos se corten en una recta. b) Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta. c) Los tres planos son coincidentes.
  • 11. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 119 Y determinaremos la opci´n correspondiente estudi´ndolos de dos en dos. o a 3. Si el sistema es S.I. (Sin soluci´n), puede ocurrir que: o a) Los planos se cortan dos a dos. b) Dos planos son paralelos y el otro los corta. c) Los tres planos son paralelos. d ) Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos. Y determinaremos la opci´n correspondiente estudi´ndolos de dos en dos. o a Ejemplo: Estudiar el sistema e interpretarlo geom´tricamente: e   2x + y − z = −6 3x − y + z = −5  4x + 2y − 2z = −1  2 1 −1 −6 Aplicando Gauss a (A|B) = 3 −1 1 −5, se obtiene: 4 2 −2 −1       2 1 −1 −6 2 1 −1 −6  2x + y − z = −6 2F2 −3F 3 −1 1 −5 − − −1 0 −5 5 8  =⇒ −−→ −5y + 5z = 8  F3 −2F1 0 0 0 11 0 = 11 4 2 −2 −1 Lo que indica que el sistema es incompatible y por tanto no tiene soluci´n, los planos no tienen puntos o comunes.
  • 12. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 120 Si estudiamos la posici´n de los planos 2 a 2, se obtiene que el primero y el segundo tienen o coeficientes que no son proporcionales, luego se cortan. El primero y el tercero tienen coeficientes proporcionales pero no los t´rminos independientes, e luego son paralelos. Y el segundo y el tercero no tienen coeficientes proporcionales, por lo que se cortan. Concluimos por tanto que los planos primero y tercero son paralelos y son cortados por el segundo plano, ´sta es la interpretaci´n geom´trica: e o e Ejercicios: Estudiar e interpretar geom´tricamente los sistemas: e     2x − y + 3z = −1  x+y+z = 2  x + y − z = −2 a) 4x − 2y + 6z = −5 b) 2x + y + 3z = 1 c) 2x − y + 3z = −5    −2x + y − 3z = −7 x + 2y + z = 4 3x + 2z = −7 7.7.2.   x+y+z = 8 d) 7x + y + 6z = 7  x + 7y + z = 1 Discusi´n de sistemas de 3 ecuaciones y 3 inc´gnitas o o Si aparece alg´n coeficiente desconocido,aplicaremos el m´todo de Gauss e investigaremos seg´ n u e u los valores del par´metro la posibilidad de que aparezca o no una fila de ceros. a   x+y+z = m+1 Ejemplo: Discutir seg´n los valores de m el sistema: mx + y + (m − 1)z = m u  x + 7y + z = 1 Aplicando Gauss a la matriz ampliada:     1 1 1 m+1 1 1 1 m+1 F −mF F −F1 m 1 m − 1 m  −2− −1 0 1 − m −1 −m2  −3− → − −→ −− (m=0) 1 1 7 1 1 1 m 1     1 1 1 m+1 1 1 1 m+1 F −F1 F +F2 −3− → 0 1 − m −1 −m2  −3− → 0 1 − m −1 −− −− −m2  0 m − 1 0 −m 0 0 −1 −m − m2 Debemos, llegados a este punto, fijarnos en dos aspectos: a) El desarrollo anterior s´lo es posible si m = 0, luego el caso m = 0 debe estudiarse por separado. o b) En el sistema escalonado final, hay problemas cuando el valor 1 − m = 0, es decir, cuando m = 1. En cualquier otro caso, no hay problemas. De modo que, resumiendo, si m = 0 y m = 1, el sistema es S.C.D. Estudiemos ahora cada caso por separado: Si m = 0, al aplicar Gauss, queda:       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F −F1 F +F2 0 1 −1 0 −3− → 0 1 −1 0 −3− → 0 1 −1 0 −− −− 0 −1 0 0 0 0 −1 0 1 0 1 1
