Presentación referente al tema de álgebra relacional, elaborada para la asignatura de Fundamentos de Bases de Datos.

1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE TIJUANA
FUNDAMENTOS DE BASE DE DATOS

2. ALGEBRA RELACIONAL
 El algebra relacional es un lenguaje de consulta
procedimental. Consta de un conjunto de operaciones
que toman como entrada una o dos relaciones y
producen como resultado una nueva relación. Las
operaciones fundamentales del algebra relacional son
selección, proyección, unión, diferencia de
conjuntos, producto cartesiano y renombramiento.
Además de las operaciones fundamentales hay otras
apreciaciones, por ejemplo, intersección de conjuntos,
reunión natural, división y asignación. Estas
operaciones se definirán en función de las operaciones
fundamentales.

3. OPERACIONES FUNDAMENTALES
Las operaciones selección, proyección y
renombramiento, se denominan operaciones unarias,
porque operan sobre una sola relación.
Las otras tres operaciones operan sobre pares de
relaciones y se denominan por lo tanto operaciones
binarias.

4. La operación SELECCIÓN
La operación selección, selecciona tuplas que satisfacen un predicado dado. Se utiliza la
letra griega sigma minúscula (σ) para denotar la selección. El predicado aparece como
subíndice de σ. La relación del argumento se da entre paréntesis a continuación de σ. Por
tanto para seleccionar las tuplas de la relación Salarios en que la sucursal es <<Estelí>>,
hay que escribir:
σNomSuc = << Estelí>>(Salarios)
El resultado del primer ensayo de selección seria:

5. Se pueden buscar todas las tuplas donde el salario devengado, sea mayor a $7,000 escribiendo:
σSalario>7000 (Salarios), y el resultado sería el siguiente:
En general se permiten las comparaciones que utilizan =, ≠, <, ≤, >, o ≥ en el predicado de
selección. Además se pueden combinar varios predicados en uno mayor usando las conectivas
“y” (Λ) y “o” (V). por tanto, para encontrar las tuplas correspondientes a la sucursal Estelí, con
salarios mayores a 7,000 hay que escribir:
σNomSuc = << Estelí>> Λ Salario > 7000 (Salarios)
y el resultado sería el siguiente:
En el caso que el predicado de la operación de selección no genere ninguna tupla el resultado de
la selección será un valor especial nulo que expresa valor desconocido o inexistente y se evalúa
como falso, por ejemplo:
σNomSuc = << Estelí>> Λ Salario > 8500 (Salarios)
Salario devengado: Dinero que uno gana, ya sea cuando se trabaja para alguien más o para uno mismo de manera
autónoma

6. La operación PROYECCIÓN
Supóngase que se desea imprimir una lista determinada en las que no interesan
algunos datos como código de empleado, código de sucursal, ni el salario. La
operación de proyección permite producir esta relación. La operación de
proyección es una operación unaria que devuelve su relación de argumentos
excluyendo algunos argumentos. Dado que las relaciones son conjuntos se eliminan
todas las filas duplicadas. La operación de proyección se denota por la letra
mayúscula pi (Π). Se crea la lista de atributos que se desea que aparezcan en el
resultado como subíndice de Π. La relación de argumentos se escribe a
continuación entre paréntesis. Por tanto; la consulta para crear una lista de todos los
empleados y sucursales puede escribirse como:
ΠNomSuc, Empleado (Salarios)
Resultado:

7. Composición de operaciones relacionales
Es importante el echo de que el resultado de una operación
relacional sea también una relación. Considérese una relación
mas compleja, “Encontrar los empleados de la sucursal de Estelí“,
en este caso habría que escribir:
ΠEmpleado (σNomSuc = << Estelí>>(Salarios))
Téngase en cuenta que, en vez de dar el nombre de una relación en
el argumento de la operación proyección se da una expresión que
se evalúa como una relación.
Dado que las operaciones de algebra relacional se aplican a
relaciones y estas a su vez dan como resultado una nueva
relación, las expresiones de algebra relacional pueden
combinarse para formar una expresión de algebra relacional.

