Este documento presenta información sobre matrices especiales como matrices transpuestas, simétricas, antisimétricas y sus propiedades. También explica cómo calcular la matriz inversa mediante operaciones elementales sobre una matriz y las condiciones para que una matriz tenga inversa. Finalmente, introduce conceptos como matrices elementales, escalonadas reducidas por filas y su relación con la equivalencia por filas.

1. UNIVERSIDADNACIONALTECNOLOGICADELIMASUR
ESTUDIOS GENERALES
ÁLGEBRALINEAL
SEMANA 4
Matriz transpuesta, simétrica, antisimétrica. Propiedades.
Matriz inversa. Propiedades.
Cálculo de la matriz inversa por operaciones elementales
sobre una matriz.
LOS PROFESORES

2. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Logro de la sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante trabaja adecuadamente con las matrices
especiales y sus propiedades en la resolución de los sistemas de ecuaciones
lineales y problemas relacionados con su especialidad.
.

3. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz
que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.
Si
entonces la matriz traspuesta de A es:
Si A es una matriz de dimensión m x n, su traspuesta At tendrá dimensión n x m, pues el
número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.
Propiedades:
a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.
b) (A + B)t = At + Bt
c) (k ・ A)t = k ・ At
d) (A · B)t = Bt · At






−
=
1
2
4
3
7
0
1
2
A











 −
=
1
7
2
0
4
1
3
2
t
A
EJEMPLO
2  4
4  2
Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá la misma dimensión.
Trasposición de matrices

4. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
4
➢
➢
Sólo para matrices cuadradas
A simétrica si y sólo si , es decir:
A antisimétrica si y sólo si , es decir:
¿Cómo son los elementos de la diagonal principal
de una matriz antisimétrica?
Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar utilizando
la relación que tienen con sus traspuestas.

5. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
➢
➢
Sólo para matrices cuadradas
A periódica si . Si p es el menor
número natural que satisface , entonces
decimos que A es una matriz periódica de período p.
A idempotente si .
➢ A nilpotente si . Si p es el
menor número natural que satisface ,
decimos que A es una matriz nilpotente de índice p.
➢ A involutiva si .
A continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al
comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo,
desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría.

6. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Ejemplos:
Ortogonal: 𝐴 ⋅ 𝐴𝑡
=I
𝐴 =
0 −1
1 0
→ 𝐴 ⋅ 𝐴𝑡 =
0 −1
1 0
0 1
−1 0
=
1 0
0 1
𝐈𝐝𝐞𝐦𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐭𝐞: A2
= A
𝐴 =
−1 2 −6
2 −1 6
1 −1 4
→ A2 =
−1 2 −6
2 −1 6
1 −1 4
−1 2 −6
2 −1 6
1 −1 4
=
−1 2 −6
2 −1 6
1 −1 4
→ A2 = A.
Involutiva: 𝐴2=I
𝐴 =
7 6
−8 −7
⇒ 𝐴2 =
7 6
−8 −7
7 6
−8 −7
=
1 0
0 1

7. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Nilpotente: Ak−1 ≠ 0 y Ak = O
𝐴 =
1 1 3
5 2 6
−2 −1 −3
y A2 =
1 1 3
5 2 6
−2 −1 −3
1 1 3
5 2 6
−2 −1 −3
≠ 0
pero A3 = O.
Periódica: Si Ak+1
=A, entonces A es una matriz periódica de periodo k.
𝐴 =
4 −3 −3
5 −4 −4
es periódica A4 = 𝐴 de periodo 3.

8. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Por ejemplo, si
Y por ejemplo de 2x + 2z = 0 se obtiene x = –z, si
se sustituye en la primera ecuación es –z + z = 1,
es decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene
solución.






=
2
2
1
1
A

=
 −
2
1
I
A
A 






=













1
0
0
1
2
2
1
1
t
z
y
x






=






+
+
+
+
1
0
0
1
2
2
2
2 t
y
z
x
t
y
z
x
Si el sistema no tiene solución, la matriz no tiene inversa.
x + z = 1
y + t = 0
2x + 2z = 0
2y + 2t = 0
Por tanto A no es invertible, es singular.
Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño
2, puesto que para las de tamaño 3 obtenemos un sistemas de !9 ecuaciones
con 9 incógnitas! que realmente es difícil de resolver.
La matriz inversa
No todas las matrices tienen inversa.

9. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Sea A = (aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad. Se parte del siguiente esquema:
Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A (en la parte izquierda)
alguna fila nula, la matriz no tiene inversa.
Aplicar transformaciones
elementales hasta llegar a
la forma:
Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para
llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones
con la matriz identidad llegamos a la matriz A−1.
La matriz inversa
(A | I3)
(I3 | A–1)










1
0
0
0
1
0
0
0
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a










33
32
31
23
22
21
13
12
11
1
0
0
0
1
0
0
0
1
b
b
b
b
b
b
b
b
b

10. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Si al realizar el método de Gauss-Jordan en algún momento alguna fila es de
ceros, la matriz no tiene inversa.
Si calculamos por este método la inversa de resulta:
Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.






