Matrices

1.  Chire Salazar Fredy
 Gómez Ferrer Henry
 Olivas Ninahuanca Karina
 Sulca Quispe Giovanna

2. A. Cayley
¿Quiénes
son ellos?
Matrices Presenta
Amplia
utilidad en el
campo de la
matemática

3. ⊂
A=

4. Estos datos se pueden
agrupar en una matriz
2 1 1
1 1 1
1 1 0
Marita, Sofía y Diana han ido a una tienda y
han comprado lo siguiente:
1. Marita compró dos bocadillos, un refresco
y un pastel
2. Sofía se llevó un bocadillo, un refresco y
un pastel.
3. Diana compró un bocadillo y un refresco

5. 2
Son aquellas matrices donde el número de filas es distinta al
numero de columnas.
Esto es: la matriz A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒎𝒙𝒏 es rectangular si m≠n .
𝟑 𝟎
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐 𝟑𝒙𝟐
𝟐 𝟑 𝟏 − 𝟏 𝟏𝒙𝟒

6. Una matriz formada por una sola fila, esto es, A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒎𝒙𝒏 es
una matriz fila si m= 1 o bien A=(𝒂𝒊𝒋) 𝟏𝒙𝒏
𝟖 − 𝝅 𝟏𝒙𝟐 −𝟓 𝟖 𝟎 − 𝟏 𝟏𝒙𝟒
Una matriz formada por una sola columna, esto es,
A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒎𝒙𝒏es una matriz columna si n= 1 o bien A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒎𝒙𝟏
−𝟑
𝟎 𝟐𝒙𝟏
−𝟐
𝟎
𝟑
𝟏 𝟒𝒙𝟏
𝟖 𝟗 𝟏 𝟏𝒙𝟑
𝟒
𝟎
𝟏 𝟑𝒙𝟏

7. Se caracteriza por tener igual cantidad de filas y columnas. Es una
matriz de orden nxn o simplemente una matriz de orden n.
Es una matriz cuadrada A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒏𝒙𝒏, la
diagonal principal es el conjunto de
elementos 𝒂𝒊𝒋 / i =j
𝟓 𝟕 𝟎
𝟏 𝟑
𝟗 𝟕
𝟖
𝟑
𝟑 𝟏
𝟐 𝟒
𝟒 𝟑 𝟏
𝟐 𝟓
𝟎 𝟒
𝟑
𝟏
Diagonal principal
Diagonal secundaria

8. Una matriz cuadrada A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒏𝒙𝒏 , es una matriz diagonal si 𝒂𝒊𝒋= 0 ∀ 𝒊 ≠ 𝒋 es
decir si todos sus elementos son nulos a excepción de por lo menos un
elemento de la diagonal principal.
Es aquella matriz diagonal donde los elementos de la diagonal
principal son iguales a un escalar 𝒌 (𝒌 ≠ 𝟎) es decir:
𝒂 𝟏𝟏= 𝒂 𝟐𝟐 = 𝒂 𝟑𝟑… 𝒂 𝒏𝒏 = k
Ejemplo:
−𝟒 𝟎
𝟎 −𝟒
= Diagonal (-4; 4-)
𝟕 𝟎 𝟎
𝟎 𝟕
𝟎 𝟎
𝟎
𝟕
= Diagonal (7; 7; 7)
𝟑 𝟒
𝟎 𝟒
𝝅 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏

9. Es una matriz cuadrada A= (𝒂𝒊𝒋) 𝒏𝒙𝒏 , es triangular superior si
𝒂𝒊𝒋=𝟎 ∀ 𝒊 > 𝒋, esto es, cuando los elementos que se encuentran
por debajo de la diagonal principal son ceros.
𝟑 𝟒
𝟎 𝟏
𝟑 𝟓 𝟎
𝟎 𝟕
𝟎 𝟎
𝟎
𝟎
𝟒 − 𝟐 −𝟏
𝟎 𝟑
𝟎 𝟎
𝟎
−𝟐
Es una matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal
son iguales a 1.
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟎
𝟏
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏

