1. El documento describe diferentes tipos de aplicaciones multilineales como formas bilineales simétricas y antisimétricas. 2. Explica cómo construir formas bilineales a partir de formas lineales usando el producto tensorial de dos formas lineales. 3. Presenta el producto exterior de dos formas lineales para construir una base del subespacio de las formas antisimétricas.

1. APLICACIONES MULTILINEALES
1. ´ ´
Formas bilineales simetricas y antisimetricas
Una forma bilineal f : V × V → k se dice sim´trica si se verifica:
e
f (u, v) = f (v, u), para cualesquiera u, v ∈ V.
De forma an´loga, se dice que f es antisim´trica si se verifica:
a e
f (u, v) = −f (v, u), para cualesquiera u, v ∈ V.
Ejemplo 1.1. Cada producto escalar es una forma bilineal sim´trica.
e
Ejemplo 1.2. La aplicaci´n determinante
o
D : R2 × R2 → R
D((a, b), (c, d)) = ad − bc
es una forma bilineal antisim´trica.
e
Lema 1.3. Sea V un espacio vectorial sobre k con carac(k) = 2 en-
tonces se verifica que:
f es antisim´trica si y s´lo si f (v, v) = 0 ∀v ∈ V
e o
Demostraci´n. Sea f antisim´trica entonces f (v, v) = −f (v, v) con lo
o e
que f´cilmente se deduce que 2f (v, v) = 0 y por tanto f (v, v) = 0.
a
Rec´
ıprocamente si
0 = f (v+v , v+v ) = f (v, v)+f (v, v )+f (v , v)+f (v , v ) = f (v, v )+f (v , v).
De donde se obtiene f´cilmente que f es antisim´trica.
a e
Proposici´n 1.4. si f, f son formas bilineales y a ∈ k entonces tam-
o
bi´n a · f y f + f definidas por
e
a · f (v, v ) = f (av, v )
(f + f )(v, v ) = f (v, v ) + f (v, v )
son formas bilineales.
La demostraci´n se deja como ejercicio.
o
Corolario 1.5. El conjunto de aplicaciones bilineales es un espacio
vectorial. Se denotar´ Bil(V, k).
a
Proposici´n 1.6. El conjunto de formas bilineales sim´tricas S2 (V, k)
o e
y el conjunto de formas bilineales antisim´tricas A2 (V, k) son subespa-
e
cios vectoriales de Bil(V, k).
Definici´n 1.7. Sea f una forma bilineal, se define su traspuesta como:
o
f t (v, v ) = f (v , v).
1

2. 2 APLICACIONES MULTILINEALES
Es claro que f t tambi´n es lineal.
e
Ejercicio 1.8. Probar que si f es bilineal entonces f −f t es antisim´trica
e
t
y f + f es sim´trica.
e
Proposici´n 1.9. Toda forma bilineal se puede descomponer como
o
suma de una forma bilineal sim´trica y una antisim´trica.
e e
Demostraci´n. Basta ver que si f es bilineal se puede escribir como:
o
1 1
f = (f + f t ) + (f − f t )
2 2
donde f = 1 (f + f t ) es sim´trica y 1 (f − f t ) es antisim´trica.
2
e 2
e
Corolario 1.10. Bil(V, k) = S2 (V, k) ⊕ A2 (V, k).
Demostraci´n. Si f ∈ S2 (V, k) ∩ A2 (V, k) entonces:
o
f (v, v ) = f (v v)
f (v, v ) = −f (v , v)
y por tanto f (v, v ) = 0 ∀v, v ∈ V .
2. El producto tensorial de dos formas lineales
Nuestro objetivo es construir formas bilineales a partir de formas
lineales. La herramienta ser´ el producto tensorial.
a
Definici´n 2.1. Sean ϕ1 , ϕ2 ∈ V ∗ .
o
Se define su producto tensorial ϕ1 ⊗ ϕ2 : V × V → k como:
ϕ1 ⊗ ϕ2 (v, v ) = ϕ1 (v) · ϕ2 (v )
Proposici´n 2.2. ϕ1 ⊗ ϕ2 es una aplicaci´n bilineal.
o o
Demostraci´n.
