1) El documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, igualdad, tipos (triangular, diagonal, unidad), y operaciones como suma, producto por escalar, y producto.
2) Se explican propiedades de las operaciones, como la asociatividad y distributividad de la suma y el producto.
3) Se proveen ejemplos ilustrativos de cada concepto.
Este documento trata sobre los determinantes y su aplicación en el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo calcular determinantes de matrices de orden 2 o superior, sus propiedades y cómo usarlos para hallar el rango de una matriz. También describe el método de Cramer, expresando cómo resolver un sistema mediante el cálculo de determinantes sustituyendo cada columna por el vector de términos independientes.
Este documento define los determinantes como funciones que establecen correspondencias entre matrices cuadradas y campos reales o complejos. Explica tres métodos para calcular determinantes: la regla de Sarrus, el método de estrellas y el desarrollo por menores y cofactores.
El documento describe el producto cartesiano de dos conjuntos A y B. El producto cartesiano de A y B, denotado A x B, consiste en todos los pares ordenados (x, y) donde x pertenece a A y y pertenece a B. El número de elementos en A x B es igual al producto de los cardinales de A y B. El documento también explica las propiedades de las relaciones binarias y de orden.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
Este documento presenta un examen de 12 preguntas sobre funciones cuadráticas y parábolas. Las preguntas requieren que los estudiantes identifiquen características como vértices, ejes de simetría, intersecciones con los ejes coordenados y concavidad de funciones dadas por sus gráficas o ecuaciones. El examen evalúa la comprensión de conceptos fundamentales de geometría como parábolas, funciones cuadráticas y sus propiedades.
El documento describe las diferentes estructuras algebraicas como semigrupos, grupos, anillos y cuerpos. Explica que una estructura algebraica clasifica conjuntos basados en las propiedades de las operaciones internas definidas en ellos, como la ley de composición y la existencia de elementos neutros. Luego define cada estructura algebraica y proporciona ejemplos numéricos y no numéricos que cumplen con sus propiedades. Finalmente, señala que el concepto de estructura algebraica se formalizó en el siglo XX y se aplica en todas las á
Este documento define y describe los diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices fila, columna, rectangular, cuadrada, nula, triangular superior e inferior, diagonal, escalar, identidad, traspuesta, regular, singular, idempotente, involutiva, simétrica, antisimétrica y ortogonal. Las matrices se usan para representar sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones lineales, y pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas.
Este documento trata sobre los determinantes y su aplicación en el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo calcular determinantes de matrices de orden 2 o superior, sus propiedades y cómo usarlos para hallar el rango de una matriz. También describe el método de Cramer, expresando cómo resolver un sistema mediante el cálculo de determinantes sustituyendo cada columna por el vector de términos independientes.
Este documento define los determinantes como funciones que establecen correspondencias entre matrices cuadradas y campos reales o complejos. Explica tres métodos para calcular determinantes: la regla de Sarrus, el método de estrellas y el desarrollo por menores y cofactores.
El documento describe el producto cartesiano de dos conjuntos A y B. El producto cartesiano de A y B, denotado A x B, consiste en todos los pares ordenados (x, y) donde x pertenece a A y y pertenece a B. El número de elementos en A x B es igual al producto de los cardinales de A y B. El documento también explica las propiedades de las relaciones binarias y de orden.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
Este documento presenta un examen de 12 preguntas sobre funciones cuadráticas y parábolas. Las preguntas requieren que los estudiantes identifiquen características como vértices, ejes de simetría, intersecciones con los ejes coordenados y concavidad de funciones dadas por sus gráficas o ecuaciones. El examen evalúa la comprensión de conceptos fundamentales de geometría como parábolas, funciones cuadráticas y sus propiedades.
El documento describe las diferentes estructuras algebraicas como semigrupos, grupos, anillos y cuerpos. Explica que una estructura algebraica clasifica conjuntos basados en las propiedades de las operaciones internas definidas en ellos, como la ley de composición y la existencia de elementos neutros. Luego define cada estructura algebraica y proporciona ejemplos numéricos y no numéricos que cumplen con sus propiedades. Finalmente, señala que el concepto de estructura algebraica se formalizó en el siglo XX y se aplica en todas las á
Este documento define y describe los diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices fila, columna, rectangular, cuadrada, nula, triangular superior e inferior, diagonal, escalar, identidad, traspuesta, regular, singular, idempotente, involutiva, simétrica, antisimétrica y ortogonal. Las matrices se usan para representar sistemas de ecuaciones lineales y aplicaciones lineales, y pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables que involucran binomios, trinomios y expresiones algebraicas. Los ejercicios 1 y 2 piden calcular cuadrados de binomios y productos de binomios. Los ejercicios 3 y 4 piden expresar expresiones en forma de producto y simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables. El ejercicio 5 pide descomponer expresiones en factores y simplificar.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos básicos como qué es una matriz, tipos especiales de matrices como matrices cuadradas y triangulares, y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices. También cubre determinantes de orden 2 y 3, incluyendo la regla de Sarrus y su aplicación para calcular determinantes.
