Real Surfaces

Superficies en R4
Bibliografía

Superficies en R4

Gema R. Quintana Portilla

Trabajo dirigido en “Matemática Fundamental”
Julio de 2008

Gema R. Quintana Portilla Superficies en R4

Superficies en R4
Bibliografía

Superficies de R3

Consideramos las superficies:
Esfera
Toro de revolución
Cilindro
Heredan la métrica de R3
Geometría intrínseca: primera forma fundamental, curvatura de
Gauss, geodésicas, longitudes y áreas
Geometría extrínseca: segunda forma fundamental, curvaturas
principales, curvatura media
Toda la geometría de las superficies de R3 está regida por
{fu , fv , n = fu ×fv }
fu ×f
v


Superﬁcies en R4
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Superﬁcies de R3

Esfera.
Consideramos la parametrización de S2 :
π π
x(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v) u ∈ [0, 2π); v ∈ − ,
2 2

Tiene curvatura de Gauss 1
La suma de los ángulos es mayor
que π y el área es el exceso
esférico.


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Superﬁcies de R3

Cilindro.
Parametrizamos el cilindro como :

x(u, v) = (r cos u, r sin u, v) u ∈ [0, 2π), v ∈ R, r = cte ∈ R

Tiene curvatura de Gauss nula.
Es localmente isométrico al plano.


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Superﬁcies de R3

Toro de revolución.
Sea la parametrización del toro:

x(u, v) = (cos u(a + r cos v), sin u(a + r cos v), r sin v)

u, v ∈ [0, 2π), a, r > 0

La curvatura de Gauss del toro es
cos v
K = r(a+r cos v)


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Superﬁcies abstractas
Plano hiperbólico.
Consideramos el modelo del semiplano de Poincaré:

H2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 > 0}

Dotado de la métrica:
1 1
g11 = ; g12 = g21 = 0; g22 =
x2
2 x2
2

La curvatura de Gauss es -1
Localmente isométrico a la
pseudoesfera


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Plano estereográfico.
Se obtiene al considerar la esfera S2 ⊂ R3 agujereada en el
polo norte dotada de su estructura geométrica habitual y R2
con la métrica heredada de la esfera vía proyección
estereográfica.

Tiene curvatura de Gauss 1
Las distancias iguales “no parecen
iguales”


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No heredan la métrica de R3
Su definición engloba la métrica: son variedades
riemannianas
Todos los conceptos intrínsecos se definen a partir de ella
(curvatura de Gauss, geodésicas...)


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Superficies de R4

Consideramos las superficies:
Plano proyectivo real
Botella de Klein
Toro de Clifford
Son subvariedades diferenciables de R4 .


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Superficies de R4

Plano proyectivo real.
Se define S2 / ∼, donde la relación de equivalencia ∼ en S2
está dada por
p ∼ p si p = −p

Es localmente isométrico a S2
No admite embedding en R3
Admite un embedding isométrico en R5


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Superficies de R4

Toro de Clifford.
Se define como S 1 × S 1 ⊂ R4 con la métrica heredada. Sea la
siguiente parametrización:

x(u, v) = (cos u, sin u, cos v, sin v), u, v ∈ [0, 2π)

La curvatura de Gauss es K = 0
Es localmente isométrico al plano


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Superﬁcies de R4

Botella de Klein.
Es el cociente de R2 por la relación de equivalencia:

(x , y ) ∼ (x, y) si x = x, y = y + 2π o x − x = 2π, y = 2π − y

Es no orientable
Admite una inmersión isométrica en R4


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Superficies de R4

Es fácil obtener ejemplos de superficies de R4 :
Grafos de funciones holomorfas
Esferas anudadas


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Inmersión de superficies

Teorema (Whitney)
Toda variedad diferenciable de dimensión n admite un
embedding regular en R2n .

Teorema (Gromov)
Toda superficie riemanniana compacta admite un embedding
isométrico en R10 .


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Índice general

Geometría de superficies en R3
Geometría intrínseca. Variedades riemannianas
Geometría extrínseca
Conexión
Superficies en R4


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Segundas formas fundamentales
Sea S = r(u1 , u2 ), (u1 , u2 ) ∈ D ⊂ R2 una superficie en R4 . Sea
p ∈ S, sea {e1 , e2 } una base de Tp M y sea {n1 , n2 } base de
(Tp S)⊥ = Np S.

Definición
Se definen las correspondientes segundas formas
fundamentales como:

II σ = Lσ (du1 )2 + 2Lσ du1 du2 + Lσ (du2 )2 ,
11 12 22 σ = 1, 2.

