Ventajas de la aplicación de las matemáticas a la medicina.

1. Aplicaci´on de las Matem´aticas al estudio de
procesos fisiol´ogicos de la enfermedad
Intersecando Geometr´ıa y Medicina
Gema R. Quintana1,2
quintanagr@unican.es
1Departamento de MATem´aticas, EStad´ıstica y COmputaci´on
Universidad de Cantabria
2Trabajo parcialmente financiado por el proyecto del MICINN
MTM2008-04699-C03-03
Foro de Investigaci´on Biom´edica de Cantabria
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2. Introducci´on
El primer an´alisis matem´atico del pulso arterial fue llevado a cabo
por Otto Frank:
“Die Grundform des arteriellen Pulses”Erste Abhandlung.
Mathematische Analyse. Z. Biol. 37 483–526 (1899)
Durante las siguientes d´ecadas se llevaron a cabo distintas
aproximaciones para entender propiedades mec´anicas del sistema
circulatorio:
Brunberg, A., Heinke, S., Spillner, J., Autschbach, R. , Abel,
D., Leonhardt, S.:“Modelling and simulation of the
cardiovascular system: A review of applications, methods, and
potentials”, Biomedizinische Technick 54(5), 233–244 (2009)
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3. Introducci´on
Gracias al trabajo de Hodgking y Huxley
“A quantitative description of membrane current and its
application to conduction and excitation in nerve”, Journal of
Physiology 117, 500–544 (1952)
empezaron a proliferar modelos de electrofisiolog´ıa card´ıaca:
Noble D.:“The surprising hearth: a review of recent progress
in cardiac electrophysiology”, Journal of Physiology 353, 1–50
(1984)
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4. Introducci´on
El ordenador permite ir aumentando el tama˜no de los problemas.
A finales de los sesenta Guyton y Coleman desarrollaron un
elaborado modelo de equilibrio electrol´ıtico de fluidos
“Quantitative analysis of the pathophysiology of hipertension”,
Circulation Research 24 (Suppl. I), I-1–I-19 (1969)
a´un es usado para modelar la respiraci´on.
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5. Opiniones
“Mathematical Modelling is a key to the future breakthroughs
in the treatment of diseases.”
Millennium Maths Project.
“The frontiers of biological and medical research are becoming
increasingly dependent on sophisticated modeling, analysis,
and computational techniques. Operations research and
mathematics are rapidly emerging as vital tools.”
Institute for Operations Research and the Management
Sciences Workshop, Pittsburgh.
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6. Big Data Era
Las enormes cantidades de datos cl´ınicos disponibles son
aprovechadas por proyectos como el Physiome Project.
Objetivo:“quantitative description of physiological dynamics
and functional behaviour of the intact organism”.
Virtual Physiological Human (VPH):“worldwide effort to
develop next-generation computer technologies to integrate all
information available for each patient, and generate computer
models capable of predicting how the health of that patient will
evolve under certain conditions”.
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7. CAD
CAD = Coronary Artery Diseases
Cardiopat´ıa isqu´emica.
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8. CAD y CAGD
CAD = Computer Aided Desing
Empleo del ordenador para creaci´on, modificaci´on, an´alisis u
optimizaci´on de un dise˜no.
CAGD = Computer Aided Geometric Desing
Representaci´on de objetos del mundo real en la forma m´as
adecuada para los c´alculos de ordenador en los sistemas CAD.
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9. Bio-CAD modeling
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10. Bio-CAD modeling
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11. Bio-CAD modeling
Proceso reconstrucci´on 3D
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12. Bio-CAD modeling
Adquisici´on de datos, segmentaci´on y reconstrucci´on.
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13. Bio-CAD modeling
Preprocesamiento y postprocesamiento del modelo.
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14. Mathematical Modeling of Vascular Stents
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15. Mathematical Modeling of Vascular Stents
El ´exito del stent depende de sus propiedades geom´etricas.
Las propiedades geom´etricas determinan las mec´anicas.
Aplicaci´on m´edica y efecto terap´eutico dependiente de la
mec´anica.
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16. Mathematical Modeling of Vascular Stents
Distintas aproximaciones dependiendo del contexto:
grandes deformaciones a causa de la expansi´on
→ elasticidad y plasticidad no lineales;
peque˜nas deformaciones una vez colocado
→ elasticidad lineal.
Empleo de elementos finitos
→ mayor coste computacional.
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17. Mathematical Modeling of Vascular Stents
Ventajas de este modelo:
Empleo de“one-dimensional curved rods”.
