Álgebra para la Ingeniería

1. Tema 3. Espacio afı́n euclı́deo.
Un espacio afı́n es una terna A = (P, V, f) en la que P es
un conjunto no vacı́o, V un espacio vectorial de dimensión finita
sobre un cuerpo K y f es una aplicación f : P × P → V ,
f(P, Q) =
−
→
P Q tal que, para cada (P, Q) ∈ P × P, se verifica:
1.
−
→
P Q +
−
→
QR =
−
→
P R, ∀P, Q, R ∈ P
2. Dados P ∈ P y ~
v ∈ V , existe un único Q ∈ P tal que
−
→
P Q = ~
v
Los elementos de P se llaman puntos del espacio afı́n A. Para
cada par de puntos P, Q ∈ P, al vector
−
→
P Q ∈ V lo llamaremos
vector de origen P y extremo Q.
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.1

2. Subespacios o variedades afines
Vamos a generalizar los conceptos de recta y plano de la Geometrı́a.
Definición 1. Dado un espacio afı́n A = (P, V, f) asociado a
un espacio vectorial V . Llamaremos subespacio o variedad
afı́n determinado por el punto P ∈ P y el subespacio
vectorial W de V , al conjunto:
F ≡ P + W = {P + ~
w | w ∈ W }
El subespacio W , se llama dirección de F .
Ejemplo 1. Una variedad afı́n en la que dimW = 1, se llama
recta, es decir, la recta r que pasa por el punto P y tiene la
dirección del vector ~
w, se expresa vectorialmente r ≡ P +λ~
v.
Si dimW = 2, tenemos que Π ≡ P + λ ~
w1 + µ ~
w2 representa
el plano que pasa por P y su dirección está generada por los
vectores ~
w1, ~
w2, siendo λ y µ escalares.
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.2

3. Sistema de referencia
Definición 2. Dado un espacio afı́n A asociado a un espacio
vectorial V de dimensión n, un sistema de referencia de A
está formado por punto O de A y una base B = {e1, . . . , en}
de V . Se representa por (O; {e1, . . . , en}). Dado cualquier
punto P , sus coordenadas se definen como las coordenadas
del vector
−
→
OP respecto de la base B.
Ejemplo 2. En R3
, si el punto P tiene coordenadas (p1, p2, p3)
y los vectores linealmente independientes −
→
u y −
→
w tienen
coordenadas (u1, u2, u3), (w1, w2, w3), respectivamente. El
plano que pasa por P y tiene dirección determinada por u y
w, tiene como ecuaciones paramétricas:



x1 = p1 + λu1 + µw1
x2 = p2 + λu2 + µw2
x3 = p3 + λu3 + µw3
A partir de las ecuaciones paramétricas, se pueden encontrar
las ecuaciones cartesianas de la forma habitual.
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4. Posición relativa de dos planos en R
3
Dados dos planos Π1 y Π2 de ecuaciones cartesianas:
Π1 ≡ a1x + b1y + c1z = d1 ; Π2 ≡ a2x + b2y + c2z = d2
Consideramos el sistema de ecuaciones formado por ambas y
llamamos A a la matriz de los coeficiones, y B a la matriz
ampliada. Entonces:
I Si rang(A) = rang(B) = 1, los planos son coincidentes.
I Si rang(A) = rang(B) = 2, los planos se cortan en una recta.
I Si rang(A) 6= rang(B), los planos son paralelos.
Ejemplo 3. Estudia la posición relativa de los planos
3x − 2y + z = 5 y 3x − 2y + z = 2.
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5. Posición relativa de tres planos en R
3
Dados dos planos Π1, Π2 y Π2 de ecuaciones cartesianas:
Π1 ≡ a1x + b1y + c1z = d1 ; Π2 ≡ a2x + b2y + c2z = d2 ;
Π3 ≡ a3x + b3y + c3z = d3
I rang(A) = rang(B) = 1. Entonces, los 3 planos coinciden.
I rang(A) = 1, rang(B) = 2. Entonces, son 3 planos paralelos
(dos de ellos podrı́an coincidir).
I rang(A) = rang(B) = 2. Entonces, los 3 planos contienen
una misma recta (planos de un haz, dos de ellos podrı́an
coincidir).
I rang(A) = 2, rang(B) = 3. Entonces, hay dos posibilidades:
? Hay 2 planos paralelos, y el otro los corta.
? Los tres son caras de un prisma triangular.
I rang(A) = rang(B) = 3. Entonces, los planos tienen
exactamente un punto común (caras de triedro).
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6. Posición relativa de dos rectas en R
3
Dadas dos rectas r y s, considerando el sistema formado por sus
ecuaciones cartesianas, tenemos:
I rang(A) = rang(B) = 2, rectas coincidentes.
I rang(A) = 2, rang(B) = 3, rectas paralelas.
I rang(A) = rang(B) = 3, rectas secantes.
I rang(B) = 4, es decir, det(B) 6= 0, las rectas se cruzan.
Ejemplo 4. Estudiar la posición relativa de las rectas:
r ≡
4x + 5y − 7z = −1
x − 2z = 4
s ≡
x + y + 3z = 1
2x + y + 6z = 2
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7. Posición relativa de recta y plano R
3
Dadas una recta r y un plano Π, se tiene:
I rang(A) = rang(B) = 2, recta contenida en el plano.
I rang(A) = 2, rang(B) = 3, recta y plano paralelos.
I rang(A) = rang(B) = 3, recta y plano secantes.
Ejemplo 5. Estudiar la posición relativa de la recta r y el
plano Π, siendo:
r ≡
4x + 5y − 7z = −1
x − 2z = 4
Π ≡ 5x − 2y + 3z = 2
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8. Espacion euclı́deo
Definición 3. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Llamamos forma bilineal a toda aplicación
f : V × V −→ K
(~
x, ~
y) 7−→ f(~
x, ~
y)
que verifica:
1. f(~
x, λ~
y + µ~
z) = λf(~
x, ~
y) + µf(~
x, ~
z)
∀ ~
x, ~
y, ~
z ∈ V y λ, µ ∈ K.
2. f(λ~
x + µ~
y, ~
z) = λf(~
x, ~
z) + µf(~
y, ~
z)
∀ ~
x, ~
y, ~
z ∈ V y λ, µ ∈ K.
Definición 4. Se dice que una forma bilineal f : V × V → K
es simétrica si verifica que
f(~
x, ~
y) = f(~
y, ~
x) ∀ ~
x, ~
y ∈ V
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.8

