MANUAL CALCULADORA VOYAGE 8 derivadas parciales

1. Formación Didáctica en Ciencias Básicas
Curso-Taller Didáctica de las Matemáticas en el Contexto
del Modelo Educativo para el Siglo XXI
HOJA DE TRABAJO
Derivadas Parciales
I. Objetivo
Desarrollar geométricamente el concepto de derivada direccional y deducir de
ella, como un caso particular, el concepto de derivadas parcial.
Conceptos Preliminares
 Si v x, y,z= es un vector en el espacio, entonces el punto final de v tiene las
mismas coordenadas, es decir, ( x, y,z ) .
 Sea c( t ) una curva diferenciable en el plano. La derivada c ( t )′ representa la
pendiente de la recta tangente a la curva en el punto ( t,c( t )) .
 La ecuación vectorial r( t ) de una recta en el espacio con vector de dirección
v (a,b,c )= y que pasa por el punto final del vector ( x, y,z ) está dada por
r( t ) x, y,z tv x, y,z t a,b,c x ta, y tb,z tc= + = + = + + + Cuando 0t ,=
r( t ) corresponde al punto ( x, y,z ) .
 Si 1 2 3c( t ) ( f ( t ), f ( t ), f ( t ))= es una curva diferenciable en el espacio, entonces su
derivada c ( t )′ representa el vector tangente la curva en el punto
1 2 3( f ( t ), f ( t ), f ( t )).
 Sea r( t ) x, y,z t a,b,c= + una recta en el espacio que pasa por el punto final
del vector x, y,z con vector de dirección a,b,c . Entonces la pendiente de la
recta respecto al plano xy es igual a
c
v , donde 0v a,b,= es el vector
proyección de a,b,c sobre el plano xy .
II. Construcción
1) Demos clik en y
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2) Busquemos el programa MV y posicionemos el cursor en tool demos clic en
3) En home aparecerá tool( cierre el paréntesis y clic
4) La ventana cambiara de aspecto y aparecereran fólderes que podemos explorar.
5) De clic en F2 y busque la opción Dir, Derivative (Derivada direccional)
6) Introduzca la función 3 2
3 4f ( x, y ) x xy y= − +
7) Escriba las variables a manejar. [x,y]
8) Escriba el vector u con coordenadas 3 1
2 2
( , ) y el vector v
III. Análisis
1) De acuerdo a la gráfica, ¿en cuál plano, xy , yz o xz , se encuentra la
gráfica de r( t ) ? ¿Por qué?¿Cuál es la norma de u ?
2) Cuando se evalúa f en los puntos de r( t ) en el paso de la construcción, ¿los
valores obtenidos, dónde se encuentran respecto a la superficie f ( x, y ) (dentro,
afuera o sobre)?
3) Al valor D se le conoce como la derivada direccional de f en el punto
1 2 1 2( , , f ( , )) en la dirección del vector unitario u . De acuerdo a los pasos
anteriores, establezca una definición formal de la derivada direccional.
IV. Actividad 1
1) Usando la misma función f
y el punto 1 2 1 2( , , f ( , )) , determine ahora las
derivadas direccionales de f en las direcciones de los siguientes vectores
unitarios:
a) 1 0u ( , )=
b) 0 1u ( , )=
2) Calcule f ( x, y )
x
∂
∂ y
f ( x , y )
y
∂
∂ .
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3) Evalúe cada una de las dos expresiones en el punto 1 2( , ) y compare los
resultados con el valor de las derivadas direccionales obtenidas en el paso 1 .
4) A las expresiones f ( x , y )
x
∂
∂ y
f ( x , y )
y
∂
∂ se les conoce como las derivadas parciales
de f
con respecto a x y a y
en el punto ( x, y ) , respectivamente.
De acuerdo a las observaciones obtenidas, establezca una definición formal de las
derivadas parciales.
V. Actividad 2
1) Calcule derivadas direccionales de las siguientes funciones, proporcionando usted
mismo el punto 0 0 0 0( x , y , f ( x , y )) y el vector unitario u de dirección,
comprobando que las definiciones establecidas de derivada direccional y derivada
parcial se satisfacen.
a) 2 y
f ( x, y ) xe−
=
b) 2f ( x, y ) sen( x y )= +
2) Sea f ( x, y ) una función cuyas derivadas parciales existen. Al vector
f ( x, y ) f ( x, y )
,
x y
∂ ∂
∂ ∂
se le conoce como el gradiente de f en el punto ( x, y ) y
se denota como f ( x, y )∇ . De acuerdo a las funciones f ( x, y ) manejadas
anteriormente, calcule en cada caso el producto escalar de f ( x, y )∇ con el
vector unitario u y compare con el valor de D . Establezca su conjetura.
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