=
2
2
1
1
A
1 1 1 0
2 2 0 1
(A | I2) =
1 1 1 0
0 0 – 2 1
F2 → F2 – 2F1
Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este método frente al directo.
Condición para que una matriz tenga inversa
(según el método de Gauss)
EJEMPLO

11. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz
Siguiendo los pasos anteriores:










−
=
1
0
1
2
1
1
0
1
1
B
EJEMPLO
(B | I3) =
F2 → F2 + F1
F3 → F3 – F1
F3 → 2F3 + F2 F2 → 2F2 – F3
F1 → 4F1 – F2
1 1 0 1 0 0
–1 1 2 0 1 0
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0
0 2 2 1 1 0
0 0 4 –1 1 2
1 1 0 1 0 0
0 2 2 1 1 0
0 – 1 1 –1 0 1
1 1 0 1 0 0
0 4 0 3 1 –2
0 0 4 –1 1 2
4 0 0 1 –1 2
0 4 0 3 1 –2
0 0 4 –1 1 2

12. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
También se puede expresar, sacando factor común:
= (I3 | B–1)
1 0 0 1/4 –1/4 2/4
0 1 0 3/4 1/4 –2/4
0 0 1 –1/4 1/4 2/4 1/4 –1/4 1/2
B–1 = 3/4 1/4 –1/2
–1/4 1/4 1/2
1 –1 2
B–1 = · 3 1 –2
–1 1 2
1
4
F1
4
F2
4
F3
4
4 0 0 1 –1 2
0 4 0 3 1 –2
0 0 4 –1 1 2

13. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Matrices Elementales
Una matriz elemental de orden 𝑛, denotada como 𝐸, es toda matriz que se obtiene de la matriz 𝐼𝑛
después de aplicarle una, y solo una, operación elemental.
Ejemplo Son matrices elementales de orden 3 las matrices siguientes:
(1)𝐸𝑎 =
1 0 0
0 −5 0
0 0 1
(1) 𝐸𝑎 =
1 0 0
0 1 0
0 0 𝑘
(1) 𝐸𝑎 =
1 0 0
0 1 0
0 0
1
𝑘
(2) 𝐸𝑏 =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
(1) 𝐸𝑐 =
1 0 0
0 1 0
−2 0 1
(1) 𝐸𝑐 =
1 𝑘 0
0 1 0
0 0 1
Teorema
Si 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛(ℝ) y 𝐵 se obtiene de 𝐴 luego de efectuarle una operación elemental sobre sus filas, entonces
existe una matriz elemental 𝐸 de orden 𝑚, tal que 𝐵 = 𝐸𝐴, donde 𝐸 se obtiene de 𝐼𝑚 después de efectuar
la misma operación elemental realizada en 𝐴 para la obtención de 𝐵.

14. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Teorema
Si 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚×𝑛(ℝ) y 𝐵 es equivalente por filas con 𝐴, entonces existe una matriz
𝐶 de orden 𝑚, tal que 𝐵 = 𝐶𝐴, donde 𝐶 es la matriz producto de un número finito
de matrices elementales de orden 𝑚.
Teorema
Toda matriz elemental 𝐸 de orden 𝑛 es invertible y su inversa 𝐸−1 es una matriz
elemental, que se obtiene aplicando a 𝐼𝑛 la operación elemental inversa de la
operación que le fue efectuada a 𝐼𝑛 para determinar 𝐸.
Definición (Matriz escalonada reducida por filas)
Sea 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛(ℝ). Se dice que 𝐴 es una matriz escalonada reducida por filas, si 𝐴
cumple, simultáneamente, las condiciones siguientes:
• Cualquier fila que contenga entradas distintas de cero precede a toda fila nula
(en caso de existir alguna).

15. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
Teorema
Si 𝐴 ∈ ℳ𝑚×𝑛(ℝ), entonces existe una única matriz escalonada reducida por filas
𝑅, tal que 𝐴 ∼ 𝑅.
Ejercicio
Demuestre que la única matriz de orden 𝑛 escalonada reducida por filas que
posee inversa es la matriz 𝐼𝑛
Teorema
Si𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ), entonces 𝐴 es equivalente por filas con la matriz 𝐼𝑛 si, y solo si, 𝐴
es una matriz no singular.
• La primera entrada distinta de cero de cada fila es el único elemento no nulo
de su columna.
• El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se encuentra en alguna
columna posterior a la que contiene la primera entrada no nula de la fila que
le precede.

16. ESTUDIOS GENERALES-UNTELS ÁLGEBRA LINEAL LOS PROFESORES
METACOGNICIÓN
¿Qué aprendimos en esta sesión?
¿Qué dificultades tuviste?
¿Cómo lo superaste o piensas superarlo?
¿ De qué manera influye el concepto de matrices en tu vida cotidiana?