9. Definición 5. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K
y f : V × V → K una forma bilineal. Decimos que f es una
forma bilineal definida positiva si verifica:
f(~
x, ~
x) 0 ∀ ~
x ∈ V , ~
x 6= ~
0
Definición 6. Sea V un espacio vectorial definido sobre el
cuerpo de los números reales. Llamamos producto escalar
a toda forma bilineal f : V × V → R simétrica y definida
positiva.
Definición 7. Llamamos espacio vectorial euclı́deo a un espacio
vectorial real en el que se ha definido un producto escalar.
Dados dos vectores ~
x, ~
y ∈ V , su producto escalar f(~
x, ~
y), suele
denotarse de distintas formas:
f(~
x, ~
y) = h~
x, ~
yi = (~
x|~
y) = ~
x · ~
y
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10. Ejemplos
1. Sea V = Rn
. Sean ~
x e ~
y dos vectores con coordenadas en la
base canónica (x1, . . . , xn) y (y1, . . . , yn) respectivamente. Se
define un producto escalar como
~
x, ~
y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn
2. Sea V el e.v. sobre R de las funciones reales que son continuas
en el intervalo [a, b]. Se puede definir el producto escalar de
dos funciones f, g ∈ V como
f, g =
Z b
a
f(t)g(t)dt
3. Sea V = Pn(R). Un producto escalar entre dos polinomios
p(x) = a0 +a1x+· · ·+anxn
q(x) = b0 +b1x+· · ·+bnxn
se define como: p(x), q(x) = a0b0 + a1b1 + · · · + anbn
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11. Definición 8. Sea V un e.v. euclı́deo. Llamamos norma,
módulo o longitud de un vector ~
x ∈ V al número real:
||~
x|| =
p
h~
x, ~
xi
Definición 9. Se dice que un vector ~
x es unitario o normalizado
si ||~
x|| = 1. Dado un vector ~
x 6= 0 el vector
~
x
||~
x||
es unitario.
Este proceso se llama normalización de ~
x.
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12. Proposición 1. Propiedades de la norma. Sea V un e.v.
euclı́deo, y sean ~
x, ~
y ∈ V , λ ∈ R. Entonces:
1. ||~
x|| = 0 si y sólo si ~
x = ~
0
2. ||λ~
x|| = |λ| ||~
x||
3. |h~
x, ~
yi| ≤ ||~
x|| ||~
y|| (Desigualdad de Schwarz)
4. ||~
x + ~
y|| ≤ ||~
x|| + ||~
y|| (Desigualdad triangular)
Definición 10. Sean ~
x, ~
y dos vectores no nulos de un espacio
vectorial euclı́deo V . El ángulo que forman ~
x e ~
y se define:
áng(~
x, ~
y) = θ = arccos
h~
x, ~
yi
||~
x|| ||~
y||
Utilizando la definición de ángulo podemos expresar el producto
escalar de dos vectores de la forma:
h~
x, ~
yi = ||~
x|| ||~
y|| cos θ
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13. Conjunto ortogonal y ortonormal
Definición 11. En un e.v. euclı́deo V se dice que ~
x, ~
y ∈ V
son vectores ortogonales si h~
x, ~
yi = 0
Observar que dos vectores no nulos ~
x, ~
y son ortogonales si y sólo
si son perpendiculares, pues en este caso cos(~
x, ~
y) = 0. Por ello
si ~
x, ~
y son ortogonales suele denotarse ~
x ⊥ ~
y.
Definición 12. Un conjunto de vectores no nulos {~
v1, . . . ~
vn}
de un espacio vectorial euclı́deo V se dice que es un conjunto
ortogonal si cada vector del conjunto es ortogonal a todos los
demás, es decir h~
vi, ~
vji = 0, ∀i 6= j.
Diremos que dicho conjunto es ortonormal si además se
verifica que los vectores que lo forman son unitarios.
Teorema 1. Sea V un espacio vectorial euclı́deo. Si S =
{~
v1, . . . ~
vn} es un conjunto ortogonal de vectores no nulos
de V , entonces dicho conjunto es linealmente independiente.
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.13