  • 13. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 121 que vuelve a ser S.C.D. Si m = 1, al aplicar Gauss queda:   1 1 1 1 0 0 −1 −1 0 0 −1 −2 Se obtienen dos valores distintos de z, lo que es absurdo y el sistema en este caso no tiene soluci´n o (S.I.) Conclusi´n: o * Si m = 1 S.I. * Si m = 1 S.C.D. Ejercicios: 1. Discutir en funci´n del par´metro desconocido los sistemas siguientes e interpretar geom´tricao a e mente el resultado:   x + y + az = 1  x + y − 6z = 0 a) x + ay + z = 1 b) x − 2y + 6z = 0   ax + y + z = 1 3x + −y + mz = 0    3x + y + 2z = 1 − a x + y + az = a2 c) (1 + a)x + 2y + z = a d) x + ay + z = a   ax + y + z = 1 ax − y + z = 1 − a   x + 2y − z = 8 2. Dado el sistema 2x − 3y + z = −1 , se pide:  3x − y + kz = 5 a) Hallar el valor de k que hace el sistema incompatible. b) Hallar el valor de k que hace el sistema compatible y adem´s z= -1. a c) Para el valor de k hallado en b), resolver el sistema. 7.8. 7.8.1. Aplicaci´n de las matrices y determinantes a la resoluci´n de o o sistemas. Regla de Cramer Aplicaci´n de las matrices o Si tenemos un sistema con el mismo n´mero de ecuaciones que de inc´gnitas ( un sistema de ese u o tipo de llama cuadrado), entonces la matriz A de coeficientes es cuadrada y podemos escribir el sistema matricialmente as´ ı: A·X =B donde A,X y B son las matrices ya definidas de coeficientes, inc´gnitas y t´rminos independientes o e respectivamente. Como el objetivo es calcular la matriz X de inc´gnitas, el problema estar´ resuelto si conseguimos o ıa despejar X de dicha ecuaci´n. o Sabemos que eso se puede hacer s´lo cuando la matriz A posee inversa, y en ese caso aplicar´ o ıamos que: A · X = B =⇒ A−1 · A · X = A−1 · B =⇒ I · X = A−1 · B =⇒ X = A−1 · B es decir podr´ ıamos calcular X, y el sistema tendr´ soluci´n unica. ıa o ´ Si A no posee inversa, no podemos despejar X y el sistema no se puede resolver de esta manera.
  • 14. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 122 Conclusi´n: En un sistema cuadrado y cuya matriz de coeficientes tenga inversa, la soluci´n del o o sistema viene dada por: X = A−1 · B   2x + y − z = 11 Ejemplo: Resolver, aplicando la inversa, el sistema: x − 3y = −20 .  4x + 2y + 5z = 8   2 1 −1 La matriz de coeficentes es 1 −3 0 . 4 2 5 Para poder aplicar lo anterior es necesario que A tenga inversa, lo que por ejemplo comprobamos haciendo det (A). Como det(A) = −49, no nulo, A tiene inversa. Por tanto y seg´n lo dicho,X = A−1 · B , es decir: u     −1  11 x 2 1 −1 y  = 1 −3 0  · −20 8 z 4 2 5 Si hacemos la inversa de A (¡compru´balo!), resulta: e  15 A−1 = y por tanto,    15 x 49 y  =  5 49 −2 z 49 49  5 49 −2 49 1 7 −2 7 0 1 7 −2 7 0  3 49 1  49 1 7   3 49 1  49 1 7    11 1 · −20 = 2 8 7 es decir x=1, y=7 , z=-2 , soluci´n que ya hab´ o ıamos obtenido utilizando el m´todo de Gauss. e 7.8.2. Regla de Cramer En el caso de sistemas que cumplan las mismas condiciones que los del anterior apartado, es decir, que sean cuadrados y tales que su matriz de coeficientes tenga inversa (los sistemas que cumplen estas dos condiciones se llaman sistemas de Cramer ), se puede aplicar una regla muy sencilla para calular la soluci´n y que se basa en los determinantes, conocida como regla de Cramer. o Si det(A) es cero, evidentemente la regla no se puede aplicar. La regla de Cramer: Para un sistema de Cramer (cuadrado y con matriz regular) se verifica que la inc´nita n´mero k o u se calcula dividiendo entre el determinante de A el determinante que resulta de sustituir la columna k (correspodiente al lugar que ocupe la inc´gnita que se est´ calculando) por la columna de t´rminos o a e independientes.   2x + y − z = 11 x − 3y = −20 . Ejemplo: Resolver el sistema  4x + 2y + 5z = 8 Como el sistema es de Cramer puesto que det(A) = −49, aplicamos la regla de Cramer: Para x sustituimos la primera columna por la de t´rminos independientes pues x es la primera e inc´gnita: o 11 1 −1 −20 −3 0 8 2 5 −49 = =1 x= −49 −49