o
ϕ1 ⊗ ϕ2 (v1 + v2 , v ) = ϕ1 (v1 + v2 ) · ϕ2 (v )
= [ϕ1 (v1 ) + ϕ1 (v2 )] · ϕ2 (v )
= ϕ1 (v1 ) · ϕ2 (v ) + ϕ1 (v2 ) · ϕ2 (v )
= ϕ1 ⊗ ϕ2 (v1 , v ) + ϕ1 ⊗ ϕ2 (v2 , v )
y por otra parte
ϕ1 ⊗ ϕ2 (av, v ) = aϕ1 (v) · ϕ2 (v ) = ϕ1 (v) · ϕ2 (av ) = ϕ1 ⊗ ϕ2 (v, av )
ϕ1 ⊗ ϕ2 (av, v ) = aϕ1 (v) · ϕ2 (v ) = aϕ1 ⊗ ϕ2 (v, v )

3. APLICACIONES MULTILINEALES 3
∗
Ejemplo 2.3. Consideremos en R2 Bc = {ϕ1 , ϕ2 } la base dual de la
base can´nica. El producto escalar se puede ver como:
o
< (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) > = (ϕ1 ⊗ ϕ1 + ϕ2 ⊗ ϕ2 )((x1 , x2 ), (y1 , y2 ))
= (ϕ1 (x1 , x2 ) · ϕ1 (y1 , y2 )) + (ϕ2 (x1 , x2 ) · ϕ2 (y1 , y2 ))
= x1 y1 + x2 y2 .
Ejemplo 2.4. De forma an´loga, el determinante en R2 tambi´n puede
a e
escribirse como:
det((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = (ϕ1 ⊗ ϕ2 − ϕ2 ⊗ ϕ1 )((x1 , x2 ), (y1 , y2 ))
(2.1)
(2.2) = x1 y2 − x2 y1 .
Proposici´n 2.5. Sean ϕ, ϕ1 , ϕ2 : V × V → k, entonces:
o
1. (ϕ1 + ϕ2 ) ⊗ ϕ = (ϕ1 ⊗ ϕ) + (ϕ2 ⊗ ϕ)
2. ϕ ⊗ (ϕ1 + ϕ2 ) = (ϕ ⊗ ϕ1 ) + (ϕ + ϕ2 )
3. (aϕ1 ⊗ ϕ2 ) = (aϕ1 ⊗ ϕ2 ) = (ϕ1 ⊗ aϕ2 )
Demostraci´n. Sean v, v ∈ V entonces:
o
1.
[(ϕ1 + ϕ2 ) ⊗ ϕ](v, v ) = [(ϕ1 + ϕ2 )(v)] · ϕ(v )
= [ϕ1 (v) + ϕ2 (v)] · ϕ(v )
= (ϕ1 (v) · ϕ(v )) + (ϕ2 (v) · ϕ(v ))
= (ϕ1 ⊗ ϕ)(v, v ) + (ϕ2 ⊗ ϕ)(v, v )
= (ϕ1 ⊗ ϕ + ϕ2 ⊗ ϕ)(v, v )
2. An´logo a (1)
a
3. Basta considerar
(aϕ1 ⊗ ϕ2 )(v, v ) = (aϕ1 (v) · ϕ2 (v )) = a(ϕ1 (v) · ϕ2 (v )) =
a(ϕ1 ⊗ ϕ2 )(v, v )
(aϕ1 ⊗ ϕ2 )(v, v ) = (aϕ1 (v) · ϕ2 (v )) = (ϕ1 (v) · aϕ2 (v )) =
(ϕ1 ⊗ aϕ2 )(v, v )
Proposici´n 2.6. Sea B = {v1 , · · · , vn } una base de V y B ∗ = {ϕ1 , · · · , ϕn }
o
su base dual. Entonces {ϕi ⊗ϕj : i, j = 1, · · · , n} es una base de Bil(V, k).
Demostraci´n. Si A = (aij ) es la matriz de asociada a f ∈ Bil(V, k) en
o
la base B, entonces:
n
(2.3) f (x, y) = aij xi yj
i,j=1
Donde x = (x1 , · · · , xn )B , y = (y1 , · · · , yn )B y aij = f (vi , vj ).
Sabemos que las coordenadas de cualquier vector x ∈ V en la base
B vienen dadas por (ϕ1 (x), · · · , ϕn (x))B .

4. 4 APLICACIONES MULTILINEALES
As´ que sustituyendo en 2.3, tenemos:
ı
n
f (x, y) = aij xi yj
i,j=1
n
= aij ϕi (x)ϕj (y)
i,j=1
n
= ( aij ϕi ⊗ ϕj )(x, y)
i,j=1
Luego es sistema de generadores.
n
Veamos que es linealmente independiente. Sea ( i,j=1 aij ϕi ⊗ϕj ) = 0
la forma bilineal nula. As´ pues:
ı,
n
( aij ϕi ⊗ ϕj )(vk , vl ) = 0∀k, l = 1, · · · n
i,j=1
Con lo que:
n
0=( aij ϕi ⊗ ϕj )(vk , vl ) = akl ∀k, l = 1, · · · , n.
i,j=1
Con lo que se tiene que todos los escalares de la combinaci´n lineal son
o
nulos.