8. La operación UNION
Considérese la relación Incentivos.
y la relación Antigüedad:
Se desea generar una lista que muestre los empleados que perciben ingresos por
incentivos, antigüedad o ambos. Se puede observar que ambas relaciones no satisfacen
completamente la lista a generar.
No obstante se conoce la manera de generar la lista de empleados de la relación incentivos:
ΠEmpleado (Incentivos)
de igual manera en la relación Antigüedad:
ΠEmpleado (Antigüedad).

9. Para generar una lista que contenga ambos listados es necesario la operación unión, de estos
dos conjuntos; es decir, hacen falta todos los nombres de los empleados que aparecen en
alguna de las dos relaciones o en ambas. Estos datos se pueden averiguar mediante la
operación binaria unión, denotada igual que en la teoría de conjuntos por U. por tanto la
expresión buscada es:
ΠEmpleado (Incentivos) U ΠEmpleado (Antigüedad)
y el resultado mostraría lo siguiente:
Cabe señalar que la operación de unión que efectuamos se dio entre dos relaciones que son
compatibles, es decir que poseen el mismo tipo de dominio, como lo es Empleado, no tendría
sentido tratar de hacer una operación de unión entre el dominio empleado de la relación
incentivo, con el dominio NomSuc de la relación Salarios. Además se debe tomar en cuenta el
numero de campos de la relación, en el caso de incentivos tiene dos campos, mientras que
Salarios tiene cinco campos. Por tanto para que la relación que una operación unión rUs sea
válida hay que exigir que se cumplan dos condiciones:
•Las relaciones r y s deben ser de la misma aridad, (mismo grado). Es decir, deben tener el
mismo número de atributos.
•Los dominios de los atributos i-esimos de r y de s deben ser iguales para todo i.

10. La operación DIFERENCIA DE CONJUNTOS
La operación diferencia de conjuntos denotada por el operador aritmético -, permite buscar
las tuplas que estén en una relación pero no en otra.
La expresión r-s da como resultado una relación que contiene las tuplas que están en r pero
no están en s.
Se pueden buscar todos los empleados que no tengan incentivos, o antigüedad, escribiendo:
ΠEmpleado (Salarios) - ΠEmpleado (Incentivos)
ΠEmpleado (Salarios) - ΠEmpleado (Antigüedad)

11. La operación PRODUCTO CARTESIANO
La operación producto cartesiano denotada por una “x” permite combinar información
de dos relaciones cualquiera. El producto cartesiano de las relaciones r1 y r2 esta
dado por r1 x r2.
Recuérdese que las relaciones se definen como subconjuntos del producto cartesiano
de un conjunto de dominios.
Dado que en este tipo de relaciones puede existir el mismo nombre de dominio en
ambas relaciones como lo es Empleado, en las relaciones Incentivos, Antigüedad,
hay que crear un esquema de denominaciones para distinguir entre ambos
atributos. En este caso se logra adjuntando al atributo (dominio), el nombre de la
relación de la que proviene originalmente. Por ejemplo, el esquema de la relación r=
Incentivo x Antigüedad es:
(Incentivo.Empleado, Incentivo.Incent, Antigüedad.Empleado, Antigüedad.Antig)
El acuerdo de denominaciones precedente exige que las relaciones que sean
argumentos de la operación de producto cartesiano tengan nombres diferentes. Esta
exigencia causa problemas en algunos casos, como cuando se desea calcular el
producto cartesiano de una relación consigo misma. Se produce un problema
similar si se utiliza el resultado de una expresión del algebra relacional en un
producto cartesiano, dado que hará falta un nombre para la relación para poder
hacer referencia a sus atributos.

