Este documento presenta un temario sobre matrices. Define una matriz, sus elementos como filas y columnas, y ofrece ejemplos como matrices nulas, cuadradas y diagonales. Explica cómo calcular el determinante de una matriz mediante reglas específicas para matrices de diferentes dimensiones y el uso de submatrices y cofactores. También cubre clases de matrices como simétricas y triangulares, y operaciones básicas como suma, resta, multiplicación por escalar y producto de matrices.

1. • DEFINICIÓN ………………………………………………………..………..
• ELEMENTOS DE UNA MATRIZ ………………………………………...
• EJEMPLOS DE MATRICES ………………………………………………
• DETERMINANTE DE UNA MATRIZ ………………….…………….
• SUBMATRIZ Y COFACTORES ………………………………………….
• OBTENCIÓN DE DETERMINANTE MEDIANTE COFACTORES
• MATRICES TRIANGULADAS………………………………..……………
• CLASES DE MATRICES …………………………….……………………….
• OPERACIONES (Suma Resta y multiplicación por un escalar ) ………………………….
• PRODUCTO DE MATRICES …………………………………………….
• PRODUCTOS ESPECIALES ……………………………………..………
• MATRICES ESPECIALES ………………………………..……………….
• DEFINICIÓN MATRÍS ADJUNTA O DE COFACTORES ………..
• LA MATRIZ INVERSA, PROPIEDADES, MÉTÓDOS ……..
• METODOS PARA OBTENER LA INVERSA ………..
𝑨 𝟐𝒙𝟐 =
−𝟏 𝟐
𝟎 𝟏
MATRICES
TEMARIO

2. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una Matriz es una forma de agrupar números en dos dimensiones. Una
Matriz A tiene la siguiente forma general:
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
𝑎41 𝑎42 𝑎43 … 𝑎4𝑛
… … … … …
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 𝑎 𝑚3 … 𝑎 𝑚𝑛
𝐴 𝑚 𝑥 𝑛 =
𝑃𝑜𝑟 𝐴 𝑚 𝑥 𝑛 se entiende matriz A de m filas y n columnas
Se llama Dimensión de una Matriz al número de filas y columnas de la matriz.

3. Elementos de una matriz
Se denomina Fila de una Matriz a cada
una de las líneas horizontales. Al n´mero
de filas no nulas de le demomina Rango
Se denomina Columna de
una Matriz a cada una de las
líneas verticalesque tiene una matriz:
La Diagonal Principal de una
matriz cuadrada es el conjunto de
elementos o coeficientes que van desde
la esquina superior izquierda a la esquina
inferior derecha:
La Diagonal Secundaria de una
matriz cuadrada es el conjunto de
elementos que van desde la esquina
superior derecha a la esquina inferior
izquierda

4. Ejemplos de matrices
• 𝐴2 𝑥 3 es una matriz de 2 filas y 3 columnas, en 𝐴2𝑥3 =
−1 0
2 3
1
−1
el coeficiente 𝑎12 = 0 es el
que ocupa la fila 1 y columna 2
• 𝐵3𝑥3 =
1 −1 2
3 1 0
0 0 0
es de Rango 2 por tener una fila la 𝐹3 =0 0 0
• 𝐵3𝑥3 es una matriz que tiene la misma cantidad de filas que de columnas por lo tanto se la denomina
Matriz Cuadrada
• 𝐹1𝑥3 = −1 1 4 tiene dimensión 1 𝑥 3 y por tener una sola fila se denomina
Matriz Fila y la Matriz Columna es la de dimensión 𝑚𝑥1 𝐶2𝑥1=
1
2
• Si una matriz tiene todos coeficientes 0 se la conoce como Matriz Nula
0 0
0 0
• 𝐷3𝑥3
7 0 0
0 1 0
0 0 3
es una Matriz Diagonal porque es cuadrada y en el único lugar
que figuran coeficientes no nulos es en la diagonal de la matriz. Si todos los números de la diagonal son
iguales se trata de una Matriz Escalar. Si en la diagonal los números son todos 1 se denomina Matriz
Identidad 𝐼3𝑥3
1 0 0
0 1 0