Corolario 2.7. dim(Bil(V, k)) = n2 .
3. El producto exterior de dos formas lineales
Nuestro objetivo en este apartado es construir una base del subes-
pacio de las formas antisim´tricas A2 (V, k).
e
Para ello si f ∈ A2 (V, k) ⊆ Bil(V, k). Por 2.6, podemos escribir:
f = n aij (ϕi ⊗ ϕj )
i,j=1
Como f ∈ A2 (V, k) tenemos
1. f (vi , vi ) = 0 con lo que aii = 0 para todo i = 1, · · · n.
2. f (vi , vj ) = −f (vj , vi ), es decir aij = −aji .
Con lo que podemos escribir
f = 1≤i<j≤n aij (ϕi ⊗ ϕj − ϕj ⊗ ϕi )
Definici´n 3.1. Dados ϕ ψ ∈ V ∗ se define su producto exterior como:
o
ϕ∧ψ =ϕ⊗ψ−ψ⊗ϕ
Propiedades. Sean ϕ, ψ, θ ∈ V ∗ entonces:
ϕ∧ϕ=0
ϕ ∧ ψ = −ψ ∧ ϕ
(ϕ + ψ) ∧ θ = (ϕ ∧ θ) + (ψ ∧ θ).
ϕ ∧ (ψ + θ) = (ϕ ∧ ψ) + (ϕ ∧ θ).

5. APLICACIONES MULTILINEALES 5
(rϕ) ∧ ψ = r(ϕ ∧ ψ) = ϕ ∧ (rψ).
La demostraci´n de estas propiedades es inmediata.
o
Proposici´n 3.2. Sea B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V espacio vec-
o
torial sobre k. Sea B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } la base dual de B. Entonces
una base de A2 (V, k) esta dada por {ϕi ∧ ϕj : 1 ≤ i < j ≤ n}.
Demostraci´n. Si f es antisim´trica como {ϕi ⊗ ϕj : i, j = 1, . . . , n}
o e
es una base de Bil(V, k),
n n
f= f (vi , vj )ϕi ⊗ ϕj .
i=1 j=1
Pero f (vi , vi ) = 0 y f (vi , vj ) = −f (vj , vi ), entonces podemos poner:
n n
f = i=1 f (vi , vj )ϕi ⊗ ϕj =
j=1 1≤i<j≤n f (vi , vj ) · (ϕi ⊗ ϕj − ϕj ⊗ ϕi )
= 1≤i<j≤n f (vi , vj )ϕi ∧ ϕj .
Con lo que es sistema de generadores.
Ejercicio. Probar que el conjunto anterior es linealmente indepen-
diente.
Ejercicio. Probar que dim(A2 (V, k)) = n(n − 1)/2, donde n =
dim(V ).
4. Unas notas sobre permutaciones
Definici´n 4.1. Una permutaci´n de n elementos es una aplicaci´n
o o o
biyectiva de {1, . . . n} en s´ mismo.
ı
Se notar´ Sn al grupo de permutaciones de n elementos, con la com-
a
posici´n como operaci´n de grupo.
o o
Ejemplo 4.2. Sea S4 el grupo de permutaciones de 4 elementos y con-
sideremos, σ ∈ S4 dada por σ(1) = 2, σ(2) = 4, σ(3) = 3, σ(4) = 1.
Esta permutaci´n la escribiremos:
o
1 2 3 4
2 4 3 1
Escribiendo bajo un elemento su imagen. As´ bajo el 1 aparece σ(1) = 2.
ı
Definici´n 4.3. Un ciclo de longitud l es una permutaci´n σ ∈ Sn tal
o o
que quedan fijos n − l elementos y para los l restantes {x1 , . . . xl } se
tiene que σ(xi ) = xi+1 ∀i = 1 . . . , l − 1 y σ(xl ) = x1
Ejemplo 4.4. En la permutaci´n anterior existen dos ciclos. Uno de
o
longitud 3 formado por {1, 2, 4} y otro de longitud 1. Los escribiremos
(1, 2, 4) y (3).

6. 6 APLICACIONES MULTILINEALES
Proposici´n 4.5. Toda permutaci´n se puede descomponer (salvo el
o o
orden y ciclos de longitud 1) como producto de ciclos disjuntos.
Ejemplo 4.6. En el caso anterior σ = (1, 2, 4)(3) = (3)(2, 4, 1)
Definici´n 4.7. Una trasposici´n es una permutaci´n σ ∈ Sn tal que
o o o
deja fijos n − 2 elementos y cambia los otros dos.
