SlideShare una empresa de Scribd logo

Presentation of my Master's Thesis

Este documento presenta un estudio sobre el cálculo de distancias entre elipses. El objetivo es desarrollar fórmulas cerradas para determinar la distancia mínima entre dos elipses y la distancia de "closest approach". El enfoque propuesto analiza el polinomio asociado a la distancia en lugar de calcular primero los "footpoints". Esto proporciona una caracterización continua de la distancia independiente de los footpoints. Finalmente, se demuestra un teorema que expresa la distancia entre un punto y una elipses como la raíz

1 de 70
Descargar para leer sin conexión
Distancia entre dos elipses
                                Distancia “closest-approach”




                  Closed formulae for distance functions
                            involving ellipses
        Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses


                                        Gema R. Quintana Portilla


                 Tesis del Máster en Matemáticas y Computación
            Dirigida por D. Fernando Etayo y D. Laureano Glez-Vega
                                Curso 2008-2009


Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses   Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
Distancia entre dos elipses
                                Distancia “closest-approach”



Objetivo


      Estudiaremos dos problemas relacionados con la obtención de
      fórmulas cerradas para la determinación de la función distancia
      entre objetos definidos por ecuaciones de grado bajo:
              Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo de
              la distancia mínima entre dos elipses
              Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo de
              la denominada closest approach entre dos elipses o
              elipsoides
      Ambos problemas son de gran interés en el ámbito del
      modelado geométrico y en CAGD



Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses   Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
Distancia entre dos elipses
                                Distancia “closest-approach”



Índice

      1     Distancia entre dos elipses
              Problema
              Nuestra aproximación
              Ejemplo
              Trabajo futuro

      2     Distancia “closest-approach”
              Problema
              Distancia de “closest approach” de dos elipses
              Distancia de “closest approach” de dos elipsoides
              Trabajo futuro



Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses   Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
Problema
                                 Distancia entre dos elipses    Nuestra aproximación
                                Distancia “closest-approach”    Ejemplo
                                                                Trabajo futuro


Índice

      1     Distancia entre dos elipses
              Problema
              Nuestra aproximación
              Ejemplo
              Trabajo futuro

      2     Distancia “closest-approach”
              Problema
              Distancia de “closest approach” de dos elipses
              Distancia de “closest approach” de dos elipsoides
              Trabajo futuro



Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses   Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
Problema
                                 Distancia entre dos elipses    Nuestra aproximación
                                Distancia “closest-approach”    Ejemplo
                                                                Trabajo futuro


Introducción


      Queremos calcular la distancia entre dos elipses coplanarias


      La distancia mínima entre un punto y una elipse es un número
      real positivo: buscamos obtenerlo como la raíz real de un
      polinomio


      Esta forma de caracterizar la distancia es independiente de los
      llamados “footpoints” y proporciona la distancia de forma
      directa, pudiendo ser usada para analizar el caso dinámico



Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses   Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
Problema
                                 Distancia entre dos elipses    Nuestra aproximación
                                Distancia “closest-approach”    Ejemplo
                                                                Trabajo futuro


Aplicaciones

      El cálculo de la mínima distancia entre dos elipses es un
      problema fundamental en varios campos:
              Detección de colisiones en robótica
              Análisis de interferencias en CAD/CAM
              Interacciones en Realidad Virtual
              Juegos de ordenador
              Análisis de órbitas (elipses no coplanarias)
              Interferencias entre moléculas en física computacional y
              química
              ...


Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses   Máster en Matemáticas y Computación 2008/09

Recomendados

Enseñanza del lenguas extranjeras en niveles basicos
Enseñanza del lenguas extranjeras en niveles basicosEnseñanza del lenguas extranjeras en niveles basicos
Enseñanza del lenguas extranjeras en niveles basicosYazmin Gonzalez
 
Métodos de enseñanza
Métodos de enseñanzaMétodos de enseñanza
Métodos de enseñanzamterradillos
 
Metodos y enfoques sep 17 2012 imprimir
Metodos y enfoques sep 17 2012 imprimirMetodos y enfoques sep 17 2012 imprimir
Metodos y enfoques sep 17 2012 imprimirgingerfresa
 
PhD Thesis Alexandre Alonso-Fernández
PhD Thesis Alexandre Alonso-FernándezPhD Thesis Alexandre Alonso-Fernández
PhD Thesis Alexandre Alonso-Fernándezecologiaazul
 
Steroidogenesis and differentiation in the pejerrey Odontesthes bonariensis. ...
Steroidogenesis and differentiation in the pejerrey Odontesthes bonariensis. ...Steroidogenesis and differentiation in the pejerrey Odontesthes bonariensis. ...
Steroidogenesis and differentiation in the pejerrey Odontesthes bonariensis. ...elmaker
 
Cycling in Vitoria-Gasteiz
Cycling in Vitoria-GasteizCycling in Vitoria-Gasteiz
Cycling in Vitoria-GasteizKarle Olalde
 
Final Presentation Thesis
Final Presentation ThesisFinal Presentation Thesis
Final Presentation ThesisGustavo G.J.
 

Más contenido relacionado

Destacado

Thesis Presentation
Thesis PresentationThesis Presentation
Thesis PresentationKarle Olalde
 
Evaluation of the Technology Supporting the Development of an Assets Tracking...
Evaluation of the Technology Supporting the Development of an Assets Tracking...Evaluation of the Technology Supporting the Development of an Assets Tracking...
Evaluation of the Technology Supporting the Development of an Assets Tracking...Dominique Guinard
 
Undergraduate Thesis Presentation - Bias and Competition in the Market for News
Undergraduate Thesis Presentation - Bias and Competition in the Market for NewsUndergraduate Thesis Presentation - Bias and Competition in the Market for News
Undergraduate Thesis Presentation - Bias and Competition in the Market for Newsdiedar
 
Principales aplicaciones Termográficas para la Industria Petrolera
Principales aplicaciones Termográficas para la Industria PetroleraPrincipales aplicaciones Termográficas para la Industria Petrolera
Principales aplicaciones Termográficas para la Industria PetroleraArmando Godoy Bailey
 