5. Determinante de una Matriz
El determinante de una matriz es un número que se le asigna y se obtiene de las siguientes forms:
Para una matriz de 22: Diferencia entre los producto de las diagonales:
Ejemplo: si 𝐴 =
2 1
3 4
→ det 𝐴 =
2 1
3 4
= 2.4 − 3.1 = 5
𝐷𝑒𝑡 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑎. 𝑑 − 𝑐. 𝑏
Para una matriz de 3 3, Regla de Sarrus: diferencia entre las suma de los productos de las
diagonales de izquierda a derecha con las sumas de los productos de las diagonales de derecha
izquierda , que se forman al repetir a continuación de la matriz las dos primeras filas
Ejemplo: Si 𝐵 =
2 1 −1
3 0 1
1 −1 2
→ det 𝐵
2 1 −1
3 0 1
1 −1 2
=
2 1 −1
3 0 1
𝟐. 𝟎. 𝟐 + 𝟑 −𝟏 −𝟏 + 𝟏. 𝟏. 𝟏 − 𝟏. 𝟎 −𝟏 + 𝟐. −𝟏 −𝟏 + 𝟑. 𝟏. 𝟐 = 3 + 1 − 2 + 6
det 𝐵 = −4

6. Submatriz o Menores y cofactores
Una Submatriz de A es otra matriz resultado de elegir determinadas filas y columnas de A.
Las submatrices por lo tanto tienen menores dimensiones que las matrices de origen.
A=
1 −1 0
3 1 0
−2 0 3
eliminando la fila 1 y la columna1
1 0
0 3
A=
1 −1 0
3 1 0
−2 0 3
eliminando la fila 2 y la columna3
1 −1
−2 0
Se llama cofactor de un elemento de una matriz a el producto de una potencia de -1 por el
determinante de su submatriz
Ejemplo: 𝑐𝑜𝑓11 = −1 1+1
.
1 0
0 3
=1. (1.3 – 0.0) = 3
Nota: los cofactores se utilizas por ejemplo
para el cálculo de determinantes, la
obtención de la Matriz Adjunta, y la Matriz
Inversa
𝑐𝑜𝑓𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗
. 𝑠𝑢𝑏𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧

7. OBTENCIÓN DE DETERMINANTE MEDIANTE COFACTORES
•Pasos
1) Se elige una fila o columna
2) Se identifica los elementos de la fila
o columna elegida
3) Se calculan los cofactores de esa fila
o columna
4) Se suman los productos de cada
elemento de esa fila o columna con su
correspondiente cofactor
•Ejemplo:
𝐴 =
𝟐 𝟏 −1
3 0 1
1 −1 2
𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟏 = (−1)1+1
.
0 1
−1 2
= 0.2 − −1 . 1 =1
𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟐 = (−1)1+2.
3 1
1 2
= 3.2 − 1.1 = 𝟓
𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟑 = (−1)1+3
.
3 0
1 −1
= 3 −1 − 1.0
= −𝟑
𝐴 = 𝒂 𝟏𝟏. 𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟏 + 𝒂 𝟏𝟐. 𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟐 + 𝒂 𝟏𝟑. 𝒄𝒐𝒇 𝟏𝟑
𝐴 = 2 . 1 + 1 . 5 + (-1) . (-3)
𝐴 = 10

8. Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior
Una Matriz Triangular Superior es
aquella matriz cuadrada cuyos valores por debajo
de la diagonal principal son todos iguales a 0
Una Matriz Triangular Inferior es
aquella matriz cuadrada cuyos valores por encima
de la diagonal principal son todos iguales a 0
2 −4 7
𝟎 1 2
0 𝟎 −2
1 𝟎 𝟎
4 3 𝟎
1 2 −1
A una matriz se la puede triangular a través de las Transformaciones Elementales que consiste en:
«Reemplazar una fila por un múltiplo de la misma o sumándole a la fila o un múltiplo de la que se
quiere modificar un múltiplo de otra de sus filas»
1 −1 −3
2 −1 −2
−3 2 4
→ 𝐹2 ↔ 𝐹2 + (−2)𝐹1
𝐹3 ↔ 𝐹3 + 3 𝐹1
→
1 −1 3
0 1 4
0 −1 −5
1 −1 3
0 1 4
0 −1 −5
→
𝐹3 ↔ 𝐹3 + 𝐹2
→
1 −1 3
𝟎 1 4
𝟎 𝟎 −1
𝐹2 2 −1 −2
(−2)𝐹1 −2 2 6
𝐹2 ↔ 𝐹2 + (−2)𝐹1 0 1 4
𝐹3 −3 2 4
3 𝐹1 3 −3 −9
𝐹3 + 3 𝐹1 0 −1 −5
𝐹3 0 −1 −5
𝐹2 0 1 4
𝐹3 + 𝐹2 0 0 −1
Matrices triangulares

