1. M´todos Estad´
e ısticos de la Ingenier´
ıa
Escuela T´cnica Superior de Ingenieros Industriales. UNED
e
Curso 2005-2006. Segunda Semana. Tiempo: 2 horas
Instrucciones: Cada cuesti´n o ejercicio de la primera parte del examen (preguntas 1 a 5) tiene un
o
valor m´ximo de 1 punto y cada problema de la segunda parte del examen (preguntas 6 y 7) tiene un valor
a
m´ximo de 2,5 puntos. El unico material permitido, para la realizaci´n del examen, es la gu´ did´ctica de
a ´ o ıa a
la asignatura, sin ning´n tipo de anotaci´n o a˜adido (no est´ permitido el uso de fotocopias de esta gu´
u o n a ıa)
y una calculadora no programable.
• 1a Parte. Cuestiones y Ejercicios
1. Dos personas A y B, juegan con una moneda correcta con las reglas siguientes. La moneda es
lanzada alternativamente por los jugadores, empezando por el jugador A. Gana la partida la persona
que primero saque cara. ¿Cu´l es la probabilidad de que gane A.?
a
2. Dadas las variables aleatorias X e Y , demuestre que:
σaX+bY = a2 σX + b2 σY + 2abµ11 .
2 2 2
(Cap´
ıtulo 4. 10.1).
3. La cantidad producida de un cierto art´
ıculo es una variable aleatoria con funci´n de densidad
o
3 2
f (x) = x
1000
ıculo q = 40 − 2x es funci´n de la cantidad
en el intervalo (0, 10), nula en otro caso. El precio del art´ o
producida. Obtenga la funci´n de densidad del precio y el precio medio del art´
o ıculo.
4. Enuncie y demuestre el teorema de la adici´n para variables de Poisson independientes. (Cap´
o ıtulo
6. 8.5).
5. Demuestre que, en el modelo de regresi´n lineal simple, la relaciones entre los coeficientes de
o
sy sy
regresi´n y el coeficiente de correlaci´n lineal vienen dadas por: b = r sx y a = y − r sx x. (Cap´
o o ¯ ¯ ıtulo
17. 5.1).
• 2a Parte. Problemas
6. Dada la variable aleatoria bidimensional continua (X, Y ) con funci´n de densidad conjunta:
o
f (x, y) = k(2x + 3y 2 ), si 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1, f (x, y) = 0, en otro caso.
Calcule:
a) El valor de k y la funci´n de distribuci´n conjunta.
o o
b) Las funciones de distribuci´n marginales.
o
c) La funci´n de distribuci´n de Y condicionada por X.
o o
7. Una muestra aleatoria de 3839 observaciones de una poblaci´n en la que se ha clasificado a los
o
individuos en cuatro tipos A, B, C y D, ha dado la siguiente composici´n.
o
Tipo A Tipo B Tipo C Tipo D Total
1997 906 904 32 3839
Contr´stese si es aceptable, al nivel 1%, la hip´tesis siguiente:
a o
9 3 3 1
H0 : P (A) = , P (B) = , P (C) = , P (D) = .
16 16 16 16
(Nota: Trabaje redondeando las frecuencias esperadas al entero m´s pr´ximo).
a o

2. • Soluciones. M´todos Estad´
e ısticos de la Ingenier´
ıa.
Curso 2005-2006. Segunda Semana.
• 1a Parte. Cuestiones y Ejercicios
1. Sean A el suceso gana A y A1 , A2 , . . . gana A en su primer, segundo,... lanzamiento. Como
A1 , A2 , . . . son incompatibles se tiene que:
∞ ∞
P (A) = P An = P (An ).
n=1 n=1
1 1 1 1 1
P (A1 ) = , P (A2 ) = 2
, . . . P (An ) = .
2 22 2 22n−2
∞ ∞ ∞ ∞
1 1 1 1/4 2
P (A) = P (An ) = =2 =2 = .
2 22n−2 22n 1 − 1/4 3
n=1 n=1 n=1 n=1
2. Cap´
ıtulo 4. 10.1.
3. La funci´n de distribuci´n de la cantidad producida es:
o o
x
3 x3
F (x) = P (X ≤ x) = x2 dx =
0 1000 1000
luego la funci´n de distribuci´n G del precio es:
o o
40−q 40−q
G(q) = P (Q ≤ q) = P (40 − 2X ≤ q) = P X ≥ 2 =1−P X ≤ 2 =
3
40−q 1 40−q (40−q)3
1−F 2 =1− 1000 2 =1− 8000 .
3(40 − q)2
g(q) = G (Q) = , 20 ≤ q ≤ 40,
8000
nula en otro caso. El precio medio es:
40
3(40 − q)2
E[Q] = q dq = 25.
20 8000
4. Cap´
ıtulo 6. 8.5.
5. Cap´
ıtulo 17. 5.1.
• 2a Parte. Problemas
6. a)
1 1
k (2x + 3y 2 )dxdy = 2k = 1, k = 1/2.
0 0
x y
1 1
F (x, y) = (2x + 3y 2 )dxdy = xy(x + y 2 ).
2 0 0 2
b)
1
F1 (x) = P (X ≤ x, Y ≤ 1) = F (x, 1) = x(x + 1).
2
1
F2 (y) = P (X ≤ 1, Y ≤ y) = F (1, y) = y(1 + y 2 ).
2
c)
y y
f (x, y) 1
F (y/x) = f (y/x) dy = dy, f1 (x) = F1 (x) = + x.
0 0 f1 (x) 2

3. y 1 (2x + 3y 2 )
2 2xy + y 3
F (y/x) = 1 dy = .
0 2 +x
1 + 2x
9
7. La frecuencia esperada para el tipo A bajo la hip´tesis H0 es 3839 × 16 = 2159. An´logamente las
o a
dem´s frecuencias esperadas que se recogen en la siguiente tabla.
a
oi ei (oi − ei )2 (oi − ei )2 /ei
Tipo A 1997 2159 26244 12.16
Tipo B 906 720 34596 48.05
Tipo C 904 720 33856 47.02
Tipo D 32 240 43264 180.27
Total 3839 3839 287.50
Para una χ2 con 3 grados de libertad y α = 0.01, resulta χ2 = 11.3.
t
Como χ2 = 287.50 > 11.3 = χ2 , se rechaza la hip´tesis y se concluye que el modelo propuesto no
o t o
describe bien a la variable.