Seminar in IPP Max-Planck. Only questions phase. 16-10-2015
Seminar in IPP Max-Planck. Only questions phase. 16-10-2015Seminar in IPP Max-Planck. Only questions phase. 16-10-2015
Seminar in IPP Max-Planck. Only questions phase. 16-10-2015Vicent_Net
 
PhD Thesis defence Vicente Queral. 3D-printed stellarators
PhD Thesis defence Vicente Queral. 3D-printed stellaratorsPhD Thesis defence Vicente Queral. 3D-printed stellarators
PhD Thesis defence Vicente Queral. 3D-printed stellaratorsVicent_Net
 
MSc Thesis presentation - Vladimir Gutierrez - Spain 2011JUNE
MSc Thesis presentation - Vladimir Gutierrez - Spain 2011JUNEMSc Thesis presentation - Vladimir Gutierrez - Spain 2011JUNE
MSc Thesis presentation - Vladimir Gutierrez - Spain 2011JUNEVladimir Gutierrez, PhD
 
Peces Costeros Argentinos
Peces Costeros ArgentinosPeces Costeros Argentinos
Peces Costeros ArgentinosRusso0629
 
Análisis,diseño e implementación de una aplicación web para la creación de p...
Análisis,diseño e implementación de una aplicación web para  la creación de p...Análisis,diseño e implementación de una aplicación web para  la creación de p...
Análisis,diseño e implementación de una aplicación web para la creación de p...Mafer Solorzano
 
The application of cognitive linguistics to TCFL: 白 (bai) and 把 (ba) as a ca...
The application of cognitive linguistics to TCFL: 白 (bai) and 把 (ba)  as a ca...The application of cognitive linguistics to TCFL: 白 (bai) and 把 (ba)  as a ca...
The application of cognitive linguistics to TCFL: 白 (bai) and 把 (ba) as a ca...UAB - Universitat Autònoma de Barcelona
 
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA DE LAS LENGUAS EXTRANJERAS
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA DE LAS LENGUAS EXTRANJERASMETODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA DE LAS LENGUAS EXTRANJERAS
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA DE LAS LENGUAS EXTRANJERASDoris García
 
THEORY OF MACHINES I QUESTION BANK
THEORY OF MACHINES I QUESTION BANK THEORY OF MACHINES I QUESTION BANK
THEORY OF MACHINES I QUESTION BANK Kiran Wakchaure
 
TESIS EN INGENIERIA QUIMICA 2009 I: Tema 03: Definición del Problema
TESIS EN INGENIERIA QUIMICA 2009 I: Tema 03: Definición del ProblemaTESIS EN INGENIERIA QUIMICA 2009 I: Tema 03: Definición del Problema
TESIS EN INGENIERIA QUIMICA 2009 I: Tema 03: Definición del ProblemaMANUEL GARCIA
 
Expo método directo
Expo método directoExpo método directo
Expo método directoAnn Ortiz
 
EvolucióN De Los Enfoques En La EnseñAnza De Las Lenguas
EvolucióN De Los Enfoques En La EnseñAnza De Las LenguasEvolucióN De Los Enfoques En La EnseñAnza De Las Lenguas
EvolucióN De Los Enfoques En La EnseñAnza De Las LenguasCEP Huelva Isla Cristina
 

Destacado (20)

Thesis Presentation
Thesis PresentationThesis Presentation
Thesis Presentation
 
Evaluation of the Technology Supporting the Development of an Assets Tracking...
Evaluation of the Technology Supporting the Development of an Assets Tracking...Evaluation of the Technology Supporting the Development of an Assets Tracking...
Evaluation of the Technology Supporting the Development of an Assets Tracking...
 
Undergraduate Thesis Presentation - Bias and Competition in the Market for News
Undergraduate Thesis Presentation - Bias and Competition in the Market for NewsUndergraduate Thesis Presentation - Bias and Competition in the Market for News
Undergraduate Thesis Presentation - Bias and Competition in the Market for News
 
Principales aplicaciones Termográficas para la Industria Petrolera
Principales aplicaciones Termográficas para la Industria PetroleraPrincipales aplicaciones Termográficas para la Industria Petrolera
Principales aplicaciones Termográficas para la Industria Petrolera
 
Seminar in IPP Max-Planck. Only questions phase. 16-10-2015
Seminar in IPP Max-Planck. Only questions phase. 16-10-2015Seminar in IPP Max-Planck. Only questions phase. 16-10-2015
Seminar in IPP Max-Planck. Only questions phase. 16-10-2015
 
PhD Thesis defence Vicente Queral. 3D-printed stellarators
PhD Thesis defence Vicente Queral. 3D-printed stellaratorsPhD Thesis defence Vicente Queral. 3D-printed stellarators
PhD Thesis defence Vicente Queral. 3D-printed stellarators
 
Thesis
ThesisThesis
Thesis
 
MSc Thesis presentation - Vladimir Gutierrez - Spain 2011JUNE
MSc Thesis presentation - Vladimir Gutierrez - Spain 2011JUNEMSc Thesis presentation - Vladimir Gutierrez - Spain 2011JUNE
MSc Thesis presentation - Vladimir Gutierrez - Spain 2011JUNE
 
Peces Costeros Argentinos
Peces Costeros ArgentinosPeces Costeros Argentinos
Peces Costeros Argentinos
 
Análisis,diseño e implementación de una aplicación web para la creación de p...
Análisis,diseño e implementación de una aplicación web para  la creación de p...Análisis,diseño e implementación de una aplicación web para  la creación de p...
Análisis,diseño e implementación de una aplicación web para la creación de p...
 
B. caducifolio
B. caducifolioB. caducifolio
B. caducifolio
 
The application of cognitive linguistics to TCFL: 白 (bai) and 把 (ba) as a ca...
The application of cognitive linguistics to TCFL: 白 (bai) and 把 (ba)  as a ca...The application of cognitive linguistics to TCFL: 白 (bai) and 把 (ba)  as a ca...
The application of cognitive linguistics to TCFL: 白 (bai) and 把 (ba) as a ca...
 