10. Una matriz cuadrada A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒏𝒙𝒏es triangular inferior si 𝒂𝒊𝒋= 0 ∀ 𝒊 < 𝒋,
esto es, cuando los elementos que se encuentran por encima de la
diagonal principal son ceros.
𝟒 𝟎
𝟑 𝟐
𝟏𝟔 𝟎 𝟎
𝟏 𝟏𝟔
𝟑 𝟐
𝟎
𝟗
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟐
𝟐 𝟏
𝟎
𝟎
Una matriz cuadrada A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒏𝒙𝒏 es simétrica si 𝒂𝒊𝒋= 𝒂𝒋𝒊 ,∀ 𝒊, 𝒋 esto es,
los elementos dispuestos simétricamente a la diagonal principal
son iguales.
𝟏 𝟒
𝟒 𝟓
−𝟏 𝟎 𝟑
𝟎 𝟐
𝟑 𝟕
𝟕
𝟓

11. Una matriz cuadrada A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒏𝒙𝒏 es antisimétrica si 𝒂𝒊𝒋=-𝒂𝒊𝒋 ∀ 𝒊, 𝒋, esto
es, los elementos dispuestos simétricamente, con respecto la
diagonal principal son de signos opuestos.
𝟎 𝟑
−𝟑 𝟎
𝟏 𝟐 − 𝟏 − 𝟏𝟐
−𝟐 𝟕 𝟒 − 𝟏𝟎
𝟏 − 𝟒 𝟗 𝟕
𝟏𝟐 𝟏𝟎 − 𝟕 𝟗

12. Es aquella matriz cuadrada en donde todos sus elementos son
nulos, es decir, una matriz A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒎𝒙𝒏es nula si 𝒂𝒊𝒋= 0 ∀ 𝒊, 𝒋.
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
𝟎
𝟎
Es aquella matriz cuadrada en donde todos sus elementos son nulos,
es decir, una matriz A=(𝒂𝒊𝒋) 𝒏𝒙𝒏es nula si 𝒂𝒊𝒋= 0 ∀ 𝒊, 𝒋.
Sea A=
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟕 𝟐
𝑨 𝑻 =
𝟏 𝟒
𝟐 𝟕
𝟑 𝟐
↔

13. El menor complementario de un elemento de una matriz A
de tercer orden, es el determinante de una matriz
cuadrada de segundo orden, que se obtiene después de
borrar la fila 𝒊 y la columna 𝒋.
Ejemplo:
Sea A =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
El menor complementario de 𝑎11 es =
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
El menor complementario de 𝑎12 es =
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
El menor complementario de 𝑎13 es =
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32

14. Ejemplo:
Consideremos la matriz A de tercer orden. A =
α 𝟏𝟏 α 𝟏𝟐 α 𝟏𝟑
α 𝟐𝟏 α 𝟐𝟐 α 𝟐𝟑
α 𝟑𝟏 α 𝟑𝟐 α 𝟑𝟑
El cofactor de 𝒂 𝟏𝟏 es 𝑨 𝟏𝟏 = ( −𝟏 ) 𝟏+𝟏
𝜶 𝟏𝟏 = 𝜶 𝟏𝟏
El cofactor de 𝒂 𝟏𝟏 es 𝑨 𝟏𝟐 = ( −𝟏 ) 𝟏+𝟐
𝜶 𝟏𝟐 = -
El cofactor de 𝒂 𝟏𝟏 es 𝑨 𝟏𝟑 = ( −𝟏 ) 𝟏+𝟑
𝜶 𝟏𝟑 = 𝜶 𝟏𝟑
𝑨𝒊𝒋 = ( −𝟏 )𝒊+𝒋
𝜶𝒊𝒋
Al cofactor del elemento α𝒊𝒋 de una matriz A es denotada por
𝑨𝒊𝒋 y esta definida por :

16. Para poder entender el desarrollo de una matriz inversa
analizaremos el siguiente ejercicio:
Hallar la matriz inversa de :
A=
−1 3
1 −2
Resolver por el Método de Gauss
1 0
0 1