9. Clasificación de matrices
Matriz opuesta es la matriz cuyos coeficientes son opuestos
A=
4 1
0 −1
−3 2
− 𝐴 =
−4 −1
0 1
3 −2
Matriz Traspuesta: matriz que resulta de intercambiar los valores de las filas por los de las
columnas
A=
4 1
0 −1
−3 2
𝐴 𝑇
=
4 0 −3
1 −1 2
Matriz Simétrica: matriz cuadrada que es igual a su traspuesta A Simétrica  A = AT
𝐴 =
1 2 3
2 −1 −4
3 −4 0
𝐴 𝑇
=
1 2 3
2 −1 −4
3 −4 0
Matriz Antisimètrica (o Hemisimétrica) es aquella matriz cuadrada que es igual
a su traspuesta cambiada de signo A es antisimétrica ⇔ A = -AT
𝐴 =
1 −7 3
7 2 −4
−3 4 −1
𝐴 𝑇
=
1 7 −3
−7 2 4
3 −4 −1
−𝐴 𝑇
=
1 −7 3
7 2 −4
−3 4 −1

10. OPERACIONES CON MATRICES
SUMA y RESTA DE MATRICES La operación se define de una manera muy sencilla: la
matriz suma de dos matrices con la misma dimensión es la matriz que tiene en la posición
fila i y columna j la suma de los elementos de la misma posición en las matrices que
sumamos. Es decir, la suma de matrices se calcula sumando los elementos que ocupan la
misma posición
Y la resta como
𝐴 + 𝑩 =
𝟒 𝟎 −𝟑
𝟏 −𝟏 𝟐
+
−𝟏 𝟐 𝟐
𝟎 𝟑 −𝟐
=
𝟒 + (−𝟏) 𝟎 + 𝟐 −𝟑 + 𝟐
𝟏 + 𝟎 −𝟏 + 𝟑 𝟐 + (−𝟐)
𝐴 + 𝐵 =
3 2 −1
1 −1 2
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR esta operación se trata de multiplicar un número
real 8escalar) por una matriz y el resultado se obtiene multiplicando por dicho número a
cada uno de los elementos de la matriz
𝟒 . 𝐴 = 𝟒.
4 0 −3
1 −1 2
=
𝟒. 4 𝟒. 0 𝟒(−3)
𝟒. 1 𝟒 −1 𝟒. 2
=
16 0 −12
4 −4 8
Siendo A 𝒂𝒊𝒋 y 𝐁 𝒃𝒊𝒋 de igual dimensión → A 𝒂𝒊𝒋 + 𝐁 𝒃𝒊𝒋 = (𝑨 + 𝑩) 𝒂𝒊𝒋 + 𝒃𝒊𝒋
A 𝒂𝒊𝒋 − 𝐁 𝒃𝒊𝒋 = (𝑨 − 𝑩) 𝒂𝒊𝒋 − 𝒃𝒊𝒋
𝛂 ∈ 𝑹 𝒚A 𝒂𝒊𝒋 ∈ 𝑹 𝒎𝒙𝒏
→ 𝛂. A 𝒂𝒊𝒋 = (𝜶𝑨) 𝜶𝒂𝒊𝒋

11. 𝑭 𝟐
𝑭 𝟏
𝑭 𝟐
𝑭 𝟏
Producto de matrices
𝑭 𝟏
𝑭 𝟐
Condición: Las matrices que se pueden multiplicar tienen que temer como
característica que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al
número de filas de la segunde 𝐴 de dimensión 𝑚𝑥𝑛 y 𝐵 , 𝑛𝑥𝑝 con lo que se va
obtener una matriz producto de dimensión 𝑚𝑥𝑝
Ejemplo: Siendo 𝐴 de dimensión 2𝑥3 𝑦 𝐵 de 3𝑥2 𝐴𝑥𝐵 tiene diensión 2𝑥2
𝐴𝑥𝐵 =
𝟏 𝟎 −𝟐
−𝟑 𝟏 1
𝑥
𝟐 −𝟐
𝟎 𝟏
𝟑 −𝟏
=
𝐴𝑥𝐵 =
𝟏 . 𝟐 + 𝟎 . 𝟎 + −𝟐 𝟑 𝟏 −𝟐 + 𝟎. 𝟏 + (−𝟐)(−𝟏)
−𝟑 . 𝟐 + 𝟏. 𝟎 + 𝟏. 𝟑 −3 . −𝟐 + 1. 𝟏 + 1(−𝟏)
𝐴𝑥𝐵 =
−4 0
−3 6