El documento presenta una introducción a la teoría de exponentes en números naturales y reales. Explica conceptos como potenciación, radicación y propiedades de exponentes como el exponente natural, cero, negativo y fraccionario. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y propiedad. Al final, propone una autoevaluación sobre los temas explicados.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre determinantes. Incluye cálculos de determinantes de matrices de orden 2 y 3 utilizando la regla de Sarrus. También cubre propiedades como que el determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta, y que el determinante del producto de matrices es igual al producto de sus determinantes. Finalmente, explica cómo calcular la inversa de una matriz.
Este documento presenta la unidad didáctica sobre matrices para el segundo año de bachillerato. Explica los objetivos de aprendizaje, que incluyen reconocer y operar con matrices, resolver ecuaciones y sistemas matriciales, y reconocer propiedades de las operaciones matriciales. A continuación, define conceptos clave como tipos de matrices, operaciones básicas como suma y multiplicación, y propiedades importantes como conmutatividad y asociatividad. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar los conceptos.
Este documento define relaciones y funciones matemáticas. Explica que una relación es un vínculo entre dos conjuntos, mientras que una función requiere que cada elemento del primer conjunto esté asociado a exactamente un elemento del segundo conjunto. Luego proporciona ejemplos de relaciones y funciones, y describe cómo representar funciones gráficamente y clasificarlas según su forma, continuidad y monotonía.
El documento describe el Teorema Fundamental del Álgebra. Este teorema establece que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas, y que si un polinomio real tiene una raíz compleja a + bi, también tendrá la raíz conjugada a - bi. El documento luego demuestra estas propiedades usando propiedades de números complejos como conjugación y operaciones con números complejos.
El documento resume diferentes tipos de matrices:
- Matriz conmutable: aquella donde A*B = B*A
- Matriz idempotente: cumple que A^2 = A
- Matriz nilpotente: existe un número n tal que A^n = 0
- Matriz involutiva: cumple que A^2 = I
- Matriz elemental: resultado de aplicar operaciones de filas a la matriz identidad I
- Matrices equivalentes: existen si una puede transformarse en la otra mediante operaciones de filas
1) El documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, semigrupos, anillos y cuerpos. 2) Define las propiedades de una estructura algebraica como la ley de composición interna, elemento neutro, inversos y asociatividad. 3) Presenta ejemplos para ilustrar estas propiedades en conjuntos numéricos como enteros y racionales.
1) El documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, semigrupos, anillos y cuerpos. 2) Define las propiedades de una estructura algebraica como la ley de composición interna, elemento neutro, inversos, asociatividad y conmutatividad. 3) Presenta ejemplos para ilustrar estas propiedades en conjuntos numéricos como enteros y racionales con las operaciones de suma y multiplicación.
1. El documento presenta ejercicios sobre matrices y operaciones matriciales. Incluye problemas para hallar determinantes, inversas, sumas y productos de matrices. También contiene sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de resolución.
2. Se piden determinar propiedades como si matrices son diagonales, ortogonales o semejantes. También involucra funciones matriciales y ecuaciones matriciales para hallar valores desconocidos.
3. Los ejercicios abarcan diversos temas sobre álgebra line
El documento presenta conceptos básicos de matemáticas como conjuntos numéricos, números reales e irracionales, la recta numérica y los diferentes tipos de intervalos. Explica la diferencia entre números racionales e irracionales y cómo representar los conjuntos numéricos en un diagrama. También define los símbolos y propiedades para ordenar y comparar números reales en la recta numérica.
El documento introduce conceptos básicos de topología en el espacio euclídeo Rn. Define bolas abiertas y cerradas, y explica que una bola abierta excluye su frontera mientras una bola cerrada la incluye. También define puntos interiores y exteriores de conjuntos, y establece que un conjunto es abierto si coincide con su interior.
1) (R2, , R, ) es un espacio vectorial. Se verifican las 10 propiedades necesarias: cierre de las operaciones, asociatividad, elemento neutro, inverso, distribución y compatibilidad del producto escalar con la suma vectorial.
2) Se analizan 3 definiciones posibles para las operaciones en R2 y sólo la primera hace de (R2, , R, ) un espacio vectorial.