Tiene en cuenta deformaciones en las tres direcciones del
espacio.
Menor coste computacional.
Proporciona f´ormulas simples que relacionan presi´on y
desplazamiento:
Modelizado de la interacci´on entre flujo sangu´ıneo y stent.
Estimaci´on de la m´ax. presi´on soportable por deformaci´on
peque˜na (<10 %).
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18. Mathematical Modeling of Vascular Stents
Problema
¿Como afecta presi´on aplicada al stent?
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19. Mathematical Modeling of Vascular Stents
Formulaci´on
Dado un conjunto de par´ametros que determinan las propiedades
mec´anico-geom´etricas del stent, encontrar la relaci´on
presi´on-desplazamiento de la estructura.
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20. Mathematical Modeling of Vascular Stents
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21. Mathematical Modeling of Vascular Stents
Puntos donde se aplica presi´on y deformaciones experimentadas.
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22. Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
Ventajas del an´alisis isogeom´etrico
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23. Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
El an´alisis isogeom´etrico mejora y generaliza FEM (2005).
Usan NURBS (non-uniform rational B-splines)
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24. NURBS: Ventajas
Invariantes bajo transformaciones afines y perspectivas
(rotaci´on y traslaci´on aplicadas a sus puntos control).
Estructura matem´atica com´un para figuras anal´ıticas
est´andar (i.e. c´onicas) y figuras de forma libre.
Proporcionan flexibilidad para dise˜nar una gran variedad de
figuras.
Reducen el consumo de memoria al almacenar figuras.
Son evaluados r´apidamente por algoritmos num´ericamente
estables y precisos.
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25. Proceso para crear un modelo vascular s´olido NURBS
personalizado
1 Preprocesado: mejora de la calidad de los datos CT/MRI.
2 Extracci´on de caminos:“esqueleto”(curvatura, torsi´on y
tortuosidad) del vaso sangu´ıneo (empleo de diagramas de
Voronoi y Delaunay).
3 Malla de control: construcci´on del mallado NURBS
hexa´edrico mediante“sweeping’.’
4 Resultado: superficie NURBS a partir del mallado y
simulaci´on del flujo sangu´ıneo mediante an´alisis isogeom´etrico.
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26. Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
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27. Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
Ecuaciones de un parche
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28. Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
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29. Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
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30. Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
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31. Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
Aorta tor´acica.
(a) geometr´ıa; (b) control mesh;
(c)solid NURBS (41,526 elementos); (d)flujo
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32. Patient-Specific Vascular NURBS Modeling for
Isogeometric Analysis of Blood Flow
Aorta tor´acica.
(a) geometr´ıa; (b) control mesh;
(c)solid NURBS (73,314 elementos); (d)flujo
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33. An´alisis geom´etrico de estructuras vasculares
La geometr´ıa tiene un gran impacto en la din´amica del flujo
sangu´ıneo, influyendo en el desarrollo de enfermedades
(arteriosclerosis, aneurisma...).
Se busca identificar caracter´ısticas geom´etricas asociadas a las
patolog´ıas que permitan sacar conclusiones sobre la
patog´enesis y desarrollo de las mismas.
Gran desarrollo de tecnolog´ıas para imagen m´edica vs. falta de
herramientas robustas y objetivas para an´alisis cuantitativo de
goemetr´ıas vasculares:
Inmensa variabilidad anat´omica.
Algoritmo robusto para extracci´on de datos de la imagen.
Para poder utilizarlo (diagn´ostico, dise˜no de dispositivos,
planificado y simulaci´on de intervenciones) necesitamos
simulaciones realmente fieles a la geometr´ıa real del vaso.
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34. Frenet Frame vs. Parallel transport frame
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35. Complejidad de las autointersecciones
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36. Complejidad de las autointersecciones
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37. Conclusiones
Debido a la cantidad ingente de datos biol´ogicos, biom´edicos
y cl´ınicos disponibles, la Medicina puede beneficiarse de
modelos matem´aticos tanto a la hora de esclarecer resultados
como para dise˜nar nuevos experimentos.
“Mathematics is Biology’s next microscope, only better;
Biology Is Mathematics’ Next Physics, Only Better.”
J.E. Cohen.
Pero...
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38. Conclusiones
“Listening to the data is important. . . but so is experience and
intuition. After all, what is intuition at its best but large amounts
of data of all kinds filtered through a human brain rather than a
math model?”
Steve Lohr para el The New York Times (2012).
¡Muchas gracias!
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