12. Multiplicaciones especiales
El producto de dos
matrices Diagonal da una
matriz diagonal.
3 0 0
0 2 0
0 0 1
𝑥
1 0 0
0 −1 0
0 0 −7
=
3.1 0 0
0 2(−1) 0
0 0 1(−7)
=
3 0 0
0 −2 0
0 0 −7
El producto de una matriz
por la matriz identidad da
la misma matriz
𝐴𝑥𝐼 = 𝐴
3 −1 0
1 2 0
2 −3 1
𝑥
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
3,1 −1 . 1 0
1.1 2.1 0
2.1 (−3)1 1
=
3 −1 0
1 2 0
2 −3 1
El producto de una matriz
con la matriz nula da la
matriz nula
𝐴𝑥𝑁 = 𝑁
3 −1 0
1 2 0
2 −3 1
𝑥
0 0 0
0 0 0
0 0 0
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
El producto de dos matices
trianguladas
superiormente da una
matriz también triangulada
superiormente
3 1 3
0 2 −1
0 0 1
𝑥
1 −1 2
0 1 1
0 0 −3
=
3.1 3 −1 + 1.1 3.2 + 1.1 + 3(−3)
0 2.1 2.1 + (−1)(−3)
0 0 1(−3)
=
3 −2 −2
0 2 5
0 0 −3

13. MATRICES ESPECIALES

14. Una Matriz Adjunta, también Matriz de Adjuntos o Matriz de Cofactores, es el
resultado de realizar las siguientes operaciones:
Dada una matriz 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
, la Matriz Adjunta, 𝐴𝑑𝑗𝐴(𝑎𝑑𝑖𝑗) es la que reemplaza
a cada elemento por su cofactor, el determinante de la submamatriz o el opuesto de dicho
determinante, El signo depende de la posición: si al sumar el número de la fila y la columna
que ocupa da «par» es positivo y si es «impar» el es negativo 𝑎𝑑𝑗𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗. 𝑆𝑢𝑏𝑀𝑖𝑗
Ejemplo:
Matriz Adjunta
A el elemento 𝑎11 → (−1)1−1 3 0
0 5
= 1 3.5 − 0.0 = 15
1 0 2
0 3 0
4 0 5
𝐴𝑑𝑗𝐴 = −
3 0
0 5
−
0 0
4 2
0 3
4 0
0 2
0 5
1 2
4 5
−
1 0
4 0
0 2
3 0
−
1 2
0 0
1 0
0 3
=
15 0 −12
0 −3 0
−6 0 3
𝐴 =
1 0 2
0 3 0
4 0 5
→ −

15. Matriz Inversa
Una Matriz Inversa, A−1 , es aquella matriz que multiplicada por la matriz de origen, A, da
como resultado la matriz unidad o identidad, I:
Ejemplo:
𝐴 =
1 1
1 2
tiene como inversa a 𝐴−1 =
2 −1
−1 1
ya que
𝐴 𝑥 𝐴−1 =
𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
𝑥
𝟐 −𝟏
−𝟏 𝟏
𝐴 𝑥 𝐴−1
=
𝟏. 𝟐 + 𝟏. (−𝟏) 𝟏. (−𝟏) + 𝟏. 𝟏
𝟏. 𝟐 + 𝟐. (−𝟏) 𝟏. (−𝟏) + 𝟐. 𝟏
𝑨 𝒙 𝑨−𝟏
=
1 0
0 1
= 𝑰
Recordar:
Sólo tienen inversa algunas matrices cuadradas.
Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0
Aquella matriz cuadrada que tiene inversa se denominan Matrices Regulares
Mientras que las matriz que no posee inversa son Matrices Singular
El producto de dos inversas se puede conmutar 𝐴 𝑥 𝐴−1
=𝐴−1
𝑥𝐴

16. PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
La inversa de la inversa es la matriz de origen:
(A-1)-1 = A
La inversa de un producto de matrices es igual al producto de las inversas de las
matrices pero cambiado de signo:
(A · B)−1 = B−1 · A−1
Sea una matriz invertible, entonces la inversa de su traspuesta es igual a la
traspuesta de la inversa:
(AT)-1 = (A-1)T
Las matrices inversas se calculan como el adjunto de la matriz entre su
determinante (si este es distinto de cero):
(A)-1 = Adj (A) / |A|
https://www.matesfacil.com/calculadoras/matrices/calculadora-online-matriz-
inversa-adjunta-2x2-3x3-matrices.html