12. La operación RENOMBRAMIENTO
A diferencia de las relaciones de la base de datos, los resultados de las expresiones de algebra
relacional, no tienen un nombre que se pueda utilizar para referirse a ellas. Resulta útil
poder ponerles nombre: el operador renombramiento, denotado por la letra griega rho
minúscula (ρ), permite realizar esta tarea. Dada una expresión E, se le puede resignar un
nombre x mediante la siguiente expresión:
ρx(E)
devuelve el resultado de la expresión E, con el nombre de x. las relaciones r por si mismas se
consideran expresiones (triviales), del algebra relacional. Por tanto, también se puede
aplicar la operación renombramiento a una relación r para obtener una misma relación
con un nombre nuevo, de esa manera podemos darle una solución al problema del
producto cartesiano cuando intentamos aplicar esta operación con la misma relación.
Por ejemplo: Incentivo x ρIncentivo2(Incentivo)
Otra forma de la operación de renombramiento es la siguiente. Supóngase que una
expresión de algebra relacional E tiene aridad n. Por tanto, la expresión :
ρx(A1, A1,… An)(E)
Devuelve el resultado de la expresión con el nombre x, y los atributos con el nombre
cambiado a A1, A1,… An respectivamente.

13. OPERACIÓN INTERSECCION DE
CONJUNTOS
 La intersección de conjuntos (∩) comunes a dos
relaciones, por ejemplo encontrar los clientes que
tienen una cuenta y un préstamo en una sucursal sería:
∏ nombre_cliente( σ nombre_sucursal=”Nombre”(préstamo)∩ ∏ nombre_cliente( σ
nombre_sucursal=”nombre” (depósito))
 Cualquier expresión del álgebra relacional que use la
intersección de conjuntos puede reescribirse
sustituyendo la operación intersección por un par de
operaciones diferencia de conjuntos: r ∩ s = r-(r-s).
 Así, la intersección de conjuntos no es una
operación fundamental y no añade potencia al álgebra.

14. OPERACIÓN REUNION NATURAL
 Típicamente, una consulta que implica un producto cartesiano incluye
una operación de selección en el resultado del producto. Considérese la
consulta “encontrar a todos los clientes que tiene un préstamo y las
ciudades en las que viven”. Primero formamos el producto cartesiano de
las relaciones préstamo y cliente, después seleccionamos aquellas
tuplas que presenten un único nombre_cliente.
∏ préstamo.nombre_cliente, ciudad_cliente ( σ prestamo.nombre_cliente=cliente.nombre_cliente
(préstamo x cliente))

15. OPERACIÓN DIVISION
 La operación división (÷) se establece para aquellas
consultas que incluyen la frase “para todos2.
Supóngase que queremos encontrar a todos los clientes
que tienen una cuenta en todas las sucursales que
están en Brooklyn. Podemos obtener todas las
sucursales en Brooklyn mediante:
r1=∏nombre_sucursal(σ ciudad_sucursal=”Brooklyn”(depósito)

16. OPERACIÓN DE ASIGNACION
 A veces es conveniente escribir una expresión del álgebra relacional por
partes usando la asignación a una variable de relación temporal. La
operación asignación (ß), funciona de forma parecida a la asignación
de los lenguajes de programación.
 La evaluación de una asignación no da como resultado una relación que
se presenta al usuario, más bien, el resultado de la expresión a la
derecha de ß es asignado a la variable de relación de la parte izquierda.
Esta variable de relación puede usarse en subsiguientes expresiones.
Con la operación asignación, una consulta puede escribirse como un
programa secuencial que consta de una serie de asignaciones seguidas
de una expresión cuyo valor se presenta como el resultado de la
consulta. En álgebra relacional, la asignación debe hacerse siempre a
una variable de relación temporal. Es importante observar que la
operación de asignación no proporciona potencia adicional al álgebra,
es una forma conveniente de expresar consultas complejas de forma
más sencilla