  • 15. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 123 Para y sustituimos la segunda columna por la de t´rminos independientes pues y es la segunda inc´gnie o ta. 2 11 −1 1 −20 0 4 8 5 −343 = =7 y= −49 −49 Para z sustituimos la tercera columna por la de t´rminos independientes pues z es la tercera inc´gnita). e o 2 1 11 1 −3 −20 4 2 8 98 = = −2 x= −49 −49 Y obtenemos la soluci´n como antes. o Recordemos que esto s´lo se puede aplicar para sistemas de Cramer. o Ejercicio: Resolver, mediante estos dos m´todos, los sistemas: e    3x − 2y + z = −1 x+y+z = 6  3x + y + z = 2 a) 2x + y − z = 2 b) x − y + 2z = 5 c) 2x + 2y + z = 5    x − 3y + z = 0 x+y−z = 0 x−y +z = 0 7.9. Estudio de sistemas cualesquiera mediante el c´lculo del rango. a Teorema de Rouch´-Frobenius e Saber si un sistema tiene o no soluci´n (si es compatible), y cu´ntas soluciones tiene (si es detero a minado o indeterminado), se reduce para cualquier tipo de sistemas a estudiar rangos. El resultado fundamental es el: Teorema de Rouch´-Frobenius: e Un sistema cualquiera de matriz A y matriz ampliada (A|B) tiene soluci´n (es compatible) si y o solamente si Rg(A) = Rg(A|B). Por tanto si los dos rangos son distintos el sistema no tiene soluci´n (S.I.). o Adem´s, si dicho rango coincide con el n´mero de inc´gnitas del sistema, la soluci´n es unica a u o o ´ (S.C.D.), y si dicho rango es menor que el n´mero de inc´gnitas, hay infinitas soluciones (S.C.I.). u o Es importante darse cuenta de que Rg(A) ≤ Rg(A|B), puesto que la matriz de coeficientes forma parte de la ampliada, es decir, la matriz A no puede tener rango mayor que la ampliada. A´n siendo importante, el unico problema que plantea este teorema es que NO ofrece ning´n m´todo u ´ u e para calcular la soluci´n, s´lamente dice si hay soluci´n o no. o o o Ejercicio: Aplicar el teorema de Rouch´ para determinar el tipo de sistema que es: e    x+y−z+t = 4   2x − y = 1  x + 3y = 3 3x + 3y − z = −1 a) 2x − y + 3z + 2t = −1 b) x + 3y = −2 c) 3x + 5y = 7 d) x + y − 5z = 2    −4x + 5y − 11z − 4t = 11 5x − 4y = 7 2x + 4y = 5
  • 16. CAP´ ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.10. 124 Sistemas homog´neos e Un sistema homog´neo es aqu´l que tiene todos los t´rminos independientes nulos. e e e Cualquier sistema homogeneo es evidente que es compatible, pues dando a cada inc´gnita el valor o 0, se cumplen las ecuaciones. Esta soluci´n (que todas las inc´gnitas sean nulas) se llama soluci´n o o o trivial. El problema entonces est´ en determinar si dichos sistemas son compatibles determinados o indea terminados. Aplicando el teorema de Rouch´ s´lo podemos tener dos casos: e o o a) Rg (A) = nö inc´gnitas. En este caso el sistema es compatible determinado, y por tanto tiene soluci´n unica que es la trivial (todas las inc´gnitas valen cero) o ´ o o b) Rg(A) < nö inc´gnitas. En este caso el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones que se determinan de la manera conocida. Ejercicios: 1. Estudiar la soluci´n de los sistemas homog´neos siguientes: o e  x+y−z = 0 x+y = 0 x+y+z = 0 a) b) c) 2x − y + z = 0 x−y = 0 2x − y + z = 0  4x + y − z = 0   6x + 18y − bz = 0 2. Discutir el sistema homog´neo: 7x − 2y − 4z = 0 . e  4x + 10y − 6z = 0