Este documento describe los tipos y operaciones básicas de matrices, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. También explica los determinantes, que son valores escalares asociados a matrices cuadradas utilizados para estudiar sistemas de ecuaciones lineales. Las matrices son herramientas matemáticas útiles para organizar y manipular datos numéricos de forma sistemática.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SEDE- BARCELONA
INGENIERIA ELECTRICA
BACHILLER:
LEONERMIS ESPINOZA
C.I: 20.873.119
BARCELONA, 30 DE OCTUBRE 2015

2. Introducción
Las matrices funcionan como un conjunto de elementos (numéricos), que
generalmente suelen ser ordenados en filas y columnas. Su utilidad recae en que
facilitan el manejo organizado y sistemático de informaciones; Es por ello que
encontraremos diversas aplicaciones de matrices en áreas como la economía,
estadística, electrónica e informática.
A continuación se mostraran los tipos más comunes de matrices trabajadas desde el
punto de vista algebraico. Mostraremos ejemplos de operaciones básicas como la
suma, resta multiplicación y división de matrices. La ejecución de las funciones
determinantes originadas desde el estudio de las ecuaciones lineales, y sus
propiedades.

3. MATRICES
Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas
y columnas. Las matrices son objetos matemáticos de gran utilidad en el manejo
organizado de información que puede ser suministrada en datos numéricos. En especial,
cuando están asociadas a transformaciones lineales entre espacios vectoriales, las matrices
simplifican el estudio de sus propiedades.
Tipos
Existen distintos tipos de matrices:
• Matriz fila: está conformada por una única fila.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐹𝑖𝑙𝑎 = 1 2 3 4
• Matriz columna: esta clase de matriz se conforma por una sola columna.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 =
1
2
3
• Matriz rectangular: se caracteriza por presentar un número diferente de filas que de
columnas. Su dimensión es m x n.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 =
1 2 3
6 5 4
• Matriz cuadrada: presenta la misma cantidad de filas que de columnas. Los elementos
que van desde la esquina superior izquierda hacia la esquina inferior derecha
constituyen la diagonal principal.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 =
1 2 3
6 5 4
7 8 9

4. • Matriz nula: recibe este nombre debido a que esta conformada por todos ceros como
elementos.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑁𝑢𝑙𝑎 =
0 0
0 0
• Matriz triangular superior: en esta clase de matriz los elementos ubicados por debajo de
la diagonal superior son ceros.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =
1 2 3
0 5 4
0 0 9
• Matriz triangular inferior: aquí los elementos colocados por encima de la diagonal
principal son ceros.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑇𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 =
1 0 0
2 5 0
8 8 9
• Matriz diagonal: esta clase de matriz cuenta con la particularidad de que la totalidad de
los elementos ubicados tanto por encima de la diagonal como por debajo de ella son
nulos
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 =
1 0
0 5
• Matriz escalar: es el nombre que recibe aquella matriz diagonal en la cual los elementos
que conforman la diagonal principal son iguales.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 =
8 0
0 8
• Matriz identidad: en ésta los elementos que componen la diagonal principal son iguales
a 1.

5. • Matriz traspuesta: a partir de una matriz A, se denomina matriz traspuesta de A, a
aquella matriz que se obtiene al cambiar de manera ordenada las filas por las columnas.
𝐴 =
2 3 0
1 2 0
3 5 6
𝐴 𝑇
=
2 1 3
3 2 5
0 0 6
• Matriz regular: se denomina de esta manera a aquella matriz cuadrada que tiene
inversa.
• Matriz singular: es un tipo de matriz que no posee inversa.

6. Suma y Resta de Matrices
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de
columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni
restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los
términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo:
Sean las Matrices A =
3 1 2
0 5 −3
7 0 4
y B =
−1 2 4
2 5 8
0 1 −2
Entonces:
A + B =
3 1 2
0 5 −3
7 0 4
+
−1 2 4
2 5 8
0 1 −2
=
2 3 6
2 10 5
7 1 2
A − B =
3 1 2
0 5 −3
7 0 4
−
−1 2 4
2 5 8
0 1 −2
=
4 −1 −2
−2 0 −11
7 −1 6
Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder
sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas. Ejemplo:
A + B + C =
−1 2 4
2 7 6
+
3 2 0
0 −3 −1
+
5 −1 3
1 1 2
=
7 3 7
3 5 7
A − B − C =
−1 2 4
2 7 6
−
3 2 0
0 −3 −1
−
5 −1 3
1 1 2
=
1 −1 7
3 11 9