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA DE LAS LENGUAS EXTRANJERAS
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA DE LAS LENGUAS EXTRANJERASMETODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA DE LAS LENGUAS EXTRANJERAS
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA DE LAS LENGUAS EXTRANJERAS
 
THEORY OF MACHINES I QUESTION BANK
THEORY OF MACHINES I QUESTION BANK THEORY OF MACHINES I QUESTION BANK
THEORY OF MACHINES I QUESTION BANK
 
TESIS EN INGENIERIA QUIMICA 2009 I: Tema 03: Definición del Problema
TESIS EN INGENIERIA QUIMICA 2009 I: Tema 03: Definición del ProblemaTESIS EN INGENIERIA QUIMICA 2009 I: Tema 03: Definición del Problema
TESIS EN INGENIERIA QUIMICA 2009 I: Tema 03: Definición del Problema
 
Revisión crítica de los métodos de enseñanza de
Revisión crítica de los métodos de enseñanza deRevisión crítica de los métodos de enseñanza de
Revisión crítica de los métodos de enseñanza de
 
Expo método directo
Expo método directoExpo método directo
Expo método directo
 
Real time gis
Real time gisReal time gis
Real time gis
 
EvolucióN De Los Enfoques En La EnseñAnza De Las Lenguas
EvolucióN De Los Enfoques En La EnseñAnza De Las LenguasEvolucióN De Los Enfoques En La EnseñAnza De Las Lenguas
EvolucióN De Los Enfoques En La EnseñAnza De Las Lenguas
 
Thesis - Emparrado Expres
Thesis  -  Emparrado ExpresThesis  -  Emparrado Expres
Thesis - Emparrado Expres
 

Más de Gema R. Quintana

Más de Gema R. Quintana (19)

Pechakucha Congreso DIMA 2018
Pechakucha Congreso DIMA 2018Pechakucha Congreso DIMA 2018
Pechakucha Congreso DIMA 2018
 
Motivos para el uso de Instagram en los Adolescentes
Motivos para el uso de Instagram en los AdolescentesMotivos para el uso de Instagram en los Adolescentes
Motivos para el uso de Instagram en los Adolescentes
 
Motivos para el uso de Instagram en los Adolescentes
Motivos para el uso de Instagram en los AdolescentesMotivos para el uso de Instagram en los Adolescentes
Motivos para el uso de Instagram en los Adolescentes
 
Creativity is...
Creativity is...Creativity is...
Creativity is...
 
Intersección medicina y matemáticas
Intersección medicina y matemáticasIntersección medicina y matemáticas
Intersección medicina y matemáticas
 
Introduction to Lie Groups
Introduction to Lie GroupsIntroduction to Lie Groups
Introduction to Lie Groups
 
Master's Thesis: Closed formulae for distance functions involving ellipses.
Master's Thesis: Closed formulae for distance functions involving ellipses.Master's Thesis: Closed formulae for distance functions involving ellipses.
Master's Thesis: Closed formulae for distance functions involving ellipses.
 
VXC: Computer Vision Presentation
VXC: Computer Vision PresentationVXC: Computer Vision Presentation
VXC: Computer Vision Presentation
 
VXC: Computer Vision
VXC: Computer VisionVXC: Computer Vision
VXC: Computer Vision
 
Real Surfaces
Real SurfacesReal Surfaces
Real Surfaces
 
Real Surfaces
Real SurfacesReal Surfaces
Real Surfaces
 
SIAMGD09
SIAMGD09SIAMGD09
SIAMGD09
 
EACA2010
EACA2010EACA2010
EACA2010
 
EACA08
EACA08EACA08
EACA08
 
CVC Seminar
CVC SeminarCVC Seminar
CVC Seminar
 
CIEM 07
CIEM 07CIEM 07
CIEM 07
 
CGTA09
CGTA09CGTA09
CGTA09
 
ADG 2008
ADG 2008ADG 2008
ADG 2008
 
ADG08
ADG08ADG08
ADG08
 

Último

PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptxPRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptxVíctor Hugo Ramírez
 
circuitoelectricoTECNOLOGIAPARAGRADOQUINTO.pptx
circuitoelectricoTECNOLOGIAPARAGRADOQUINTO.pptxcircuitoelectricoTECNOLOGIAPARAGRADOQUINTO.pptx
circuitoelectricoTECNOLOGIAPARAGRADOQUINTO.pptxnelsontobontrujillo
 
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero 2024_Andrés López Palafox.pptx
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero  2024_Andrés López Palafox.pptx5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero  2024_Andrés López Palafox.pptx
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero 2024_Andrés López Palafox.pptxVíctor Hugo Ramírez
 
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docxPlan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docxEverthRomanGuevara
 
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.SabinaBermeo
 
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdfManejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
Biología Marina, Elaborado por Sujey Lara
Biología Marina, Elaborado por Sujey LaraBiología Marina, Elaborado por Sujey Lara
Biología Marina, Elaborado por Sujey Larassuserb2b6fc1
 
Metodología activa en el proceso de enseñanza aprendizaje 1.pdf
Metodología activa en el proceso de enseñanza aprendizaje 1.pdfMetodología activa en el proceso de enseñanza aprendizaje 1.pdf
Metodología activa en el proceso de enseñanza aprendizaje 1.pdfCESAR TTUPA LLAVILLA
 
La ciencia de ganar almas. Vol. 2. Manual de evangelismo | By Pr. Heyssen Cor...
La ciencia de ganar almas. Vol. 2. Manual de evangelismo | By Pr. Heyssen Cor...La ciencia de ganar almas. Vol. 2. Manual de evangelismo | By Pr. Heyssen Cor...
La ciencia de ganar almas. Vol. 2. Manual de evangelismo | By Pr. Heyssen Cor...Heyssen Cordero Maraví
 