17. Si las matrices A= ( 𝒂𝒊𝒋) y B= (𝒃𝒊𝒋) , la matriz suma es:
La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que
ocupan la misma posición.
Ejemplo:
A=
𝟐 𝟎 𝟏
𝟑 𝟎 𝟎
𝟓 𝟏 𝟏
B=
𝟏 𝟎 𝟏
𝟏 𝟐 𝟏
𝟏 𝟏 𝟎
• A + B =
𝟐 + 𝟏 𝟎 + 𝟎 𝟏 + 𝟏
𝟑 + 𝟏 𝟎 + 𝟐 𝟎 + 𝟏
𝟓 + 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟏 + 𝟎
=
𝟑 𝟎 𝟐
𝟒 𝟐 𝟏
𝟔 𝟐 𝟏
A+ B = ( 𝒂𝒊𝒋+𝒃𝒊𝒋)

18. Consideremos dos matrices A y B del mismo orden, entonces la
diferencia de las matrices A y B definiremos por:
Ejemplo.- Calcular A-B sí: A=
1 3 7
2 4 5
4 6 8
B=
1 3 7
2 4 5
4 6 8
Desarrollo
A-B = A + (-1)B =
1 3 7
2 4 5
4 6 8
+ (-1)
7 5 −1
4 −6 9
2 3 8
=
1 3 7
2 4 5
4 6 8
+
−7 −5 1
−4 6 −9
−2 −3 −8
=
1 − 7 3 − 5 7 + 1
2 − 4 4 + 6 5 − 9
4 − 2 6 − 3 8 − 8
=
−6 −2 8
−2 10 −4
2 3 0
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −1 𝐵

19. Sea la matriz A = 𝒂𝒊𝒋 y un escalar k (k ≠ 0 ),entonces:
k . A = 𝒌 . 𝒂𝒊𝒋 ó A . k = 𝒂𝒊𝒋 . 𝒌
PROPIEDADES:
1. k (A + B ) = kA + kB =(A + B )k
2.-A = (-1).A
3.A – B = A + ( -B )
4.(k + q )A = k.A + q.A
Es decir ,el escalar k multiplica a cada uno de los elementos de la matriz A.
Sea A =
𝟐 𝟎
−𝟏
𝟑
𝟏
−𝟐
Entonces :
3A =
𝟔 𝟎
−𝟑
𝟗
𝟑
−𝟔
5A =
𝟏𝟎 𝟎
−𝟓
𝟏𝟓
−𝟓
𝟏𝟎
Ejemplo:
5

20. 6
Dadas las matrices:
A = [aij] de orden m x p
B = [bij] de orden p x n
El producto de AxB es una matriz C = [cij] de orden m x n cuya
componente cij es el producto de la fila i de A y la columna j de B.
Encuentra el producto de AB de las siguientes matrices:
𝟏 𝟑
𝟓 𝟎
𝟑 𝟕
𝟔 −𝟐 𝟖
𝟏 𝟒 𝟓

21. 1 3
6 2 8
1. . 5 0
1 4 5
2 7
AB
 
       
    
   
   
1 3
6 2 8 5 6 2 8 0
3 7
1 3
1 4 5 5 1 4 5 0
3 7
    
         
       
 
    
    
    
        
6 10 24 18 0 56
1 20 15 3 0 35
    
      
20 74
36 38
 
  
 
3
AXB
AXB

22. En el conjunto de las matrices cuadradas podemos
definir la potencia de matrices como:

23. Sea la matriz: 𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟑 𝟏
a) Calcular 𝑨 𝒏
b) Calcular 𝑨 𝟑𝟓𝟎 − 𝑨 𝟐𝟓𝟎
Aplicamos el método de inducción:
Primer paso: Se calculan las primeras potencias de A
𝑨 𝟐 =
𝟏 𝟎
𝟑 𝟏
. 𝟏 𝟎
𝟑 𝟏
=
𝟏 𝟎
𝟔 𝟏
𝑨 𝟑
= 𝑨 𝟐
. 𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟔 𝟏
. 𝟏 𝟎
𝟑 𝟏
=
𝟏 𝟎
𝟗 𝟏
𝑨 𝟒 = 𝑨 𝟑. 𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟗 𝟏
. 𝟏 𝟎
𝟑 𝟏
=
𝟏 𝟎
𝟏𝟐 𝟏
Segundo paso: A partir del resultado anterior, suponemos que:
𝑨 𝒏=
𝟏 𝟎
𝟑𝒏 𝟏