7. Producto de Matrices
Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas
que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de
filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. Es decir, si tenemos
una matriz 2 ´ 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 ´ 5, la matriz resultante será de
orden 2 ´ 5.
(2 ´ 3) ´ (3 ´ 5) = (2 ´ 5 )
Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya
que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos
efectuar la operación.
3 ´ 5 por 2 ´ 3
Puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.
Ejemplo:
𝑟 s
t 𝑢
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
=
𝑟𝑎1 + 𝑠𝑏1 𝑟𝑎2 + 𝑠𝑏2 𝑟𝑎3 + 𝑠𝑏3
𝑡𝑎1 + 𝑢𝑏1 𝑡𝑎2 + 𝑢𝑏2 𝑡𝑎3 + 𝑢𝑏3
1 2
3 4
1 1
0 2
=
1 ∗ 1 + 2 ∗ 0 1 ∗ 1 + 2 ∗ 2
3 ∗ 1 + 4 ∗ 0 3 ∗ 1 + 4 ∗ 2
=
1 5
3 11
Producto por un Escalar
El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k*A o simplemente kA, es la matriz
obtenida multiplicando cada entrada de A por k. Ejemplo
Sea 𝐴
1 −2 3
Entonces 3𝐴 =
3 ∗ 1 3 ∗ (−2) 3 ∗ 3
=
3 −6 9

8. División de Matrices
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la
matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1: Si
una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán
divididos por ese escalar. Ejemplo:
Sean la matriz A =
8 16
3 −6
, y k = 2 un escalar.
𝐴
𝐾
=
8 16
3 −6
2
=
8 2 16 2
3 2 −6 2
=
4 8
3 2 −3

9. Determinantes
A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado
determinante de A, denotado por det (A) o |A|
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 ⋯ 𝑎3𝑛
Una tabla ordenada n ð n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada
determinante de orden n, no es una matriz.
La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de
ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y
obtención de éstas.
Determinantes de orden uno y dos
Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:
|𝑎11| = a11
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
= 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
Así, el determinante de una matriz 1 ð 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det
(A) = |a11| = a11. Ejemplo:
3 5
1 1
= 3 1 − 5 2 = 3 − 10 = −7

10. Determinantes de orden tres
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como
sigue:
Det A =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11
Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres
de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo
negativo (cambian su signo). Ejemplo:
3 2 1
0 2 −5
−2 1 4
= 3 2 4 + 2 −5 −2 + 0 1 1 − −2 2 1 − 0 2 4 − 1 −5 3 = 63
Propiedades de las determinantes
Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:
• El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir, 𝐴 = 𝐴 𝑇
• El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de
matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|.
• Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|.

11. Determinante de orden arbitrario
Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n ð n (siendo n un número par). Para calcular
el det (A) se procede de la siguiente manera:
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 ⋯ 𝑎3𝑛
𝑎41 𝑎42 ⋯ 𝑎4𝑛
= 𝑎11
𝑎22 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 ⋯ 𝑎3𝑛
𝑎41 𝑎42 ⋯ 𝑎4𝑛
− 𝑎12
𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎32 ⋯ 𝑎3𝑛
𝑎42 ⋯ 𝑎4𝑛
⋯ ⋯ ⋯
Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante.
Es decir:
+ − + −
− + − +
+ − + −
− + − +

12. Conclusión
Una matriz constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación.
Ya sea para resolver grandes operaciones o ecuaciones complejas, las matrices son
empleadas para conseguir resultados en tiempos más cortos. Incluso en los videojuegos y
sistemas de simulación se emplean muchas veces para representar de forma abstracta
ciertas estructuras de datos, por ejemplo, se puede representar o concebir el mapa de un
terreno de un juego como una matriz.
Los Determinantes en sus diversos órdenes vienen a representar un resultado producido
de la propia matriz, bajo sus propias series de restricciones, funcionando como una
herramienta más para el estudio y análisis de las ecuaciones, y funciones geométricas
entre otras.