Sesión: ¡Bendito el que viene en el nombre del Señor!
Sesión: ¡Bendito el que viene en el nombre del Señor!Sesión: ¡Bendito el que viene en el nombre del Señor!
Sesión: ¡Bendito el que viene en el nombre del Señor!https://gramadal.wordpress.com/
 
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1DevinsideSolutions
 
Proyecto 100. Guía práctica para instructores bíblicos. Vol. 2
Proyecto 100. Guía práctica para instructores bíblicos. Vol. 2Proyecto 100. Guía práctica para instructores bíblicos. Vol. 2
Proyecto 100. Guía práctica para instructores bíblicos. Vol. 2Heyssen Cordero Maraví
 
OKUDA, arte para niños de educación infantil
OKUDA, arte  para niños de educación infantilOKUDA, arte  para niños de educación infantil
OKUDA, arte para niños de educación infantilM Victoria Azcona
 
la evaluación formativa Diaz Barriga.pdf
la evaluación formativa Diaz Barriga.pdfla evaluación formativa Diaz Barriga.pdf
la evaluación formativa Diaz Barriga.pdfmjvalles74
 
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Funciones-vitales-de-los-seres-vivos diapositiva.pptx
Funciones-vitales-de-los-seres-vivos diapositiva.pptxFunciones-vitales-de-los-seres-vivos diapositiva.pptx
Funciones-vitales-de-los-seres-vivos diapositiva.pptxkarolbustamante2911
 
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
 

Último (20)

PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptxPRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
PRIMARIA Consejo Tecnico Escolar febrero 20245.pptx
 
circuitoelectricoTECNOLOGIAPARAGRADOQUINTO.pptx
circuitoelectricoTECNOLOGIAPARAGRADOQUINTO.pptxcircuitoelectricoTECNOLOGIAPARAGRADOQUINTO.pptx
circuitoelectricoTECNOLOGIAPARAGRADOQUINTO.pptx
 
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero 2024_Andrés López Palafox.pptx
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero  2024_Andrés López Palafox.pptx5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero  2024_Andrés López Palafox.pptx
5ta Sesión Ordinaria CTE_febrero 2024_Andrés López Palafox.pptx
 
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docxPlan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
Plan Anual Trimestralizado 2024 LUCHITO TERCERO-1.docx
 
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
ANÁLISIS PICTÓRICO- EL ALTO RENACIMIENTO.
 
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdfManejo de Emociones en la Escuela ME2  Ccesa007.pdf
Manejo de Emociones en la Escuela ME2 Ccesa007.pdf
 
Biología Marina, Elaborado por Sujey Lara
Biología Marina, Elaborado por Sujey LaraBiología Marina, Elaborado por Sujey Lara
Biología Marina, Elaborado por Sujey Lara
 
Metodología activa en el proceso de enseñanza aprendizaje 1.pdf
Metodología activa en el proceso de enseñanza aprendizaje 1.pdfMetodología activa en el proceso de enseñanza aprendizaje 1.pdf
Metodología activa en el proceso de enseñanza aprendizaje 1.pdf
 
La ciencia de ganar almas. Vol. 2. Manual de evangelismo | By Pr. Heyssen Cor...
La ciencia de ganar almas. Vol. 2. Manual de evangelismo | By Pr. Heyssen Cor...La ciencia de ganar almas. Vol. 2. Manual de evangelismo | By Pr. Heyssen Cor...
La ciencia de ganar almas. Vol. 2. Manual de evangelismo | By Pr. Heyssen Cor...
 
Sesión: ¡Bendito el que viene en el nombre del Señor!
Sesión: ¡Bendito el que viene en el nombre del Señor!Sesión: ¡Bendito el que viene en el nombre del Señor!
Sesión: ¡Bendito el que viene en el nombre del Señor!
 
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
Maikell Victor - Química 2024 - Volume 1
 
Proyecto 100. Guía práctica para instructores bíblicos. Vol. 2
Proyecto 100. Guía práctica para instructores bíblicos. Vol. 2Proyecto 100. Guía práctica para instructores bíblicos. Vol. 2
Proyecto 100. Guía práctica para instructores bíblicos. Vol. 2
 
OKUDA, arte para niños de educación infantil
OKUDA, arte  para niños de educación infantilOKUDA, arte  para niños de educación infantil
OKUDA, arte para niños de educación infantil
 
la evaluación formativa Diaz Barriga.pdf
la evaluación formativa Diaz Barriga.pdfla evaluación formativa Diaz Barriga.pdf
la evaluación formativa Diaz Barriga.pdf
 
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
LOS NÚMEROS Y EL ECLIPSE SEGURO. Cuento literario escrito y diseñado por JAVI...
 
Funciones-vitales-de-los-seres-vivos diapositiva.pptx
Funciones-vitales-de-los-seres-vivos diapositiva.pptxFunciones-vitales-de-los-seres-vivos diapositiva.pptx
Funciones-vitales-de-los-seres-vivos diapositiva.pptx
 
DIANTE DE TI, BOA MÃE! _
DIANTE DE TI, BOA MÃE!                  _DIANTE DE TI, BOA MÃE!                  _
DIANTE DE TI, BOA MÃE! _
 
de la informacion al conocimiento 01.pdf
de la informacion al conocimiento 01.pdfde la informacion al conocimiento 01.pdf
de la informacion al conocimiento 01.pdf
 
BT 4.3 Division Celular online 2024.pptx
BT 4.3 Division Celular online 2024.pptxBT 4.3 Division Celular online 2024.pptx
BT 4.3 Division Celular online 2024.pptx
 
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES OCULTAS EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
 