14. Espacio afı́n euclı́deo
Vamos a introducir distancias entre puntos...
Definición 13. Si A = (P, V, f) es un espacio afı́n y V es
un espacio vectorial euclı́deo, entonces diremos que A es un
espacio afı́n euclı́deo. Podemos definir la distancia entre dos
puntos P, Q ∈ P, como la norma del vector que determinan:
d(P, Q) = ||
−
→
P Q||
Ejemplo 6. En el espacio afı́n euclı́deo Rn
con el producto
escalar usual, dados los puntos P = (p1, . . . , pn) y Q =
(q1, . . . , qn), la distancia entre P y Q se obtiene:
d(P, Q) =
p
(q1 − p1)2 + · · · + (qn − pn)2
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.14

15. Problemas afines y métricos en el
plano y en el espacio
Distancia de un punto a una recta
Dados un punto Q y una recta r ≡ P + λ~
u, la distancia de Q a
un punto genérico X ∈ r viene dada por:
d(Q, X)2
= ||
−
−
→
QX||2
= ||
−
→
QP +
−
−
→
P X||2
= ||
−
→
QP ||2
+2λ(
−
→
QP ·~
u)+λ2
||~
u||2
que es una función polinómica en la variable real λ que alcanza su
máximo cuando λ toma el valor λ0 = −
−
→
QP ·~
u
||~
u||2 . Por tanto,
d(Q, r) = d(Q, Q0
) , siendo Q0
= P −
−
→
QP · ~
u
||~
u||2
~
u
Como
−
−
→
QQ0
es perpendicular a r, se dice que Q0
es la proyección
ortogonal de Q sobre r.
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.15

16. Distancia de un punto a un plano
Dados un punto Q y un plano Π ≡ p + λu + µv, la distancia de
Q a un punto genérico X ∈ Π viene dada por:
d(Q, X)2
= ||
−
→
QP ||2
+2λ(
−
→
QP ·~
u)+2µ(
−
→
QP ·~
v)+λ2
||~
u||2
+µ2
||~
v||2
que es una función polinómica con 2 variables reales λ y µ, que
alcanza su máximo cuando λ toma el valor λ0 = −
−
→
QP ·~
u
||~
u||2 y µ toma
el valor µ0 = −
−
→
QP ·~
v
||~
v||2 . Por tanto,
d(Q, Π) = d(Q, Q0
) , siendo Q0
= P −
−
→
QP · ~
u
||~
u||2
~
u −
−
→
QP · ~
v
||~
v||2
~
v
Q0
es la proyección ortogonal de Q sobre Π.
Ejemplo 7. Calcular la distancia del punto Q(2, −3, 5)
a la recta r ≡ (5, −1, 0) + λ(2, 1, −2) y al plano
Π ≡ (3, −1, −2) + λ(1, 1, 0) + µ(−2, 0, −3), ası́ como las
proyecciones ortogonales de Q sobre ambos.
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.16