Proposici´n 4.8. Toda permutaci´n σ puede verse como producto de
o o
trasposiciones.
Ejemplo 4.9. Siguiendo con nuestro ejemplo
σ = (1, 2)(1, 4) = (1, 2)(2, 4) = (1, 4)(2, 4)
Proposici´n 4.10. La paridad del n´mero de trasposiciones en que
o u
se descompone una permutaci´n σ es independiente de la forma de la
o
descomposici´n.
o
Definici´n 4.11. Una permutaci´n σ se dice par si se descompone
o o
como un n´mero par de trasposiciones. En caso contrario se dir´ impar.
u a
Definici´n 4.12. Se define la signatura de una permutaci´n como 1
o o
si la permutaci´n es par y −1 si es impar. Se notar´ (−1)sg(σ)
o a
Proposici´n 4.13. sg(στ ) = sg(σ)sg(τ )
o
5. Aplicaciones multilineales. Tensores
Definici´n 5.1. Sean V1 , V2 , . . . ,Vn y W espacios vectoriales sobre k.
o
Una aplicaci´n T : V1 ×V2 ×· · ·×Vn → W es una aplicaci´n multilineal
o o
si:
T (v1 , . . . , vi +vi , . . . vn ) = T (v1 , . . . , vi , . . . , vn )+T (v1 , . . . , vi , . . . , vn ) ∀i =
1, . . . , n.
T (v1 , . . . , avi , . . . , vn ) = aT (v1 , . . . , vi . . . , vn ) ∀i = 1, . . . , n y
∀a ∈ k.
Definici´n 5.2. Una forma multilineal es una aplicaci´n multilineal
o o
donde el espacio de llegada es el cuerpo k.
Definici´n 5.3. Sea V espacio vectorial sobre k, un tensor r veces
o
covariante y s contravariante, es una forma multilineal
T : V × . . .r × V × V ∗ × . . .s × V ∗ → k
Definici´n 5.4. Se define Tr,s (V, k) como el conjunto de tensores r
o
veces covariante y s contravariante, sobre el espacio vectorial V .
Definici´n 5.5. Sea V espacio vectorial sobre k, entonces en Tr,s (V, k)
o
podemos definir una suma y un producto por elementos de k:
Sean T, T ∈ Tr,s (V, k) entonces:

7. APLICACIONES MULTILINEALES 7
(T + T )(v1 , . . . , vr , ϕ1 , . . . , ϕs ) =
T (v1 , . . . , vr , ϕ1 , . . . , ϕs ) + T (v1 , . . . , vr , ϕ1 , . . . , ϕs )
Sea T ∈ Tr,s (V, k) y r ∈ K entonces:
(aT )(v1 , . . . , vr , ϕ1 , . . . , ϕs ) = aT (v1 , . . . , vr , ϕ1 , . . . , ϕs )
Es un ejercicio f´cil aunque largo probar que Tr,s (V, k) en un espacio
a
vectorial con la suma y el producto anteriores.
Es claro que T1,0 (V, k) = V ∗ y T0,1 (V, k) = V , esto ultimo por el
´
teorema de reflexividad.
Ejemplo 5.6. 1. El determinante y el producto escalar definidos
anteriormente, son tensores 2 veces covariante y 0 contrava-
riante. Est´n en T2,0 (V, k).
a
2. Sea V espacio vectorial sobre k. Definimos f : V ×V ∗ → k como
f (v, ϕ) = ϕ(v). f as´ definido es un tensor 1 vez covariante y 1
ı
contravariante. Est´ en T1,1 (V, k)
a
6. Producto tensorial de tensores
Bien, una vez visto que Tr,s (V, k) es un espacio vectorial, vamos a
intentar calcular una base para as´ conocer su dimensi´n.
ı o
Definici´n 6.1. Sean T ∈ Tr,s (V, k) y T ∈ Tr ,s (V, k) definimos su
o
producto tensorial T ⊗ T ∈ Tr+r ,s+s (V ) como:
T ⊗ T (v1 , . . . , vr , v1 , . . . , vr , ϕ1 , . . . , ϕs , ϕ1 , . . . , ϕs ) =
T (v1 , . . . , vr , ϕ1 , . . . , ϕs )T (v1 , . . . , vr , ϕ1 , . . . , ϕs )
Propiedades. Sean T, T1 , T2 ∈ Tr,s y T , T1 , T2 ∈ Tr ,s Entonces:
(T1 + T2 ) ⊗ T = (T1 ⊗ T ) + (T2 ⊗ T ).
T ⊗ (T1 + T2 ) = (T ⊗ T1 ) + (T ⊗ T2 ).
