Este documento presenta 7 problemas de álgebra lineal. Los problemas incluyen determinar si ciertos conjuntos constituyen subespacios, escribir vectores como combinaciones lineales de otros vectores, y determinar si afirmaciones sobre espacios vectoriales son verdaderas o falsas.

1. Deber 2
´
Algebra Lineal
Prof. Dr. Joseph P´ez Ch´vez
a a
II T´rmino 2009–2010
e
Problema 1. Determine cu´les de los siguientes conjuntos constituyen un subespacio de V :
a
  
 2r + s 
3
(i) V = R , W =  3r − 5s  : r, s ∈ R . Encuentre un conjunto generador de W .
 
7r + 4s
(ii) V = P2 , H = {(r − s)t2 + (2r)t + (r2 + s2 ) : r, s ∈ R}.
(iii) Sea V el espacio vectorial definido en el Literal (ii) del Problema 1 del Deber 1.
W = {(a, b, c) ∈ V : a + b + c = 0}, D = {(a, b, c) ∈ V : 2a − ln (b3 ) − 4c = 4}.
(iv) V = M3×3 , H = A ∈ M3×3 : AT + A = 0 , W = {A ∈ M3×3 : A es invertible}. En-
cuentre un conjunto generador de H.
(v) V = Rn . Sean A ∈ Mn×n , B ∈ Rn fijos. W = {x ∈ Rn : Ax = B}1 , H = {x ∈ Rn : Ax
= 0}.
1
(vi) Sea2 V = C[0, 1]. H = f ∈ V : f 2
= −3f (1) , W = {f ∈ V : f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [0, 1]}.
(vii) V = R2 , H = (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| + 1 = 0 .
 
1 −1
Problema 2. Sea V = M3×2 . Escriba, de ser posible, al vector  4 0  como
 −8  5
 
 2 4 −7 3
una combinaci´n lineal de los vectores del conjunto: C =
o  0 −5 , 2 1 ,

    −10 0 0 0
10 4 0 0 
 1 −1  ,  −6 2  . Determine expl´ ıcitamente gen(C).

−3 2 1 4
1
Considere dos casos: B = 0 y B = 0.
2
Funciones f : [0, 1] → R continuas en [0, 1], con las operaciones usuales de suma de funciones y de
multiplicaci´n por escalar.
o
1

2. Problema 3. V el espacio vectorial del Literal (iii) del Problema 1.
Sea  Escriba, de ser posi-
  
18 −1 4
ble, al vector  16  como una combinaci´n lineal de los vectores:  1  ,  2 .
o
−14 3 −1
Problema 4. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(i) Sea V = P2 . Entonces, dos polinomios en P2 no pueden generar P2 .
(ii) Sea v = 0V un vector cualquiera de un espacio vectorial V . Entonces
∀α ∈ R, α = 0 : gen(v) = gen(αv).
(iii) Sean v1 , v2 vectores cualquiera de un espacio vectorial V . Entonces, si v1 = αv2 ,
α ∈ R, tenemos que gen(v1 , v2 ) = gen(v1 ).
(iv) El conjunto soluci´n de un sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax = C, A ∈
o
Mn×n , C ∈ Rn es siempre un subespacio de V = Rn .
     
 x1 x2 x3 
(v) Sea V = R3 . Sea S ⊂ V , tal que S =  y1  ,  y2  ,  y3  . Entonces, si
 
  z1 z2 z3
x1 x2 x3
det  y1 y2 y3  = 0, tenemos que gen(S) = R3 .
z1 z2 z3
   
1 −2
Problema 5. Sea V = R3 . Encuentre expl´ ıcitamente gen  −2 , gen  4 
  3 −6
3
y gen  −6 . Qu´ diferencia encuentra usted entre los tres espacios generados? En-
e
9
cuentra usted en este hecho alguna relaci´n con el Literal (ii) del Problema 4? Explique.
o
2