17. Distancia entre dos planos paralelos
Dados dos planos paralelos Π1 y Π2, la distancia entre ambos
d(Π1, Π2), es la distancia entre cualquier punto de uno de ellos y
el otro.
Distancia entre una recta y un plano paralelo a ella
Dada una recta r y un plano Π, paralelo a ella, la distancia de r a
Π, representada por d(r, Π), es la distancia entre cualquier punto
de r y el plano Π.
Distancia entre dos rectas paralelas
Dadas dos rectas paralelas r y s, la distancia entre ambas se
calcula obteniendo la distancia de cualquier punto de una de ellas
a la otra.
Distancia entre dos rectas que se cruzan
Dadas dos rectas paralelas r ≡ P + λ~
u y s ≡ Q + µ~
v, la distancia
entre ambas se calcula obteniendo la distancia entre los puntos
P 0
∈ r y Q0
∈ s tales que
−
−
→
P 0
Q0
· ~
u =
−
−
→
P 0
Q0
· ~
v = 0.
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.17

18. Ejemplos
Ejemplo 8. Calcula la distancia entre las rectas:
r ≡
x + 8
2
=
y − 10
3
= z − 6 y s ≡ (1, 1, 1) + λ(−1, 2, 4)
Calcula la ecuación de la perpendicular común.
Ejemplo 9. Calcula la distancia entre los planos:
Π1 ≡ 3x − 2y − 5 = 0 y Π2 ≡ 3x − 2y + 7 = 0.
Ejemplo 10. Calcula la distancia entre la recta r del ejemplo
8 y el plano Π1 del ejemplo 9.
Ejemplo 11. Inventa un ejemplo de rectas paralelas, rectas
que se cruzan, planos paralelos, recta paralela a un plano, y
calcula la distancia entre ellos.
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.18

19. Ángulo entre dos rectas
Dadas dos rectas r ≡ P + λ~
u y s ≡ Q + µ~
v, si llamamos α al
ángulo formado por r y s, se tiene que:
cos α = cos(~
u, ~
v) =
~
u · ~
v
||~
u|| · ||~
v||
Ángulo entre dos planos
Dados dos planos:
Π1 ≡ a1x + b1y + c1z = d1 y Π2 ≡ a2x + b2y + c2z = d2
se define el ángulo entre ambos como el ángulo que forman sus
vectores normales ~
n1(a1, b1, c1) y ~
n2(a2, b2, c2).
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.19

20. Ángulo entre recta y plano
Dada una recta con vector director ~
u que se corta con un plano
con vector normal ~
n, el ángulo α que forman la recta y el plano
verifica que:
sin α =
~
u · ~
n
||~
u|| · ||~
n||
Ejemplo 12. Calcula el ángulo formado por la recta
r ≡
x + 3y − z + 3 = 0
2x − y − z − 1 = 0
y el plano Π ≡ 2x − y + 3z + 1 = 0.
Ejemplo 13. Calcula el ángulo formado por el plano Π del
ejemplo anterior, con el plano:
(2, −3, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(0, 1, −1)
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21. Producto vectorial en R
3
El producto vectorial de dos vectores ~
u y ~
v de R3
es otro vector
~
u × ~
v cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su
sentido serı́a igual al avance de un sacacorchos al girar de ~
u a ~
v.
Su módulo es igual a ||~
u|| · ||~
v|| · sin α.
Para calcularlo, si ~
u = (u1, u2, u3) y ~
v = (v1, v2, v3), entonces
~
u × ~
v =
~
i ~
j ~
k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.21

22. Aplicaciones del producto vectorial
Área del paralelogramo y del triángulo determinado por dos
vectores: El área del paralelogramo determinado por dos vectores
es igual al módulo del producto vectorial de dichos vectores.
Área paralelogramo = ||~
u × ~
v||
A partir de lo anterior, se puede obtener:
Área triángulo =
1
2
||~
u × ~
v||
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.22

23. Producto mixto en R3
El producto mixto de los vectores ~
u, ~
v y ~
w es un número real
definido de la siguiente forma:
[~
u, ~
v, ~
w] = ~
u, ~
v × ~
w = det(~
u, ~
v, ~
w)
Volumen del paralelepı́pedo y del tetraedro determinado por tres
vectores: El volumen del paralelepı́pedo determinado por los
vectores ~
u, ~
v, ~
w es igual al valor absoluto del producto vectorial
de dichos vectores.
Volumen paralelepı́pedo = |[~
u, ~
v, ~
w]| Volumen tetraedro =
1
6
|[~
u, ~
v, ~
w]|
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.23

24. Distancia entre dos rectas que se cruzan: Dadas dos rectas que
se cruzan r ≡ P + λ~
u, s ≡ Q + µ~
v, la distancia entre ambas se
puede calcular de la siguiente forma:
d(r, s) =
|[~
u, ~
v,
−
→
P Q]|
||~
u × ~
v||
es decir, la distancia entre ambas rectas es la altura del
paralelepı́pedo determinado por los vectores ~
u, ~
v,
−
→
P Q, que se
obtiene dividiendo su volumen entre el área de la base.
Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3 pg.24