(aT ) ⊗ T = a(T ⊗ T ) = T ⊗ (aT ).
La demostraci´n es an´loga a 2.5 y se deja como ejercicio.
o a
Proposici´n 6.2. Sea B = {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V espacio vec-
o
torial sobre k. Sea B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } la base dual de B. Entonces
una base de T1,1 (V, k) viene dada por {ϕi ⊗ vj : i, j = 1 . . . n}.
Demostraci´n. Veamos primero que es sistema de generadores. Para
o
ello sea T ∈ T1,1 (V, k) y sea v ∈ V y ϕ ∈ V ∗ . Como tenemos bases de
V y V ∗ podemos escribir v = n ri vi y ϕ = n sj ϕj . Calculamos:
i=1 j=1

8. 8 APLICACIONES MULTILINEALES
n n
T (v, ϕ) = T ( ri vi , sj ϕ j )
i=1 j=1
n n
= T (ri vi , sj ϕj )
i=1 j=1
n n
= ri sj T (vi , ϕj )
i=1 j=1
(6.1)
Sea tij = T (vi , ϕj ). Veamos ahora quienes son los ri sj . Para ello
calculemos (ϕi ⊗ vj )(v, ϕ).
n n
(ϕi ⊗ vj )(v, ϕ) = (ϕi ⊗ vj )( rk v k , sl ϕ l )
k=1 l=1
n n
= (ϕi ⊗ vj )(rk vk , sl ϕl )
k=1 l=1
n n
= rk sl (ϕi ⊗ vj )(vk , ϕl )
k=1 l=1
n n
= rk sl ϕi (vk )ϕl (vj ) = ri sj
k=1 l=1
n n
Con lo que podemos escribir: T (v, ϕ) = i=1 j=1 tij (ϕi ⊗ vj )(v, ϕ)
o lo que es lo mismo:
n n
T = i=1 j=1 tij (ϕi ⊗ vj ).
Lo que demuestra que es sistema de generadores.
Veamos que es linealmente independiente:
Si n i=1
n
j=1 tij (ϕi ⊗ vj ) = 0, vamos aplicando el tensor a (vk , ϕl ) y
se obtiene:
0= n i=1
n
j=1 tij (ϕi ⊗ vj )(vk , ϕl ) = tkl .
Como puede observarse, la demostraci´n anterior es an´loga a la
o a
demostraci´n de 2.6.
o
Ejercicio 6.3. Probar que:
{vi ⊗ vj : i, j = 1, . . . , n} es base de T0,2 (V, k)
Una vez calculadas las bases de T2,0 (V, k) y de T1,1 (V, k) procedemos a
generalizar para calcular una base de Tr,s (V, k). La demostraci´n vuelve
o
a ser an´loga a 2.6 y 6.2.
a

9. APLICACIONES MULTILINEALES 9
Proposici´n 6.4. Sea B = {v1 , · · · , vn } una base de V y sea B ∗ =
o
{ϕ1 · · · ϕn } su base dual, entonces:
{ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕir ⊗ vj1 · · · ⊗ vjs : i1 , · · · , ir , j1 · · · , js = 1, · · · n}
es una base para Tr,s (V, k).
Demostraci´n. Sea T ∈ Tr,s (V, k) y sean
o
n
ui = aiji vji ∀i = 1, · · · r
ji =1
n
ψk = bklk ϕlk ∀j = 1 · · · s
lk =1
Entonces:
T (u1 , · · · , ur , ψ1 , · · · , ψr ) =
T ( n1 =1 a1j1 vj1 , · · · , nr =1 arjr vjr , n =1 b1l1 ϕl1 · · · , n =1 bsls ϕls ) =
j j l1 ls
j1 ···jr l1 ···ls a1j1 · · · arjr · b1l1 · · · bsls · T (vj1 , · · · vjr , ϕl1 , · · · ϕls )
Llamando tj1 ···jr l1 ···ls = T (vj1 , · · · vjr , ϕl1 , · · · ϕls ) tenemos:
T = tj1 ···jr l1 ···ls ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕir ⊗ vj1 · · · ⊗ vjs
j1 ···jr l1 ···ls
Corolario 6.5. La dimensi´n de Tr,s (V, k) es nr+s . donde n es la di-
o
mensi´n de V .
o
7. Tensores alternados. Producto Exterior.
Definici´n 7.1. Un tensor T ∈ Tr,0 (V, k) se dice antisim´trico o alter-
o e
nado, si T (v1 , · · · , vr ) = 0 cuando vi = vj con i = j.
