algebra lineal

1. Universidad nacional José Faustino Sánchez Carrión
FACULTAD : Ciencias
E. A. P : Matemática Aplicada
CURSO : ALGEBRA LINEAL
DOCENTE :SIFUENTES DAMIAN PABLO ALFREDO
CICLO : IV
ALUMNO : Jimenez Trujillo, Junior
2020

2. FORMA BILINEAL
sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo ǀK. Una aplicación f: V ∗ 𝑉 → 𝐾
se dice que es una forma bilineal si ∀ 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ∈ V y ∀𝛼, ʙ ∈
𝐾, 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 ∶
f(v1+v2,v3) = f(v1,v3) + f(v2,v3) f(αv1,v2) = αf(v1,v2)
f(v1,v2 + v3) = f(v1,v2) + f(v1,v3) f(v1,βv2) = βf(v1,v2)
observaciones: el termino “bilineal” indica que f es lineal respecto de los
dos vectores o elementos de V. el uso del termino "forma” en ves de
“aplicación “ indica que la imagen es un escalar del cuerpo IK.

3. Propiedades:
f(0V ,U) = f(u,0V ) = 0 ∀u,v ∈ V
f(−u,v) = −f(u,v) = f(u,−v)
notación:
f(u,v) = ρ ∈ IK

4. Se dice que la forma bilineal f de V × V en IK es simétrica si ∀u,v ∈ V se
cumple f(u,v) = f(v,u).
Consideraremos a partir de ahora únicamente formas bilineales definidas
en V = 𝐼𝑅𝑛, espacio vectorial sobre el cuerpo IR.

5. Matriz asociada
para el espacio 𝑅𝑛
y considerando la base canónica {𝑒1 ,………,𝑒𝑛} se tiene
f(x,y) = [𝑥1 , … … … … … . , 𝑥𝑛] con G =
𝑓𝑒1,𝑒1 …. 𝑓(𝑒1,𝑒𝑛)
𝑓(𝑒𝑛
, 𝑒1) … 𝑓(𝑒𝑛,𝑒𝑛)
f(x,y)=XGY

6. a) f(3, −2), (8, −6) = [3 − 2]
8 9
10 11
8
−6
=2
b) f(8,−6) , (3, −2) = [8 − 6]
8 9
10 11
3
−2
=0
c) f (7,−5) , (8, −6) = [ 7−5]
8 9
10 11
8
−6
=0

8. Diagonalizacion bilineal simétrica
Sea V un espacio vectorial sobre R. Se dice que la aplicación f : V × V → R es una forma bilineal en V si se
verifica ∀λ ∈ R, ∀→
𝑥
,→
𝑥
,→
𝑦
,→
𝑦
∈ V
1. f(→
𝑥
,→
𝑥
′ ,→
𝑦
) = 𝑓( →
𝑥
,→
𝑦
) + 𝑓(→
𝑥
,→
𝑦
)
2. f(ƛ→
𝑥
,→
𝑦
)=ƛf(→
𝑥
,→
𝑦
)
3. f(→
𝑥
,→
𝑦
+ →
𝑦
) = f(→
𝑥
,→
𝑦
) +f(→
𝑥
,→
𝑦
)
4. f(→
𝑥
,ƛ→
𝑦
)=ƛf(→
𝑥
,→
𝑦
)
Dada una forma bilineal f : V × V → R donde dim(V) = n, existe una matriz F ∈ 𝑀𝑛∗𝑛(R) tal que:
f(→
𝑥
,→
𝑦
)= (𝑥1,𝑥2,…………,𝑥𝑛) F
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦𝑛
∀ →
𝑥
,→
𝑦
∈ 𝑉
la matriz asociada a la forma bilineal f en la base B es la matriz F construida de la forma siguiente :
𝑓𝑖𝑗=f(→
𝑒𝑖
→
𝑒𝑗
) i,j =1,2,………….,n
siendo B = {→
𝑒1
,→
𝑒2
} una base de V .