Presentation of my Master's Thesis

  • 1. Distancia entre dos elipses Distancia “closest-approach” Closed formulae for distance functions involving ellipses Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Gema R. Quintana Portilla Tesis del Máster en Matemáticas y Computación Dirigida por D. Fernando Etayo y D. Laureano Glez-Vega Curso 2008-2009 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 2. Distancia entre dos elipses Distancia “closest-approach” Objetivo Estudiaremos dos problemas relacionados con la obtención de fórmulas cerradas para la determinación de la función distancia entre objetos definidos por ecuaciones de grado bajo: Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo de la distancia mínima entre dos elipses Determinación de una fórmula cerrada para el cálculo de la denominada closest approach entre dos elipses o elipsoides Ambos problemas son de gran interés en el ámbito del modelado geométrico y en CAGD Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 3. Distancia entre dos elipses Distancia “closest-approach” Índice 1 Distancia entre dos elipses Problema Nuestra aproximación Ejemplo Trabajo futuro 2 Distancia “closest-approach” Problema Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 4. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Índice 1 Distancia entre dos elipses Problema Nuestra aproximación Ejemplo Trabajo futuro 2 Distancia “closest-approach” Problema Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 5. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Introducción Queremos calcular la distancia entre dos elipses coplanarias La distancia mínima entre un punto y una elipse es un número real positivo: buscamos obtenerlo como la raíz real de un polinomio Esta forma de caracterizar la distancia es independiente de los llamados “footpoints” y proporciona la distancia de forma directa, pudiendo ser usada para analizar el caso dinámico Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 6. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Aplicaciones El cálculo de la mínima distancia entre dos elipses es un problema fundamental en varios campos: Detección de colisiones en robótica Análisis de interferencias en CAD/CAM Interacciones en Realidad Virtual Juegos de ordenador Análisis de órbitas (elipses no coplanarias) Interferencias entre moléculas en física computacional y química ... Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 7. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Trabajos previos I. Z. E MIRIS , E. T SIGARIDAS , G. M. T ZOUMAS . The predicates for the Voronoi diagram of ellipses. Proc. ACM Symp. Comput. Geom., 2006 I. Z. E MIRIS , G. M. T ZOUMAS . A Real-time and Exact Implementation of the predicates for the Voronoi Diagram for parametric ellipses. Proc. ACM Symp. Solid Physical Modelling, 2007 C. L ENNERZ , E. S CHÖMER . Efficient Distance Computation for Quadratic Curves and Surfaces. Geometric Modelling and Processing Proceedings, 2002 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 8. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Trabajos previos J.-K. S EONG , D. E. J OHNSON , E. C OHEN . A Higher Dimensional Formulation for Robust and Interactive Distance Queries. Proc. ACM Solid and Physical Modeling, 2006 K.A. S OHN , B. J ÜTTLER , M.S. K IM , W. WANG . Computing the Distance Between Two Surfaces via Line Geometry. Proc. Tenth Pacific Conference on Computer Graphics and Applications, 236-245, IEEE Press, 2002 Aspecto común: el problema se resuelve previo cálculo de los “footpoints” Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 9. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Nuestra aproximación El cálculo de la distancia mínima no depende de los “footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomio univariado asociado a la distancia Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud de los ejes, inclinación de los mismos Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 10. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Nuestra aproximación El cálculo de la distancia mínima no depende de los “footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomio univariado asociado a la distancia Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud de los ejes, inclinación de los mismos ¿Alguna ventaja? Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 11. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Nuestra aproximación El cálculo de la distancia mínima no depende de los “footpoints”. Estudiamos el problema analizando el polinomio univariado asociado a la distancia Parámetros del problema: coordenadas del centro, longitud de los ejes, inclinación de los mismos ¿Alguna ventaja? La distancia se comporta de forma continua, mientras que los “footpoints” no Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 12. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia punto-elipse Sean las ecuaciones paramétricas de la elipse ε0 : √ √ x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π) Construyamos la función fd cuyo mínimo positivo, d, nos proporcione el cuadrado de la distancia entre el punto (x0 , y0 ) y la elipse: √ √ fd := (x0 − a cos t)2 + (y0 − b sin t)2 − d Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 13. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia punto-elipse Queremos resolver el sistema:   fd (t) = 0 ∂fd (t) =0  ∂t Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 14. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia punto-elipse Queremos resolver el sistema:   fd (t) = 0 ∂fd (t) =0  ∂t Hay dos posibilidades para el cambio de variable: racional complejo Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 15. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia punto-elipse Cambio de variable racional: 1−t2 cos t = 1+t2 2t sin t = 1+t2 Desventaja: más complicado Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 16. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia punto-elipse Cambio de variable racional: 1−t2 cos t = 1+t2 2t sin t = 1+t2 Desventaja: más complicado Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 17. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia punto-elipse 1 Como z = cos t + i sin t, z = z , luego podemos usar el cambio: 1 z− z sin t = 2i 1 z+ z cos t = 2 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 18. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia punto-elipse El nuevo sistema resulta: √ √ √ √  (b − a)z 4 + 2(x0 √a − iy0 √b)z 3 − 2(x0 a + iy0 b)z + a − b = 0  (b − a)z 4 − 4(x0 a − iy0 b)z 3 − 2(2(x2 + y0 − d))z 2 + 0 2 √ √ +4(x0 a + iy0 b)z + b − a = 0  Usando resultantes eliminamos la veriable z Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 19. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia punto-elipse Teorema Si d0 es la distancia del punto (x0 , y0√a la elipse ε0 con centro ) √ (0, 0) y semiejes de longitudes a y b entonces d = d2 es la0 [x0 ,y ] menor raíz no negativa del polinomio F[a,b] 0 (d) Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 20. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro [x ,y ] F[a,b] 0 (d) = 0 = (a − b)2 d4 +2(a − b)(b2 + 2x2 b + y0 b − 2ay0 − a2 − x2 a)d3 0 2 2 0 +(y0 b − 8y0 ba − 6b a + 6a y0 − 2x2 a3 + a4 + 6x2 y0 b2 − 2y0 b3 4 2 2 2 2 2 3 2 0 0 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 3 4 2 2 +6y0 a + 4x0 a b + 2b a + 6x0 y0 a + 2a b − 6x0 ab + 4y0 b a +6x4 b2 + 4x4 a2 + 6b3 x2 − 10x2 y0 ab + b4 − 8x2 ab2 − 6y0 ab)d2 0 0 0 0 2 0 4 4 4 2 3 4 6 2 2 6 3 2 2 4 −2(ab + y0 − a b + a b + 2y0 a + 2b x0 − a b − bx0 ay0 4 2 2 2 2 2 2 2 6 2 4 2 4 3 −bx0 ay0 + 3x0 ay0 b + 3x0 a y0 b − by0 a + b y0 x0 + 3x0 b +3y0 a3 + x2 b4 + x4 a2 y0 − bx6 a − 5x4 ab2 + 3b2 y0 x4 + 3y0 ab2 4 0 0 2 0 0 2 0 4 −2x2 a3 u2 + 3x4 a2 b + 3x2 b2 y0 − 2x2 ab3 − 2y0 a3 b − 3y0 ab3 0 0 0 0 2 0 2 2 −3x2 a3 b − 2x2 b3 y0 − 5y0 a2 b + 4x2 a2 b2 + 4y0 a2 b2 )d 0 0 2 4 0 2 +(x4 + 2x2 b + b2 − 2x2 a − 2ba + a2 + y0 + 2x2 y0 − 2y0 b + 2ay0 )· 0 0 0 4 0 2 2 2 (bx2 + ay0 − ba)2 = 0 2 4 [a,b] = k=0 hk (x0 , y0 )dk Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 21. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Aclaraciones al teorema [x ,y ] La mayor raíz real de F[a,b] 0 (d) es el cuadrado de la 0 distancia máxima entre (x0 , y0 ) y ε0 . Si x0 es un foco de ε0 √ [ a−b,0] F[a,b] (d) = (a − b)2 d2 (d2 + 2(b − 2a)d + b2 ) √ √ √ √ ⇒ d = ( a − a − b)2 , ( a + a − b)2 En el caso de una circunferencia a = b = R2 y si d = d2 0 √ [ a−b,0] F[a,b] (d2 ) = R4 (y0 + x2 )2 · 0 2 0 2 + 2Rd + R2 − y 2 − x2 )(d2 − 2Rd + R2 − y 2 − x2 ) · (d0 0 0 0 0 0 0 0 ⇒ d0 = R − y0 + x2 2 0 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 22. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia entre dos elipses Sea ε1 una elipse disjunta con ε0 , dada por la parametrización x = α(s), y = β(s), s ∈ [0, 2π). Entonces d(ε0 , ε1 ) = min{ (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 : (xi , yi ) ∈ εi , i = 1, 2} es la raíz cuadrada de la menor raíz no negativa de la [α(s),β(s)] familia de polinomios univariados F[a,b] (d) Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 23. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Distancia entre dos elipses Para hallar d(ε0 , ε1 ) consideramos dos posibilidades: d es el menor real positivo tal que existe s ∈ [0, 2π) solución de [α(s),β(s)] 4 [a,b] F[a,b] = k=0 hk (α(s), β(s))dk = 0 ¯ [α(s),β(s)] := F[a,b] 4 ∂ [a,b] (α(s), β(s))dk = k=0 ∂s hk 0 d se determina a través del análisis de la curva [α(s),β(s)] implícita F[a,b] =0 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 24. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Primer caso Como α(s) y β(s) son lineales en cos(s) y sin(s) la pregunta se convierte en un problema algebraico (al igual que en el caso punto-elipse) mediante el cambio de variable 1 1 1 1 cos s = w+ , sin s = w− 2 w 2i w y luego usando resultantes para eliminar w. Obtenemos un polinomio univariado de grado 60, Gε1 , cuya ε0 menor raíz positiva es el cuadrado de d(ε0 , ε1 ). Gε1 depende sólo de los parámetros que definen ε0 y ε1 ε0 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 25. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Segundo caso d se determina a través del análisis de la curva implícita [α(s),β(s)] F[a,b] = 0 en la región d ≥ 0 y s ∈ [0, 2π). Para aplicar el algoritmo dado en L. G ONZALEZ -V EGA , I. N ÉCULA , Efficient topology determination of implicitly defined algebraic plane curves. Computer Aided Geometric Design, 19: 719-743, 2002, usamos el cambio de coordenadas: 1 − u2 2u cos s = 2 sin s = 1+u 1 + u2 [α(s),β(s)] y la curva algebraica plana ral F[a,b] = 0 se estudia en d ≥ 0, u ∈ R Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 26. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Ejemplo Consideremos ε0 y ε1 . ε0 con centro (0, 0) y semiejes de longitudes 3 y 2. ε1 centrada en (2, −3) y semiejes, paralelos a los ejes coordenados, con longitudes 2 y 1 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 27. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Ejemplo Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 28. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Ejemplo Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 29. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Ejemplo La mínima distancia se obtiene calculando las raíces reales del polinomio: Gε1 (d) = k1 d4 (d12 −216d11 +...)(d2 −54d+1053)2 (d2 −52d+1700)2 (k2 d12 +k3 d11 +...)3 ε0 donde los ki son números reales El factor simple de grado 12 es el que aporta la mayor y menor raíz real de Gε1 (d). Aún no está claro el carácter ε0 general de esta descomposición Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 30. Problema Distancia entre dos elipses Nuestra aproximación Distancia “closest-approach” Ejemplo Trabajo futuro Trabajo futuro Estudio del caso dinámico Generalización a elipsoides Elipses no-coplanarias Análisis de otras cónicas Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 31. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Índice 1 Distancia entre dos elipses Problema Nuestra aproximación Ejemplo Trabajo futuro 2 Distancia “closest-approach” Problema Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 32. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Problema La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp. elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuando éstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largo de la recta determinada por sus centros Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 33. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Problema La distancia de “closest approach” de dos elipses (resp. elipsoides) es la distancia existente entre sus centros cuando éstas son tangentes exteriores, después de moverlas a lo largo de la recta determinada por sus centros Aparece en el estudio del problema del cálculo de la distancia del “closest approach of hard particles” que es un problema clave en algunas áreas de la Física como la modelización y simulación de sistemas de partículas anisométricas, como los cristales líquidos, o en el caso del análisis de interferencias entre moléculas Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 34. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Trabajo previo Un método que resuelve el problema anterior en el caso de dos elipses rígidas está descrito en X. Z HENG , P. PALFFY-M UHORAY, Distance of closest approach of two arbitrary hard ellipses in two dimensions, Physical Review, E 75, 061709,2007 Se obtiene una expresión analítica para la distancia “closest approach” en función de su orientación relativa respecto de la recta determinada por los centros Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 35. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Trabajo previo Se afirma que: “[...]this problem seems simple enough for a highschool geometry homework assignment. Further consideration shows, however, that it is not simple at all. A prize for its solution was informally announced at the Liquid Crystal Gordon Conference in 1983 attended by W. M. Gelbart and R. B. Meyer; this, however, did not generate a solution. J. Vieillard- Baron, an early worker on this problem, was reportedly greatly disturbed by the difficulties he encountered[...]” Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 36. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Trabajo previo Pasos del método: 1 Se consideran dos elipses separadas 2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta determinanda por ambos centros hasta que son tangentes exteriores 3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros en dicho instante 4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculo y una elipse 5 Cálculo de la distancia d de “closest approach” entre el círculo y la elipse 6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de las elipses iniciales mediante la transformación inversa Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 37. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Trabajo previo Pasos del método: 1 Se consideran dos elipses separadas 2 Se traslada una hacia la otra a lo largo de la recta determinanda por ambos centros hasta que son tangentes exteriores 3 PROBLEMA: hallar la distancia d entre los centros en dicho instante 4 Transformación de las dos elipses tangentes en un círculo y una elipse⇒ “Anisotropic scaling” 5 Cálculo de la distancia d de “closest approach” entre el círculo y la elipse 6 Obtención de la distancia d de “closest approach” de las elipses iniciales mediante la transformación inversa Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 38. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Trabajo previo Trabajar con “anisotropic scaling” y la transformación inversa requiere del cálculo de los vectores y valores propios de la matriz de la transformación Buscamos evitar dicho cálculo Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 39. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Nuestra aproximación Usamos los resultados mostrados en: F. E TAYO, L. G ONZÁLEZ -V EGA , N. DEL R ÍO, A new approach to characterizing the relative position of two ellipses depending on one parameter, Computed Aided Geometric Desing 23, 324-350, 2006 W. WANG , R. K RASAUSKAS, Interference analysis of conics and quadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003 W. WANG , J. WANG , M. S. K IM, An algebraic condition for the separation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing 18, 531-539, 2001 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 40. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Nuestra aproximación Siguiendo la notación de los autores, definimos el polinomio característico del haz determinado por dos elipses (resp. elipsoides) Definición Sean A y B dos elipses (resp. elipsoides) dadas por las ecuaciones X T AX = 0 y X T BX = 0 resp. El polinomio de grado 3 (resp. 4) f (λ) = det(λA + B) se denomina polinomio característico del haz λA + B Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 41. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Nuestra aproximación W. WANG , R. K RASAUSKAS, Interference analysis of conics and quadrics, Contemporary Math. 334, 25-36,2003 W. WANG , J. WANG , M. S. K IM, An algebraic condition for the separation of two ellipsoids, Computer Aided Geometric Desing 18, 531-539, 2001 Caracterizan completamente la intersección de dos elipsoides en términos del signo de las raíces reales del polinomio característico en el caso que ambos elipsoides puedan ser separados por un plano Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 42. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Nuestra aproximación Más aún: Dos elipsoides están separados si y sólo si su polinomio característico tiene dos raíces reales positivas distintas Su ecuación característica siempre tiene al menos dos raíces negativas Los elipsoides son tangentes exteriores si y sólo si la ecuación característica tiene una raíz doble positiva Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 43. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Nuestra aproximación F. E TAYO, L. G ONZÁLEZ -V EGA , N. DEL R ÍO, A new approach to characterizing the relative position of two ellipses depending on one parameter, Computed Aided Geometric Desing 23, 324-350, 2006 Proporciona una caracterización equivalente para el caso de dos elipses De hecho se caracterizan las diez posiciones relativas de dos elipses mediante herramientas de Geometría Algebraica Real, Álgebra Computacional y Geometría Proyectiva (sucesiones de Sturm-Habitch y la clasificacion de haces de cónicas en P2 (R)). Cada una se determina mediante un conjunto de igualdades y desigualdades que dependen sólo de las matrices de las cónicas Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 44. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Nuestra aproximación Empleamos la anterior caracterización para resolver el problema Obtenemos una fórmula cerrada para el polinomio S(t) (dependiente sólo de los parámetros de la elipse) cuya menor raíz real proporcione la distancia “closest approach”. Veremos que esto es generalizable de forma natural al caso de los elipsoides Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 45. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Consideremos dos elipses coplanarias dadas por las ecuaciones: x2 y2 E1 = (x, y) ∈ R2 : + −1=0 a b E2 = (x, y) ∈ R2 : a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 46. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Configuración de las elipses Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 47. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Ecuación de una elipse que se mueve E1 (t) a lo largo de la recta definida por los centros: (x − pt)2 (y − qt)2 E1 (t) = (x, y) ∈ R2 : + −1=0 a b donde a22 a13 − a12 a23 p= a2 − a11 a22 12 a11 a23 − a12 a13 q= a2 − a11 a22 12 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 48. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro El polinomio característico del haz λA2 + A1 (t): H(t; λ) = det(λA2 + A1 (t)) = h3 (t)λ3 + h2 (t)λ2 + h1 (t)λ + h0 (t) La situación de tangencia exterior tiene lugar cuando H(t; λ) tiene una raíz real positiva doble: la ecuación que nos proporciona el valor buscado de t, t0 , es S(t) = 0 donde S(t) = discλ H(t; λ) = s8 t8 +s7 t7 +s6 t6 +s5 t5 +s4 t4 +s3 t6 +s2 t4 +s1 t2 +s0 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 49. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Distancia “closest approach” de dos elipses separadas Teorema Dadas dos elipses separadas E1 y E2 la distancia “closest approach” es d = t0 p2 + q 2 donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλ H(t; λ), H(t; λ) es el polinomio característico del haz que definen, y (p, q) es el centro de E2 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 50. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Ejemplo Sean A y B las elipses: 1 A := (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 1 = 0 2 B := (x, y) ∈ R2 : 9x2 + 4y 2 − 54x − 32y + 109 = 0 1 A centrada en el origen y semiejes de longitudes 1 y √ . 2 B con centro en (3, 4) y semiejes de longitudes 2 y 3 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 51. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Posición de las elipses A (azul) y B (verde) Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 52. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Ejemplo Hacemos que el centro de la primera se mueva a lo largo de la recta que pasa por los centros (y − 4t)2 A(t) := (x, y) ∈ R2 : (x − 3t)2 + −1=0 2 Polinomio característico del haz λB + A(t): B HA(t) (t; λ) = λ3 + − 17 t2 + 18 t − 24 λ2 + 36 17 5 23 145 2 145 1 − 648 − 2592 t + 1296 t λ + 2592 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 53. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Ejemplo Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instante t = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores: 251243 115599091 1478946641 SA(t) (t) = − 80621568 t + 8707129344 t2 + 34828517376 t4 − B 266704681 3 55471163 6 158971867 5 8707129344 t + 2902376448 t − 4353564672 t + 6076225 8 6076225 7 40111 8707129344 t − 1088391168 t + 136048896 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 54. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Ejemplo Polinomio cuya menor raíz real positiva proporciona el instante t = t0 cuando las elipses son tangentes exteriores: 251243 115599091 1478946641 SA(t) (t) = − 80621568 t + 8707129344 t2 + 34828517376 t4 − B 266704681 3 55471163 6 158971867 5 8707129344 t + 2902376448 t − 4353564672 t + 6076225 8 − 6076225 t7 + 40111 8707129344 t 1088391168 136048896 B Las cuatro raíces reales de SA(t) (t) son: t0 = 0.2589113100, t1 = 0.7450597195, t2 = 1.254940281, t3 = 1.741088690 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 55. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Posiciones de A(t) (azul) y B (verde) t = t0 t = t1 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 56. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Positions of A(t) (blue) and B (green) t = t2 t = t3 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 57. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Sean A1 y A2 dos matrices simétricas definidas positivas que definen los elipsoides separados E1 y E2 como X T A1 X = 0 y X T A2 X = 0 donde X T = (x, y, z, 1), y 1     a 0 0 0 a11 a12 a13 a14 1  a12  0 b 0 0  a22 a23 a24  A1 =  1  A2 =   a13   0 0 c 0  a23 a33 a34  0 0 0 −1 a14 a24 a34 a44 i.e., x2 y2 z2 E1 = (x, y, z) ∈ R3 : + + −1=0 a b c a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz+ E2 = (x, y, z) ∈ R3 : 2a23 yz + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 58. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Configuración de los elipsoides Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 59. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Polinomio característico (x − txc )2 (y − tyc )2 (z − tzc )2 E1 (t) = (x, y, z) ∈ R3 : + + −1=0 a b c Para encontrar el valor de t, t0 , en el que los elipsoides son tangentes exteriores, tenemos que comprobar si el polinomio H(t; λ) = det(E1 (t) + λE2 ), de grado 4, tiene una raíz real doble. Esto es, calcular las raíces de un polinomio de grado 12: S(t) = discλ (H(t, λ)) = s12 t12 + ... + s0 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 60. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Distancia “closest approach” de dos elipsoides Teorema Dados dos elipsoides E1 y E2 separados, la distancia “closest approach” está dada por d = t0 x 2 + yc + zc c 2 2 donde t0 es la menor raíz real positiva de S(t) = discλ H(t; λ), H(t; λ) es el polinomio característico del haz que definen, y (xc , yc , zc ) es el centro de E2 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 61. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Ejemplo Sean E1 (t) y E2 los elipsoides: 1 2 1 2 E1 := (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z2 − 1 = 0 4 2 1 2 1 51 1 E2 := (x, y, z) ∈ R3 : x − 2 x + y2 − 3 y + + z2 − 5 z = 0 5 4 2 2 1 2 1 2 5 197 2 E1 (t) := (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z 2 − tx − 6 ty − 10 tz − 1 + t =0 4 2 2 4 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 62. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Configuración de los elipsoides E1 (azul) y E2 (verde) Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 63. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Ejemplo Polinomio característico de E2 y E1 (t): E2 HE1 (t) (t; λ) = λ4 − 43 λ3 − 197 λ3 t2 − 301 λ2 − 659 λ2 t2 + 4 2 4 197 2 λ3 t− 237 2 λ − 265 λ t2 + 659 λ2 t + 5 + 265 λ t 2 2 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 64. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Ejemplo E2 Polinomio SE1 (t) (t) cuya menor raíz real corresponde al instante t = t0 cuando los elipsoides son tangentes: E (t) 2 SE1 (t) = 16641 1024 − 1)4 (2725362025t8 − 21802896200t7 + 75970256860t6 − (t 150580994360t5 + 185680506596t4 − 145836126384t3 + 71232102544t2 − 19777044480t + 2388833408) E2 Las cuatro raíces reales de SE1 (t) (t) que determinan los cuatro puntos de tangencia provienen todas del factor de grado 8: t0 = 0.6620321914, t1 = 0.6620321914 t2 = 1.033966297, t3 = 1.337967809 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 65. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t0 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 66. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t1 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 67. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t2 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 68. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Posiciones de E1 (azul) y E2 (verde) t = t3 Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 69. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro Algunas configuraciones geométricas de las cuádricas y cónicas objeto de nuestro estudio parecen estar relacionadas con descomposiciones especialmente simétricas o simples de los polinomios involucrados en el cálculo de las distancias entre ellas Estamos trabajando en la interpretación algebraico-geométrica de dichas situaciones Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09
  • 70. Problema Distancia entre dos elipses Distancia de “closest approach” de dos elipses Distancia “closest-approach” Distancia de “closest approach” de dos elipsoides Trabajo futuro ¡Muchas gracias! Fórmulas cerradas para el cálculo de distancias entre elipses Máster en Matemáticas y Computación 2008/09