Proposici´n 7.2. El conjunto de tensores r-covariantes antisim´tricos
o e
es un espacio vectorial sobre k. Se denotar´ Ar (V, k).
a
La demostraci´n es un sencillo ejercicio.
o
Lema 7.3. Sea T ∈ Tr,0 (V, k) entonces: T es alternado si y s´lo si o
sg(σ)
T (v1 , . . . , vr ) = (−1) T (vσ(1) , . . . , vσ(r) ) ∀σ ∈ Sn .
Demostraci´n. Se har´ la demostraci´n para una trasposici´n σ =
o a o o
(i, j).
Se puede suponer que i ≤ j.
⇐ | Veamos si
T (v1 , . . . vi , . . . , vj , . . . , vr ) = −T (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vr ).
Para ello como sabemos que

10. 10 APLICACIONES MULTILINEALES
T ∈ Ar (V, k), T (v1 , . . . , vi + vj , . . . , vi + vj , . . . , vr ) = 0,
si lo desarrollamos,
0 = T (v1 , . . . , vi , . . . , vi , . . . , vr )
+ T (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vr )
+ T (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vr )
+ T (v1 , . . . , vj , . . . , vj , . . . , vr )
De nuevo por ser T alternado, se tiene que el primer y ultimo suman-
´
do se anulan, por tanto se tiene, ya f´cilmente, el resultado buscado.
a
⇒ | Escribimos:
T (v1 , . . . vi , . . . , vj , . . . , vr ) =
sg(σ)
(−1) T (vσ(1) , . . . , vσ(j) , . . . , vσ(i) , . . . , vσ(r) ),
donde suponemos vi = vj . Considerando σ = (i, j), es claro que σ es
impar y por hip´tesis tenemos:
o
T (v1 , . . . vi , . . . , vj , . . . , vr ) = −T (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vr )
Por otra parte como vi = vj tenemos:
T (v1 , . . . vi , . . . , vj , . . . , vr ) = T (v1 , . . . vj , . . . , vi , . . . , vr )
De ambas se deduce que T es alternado.
Consideremos ahora T ∈ Ar (V, k). Como {ϕj1 ⊗· · ·⊗ϕjr : j1 · · · , jr =
1, · · · n} es una base de Tr,0 (V, k), tenemos que:
T = j1 ···jr tj1 ···jr ϕj1 ⊗ · · · ⊗ ϕjr
Como T (v1 , · · · , vr ) = 0 cuando vi = vk con i = k. Se tiene que
tj1 ···jr = 0 si ϕji = ϕjk .
Como T (v1 · · · vr ) = (−1)sg(σ) T (vσ(1) · · · vσ(r) )
se tiene que tj1 ···jr = (−1)sg(σ) tσ(j1 )···σ(jr )
Consecuencias:
1. Si alg´n ´
u ındice (de los ϕ) se repite, entonces tj1 ···jr = 0. Luego
no aparecen formas repetidas en los productos ϕj1 ⊗ · · · ⊗ ϕjr .
2. Si los factores de ϕj1 ⊗ · · · ⊗ ϕjr son iguales (salvo el orden) a
los de ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕir . Entonces ambos van multiplicados por el
mismo n´mero (en valor absoluto) y se pueden reagrupar.
u
Luego, T = 1≤j1 <···<jr ≤n aj1 ···jr ( σ∈Sr (−1)sg(σ) ϕσ(j1 ) ⊗ · · · ⊗ ϕσ(jr ) )
7.1. Producto Exterior de r formas lineales.
Definici´n 7.4. Sean ψ1 · · · ψr , r formas lineales, se define su producto
o
exterior como:
ψ1 ∧ · · · ∧ ψr = σ∈Sr (−1)sg(σ) ψσ(1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(r)
Proposici´n 7.5. ψ1 ∧ · · · ∧ ψr es un tensor r covariante alternado.
o

11. APLICACIONES MULTILINEALES 11
Demostraci´n. Sabemos que si τ = (i, j) es una trasposici´n entonces
o o
σ es par si y s´lo si τ σ es impar. As´ pues, si (v1 , · · · , vr ) es tal que
o ı
vi = vj , con i = j. Tenemos
ψσ(1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(r) (v1 , · · · , vr ) = ψτ σ(1) ⊗ · · · ⊗ ψτ σ(r) (v1 , · · · , vr )
donde τ = (i, j). Ambos aparecen en la sumatoria pero con distinto
signo, y por tanto se anulan.