9. Cambio de base
Sea f : V × V → R una forma bilineal y B = {→
𝑒1
,→
𝑒2
,…………..,→
𝑒𝑛
}, B′ ={→
𝑉1
,→
𝑣2
,…………,
𝑣𝑛
}bases de V.
entonces las matrices asociadas a f respecto a B y B′ verificaban
𝐹′𝐵′=𝐶′𝐵𝐵′ 𝐹𝐵𝐶𝐵𝐵′
demostración: si notamos por
𝑋𝐵
=(𝑋1,………..,𝑋𝑛),
𝑋𝐵
′ =(𝑋′1,…………….,𝑋𝑛),
𝑌𝐵
= (𝑌1,……………,𝑌𝑛) ,
𝑌𝐵
′ =(𝑌′1 ,……………….,𝑌′𝑛) sabemos que :
f(→
𝑋
,→
𝑌
) =(𝑋1,…………..,𝑋𝑛)𝐹𝐵
𝑌1
⋮
𝑌𝑛
, f(→
𝑋
,→
𝑌
) =(
𝑋′1
,…………,
𝑋′𝑛
)𝐹′𝐵′
𝑌′1
⋮
𝑌′𝑛

10. Además
𝐶𝐵𝐵′
𝑋′1
⋮
𝑋′𝑛
=
𝑋1
⋮
𝑋𝑛
, 𝐶𝐵𝐵′=
𝑌′1
⋮
𝑌′𝑛
=
𝑌1
⋮
𝑌𝑛
(𝑋1 ,…………..,𝑋𝑛
) =(
𝑋1
⋮
𝑋𝑛
) al T=[𝐶𝐵𝐵′(
𝑋′1
⋮
𝑋′𝑛
)]𝑡
= (𝑋′1,………….,𝑋′𝑛)𝐶′𝐵𝐵′
sustituyendo:
f(→
𝑋
, →
𝑌
) =(𝑋′1,…………,𝑋′𝑛) 𝐶′𝐵𝐵′ 𝐹𝐵𝐶𝐵𝐵′
𝑌′1
⋮
𝑌′𝑛
=(𝑋′1,…………,𝑋′𝑛)𝐹′𝐵′
𝑌′1
⋮
𝑌′𝑛
entonces.
𝐶′𝐵𝐵′ 𝐹𝐵 𝐶𝐵𝐵′ =𝐹′𝐵′

11. Definicion: Dos matrices A, A′ ∈ 𝑀𝑛∗𝑛(R) se dice que son congruentes si existe una matriz no singular C tal que
A′ =C′ AC
Las matrices asociadas una forma bilineal en bases distintas son congruentes entre sí.
Definición: Una forma bilineal f : V × V → R es simétrica si.∈ V son conjugados con respecto a f si
F(→
𝑋
,→
𝑌
)=f(→
𝑌
,→
𝑋
) ∀ →
𝑋
,→
𝑌
∈ 𝑉
Si la matriz asociada a f es simétrica en alguna base, entonces se trata de una forma bilineal simétrica. La matriz asociada
será simétrica en cualquier base.
DEFINICION:
Sea f : V × V → R forma bilineal simétrica. Se dice que:
dos vectores →
𝑋
,→
𝑌
∈ V son conjugados con respecto a f si:
f(→
𝑋
,→
𝑌
)= 0
definición:→
𝑥
x ∈ V es autoconjugado con respecto a f si
f(→
𝑋
,→
𝑋
)=0

12. Definicion: Sea f : V × V → R una forma bilineal simétrica. Se llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación
ω : V → R
→
𝑥
→ ω (→
𝑋
) = f(→
𝑋
,→
𝑋
)
observaciones:
→
𝑥
∈ V es autoconjugado con respecto a f cuando ω (→
𝑋
) = 0
La matriz de la forma cuadrática es la de la forma bilineal simétrica.
Definicion:Sea ω : V → R una forma cuadrática. Se llama forma polar de ω a la forma bilineal simétrica:
f : V × V → R
(→
𝑋
,→
𝑌
) → f(→
𝑥
,→
𝑦
) =
1
2
(ω(→
𝑋
+→
𝑌
) − ω(→
𝑋
)− ω(→
𝑌
))
DEFINICION: . Una aplicación ω : V → R es cuadrática si verifica:
ω(λ→
𝑋
)=𝜆2
ω(→
𝑋
) ∀λ ∈ R, ∀ →
𝑋
∈ V

13. Diagonalización de formas bilineales simétricas