XSistemas de ecuaciones

Docente: Ing. Erick Reyes Martinez
email: ereyes_06@hotmail.com

Los sistemas de ecuaciones son una de las
herramientas más útiles dentro del estudio de las
matemáticas. Podemos resolver innumerables
situaciones usando los sistemas de ecuaciones
lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde
las ciencias naturales, la matemática, las ramas de
administración de empresas, la ingeniería, etc.
Espero que este módulo sirva de guía para que los
estudiantes se inicien en la comprensión de los
conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
4x + y = 0
-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
5x - 2y = -1
7x + 4y = 53
2x + 6y = -16
-2x - 13y = 37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
5x + 13y = 8
12x - 11y = -23

6.Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad en
Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el
resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11%
anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para
obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?
3x + y =13
2x - 7y =-7

Objetivos:Objetivos:
1. Definir el concepto de sistema de ecuaciones.
2. Verificar si un par ordenado es solución de un
sistema 2 x 2.
3. Resolver un sistema 2 x 2 por el método de
sustitución.
gráfico.
eliminación por adición
SISTEMAS DE ECUACIONES

2 6
1)
3 4
x y
x y
+ =

− =
1 3
10
2 4
3)
3
4
4
x y
x y

+ =

 − =

3
0
4)
0
x y
x y
 − =

− =
2
5
2)
2 4
x y
x y
 − = −

+ =
Ejemplos:Ejemplos:
Sistemas de Ecuaciones

2 6
1)
3 4
x y
x y
+ =

− =
( )2,1:OrdenadoPar
:Verificación
( )2 1 2 6+ ≠
( )3 1 2 4− ≠
( )Por lo tanto el par ordenado 1 , 2 no es solución.

2
5
2)
2 4
x y
x y
 − = −

+ =
( )Par Ordenado: 1 , 6−
( ) 561
2
−=−−
( ) 4612 =+−
( )Por lo tanto el par ordenado 1 , 6 es solución.−
:Verificación

Existen varios métodos para resolver sistemas deExisten varios métodos para resolver sistemas de
ecuaciones, entre ellos:ecuaciones, entre ellos:
1. Método gráfico
2. Método de sustitución
3. Método de eliminación por adición
4. Regla de Cramer
5. Método de la matríz aumentada
6. Método de matrices
11
En esta sección solo trataremos el método gráfico,
el método de sustitución y el método de eliminación
por adición para sistemas de ecuaciones 2x2.

Tipos de sistemas de ecuaciones
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en
tres tipos dependiendo de su conjunto de soluciones.
1. Sistema consistente independiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen una
única solución. Las gráficas de las líneas son
diferentes.
2. Sistema consistente dependiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen
infinitas soluciones. Las dos gráficas de las líneas son
iguales.
3. Sistema inconsistente independiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen
solución. Las dos gráficas de las líneas son paralelas.

MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2
Procedimiento
1. Las soluciones del sistema de ecuaciones
serán los puntos de intersección entre las
dos gráficas.
2. Construya la gráfica de cada ecuación.
Aclaración:
Este método es útil solo si podemos leer con
precisión los puntos de intersección entre las
gráficas. En la mayoría de los casos eso no es
posible.

Ejemplos:
Resuelve cada sistema de ecuaciones por el método gráfico
5
1)
1
2x y
x y
+ =

− =
y
x
( )1,2:Solución
52x y+ =
1x y− =

2
2)
0
x y
x y
+ =

− =
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
( ):Solución 1 , 1
2x y+ =
0x y− =

2
3)
2 2 0
x y
x y
+ =

+ =
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
Las dos líneas son
paralelas, no tienen
puntos de intersección.
El conjunto de soluciones
es vacío.
. .C S = ∅

2
4)
2 2 4
x y
x y
+ =

− − = −
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
2x y+ =
2 2 4x y− − = −
El sistema es
dependiente y tiene
infinitas soluciones.
Las soluciones se
pueden encontrar
buscando puntos de
cualquiera de las
líneas.
( ){ }. . ,2 :C S x x x= − ∈ ℜ

2
2
2
5)
4
y x
y x
 = −

= −
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4 El conjunto solución
contiene dos pares
ordenados.
( ) ( ){ }. . 2,0 , 2,0C S = −

PROCEDIMIENTO
1. Despeja una de las variables en cualquiera de las
ecuaciones.
2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Esto
producirá el valor de una de las variables.
3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en
cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el
valor de la otra variable.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2

Ejemplos:
Resuelve usando el método de sustitución.
2 6x y+ =
2 6
1)
3 4
x y
x y
+ =

− =
xy 26 −=
( ) 4263 =−− xx
4263 =+− xx
2=x
( )226 −=y 2= ( ){ }2 , 2Conjunto Solución =
Escogiendo la ecuación, , tenemos
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
Sustituyendo el valor
obtenido en la primera
ecuación tenemos

2
5 xy −−=
2
5
2)
4
x y
2x y
 + = −

− =
2
5x y+ = −
( ) 452 2
=−−− xx
452 2
=++ xx
0122
=++ xx
( )( ) 011 =++ xx
01=+x 1−=x