Corolario 7.6. Otra forma de escribir el producto exterior ser´a: ı
sg(σ)
ψ1 ∧ · · · ∧ ψr (v1 , . . . , vr ) = σ∈Sr (−1) ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψr (vσ(1) , . . . , vσ(r) )
Proposici´n 7.7. Propiedades de producto tensorial de r formas.
o
1. Si ψi = ψj con i = j entonces ψ1 ∧ · · · ∧ ψr = 0
2. ψ1 ∧· · ·∧ψi ∧· · ·∧ψj ∧· · ·∧ψr = −ψ1 ∧· · ·∧ψj ∧· · ·∧ψi ∧· · ·∧ψr .
3. ψ1 ∧ · · · ∧ ψi + ψi ∧ · · · ∧ ψr = (ψ1 ∧ · · · ∧ ψi ∧ · · · ∧ ψr ) + (ψ1 ∧
· · · ∧ ψi ∧ · · · ∧ ψr ) para cualquier i = 1 · · · r.
4. ψ1 ∧ · · · ∧ a · ψi ∧ · · · ∧ ψr = a · (ψ1 ∧ · · · ∧ ψi ∧ · · · ∧ ψr ) para
cualquier i = 1, · · · r.
La demostraci´n se deja como ejercicio
o
Proposici´n 7.8. Sea {ϕ1 , · · · , ϕn } una base en V ∗ . Entonces una
o
base de Ar (V, k) es {ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕir : 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ n}
Demostraci´n. S´lo quedar´ probar que el conjunto es linealmente in-
o o ıa
dependiente. Se deja como ejercicio.
n
Corolario 7.9. dim(Ar (V, k)) = r
Ejemplo 7.10. Dadas ϕ, ψ, θ ∈ V ∗ se define el producto exterior de tres
formas como:
ϕ∧ψ∧θ = ϕ⊗ψ⊗θ+θ⊗ϕ⊗ψ+ψ⊗θ⊗ϕ−ψ⊗ϕ⊗θ−ϕ⊗θ⊗ψ−θ⊗ψ⊗ϕ.
Ejemplo 7.11. (producto exterior). Sean ϕ, ψ, θ ∈ V ∗ . Vamos a escribir
ϕ ∧ ψ ∧ θ en funci´n de ψ ∧ θ.
o
ϕ ∧ ψ ∧ θ(v1 , v2 , v3 ) = ϕ ⊗ ψ ⊗ θ(v1 , v2 , v3 ) + θ ⊗ ϕ ⊗ ψ(v1 , v2 , v3 ) + ψ ⊗
θ ⊗ ϕ(v1 , v2 , v3 ) − ψ ⊗ ϕ ⊗ θ(v1 , v2 , v3 ) − ϕ ⊗ θ ⊗ ψ(v1 , v2 , v3 ) − θ ⊗ ψ ⊗
ϕ(v1 , v2 , v3 ) = ϕ(v1 )ψ(v2 )θ(v3 ) + θ(v1 )ϕ(v2 )ψ(v3 ) + ψ(v1 )θ(v2 )ϕ(v3 ) −
ψ(v1 )ϕ(v2 )θ(v3 ) − ϕ(v1 )θ(v2 )ψ(v3 ) − θ(v1 )ψ(v2 )ϕ(v3 ) =
ϕ(v1 ) (ψ(v2 )θ(v3 ) − θ(v2 )ψ(v3 )) + ϕ(v2 ) (θ(v1 )ψ(v3 ) − ψ(v1 )θ(v3 )) +
ϕ(v3 ) (ψ(v1 )θ(v2 ) − θ(v1 )ψ(v2 )) = ϕ(v1 ) (ψ ⊗ θ − θ ⊗ ψ(v2 , v3 )) +
ϕ(v2 ) (−ψ ⊗ θ + θ ⊗ ψ(v1 , v3 )) + ϕ(v3 ) (ψ ⊗ θ − θ ⊗ ψ(v1 , v2 )) =
3 i−1
i=1 (−1) ϕ(vi )(ψ ∧ θ)(v1 , . . . , vi−1 , vi+1 . . . v3 ).
Proposici´n 7.12. Sea ϕ ∈ V ∗ y T ∈ Ar (V, k). Se puede ver su
o
producto exterior como:

12. 12 APLICACIONES MULTILINEALES
(ϕ ∧ T )(v1 , v2 , . . . vr+1 ) =
n i−1
i=1 (−1) ϕ(vi )T (v1 , . . . , vi−1 , vi+1 . . . vr+1 ).