24. Tercer paso: Se comprueba el resultado para la siguiente
potencia 𝑨 𝒏+𝟏
𝑨 𝒏+𝟏
= 𝑨 𝒏
. 𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟑𝒏 𝟏
.
𝟏 𝟎
𝟑 𝟏
=
𝟏 𝟎
𝟑𝒏 + 𝟑 𝟏
=
𝟏 𝟎
𝟑(𝒏 + 𝟏) 𝟏
⇒ 𝑨 𝟑𝟓𝟎
− 𝑨 𝟐𝟓𝟎
=
𝟏 𝟎
𝟏𝟎𝟓𝟎 𝟏
−
𝟏 𝟎
𝟕𝟓𝟎 𝟏
=
𝟎 𝟎
𝟑𝟎𝟎 𝟎
2.- Sea la matriz: 𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟏 𝟏
a) Calcular 𝑨 𝒏
b) Calcular 𝑨 𝟐𝟓𝟎
+ 𝑨 𝟐𝟎

25. Aplicamos el método de inducción:
Primer paso: Se calculan las primeras potencias de A
𝑨 𝟐 =
𝟏 𝟎
𝟏 𝟏
. 𝟏 𝟎
𝟏 𝟏
=
𝟏 𝟎
𝟐 𝟏
𝑨 𝟑
= 𝑨 𝟐
. 𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟐 𝟏
. 𝟏 𝟎
𝟏 𝟏
=
𝟏 𝟎
𝟑 𝟏
𝑨 𝟒
= 𝑨 𝟑
. 𝑨 =
𝟏 𝟎
𝟑 𝟏
. 𝟏 𝟎
𝟏 𝟏
=
𝟏 𝟎
𝟒 𝟏
Segundo paso: A partir del resultado anterior, suponemos que:
𝑨 𝒏
=
𝟏 𝟎
𝒏 𝟏
Tercer paso: Se comprueba el resultado para la siguiente potencia : 𝑨 𝒏+𝟏
𝑨 𝒏+𝟏= 𝑨 𝒏. 𝑨 =
𝟏 𝟎
𝒏 𝟏
.
𝟏 𝟎
𝟏 𝟏
=
𝟏 𝟎
𝒏 + 𝟏 𝟏
⇒ 𝑨 𝟐𝟓𝟎 + 𝑨 𝟐𝟎 =
𝟏 𝟎
𝟐𝟓𝟎 𝟏
+
𝟏 𝟎
𝟐𝟎 𝟏
=
𝟐 𝟎
𝟐𝟕𝟎 𝟐

26. 1. Cambiar entre si dos filas de la matriz. Se puede
representar por 𝐹𝑖 ↔ 𝐹𝑗, siendo 𝐹𝑖 y 𝐹𝑗 dos filas de la
matriz.
2. Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero,
se representa por 𝐹𝑖 ↔ ∝ 𝐹𝑗.
3. Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número
real. Se representa por 𝐹𝑖 ↔ 𝐹𝑗+∝ 𝐹𝑗

28. Es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son
linealmente independientes.
 Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se
puede establecer una combinación lineal entre ellas.
 Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando
no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
El rango de una matriz A se simboliza:
7
rang(A) o r(A).

29. Podemos descartar una línea si:
 Todos sus coeficientes son ceros.
 Hay dos líneas iguales.
 Una línea es proporcional a otra.
 Una línea es combinación lineal
de otras.
Hallar por el método de Gauss el
rango de la matriz

30.  𝐹2 = 𝐹2 − 3 𝐹1
A =
1 −4 2
3 −12 6
2
0
− 1
1
0
3
−1
−3
1
−1
 𝐹3 = 𝐹3 − 2 𝐹1
1 −4 2
0 0 0
0
0
7
1
−4
3
−1
0
3
−1
Por tanto: r (A ) = 3