Matricialmente:
Lσ Lσ
Lσ = (Lσ ) =
ij
11 12 , σ = 1, 2
Lσ Lσ
21 22

Donde Lσ = nσ · rui uj
ij


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Vector de curvatura normal

Deﬁnición
Sea p ∈ S y sea τ ∈ Tp S se llama vector curvatura normal en
la dirección τ , kN (τ ) ∈ Np S, a

kN (τ ) = II 1 (τ, τ )n1 + II 2 (τ, τ )n2

En cada punto p ∈ M tenemos la aplicación diferenciable:

(kN )p : S1 ⊂ Tp S → Np S

La imagen de S1 por esta aplicación se denomina indicatriz de
curvatura normal.


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Elipse de curvatura normal

Teorema
La indicatriz de curvatura normal es una elipse denominada
elipse de curvatura normal.

Idea de la demostración.
Sea p ∈ S. Sea τ = (cos θ, sin θ) ∈ S1 y sea γ(s) una curva
parametrizada por la longitud de arco tal que el vector tangente
en p es τ . Geométricamente (kn )p (τ ) es la proyección del
2
vector de curvatura d γ sobre Np M .
ds2
Se tiene que:

(kn )p (τ ) = (L1 cos2 θ + 2L1 cos θ sin θ + L1 sin2 θ)n1 +
11 12 22
(L2 cos2 θ + 2L2 cos θ sin θ + L2 sin2 θ)n2
11 12 22


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Esto lo podemos expresar matricialmente:
1 1
2 (L11 − L1 ) L1
22 12 cos 2θ
(kN − H)(θ) = 1 2
2 (L11 − L2 ) L2
22 12 sin 2θ
1 1
donde H = 2 (L1 + L1 )n1 + 2 (L2 + L2 )n2 .
11 22 11 22
Así tenemos deﬁnida una transformación afín de matriz:
 
1 0 0
 0 L1 − L1 L1 
11 22 12
0 L2 − L2 L2
11 22 12


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Por tanto, la imagen de S1 es una elipse en el plano normal a S
en p.
Nota
La elipse de curvatura normal puede degenerar en un
segmento de recta o en un punto.


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Vector de curvatura media

Definición
Se define el vector de curvatura media como
1 1
H = (L1 + L1 )n1 + (L2 + L2 )n2
11 22
2 2 11 22

Es decir, sus
coordenadas en el plano
normal afín a S en p son
las del centro de la elipse
de curvatura normal.


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Aplicaciones de la elipse de curvatura normal.

La elipse de curvatura normal permite caracterizar propiedades
geométricas de la superﬁcie como:
Estar contenida en un hiperplano
Estar contenida en una esfera


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Teorema
Supongamos que la indicatriz de curvatura normal de la
superﬁcie S ⊂ R4 es degenerada consistiendo en un segmento
pasando por p para cada p ∈ S. Si la curvatura de Gauss
satisface que K = 0 en todos los puntos de S entonces S está
contenida en algún hiperplano de R4 .


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Teorema
Si una superﬁcie S está contenida en una esfera de radio R de
R4 , entonces en cada punto p la elipse de curvatura normal
1
degenera en un segmento a distancia β = R de p.
Recíprocamente, si en cada punto p la elipse de curvatura
normal degenera en un segmento a distancia β de p y la
curvatura de Gauss es distinta de β 2 , entonces S está
1
contenida en la esfera de radio β .


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Una superﬁcie se dice minimal si el vector de curvatura media
es nulo en todo punto.
Esto es equivalente a que la elipse de curvatura media en p
tenga su centro en el propio p para todo p punto de S.


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Teorema
El grafo de una función analítica f : C → C es una superficie
real de R4 que satisface la siguiente condición: para todo punto
p la elipse de curvatura normal es una circunferencia centrada
en el propio p.

Consecuencia: los grafos de las funciones analíticas son
superficies minimales.
Idea de la demostración:
Consideramos la función holomorfa
F (u + iv) = f (u, v) + ig(u, v) como superficie de R4 . Es decir,
tenemos la parametrización:

r(u, v) = (u, v, f (u, v), g(u, v))


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Las derivadas de la parametrización son:
ru = (1, 0, fu , −fv )
rv = (0, 1, fv , fu )
ruu = (0, 0, fuu , −fuv )
ruv = (0, 0, fuv , fuu )
rvv = (0, 0, fvv , fuv )
Por tanto, una base del plano normal vendrá dada por:
n1 = (fv , −fu , 0, 1)
n2 = (−fu , −fv , 1, 0)


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Los coeficientes de las segundas formas fundamentales son:

