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Introducción
                    Modelización geométrica
  La restricción epipolar y la matriz esencial
             El algoritmo de los ocho puntos
                                  Bibliografía




Fundamentos Matemáticos de la Visión por
             Computador

                        Gema R. Quintana Portilla


    Trabajo dirigido en “Estadística y Computación”
                      Julio de 2007



                  Gema R. Quintana Portilla      Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
Introducción
                           Modelización geométrica
         La restricción epipolar y la matriz esencial
                    El algoritmo de los ocho puntos
                                         Bibliografía


Índice


  1   Introducción

  2   Modelización geométrica
        Modelo geométrico del proceso de formación de la
        imagen.

  3   La restricción epipolar y la matriz esencial
        Propiedades de la matriz esencial.

  4   El algoritmo lineal de los ocho puntos



                         Gema R. Quintana Portilla      Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
Introducción
                           Modelización geométrica
         La restricción epipolar y la matriz esencial
                    El algoritmo de los ocho puntos
                                         Bibliografía


Índice


  1   Introducción

  2   Modelización geométrica
        Modelo geométrico del proceso de formación de la
        imagen.

  3   La restricción epipolar y la matriz esencial
        Propiedades de la matriz esencial.

  4   El algoritmo lineal de los ocho puntos



                         Gema R. Quintana Portilla      Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
Introducción
                          Modelización geométrica
        La restricción epipolar y la matriz esencial
                   El algoritmo de los ocho puntos
                                        Bibliografía


Visión por Computador




  Estudia la interpretación de escenas a partir de proyecciones
  2D mediante sensores sin contacto conectados a un sistema
  informático.




                        Gema R. Quintana Portilla      Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
Introducción
                         Modelización geométrica
       La restricción epipolar y la matriz esencial
                  El algoritmo de los ocho puntos
                                       Bibliografía


Campos relacionados

     Gráficos por ordenador:
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     Psicofísica:
           Relación con la visión humana.

                       Gema R. Quintana Portilla      Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
Introducción
                         Modelización geométrica
       La restricción epipolar y la matriz esencial
                  El algoritmo de los ocho puntos
                                       Bibliografía


Aplicaciones

     Agricultura:
           Guiado de vehículos.
           Automatización de tareas.
     Regulación de vehículos y tráfico:
           Vehículos autónomos.
           Estudio de trayectorias.
           Prevención de accidentes.
     Inspección visual en industria:
           Azulejos.
           Agroalimentaria.
           Electrónica.


                       Gema R. Quintana Portilla      Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador

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  • 2. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Índice 1 Introducción 2 Modelización geométrica Modelo geométrico del proceso de formación de la imagen. 3 La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. 4 El algoritmo lineal de los ocho puntos Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 3. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Índice 1 Introducción 2 Modelización geométrica Modelo geométrico del proceso de formación de la imagen. 3 La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. 4 El algoritmo lineal de los ocho puntos Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 4. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Visión por Computador Estudia la interpretación de escenas a partir de proyecciones 2D mediante sensores sin contacto conectados a un sistema informático. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 5. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Campos relacionados Gráficos por ordenador: Proceso inverso. Cada vez más relacionados. Reconocimiento de patrones (RP): Clasificación de datos numéricos y simbólicos. Partes de RP en procesos de visión. Interpretación de escenas. Inteligencia artificial: Percepción, conocimiento/razonamiento y acción. Parte del proceso de percepción. Psicofísica: Relación con la visión humana. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 6. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Aplicaciones Agricultura: Guiado de vehículos. Automatización de tareas. Regulación de vehículos y tráfico: Vehículos autónomos. Estudio de trayectorias. Prevención de accidentes. Inspección visual en industria: Azulejos. Agroalimentaria. Electrónica. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 7. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Aplicaciones Ciencias biomédicas: Contenido y reconocimiento de polen en aire para análisis de contaminación. Ayuda a enfermos: ratón facial, etc. Reconstrucción/Modelos 3D: Visión estéreo. Secuencias de imágenes. Seguridad y control de personas: Reconocimiento de caras. Recuento de personas. Seguimiento e identificación de comportamientos. Reconocimiento de caracteres. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 8. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Visión Humana vs Visión Artificial Ojo: Proyección sobre la retina. Fotorreceptores: conos y bastones. Transmisión a través del nervio óptico. Cámara: Proyección sobre el sensor (CCD, . . . ). Elementos fotosensibles: fotodiodos. Transmisión a través de señal de vídeo. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 9. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Visión Humana vs Visión Artificial Visión humana: Mejor reconocimiento de objetos. Mejor adaptación a situaciones imprevistas. Mejor en tareas de alto nivel de procesado de la imagen. Visión por Computador: Mejor midiendo magnitudes físicas. Mejor para la realización de tareas rutinarias. Mejor en tareas de bajo nivel de procesado de la imagen. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 10. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Objetivo. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 11. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Índice 1 Introducción 2 Modelización geométrica Modelo geométrico del proceso de formación de la imagen. 3 La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. 4 El algoritmo lineal de los ocho puntos Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 12. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Representaciones de una imagen. Definición Una imagen es una función I, definida en una región compacta Ω de una superficie, tomando valores en R+ . Es decir, es un array dos-dimensional de brillo. I : Ω ⊆ R2 → R+ (x, y) → I(x, y) Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 13. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Representaciones de una imagen. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 14. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Lente delgada. Ecuación fundamental de la lente delgada: 1 1 1 + = Z z f Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 15. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Cámara pinhole. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 16. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Cámara pinhole. La imagen del punto X viene dada por X Y x=f , y=f Z Z Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 17. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Objetivo. Necesitamos un modelo matemático que tenga en cuenta tres tipos de transformaciones: 1 transformaciones coordenadas entre el sistema de referencia de la cámara (C) y el del mundo (W); 2 paso de coordenadas 3-D a coordenadas 2-D; 3 transformación coordenada entre las posibles elecciones del sistema de referencia de la imagen. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 18. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Objetivo. Necesitamos un modelo matemático que tenga en cuenta tres tipos de transformaciones: 1 transformaciones coordenadas entre el sistema de referencia de la cámara (C) y el del mundo (W); 2 paso de coordenadas 3-D a coordenadas 2-D; 3 transformación coordenada entre las posibles elecciones del sistema de referencia de la imagen. Describiremos el proceso de formación de la imagen como una serie de transformaciones coordenadas. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 19. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Cámara pinhole. Consideremos un punto p con coordenadas X0 = [X0 , Y0 , Z0 ]T ∈ R3 relativas a W. Sus coordenadas X = [X, Y, Z]T con respecto a C vienen dadas por una transformación lineal g = (R, T ) ∈ SE(3) de X0 : X = RX0 + T ∈ R3 X se proyecta en el plano imagen en el punto x f X x= = y Z Y Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 20. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Cámara pinhole. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 21. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Cámara pinhole. Homogeneizando. Homogeneizando coordenadas,     X  x f 0 0 0  Y  Z  y  =  0 f 0 0    Z  1 0 0 1 0 1 Representaremos la coordenada Z de p con λ ∈ R+ Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 22. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Cámara pinhole. Homogeneizando. La matriz anterior la podemos expresar como producto de dos matrices:      f 0 0 0 f 0 0 1 0 0 0  0 f 0 0  =  0 f 0  0 1 0 0  0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Las llamaremos:     f 0 0 1 0 0 0 Kf :=  0 f 0  ∈ R3×3 Π0 :=  0 1 0 0  ∈ R3×4 0 0 1 0 0 1 0 Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 23. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Cámara pinhole. Homogeneizando. Resumiendo todo, una cámara pinhole se modeliza        X0 x f 0 0 1 0 0 0 R T  Y0  λ y  =  0 f 0  0 1 0 0    0 1  Z0  1 0 0 1 0 0 1 0 1 Nota Los parámetros anteriores son conocidos como parámetros extrínsecos de la cámara. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 24. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Parámetros intrínsecos de una cámara. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 25. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Parámetros intrínsecos de una cámara. Combinando el modelo de proyección con el escalado y la traslación         X x sx sθ ox f 0 0 1 0 0 0  Y  λ  y  =  0 s y oy   0 f 0   0 1 0 0     Z  1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 Dicho de otro modo      X f sx f sθ ox 1 0 0 0  Y  λx = KΠ0 X =  0 f sy oy   0 1 0 0     Z  0 0 1 0 0 1 0 1 Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 26. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía De coordenadas 3-D a píxeles. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 27. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Parámetros intrínsecos de una cámara. Definición La matriz K se denomina matriz de calibración. Si conocemos K, las cordenadas calibradas x se obtienen a partir de las coordenadas en píxeles x invirtiendo la matriz K:     X 1 0 0 0  Y  λx = λK −1 x = Π0 X =  0 1 0 0    Z   0 0 1 0 1 Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 28. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Modelo del proceso de formación de la imagen.      X0 f sx f sθ ox 1 0 0 0 R T  Y0  λx = KΠ0 X =  0 f sy oy   0 1 0 0    0 1  Z0  0 0 1 0 0 1 0 1 Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 29. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Modelo del proceso de formación de la imagen.      X0 f sx f sθ ox 1 0 0 0 R T  Y0  λx = KΠ0 X =  0 f sy oy   0 1 0 0    0 1  Z0  0 0 1 0 0 1 0 1 ¿Y si hay distorsión? Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 30. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Modelo geométrico. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Modelo del proceso de formación de la imagen. ¿Y si hay distorsión? Habría que corregirla. Supondremos la distorsión corregida y las vistas calibradas. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 31. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Índice 1 Introducción 2 Modelización geométrica Modelo geométrico del proceso de formación de la imagen. 3 La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. 4 El algoritmo lineal de los ocho puntos Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 32. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Hipótesis. Disponemos de dos imágenes de la misma escena tomadas desde dos puntos de vista distintos; suponemos las vistas calibradas (la matriz de calibración K es la identidad): λx = Π0 X, donde Π0 = [I, 0]; la escena es estática; conocemos las correspondencias entre los puntos. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 33. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Restricción epipolar. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 34. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Restricción epipolar. Teorema (Restricción epipolar) Sean x1 , x2 los dos proyectados del mismo punto p obtenidos a partir de dos posiciones de la cámara relacionadas por la transformación g = (R, T ), donde R ∈ SO(3) y T ∈ R3 . Entonces, x2 , T × Rx1 = 0, es decir, xT T Rx1 = 0 2 Definición Se llama matriz esencial y se denota E la matriz E := T R Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 35. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Definiciones. Definición Se denomina espacio esencial el conjunto de las matrices esenciales: E := {T R|R ∈ SO(3), T ∈ R3 } Teorema (Descomposición en valores singulares (SVD).) Sea A ∈ Rm×n con rango p. Supongamos m ≥ n. Entonces, ∃U ∈ Rm×p con columnas ortonormales, ∃V ∈ Rn×p con columnas ortonormales, ∃Σ ∈ Rp×p , Σ = diag{σ1 , σ2 , . . . , σp } matriz diagonal con σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σp , tales que A = U ΣV T . Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 36. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Caracterización de matriz esencial. Teorema (Caracterización de matriz esencial) Una matriz no nula E ∈ R3×3 es una matriz esencial si y sólo si E tiene una descomposición en valores singulares E = U ΣT con Σ = diag{σ, σ, 0} para σ ∈ R+ y U, V ∈ SO(3). Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 37. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Cálculo de la posición a partir de E. Teorema (Cálculo de la posición a partir de la matriz esencial) Existen exactamente dos posiciones relativas (R, T ) con R ∈ SO(3) y T ∈ R3 correspondientes a una matriz esencial no nula E ∈ E. Si E = U ΣV es la factorización SVD de E, con U, V ∈ SO(3), las soluciones vienen dadas por (T1 , R1 ) = (U RZ (+ π )ΣU T , U RZ (+ π )V T ); 2 T 2 (T2 , R2 ) = (U RZ (− π )ΣU T , U RZ (− π )V T ) 2 T 2 Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 38. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Índice 1 Introducción 2 Modelización geométrica Modelo geométrico del proceso de formación de la imagen. 3 La restricción epipolar y la matriz esencial Propiedades de la matriz esencial. 4 El algoritmo lineal de los ocho puntos Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 39. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Problema. Sabemos: los puntos en correspondencia verifican la restricción epipolar. Objetivo: determinar la posición relativa de las cámaras, dadas dos imágenes de una misma escena. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 40. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Solución. Calcular E a partir de suficientes correspondencias entre puntos. Obtener R y T a partir de E. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 41. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Solución. Calcular E a partir de suficientes correspondencias entre puntos. Obtener R y T a partir de E. ¿Hemos acabado? Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 42. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Solución. Calcular E a partir de suficientes correspondencias entre puntos. Obtener R y T a partir de E. ¿Hemos acabado? No: La matriz así obtenida puede no ser una matriz esencial. Necesitamos tomar la matriz de E más próxima a ella. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 43. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Justificación teórica. Definición Sean x1 = [x1 , y1 , z1 ]T y x2 = [x2 , y2 , z2 ]T vectores en R3 . Se define el producto de Kronecker como x1 ⊗x2 = [x1 x2 , x1 y2 , x1 z2 , y1 x2 , y1 y2 , y1 z2 , z1 x2 , z1 y2 , z1 z2 ]T ∈ R9 Notación a := x1 ⊗ x2 . Podemos reescribir xT Ex1 = 0 como aT E S = 0 2 Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 44. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Justificación teórica. Definición Dado un conjunto de pares de puntos de la imagen en correspondencia (xj , xj ), j = 1, 2, . . . n, se define la matriz 1 2 X ∈ Rn×9 asociada X := [a1 , a2 , . . . , an ]T , donde la j-ésima fila aj es el producto de Kronecker del par (xj , xj ). 1 2 Si los datos no presentan ruido X E S = 0. A partir de esto obtenemos E S . E es una matriz homogénea: necesitamos ocho pares de puntos en correspondencia. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 45. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Justificación teórica. ¿Lo anterior es suficiente? Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 46. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Justificación teórica. ¿Lo anterior es suficiente? No: El rango de X es menor que ocho: hay menos de ocho puntos en posición general. E S tiene que satisfacer que su forma matricial E sea una matriz esencial. Solución: Calcular el núcleo de X obteniendo F que probablemente no pertenezca a E. Proyectarla sobre la variedad de las matrices esenciales. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 47. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Proyección sobre E Teorema (Proyección sobre E) Dada una matriz real F ∈ R3×3 con SVD F = U diag{λ1 , λ2 , λ3 }V T , cumpliendo U, V ∈ SO(3), λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 , se tiene que la matriz esencial E ∈ E que minimiza el error E − F 2 viene dada por f E = U diag{σ, σ, 0}V T con σ = λ1 +λ2 . 2 Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 48. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Posibles soluciones. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 49. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía El algoritmo lineal de los ocho puntos. I Dado un cojunto de correspondencias entre las dos imágenes (xi , xj ), j = 1, 2, . . . , n (n ≥ 8), el algoritmo devuelve (R, T ) ∈ SE(3), tales que xjT T Rxj = 0, 2 1 j = 1, 2, . . . , n. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 50. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía El algoritmo lineal de los ocho puntos. II 1 Cálculo de una aproximación de la matriz esencial. Construir X = [a1 , a2 , . . . , an ]T ∈ Rn×9 a partir de las correspondencias xj y xj como se hizo en el teorema 4.1: 1 2 aj = xj ⊗ xj ∈ R9 . 1 2 Encontrar el vector E S ∈ R9 de norma 1 tal que X E S se minimimice como sigue: calcular la SVD de X = UX ΣX VX T y definir E S la novena columna de V . Calcular la matriz X asociada a E S , E. (Esta matriz, en general, no pertenecerá a E.) Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 51. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía El algoritmo lineal de los ocho puntos. III 2 Proyección sobre E. Descomponer la matriz E, calculada a partir de los datos, en valores singulares E = U diag{σ1 , σ2 , σ3 }V T , donde σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≥ 0 y U, V ∈ SO(3). En general, como E puede no ser una matriz esencial, σ1 = σ2 y σ3 = 0. Pero su proyección sobre E (normalizada) es de la forma U ΣV T , con Σ = diag{1, 1, 0}. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 52. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía El algoritmo lineal de los ocho puntos. IV 3 Recuperación de la posición relativa. A partir de la SVD de la proyección, calculamos R y T como sigue: π π R = U RZ (± )V T ; T T = U RZ (± )ΣU T , 2 2   0 ±1 0 donde RZ (± π ) =  1 0 T 2 0 . 0 0 1 Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 53. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Bibliografía I Luis Baumela. Curso de doctorado: “Visión por Computador”. Universidad Politécnica de Madrid, 2004. Departamento de Electrónica de la Universidad de Alcalá. Curso de doctorado: “Procesamiento digital de imágenes. Aplicaciones en robótica”. Curso 2005-2006. R. I. Hartley, A. Zisserman Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambrdige University Press, 2004. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 54. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Bibliografía II Y. Ma, S. Soatto, J. Kosecká, S. Shankar Sastry. An Invitation to 3-D Vision. Springer-Verlag N. Y., 2004. Domingo Mery. Asignatura: “Visión por Computador”. Universidad Católica de Chile, 2004. J. M. Sanchiz, F. Pla. Curso de doctorado: Fundamentos de Visión por Computador Universitat Jaume I, 2006. Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador
  • 55. Introducción Modelización geométrica La restricción epipolar y la matriz esencial El algoritmo de los ocho puntos Bibliografía Bibliografía III Alberto Ruiz. Apuntes de sistemas de percepción y Visión por Computador Universidad de Murcia 2004. B.N. Shapukov. Grupos y álgebras de Lie en ejercicios y problemas URSS, Moscú, 2001. . Gema R. Quintana Portilla Fundamentos Matemáticos de la Visión por Computador