Demostraci´n. Como T = 1≤j1 <···<jr ≤n aj1 ···jr ψj1 ∧· · ·∧ψjr . Utilizando
o
las propiedades del producto exterior 7.7, se obtiene que
ϕ∧T = 1≤j1 <···<jr ≤n aj1 ···jr ϕ ∧ ψj1 ∧ · · · ∧ ψjr
Y por 7.6 se tiene que:
ϕ ∧ ψ1 ∧ · · · ∧ ψr (v1 , . . . , vr+1 ) =
sg(σ)
σ∈Sr+1 (−1) ϕ ⊗ ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψr (vσ(1) , . . . , vσ(r+1) ) =
n sg(σi )
i=1 σ∈Sr(i) (−1) ϕ(vi ) · ψ1 (vσ(1) ) . . . ψr (vσ(r+1) ) =
n i−1
i=1 (−1) ϕ(vi ) σ∈Sr(i) ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψr (vσ(1) , . . . , vσ(r+1) ) =
n
i=1 ϕ(vi ) · ψ1 ∧ · · · ∧ ψr (v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vr+1 )
Donde r(i) = {1, 2, . . . i − 1, i + 1, . . . r + 1} y σi = (i, i − 1)(i − 1, i −
2) . . . (3, 2)(2, 1).
8. El determinante de n vectores de k n
∗
Definici´n 8.1. Dados v1 , v2 , . . . , vn ∈ V = k n consideramos Bc =
o
{ϕ1 , · · · , ϕn } la base dual de la base can´nica de k n , se define el deter-
o
minante de dichos vectores como la forma multilineal alternada:
Det(v1 , v2 , . . . , vn ) = ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕn (v1 , v2 , . . . , vn )
= (−1)sg(σ) ϕσ(1) ⊗ ϕσ(2) ⊗ · · · ⊗ ϕσ(n) (v1 , v2 , . . . vn )
σ∈Sn
= (−1)sg(σ) v1σ(1) · v2σ(2) . . . vnσ(n)
σ∈Sn
Donde vi = (vi1 , vi2 . . . vin )
Corolario 8.2. El determinante es un tensor alternado.
Corolario 8.3. Se puede calcular el determinante de la siguiente ma-
nera:
det(v1 , v2 , . . . , vn ) = n (−1)i−1 · vi1 · det(v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn ).
i=1
Corolario 8.4. Si vi = vj con i = j entonces det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0.
n
Corolario 8.5. det( i=1 ri vi , v2 , . . . , vn ) = r1 det(v1 , v2 , . . . , vn ).
Corolario 8.6. Un conjunto {v1 , v2 , . . . vn } es linealmente dependiente,
entonces se tiene que det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0.
Definici´n 8.7. Sea A = (aij ) ∈ Mn (K) se define
o
det(A) = det(a1 , a2 , . . . , an )
donde ai = (ai1 , ai2 , . . . , ain ).
Es inmediato trasladar las propiedades del determinante al caso de
una matriz.

13. APLICACIONES MULTILINEALES 13
Proposici´n 8.8. det(A) = det(At ).
o
Demostraci´n. Sea A = (aij ) y At = (aji ).
o
Entonces det(A) = σ∈Sn (−1)sgσ a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n) y por otra par-
te tambi´n tenemos det(At ) = τ ∈Sn (−1)sgτ aτ (1)1 aτ (2)2 . . . aτ (n)n . Da-
e
do σ ∈ Sn consideramos τ = σ −1 , entonces a1σ(1) a2σ(2) . . . anσ(n) =
aτ (1)1 aτ (2)2 . . . aτ (n)n . Es claro que sg(σ) = sg(τ ) y que cuando σ re-
corre todas las permutaciones, τ tambi´n lo hace. Por tanto los dos
e
determinantes coinciden.
Lema 8.9. Sea T ∈ An (V, k) con V espacio vectorial de dimensi´n n.
o
Consideremos {v1 , v2 , . . . , vn } una base de V , entonces:
T (v1 , v2 , . . . , vn ) = 0 ⇔ T = 0
Demostraci´n. ⇐ | Trivial.
o
⇒ | Dados B = {v1 , v2 . . . , vn }, consideramos B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn }
su base dual. Es claro que ϕ1 ∧ϕ2 ∧· · ·∧ϕn es base de An (V, k). Entonces
T = a · (ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕn ) y:
0 = T (v1 , v2 . . . , vn ) = a · (ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕn )(v1 , v2 . . . , vn ) = a
Con lo que T = 0.
Corolario 8.10. Sea V espacio vectorial con dim(V ) = n entonces
det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0 ⇔ v1 , v2 , . . . , vn son linealmente
independientes.
Demostraci´n. ⇐ | Ya demostrado.
o
⇒ | Como det ∈ An (V, k) y adem´s det = 0 entonces, por el lema
a
anterior, si det(v1 , v2 , . . . , vn ) = 0 es porque {v1 , v2 , . . . , vn } no es base
y por tanto son linealmente dependientes.