L1 = −fuv , L1 = fuu , L1 = fuv
11 12 22

L2 = fuu , L2 = fuv , L2 = −fuu
11 12 22

De donde se sigue que H = 0, y que el vector curvatura
normal, en el punto p de la superficie, para τ = (cos θ, sin θ) es:

kN (τ ) = (−fuv cos 2θ + fuu sin 2θ) n1 +(fuu cos 2θ + fuv sin 2θ) n2

Luego la elipse de curvatura normal es una circunferencia de
2 2
centro p y radio fuv + fuu


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Toro de Clifford

Consideramos el toro S 1 × S 1 ⊂ R4 con la métrica heredada.
Parametrización:

x(u, v) = (cos u, sin u, cos v, sin v), u, v ∈ [0, 2π)

Derivadas de la parametrización:
xu = (− sin u, cos u, 0, 0);
xv = (0, 0, − sin v, cos v);
xuu = (− cos u, − sin u, 0, 0);
xvv = (0, 0, − cos v, − sin v);
xuv = (0, 0, 0, 0).


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Toro de Clifford
Base del plano normal:

n1 = (cos u, sin u, 0, 0), n2 = (0, 0, cos v, sin v)

Coeﬁcientes de las segundas formas fundamentales:

L1 = −1, L1 = 0, L1 = 0
11 12 22

L2 = 0, L2 = 0, L2 = −1
11 12 22

Vector de curvatura normal para τ = (τ 1 , τ 2 ), unitario:

kN (τ ) = −(τ 1 )2 n1 − (τ 2 )2 n2

Vector de curvatura media:
1
H = − (n1 + n2 )
2

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Toro de Clifford

Conclusiones:
La elipse de curvatura normal degenera en un segmento
de extremos (−1, 0) y (0, −1)
√
El toro de Clifford está contenido en una esfera de radio 2
No es una superﬁcie minimal de R4 , pero sí de la esfera en
que está contenido


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Función analítica

Consideramos el grafo de la función analítca f (z) = z 2 como
superﬁcie de R4 . Sea la parametrización:

r(u, v) = (u, v, u2 − v 2 , 2uv), u, v ∈ R

Derivadas de la parametrización:
ru = (1, 0, 2u, 2v);
rv = (0, 1, −2v, 2u);
ruu = (0, 0, 2, 0);
rvv = (0, 0, −2, 0);
ruv = (0, 0, 0, 2).


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Función analítica

Coeﬁcientes de las segundas formas fundamentales:

L1 = 0, L1 = −2, L1 = 0
11 12 22

L2 = −2, L2 = 0, L2 = 2
11 12 22

Respecto de la base:

n1 = (2v, 2u, 0, −1), n2 = (−2u, 2v, −1, 0)

Vector de curvatura normal, τ = (cos θ, sin θ):

kN (τ ) = 2 sin 2θn1 − 2 cos 2θn2

Vector de curvatura media: H = 0


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Función analítica

Conclusiones:
es una superﬁcie minimal
la elipse de curvatura normal es una circunferencia con
centro en p y radio 2


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Resumen


Superﬁcies en R4
Bibliografía

Bibliografía

W. Klingenberg.
Curso de Geometría Diferencial.
Ed. Alhambra S.A., Madrid (1978).
B. O’Neill.
Elementos de Geometría Diferencial.
Limusa-Wiley S.A., México (1972).
J.G. Pérez.
Variedades y Geometría: un curso breve.
Ed. U.A.M., Madrid (2005).
M.P. Do Carmo.
Geometría Diferencial de Curvas y Superﬁcies.
Alianza(1990).


Superﬁcies en R4
Bibliografía

Bibliografía

R.W.R. Darling.
Differential forms and Connections.
Cambridge University Press, N. Y. (1994).
S. Kobayasi, K. Nomizu.
Foundations of Differential Geometry.
J.Wiley (1969).


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Bibliografía

Bibliografía

J.A. Little.
On singularities of submanifolds of higher dimensional
Euclidean spaces.
Ann. Mat. Pura Appl. (4) 83 (1969) 261-335.
Yu. Aminov.
The Geometry of the Submanifolds.
Taylor and Francis Group, FL (2001).
Q. Han, J.X. Hong.
Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in
Euclidean Spaces.
AMS, USA (2006).


Superficies en R4
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La geometría de las superficies de R4 admite varias líneas de
investigación activas:
El estudio de las propiedades similares y de las diferentes
al caso de espacio ambiente tridimensional
La generalización a subvariedades de codimensión dos o
mayor
El estudio de la influencia que las estructuras compleja y
simpléctica de R4 (visto como C2 ) producen en toda
superficie de R4


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