1. Universidad Nacional de la Patagonia
Facultad de Ingeniería
Deparamento de Matemática
Catedra: Geometría Diferencial
T.P.No2: Supercies Regulares - Primera Forma Cuadrática
Ejercicios: Supercies y Difeomorsmos
1. Demostrar que el cilindro C = {(x, y, z) ∈ 3 : x2 + y 2 = 1} es una supercie regular, hallando
parametrizaciones cuyos entornos de coordenadas lo recubran.
2. ¾Es el conjunto {(x, y, z) ∈ 3
: z = 0 y x2 + y 2 ≤ 1} una supercie regular? ¾Es el conjunto
{(x, y, z) ∈ 3
: z = 0 y x2 + y 2 1} una supercie regular?
3. Demostrar que el cono de doble hoja, con vértices en el origen, es decir, el conjunto
{(x, y, z) ∈ 3 : x2 + y 2 − z 2 = 0} no es una supercie regular.
4. Sea f (x, y, z) = z 2 . Demostrar que 0 no es un valor regular de f aunque f −1 (0) sea una supercie
regular.
5. Sea f (x, y, z) = (x + y + z − 1)2
a) Encontrar los puntos y valores críticos de f .
b) ¾Para qué valores de c es una supercie regular el conjunto f (x, y, z) = c?
c) Lo mismo para f (x, y, z) = xyz 2
6. Sea V un conjunto abierto en el plano xy . Mostrar que el conjunto S = {(x, y, z) ∈ 3
: z = 0 y (x, y) ∈ V }
es una supercie regular.
7. Mostrar que el conjunto S = {(x, y, z) ∈ 3 : z = x2 − y 2 } es una supercie regular y comprobar
que los incisos a y b son parametrizaciones de S .
a) X(u, v) = (u + v, u − v, 4uv) con (u, v) ∈ 2
.
b) X(u, v) = (uChv, uShv, u2 ) con (u, v) ∈ 2
y u = 0. ¾Qué parte de S con estas parametriza-
ciones cubro?
8. Mostrar que las parametrizaciones:
u v 1
X1 (u, v) = ( , , ) y X2 (u, v) = (u cosv, u senv, u2 ) representan la misma
u2 +v 2 u2 + v 2 u2 + v 2
supercie e indicar de cuál supercie se trata.
9. La supercie que admite la parametrización de la forma r(u, v) = r1 (u)+r2 (v), con r1 y r2 funciones
de clase C k para algún k se llama supercie de traslación. Mostrar que parabolóides elípticos e
hiperbólicos son supercies de traslación.
10. Considere una curva regular α(s) = (x(s), y(s), z(s)) con s ∈ I ⊂ . Sea S el subconjunto de 3
generado por las rectas que pasan por α(s), paralelas al eje z . Dé una condición suciente que debe
satisfacer la curva α(s) para que S sea el trazo de una supercie parametrizada regular.
1

2. 11. Sea S 2 = {(x, y, z) ∈ : x2 + y 2 + z 2 = 1} la esfera unitaria y sea A : S 2 −→ S 2 la aplicación que
3
A(x, y, z) = (−x, −y, −z). Probar que A es un difeomorsmo.
12. Sea S ⊂ 3 una supercie regular y π : S −→ 2 la aplicación que toma cada punto p ∈ S y lo
proyecta ortogonalmente sobre 2 = {(x, y, z) 3 : z = 0}. ¾Es π diferenciable?.
x2 y 2 z 2
13. Construya un difeomorsmo entre el elipsoide + 2 + 2 = 1 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
a2 b c
Ejercicios: Plano Tangente y Vector Normal
14. Mostrar que la ecuación del plano tangente a (x0 , y0 , z0 ) de una supercie regular dada por
f (x, y, z) = 0 donde 0 es un valor regular de f , es:
fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0.
15. Mostrar que la ecuación del plano tangente de una supercie con grafo f de una función diferenciable
z = f (x, y), en el punto p0 = (x0 , y0 ) esta dada por:
z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ).
16. Mostrar que los planos tangentes de una supercie dada por z = xf (x/y) x = 0, donde f es una
función diferenciable, todos pasan por el origen.
17. Considere la supercie X(u, v) = (u, v, f (u, v)) donde f es una función diferenciable. Obtenga la
aplicación normal.
18. Mostrar que las normales a una supercie dada por X(u, v) = (f (u)cosv, f (u)senv, g(u)), con
f (u) = 0, g = 0, todas intersectan al eje z .
19. Sea el cono circular menos el vértice parametrizado por X(u, v) = (u senα cosv, u senα senv, u cosα)
π
con u 0, v ∈ y 0 α es una constante. Describir la imagen de N (u, v).
2
Ejercicios: Primera Forma Fundamental
20. Calcular la primera forma fundamental de las siguientes supercies parametrizadas regulares:
a) X(u, v) = (a senu cosv, b senu senv, u2 ) paraboloide elíptico.
b) X(u, v) = (a u cosv, b u senv, u2 ) paraboloide elíptico.
c) X(u, v) = (a u Chv, b u Shv, u2 ) paraboloide hiperbólico.
d) X(u, v) = (a Shu cosv, b Shu senv, c Chu) hiperboloide de dos hojas.
π π
21. Dada la supercie parametrizada regular X(u, v) = (u cosv, u senv, lncosv + u) con − v .
2 2
Mostrar que las dos curvas X(u1 , v), X(u2 , v) determinan segmentos de igual longitud.
22. Mostrar que el área A de la región R limitada por la supercie z = f (x, y) es: A = Q
1 + fx + fy dxdy ,
2 2
donde Q es la proyección normal de R en el plano xy .
2

3. 23. Se dice que las curvas coordenadas de una parametrización X(u, v) forman la red de TChebyshev
si las longitudes de los lados opuestos de los cuadrilateros que ellos forman son iguales. Mostrar que
∂E ∂G
la condición necesaria y suciente para que esto ocurra es que: (u, v) = (u, v) = 0.
∂v ∂u
24. Probar que las curvas coordenadas que constituyen la red de TChebyshev es posible reparametrizar
las coordenadas en una vecindad de tal manera que los nuevos coecientes de la primera forma
cuadrática sean: E = 1, F = cosθ, G = 1.
25. Mostrar que una supercie de revolución siempre puede parametrizarse de modo tal que: E = E(v),
F = 0 y G = 1.
26. Sea P = {(x, y, x) ∈ 3
: z = 0} es el plano xy y sea X : U −→ P , la parametrización de P por
X(ρ, θ) = (ρ cosθ, ρ senθ), donde U {(ρ, θ) ∈ 2 : ρ 0, 0 θ 2π}. Calcular los coecientes de la
Primera Forma Cuadrática de P con esta parametrización.
27. Si S es una supercie parametrizada regular con área nita A y T : 3
−→ 3
es una transformación
ortogonal, probar que las áreas de S y T (S) son iguales.
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