Este documento describe diferentes operaciones con matrices, incluyendo la trasposición, suma, diferencia, producto por un escalar, y producto de matrices. Explica cómo realizar estas operaciones y algunas de sus propiedades fundamentales, como que la suma y el producto por un escalar son distributivos, mientras que el producto de matrices no es conmutativo en general. También introduce conceptos como las matrices invertibles y la matriz inversa.

1. Operaciones con matrices
ALGEBRA LINEAL

2. OPERACIONES CON MATRICES
Trasposición de matrices: Dada una matriz de orden m x n, A= (aij), se llama
matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene
cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.












−
=
5
0
3
7
5
4
9
2
A
Propiedades de la trasposición de matrices
1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2. (At)t = A.






−
=
5
3
5
9
0
7
4
2
t
A

3. Suma y diferencia de matrices. La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij), es otra matriz S=(sij) del
mismo orden que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos
matrices estas deben ser del mismo orden o dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo: Realizar la suma de:










=
7
6
4
8
7
6
9
0
3
A










−
−
=
4
6
5
3
3
0
1
5
4
B
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 









=










−
+
+
−
+
+
+
+
+
=
+
3
12
9
5
10
6
10
5
7
4
7
6
6
5
4
3
8
3
7
0
6
1
9
5
0
4
3
B
A
Realizando la operación A+B, el resultado queda así:
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como:
A–B = A + (–B).

4. Propiedades de la suma de matrices
• A + 0 = A (0 es la matriz nula)
• Propiedad conmutativa: A + B = B + A
• Propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Matriz opuesta: Es la matriz que se obtiene cambiando todos
los signos de la matriz A, se denota con –A. La suma de una
matriz con su opuesta es cero, A + (-A) = 0.

5. Producto de una matriz por un número. El producto de una matriz A= (aij) por un número real
k es otra matriz B= (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene
multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Si tenemos a la matriz A y k=5 entonces el producto de A por k se denota: B=kA y se resuelve
de la siguiente manera:
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A.
Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de
escalares por matrices.










=
7
6
4
8
7
6
9
0
3
A
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 









=



















=
35
30
20
40
35
30
45
0
15
7
5
6
5
4
5
8
5
7
5
6
5
9
5
0
5
3
5
B

6. Propiedades del producto de una matriz por un escalar
1. Propiedad distributiva:
k (A + B) = k A + k B
(k + h)A = k A + h A (k y h son escalares)
2. Propiedad asociativa mixta: k [h A] = (k h) A
3. Elemento unidad: 1·A = A
Propiedades simplificativas
1. A + C = B + C  A = B.
2. k A = k B  A = B si k es diferente de 0.
3. k A = h A  h = k si A es diferente de 0.

7. Producto de matrices. Dadas dos matrices A y B, su producto es otra
matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por
las columnas de B elemento a elemento.






−
=
3
6
8
0
4
2
3
2x
A










=
9
4
3
1
3x
B

=
=
n
k
kj
ik
ij b
a
p
1 r
j
m
i
,...
1
,...
1
=
=
Ejemplo: Realizar el producto de las matrices de A y B.
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número
de filas de B.
Es más, si A tiene dimensión m  n y B dimensión n  r, la matriz P será
de orden m r.
Realizando el producto AxB, considerando
que el orden de A que es (2x3)
y el orden de B es (3x1)

8. 
=
=


=
3
1
1
3
3
2
1
2
k
kj
ik
ij
x
x
x b
a
c
B
A
C
31
13
21
12
11
11
3
1
1
1
11 b
a
b
a
b
a
b
a
c
k
k
k +
+
=
= 
=
31
23
21
22
11
21
3
1
1
2
21 b
a
b
a
b
a
b
a
c
k
k
k +
+
=
= 
=
( ) ( ) ( ) 22
9
0
4
4
3
2
11 =

+

+

=
c
( ) ( ) ( ) 21
9
3
4
6
3
8
21 =

−
+

+

=
c






=
21
22
21
C
1
2
,
1
=
=
j
i






−3
6
8
0
4
2










9
4
3






−3
6
8
0
4
2










9
4
3
Realizando el desarrollo del ejemplo anterior, la matriz resultante C se calcula de la
siguiente manera:

9. Propiedades del producto de matrices
1. A·(B·C) = (A·B)·C
2. El producto de matrices en general no es conmutativo.






−
=






−






 −







−
−
=





 −







− 16
18
49
18
5
0
4
3
8
6
5
6
40
30
17
42
8
6
5
6
5
0
4
3
3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A (In es la matriz
identidad de orden n).
4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal
que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa
de A y se representa por A–1 .
5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es
decir: A·(B + C) = A·B + A·C

10. Consecuencias de las propiedades
1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0.
2. Si A·B=A·C no implica que B = C.






=













0
0
0
0
0
0
6
5
0
0
5
0






=













=













0
0
0
0
4
9
0
0
0
0
0
7
0
1
0
0
0
0
0
7
3. En general (A+B)2  A2 + B2 +2AB, ya que A·B  B·A.
4. En general (A+B)·(A–B)  A2–B2, ya que A·B  B·A.

11. Matrices invertibles. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es invertible o regular; en caso
contrario recibe el nombre de singular y se denota con A-1. La matriz inversa, si existe, es única.
Propiedades de la matriz
inversa
1. A-1A=A·A-1=I
2. (A·B) -1=B-1A-1
3. (A-1) -1=A
4. (kA) -1=(1/k·A-1)
5. (At) –1=(A-1) t
Observación. Existen matrices
matrices que cumplen A·B = I, pero
que B·A I, en tal caso, se dice que:
A es la inversa de B “por la
izquierda”
o que B es la inversa de A “por la
derecha”.
Para el calculo de la matriz inversa hay varios métodos, dentro de los que se
encuentran: De forma DIRECTA, mediante el método GAUSS-JORDAN
y el uso de la DETERMINANTE y ADJUNTA

12. ACTIVIDAD: Operaciones con matrices