( )2
15 −−−=y 6−=
( ){ }1 , 6Conjunto Solución = − −
Sustituyendo el valor obtenido en la primera
ecuación tenemos,
2
5x y+ =−
2
5 xy −−=

1 3
10
2 43)
3
4
4
x y
x y

+ =

 − =

4
4
3
−= xy
104
4
3
4
3
2
1
=





−+ xx
3
4
4
x y− =

103
16
9
2
1
=−+ xx
1604898 =−+ xx
Multiplicando la ecuación por 16 tenemos,
4816017 +=x
17
208
=x
Sustituyendo en la ecuación tenemos,4
4
3
−= xy
4
17
208
4
3
−





=y
17
88
=y 208 88
. . ,
17 17
C S
  
=   ÷
  

Método de Eliminación por AdiciónMétodo de Eliminación por Adición
Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con elEste método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el
objetivo que se elimine una de las variables.objetivo que se elimine una de las variables.
Procedimiento:
1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando
las ecuaciones por los números correspondientes.
2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.
3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede
reemplazar por una sustitución.

2 3 3
1)
2 5
x y
x y
− =

+ =
2 3 3
2 4 10
x y
x y
− =

− − = −
Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos,
Restando las ecuaciones obtenemos,
2 3 3
2 4 10
0 7 7
x y
x y
x y
− =
− − = −
− = −

77 −=− y 1=y
4 6 6
3 6 15
x y
x y
− =
+ =
Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primera
por 2 obtenemos,
Sumando las ecuaciones obtenemos,
4 6 6
3 6 15
7 0 21
x y
x y
x y
− =
+ =
+ =
( )
( )
2 2 3 3
3 2 5
x y
x y
− =

+ =
⇒

Sustituyendo y = 1 en la ecuación,
( ) 512 =+x
3=x
( ){ }. . 3, 1C S =
El sistema es consistente independiente.
7 21x =
Observación:
Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar
el método de sustitución.
3=x
2 5x y+ =

2 3 3
2)
4 6 6
x y
x y
− =

− + =
⇒
664
664
=+−
=−
yx
yx
C.S.=∅
El sistema es inconsistente.
No tiene soluciones.
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
( )2 2 3 3
4 6 6
x y
x y
− =

− + =
4 6 6
4 6 6
0 0 12
x y
x y
x y
− =
− + =
+ =
0 12= Falso

2 3 3
3)
4 6 6
x y
x y
− =

− + = −
⇒
4 6 6
4 6 6
x y
x y
− =
− + = −
00 =
El sistema es dependiente.
Tiene infinitas soluciones.
( )2 2 3 3
4 6 6
x y
x y
− =

− + = −
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
4 6 6
4 6 6
0 0 0
x y
x y
x y
− =
− + = −
+ =
Cierto
3 2
. . , :
2
x
C S x x R
 −  
= ∈  ÷
  

Aplicaciones:Aplicaciones:
1. El precio de un boleto para cierto evento es de
$2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden
450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos
boletos de cada tipo se vendieron?
:Solución
Sea el número de boletos vendidos de adultos.x
Sea el número de boletos vendidos de niños.y
:sistemaelObtenemos
450
2.25 1.50 777.75
x y
x y
+ =

+ =

adultosdeboletos137=x
niñosdeboletos313=y
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,

2.2. Una lancha de vapor operada a toda máquina
hizo un viaje de 4 millas contra una corriente
constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con
la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10
minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la
velocidad equivalente a la lancha en aguas
tranquilas en millas por hora.
:Solución
Sea la velocidad de la corriente.
Sea la velocidad de la lancha.
x
y
corriente.ladecontraenlanchaladevelocidad=− xy
corriente.ladefavoralanchaladevelocidad=+ xy

Usando la fórmula para distancia y
cambiando el tiempo a horas tenemos que:
d vt=
hora
60
15
minutos15 = hora
4
1
=
hora
60
10
minutos10 = hora
6
1
=
( ) 4
4
1
=− xy
( ) 4
6
1
=+ xy
⇒
1 1
4
4 4
1 1
4
6 6
y x
y x

− =

 + =

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,

hora
millasx 4=
La velocidad de la corriente es, 4 .x mph=
hora
millasy 20=
La velocidad de la lancha es, 20 .y mph=

Ejercicios de Repaso: Sistemas de ecuaciones
4x + y = 0
-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
5x - 2y = -1
7x + 4y = 53
2x + 6y = -16
-2x - 13y = 37
5x + 13y = 8
12x - 11y = -23

6. Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el
Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo
invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto
deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos
de $ 15,100 al año?
5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de
eliminación.
3x + y =13
2x - 7y =-7

Respuestas
1) x = 1, y = -4
2) x = 3, y = 8
3) x = 1, y = -3
4) x = -1, y = 1
5) x = 5, y = -2
6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%

XSistemas de ecuaciones

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a XSistemas de ecuaciones

Similar a XSistemas de ecuaciones (20)

XSistemas de ecuaciones