17. 𝑆𝑖 𝐴 =
−1 1
−2 3
su inversa 𝐴−1
=
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
es tal que:
𝐴 𝑥 𝐴−1
= 𝐼
−1 1
−2 3
𝑥
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
1 0
0 1
−𝑎 + 𝑐 −𝑏 + 𝑑
−2𝑎 + 3𝑐 −2𝑏 + 3𝑑
=
1 0
0 1
Se iguala componente a componente y se determinan dos sistemas de ecuaciones
−𝑎 + 𝑐 = 1
−2𝑎 + 3𝑐 = 0
De la primera ecuación 𝑐 = 1 + 𝑎
SUSTITUYENDO en la segunda
ecuación
−2𝑎 + 3𝑐 = 0
−2𝑎 + 3(1 + 𝑎) = 0
−2𝑎 + 3 + 3𝑎 = 0
𝑎 = −3
Y como 𝑐 = 1 + 𝑎
𝑐 = 1 + −3 → 𝑐 = −2
−𝑏 + 𝑑 = 0
−2𝑏 + 3𝑑 = 1
De la primera ecuación 𝑑 = 𝑏
SUSTITUYENDO en la segunda
ecuación
−2𝑏 + 3𝑑 = 1
−2𝑏 + 3𝑏 = 1
𝑏 = 1
Y como 𝑑 = 𝑏
→ 𝑑 = 1Así quedó determinada
𝑨−𝟏 =
−𝟑 𝟏
−𝟐 𝟏
COMO OBTENER LA MATRIZ INVERSA en 𝑅2𝑥2

18. Dada una matriz cuadrada 𝐴 =
1 2 3
3 2 1
1 0 1
los pasos seguir para obtener su inversa
Matriz inversa usando la Matriz Adjunta
Obtener el valor del
determinante
Obtener los cofactores de la
matriz Adjunta
Matriz Inversa
𝐴𝑑𝑗𝐴 =
2 −2 −2
−2 −2 2
−4 8 −4
𝐴−1
=
1
−8
2 −2 −4
−2 −2 8
−2 2 −4
𝐴−1
=
−
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
−1
1
4
−
1
4
1
2
Nota el determinante de la matriz
tiene que ser distinto de 0
Cofactores:
𝑐𝑜𝑓𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗. 𝑆𝑢𝑏𝑀𝑖𝑗
𝐴−1 =
1
det(𝐴)
𝐴𝑑𝑗𝐴 𝑇

19. Matriz inversa por método de Gaus
Por medio de Transformaciones elementales, vamos modificando nuestra matriz hasta
obtener la matriz identidad. Cada paso que apliquemos a la matriz se lo aplicaremos a la
matriz identidad. Cuando hayamos obtenido la matriz identidad, la de la derecha será la
inversa. Si no podemos llegar a la matriz identidad (por ejemplo, sale alguna fila de ceros),
significa que la matriz no será inversible. Por medio de transformaciones elementales, vamos
modificando nuestra matriz hasta obtener la matriz identidad. Cada paso que apliquemos a
la matriz se lo aplicaremos a la matriz identidad. Cuando hayamos obtenido la matriz
identidad, la de la derecha será la inversa. Si no podemos llegar a la matriz identidad (por
ejemplo, sale alguna fila de ceros), significa que la matriz no será inversible.
Ejemplo con una matriz de dimensión 2x2
Dada 𝐴 =
2 1
3 4
ampliamos con la identidad
2 1
3 4
1 0
0 1
𝑭 𝟏 ↔ 𝑭 𝟏: 𝟐
𝟏
1
2
𝟎
5
2
1
2
0
−
3
2
1 𝑭 𝟐 ↔
𝟐
𝟓
𝑭 𝟐
𝟏
1
2
3 4
1
2
0
0 1 𝑭 𝟐 ↔ 𝑭 𝟐 + (−𝟑)𝑭 𝟏
𝟏
1
2
𝟎 𝟏
1
2
0
−
3
5
2
5
𝑭 𝟏 ↔ 𝑭 𝟏 + −
𝟏
𝟐
𝑭 𝟐
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
4
5
−
1
5
−
3
5
2
5
→ 𝑨−𝟏
=
4
5
−
1
5
−
3
5
2
5