3) El documento continúa analizando subconjuntos de R
El documento explica el concepto matemático de pendiente, que se refiere a la inclinación de una recta. Define la pendiente como la diferencia entre las coordenadas y de dos puntos dividida por la diferencia entre sus coordenadas x. Explica que rectas paralelas tienen la misma pendiente, mientras que rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es -1. Como ejemplo, demuestra que tres puntos dados están en la misma recta calculando que tienen la misma pendiente.
Esta presentación es un pequeño esbozo de los productos notables y los casos de factorización, lo cual debe estar acompañado de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación. Deben descargar la presentación para ver los productos notables y los casos de factorización que aparecen en las tablas.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones cuadráticas mediante la factorización y el uso de cuadros de signos. Se define una inecuación cuadrática y se dan tres ejemplos resueltos paso a paso, incluyendo la factorización, identificación de los números críticos, construcción de cuadros de signos y determinación de la solución. También incluye un anexo explicando cómo construir cuadros de signos.
El método Gauss Jordan es un método para calcular la inversa de una matriz. Consiste en transformar sistemáticamente la matriz original y la matriz identidad adyacente mediante operaciones de filas para obtener la matriz identidad en la parte derecha, lo que indica que se ha encontrado la inversa de la matriz original en la parte izquierda. Esto se logra seleccionando "pivotes" no nulos y aplicando las reglas de transformación de filas para poner en cero los elementos debajo y a la derecha del pivote seleccionado.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Explica que estas funciones están formadas por cocientes de dos funciones polinómicas. Además, describe el dominio de las funciones racionales y provee ejemplos. Luego, introduce el concepto de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones racionales, y explica cómo determinarlas en función de los grados de los polinomios en el numerador y denominador. Finalmente, pide determinar las asíntotas de varias funciones dadas.
El documento introduce los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, igualdad, y cómo se representan. Explica que una matriz es una disposición rectangular de números y que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en las mismas posiciones. También cubre operaciones básicas con matrices como suma, diferencia, producto por escalar, y producto de matrices.
1) Las matrices son tablas rectangulares de números reales ordenados en filas y columnas. Cada elemento tiene dos subíndices que indican su posición.
2) Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y sus elementos en las mismas posiciones son iguales.
3) Se definen conceptos como el orden de una matriz, igualdad, y operaciones como la trasposición, suma, diferencia, y producto de matrices.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre productos notables que involucran binomios, trinomios y expresiones algebraicas. Los ejercicios 1 y 2 piden calcular cuadrados de binomios y productos de binomios. Los ejercicios 3 y 4 piden expresar expresiones en forma de producto y simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables. El ejercicio 5 pide descomponer expresiones en factores y simplificar.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos básicos como qué es una matriz, tipos especiales de matrices como matrices cuadradas y triangulares, y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices. También cubre determinantes de orden 2 y 3, incluyendo la regla de Sarrus y su aplicación para calcular determinantes.
El documento presenta una introducción a la teoría de exponentes en números naturales y reales. Explica conceptos como potenciación, radicación y propiedades de exponentes como el exponente natural, cero, negativo y fraccionario. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y propiedad. Al final, propone una autoevaluación sobre los temas explicados.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre determinantes. Incluye cálculos de determinantes de matrices de orden 2 y 3 utilizando la regla de Sarrus. También cubre propiedades como que el determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta, y que el determinante del producto de matrices es igual al producto de sus determinantes. Finalmente, explica cómo calcular la inversa de una matriz.
Este documento presenta la unidad didáctica sobre matrices para el segundo año de bachillerato. Explica los objetivos de aprendizaje, que incluyen reconocer y operar con matrices, resolver ecuaciones y sistemas matriciales, y reconocer propiedades de las operaciones matriciales. A continuación, define conceptos clave como tipos de matrices, operaciones básicas como suma y multiplicación, y propiedades importantes como conmutatividad y asociatividad. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar los conceptos.
Este documento define relaciones y funciones matemáticas. Explica que una relación es un vínculo entre dos conjuntos, mientras que una función requiere que cada elemento del primer conjunto esté asociado a exactamente un elemento del segundo conjunto. Luego proporciona ejemplos de relaciones y funciones, y describe cómo representar funciones gráficamente y clasificarlas según su forma, continuidad y monotonía.
El documento describe el Teorema Fundamental del Álgebra. Este teorema establece que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas, y que si un polinomio real tiene una raíz compleja a + bi, también tendrá la raíz conjugada a - bi. El documento luego demuestra estas propiedades usando propiedades de números complejos como conjugación y operaciones con números complejos.
El documento resume diferentes tipos de matrices:
- Matriz conmutable: aquella donde A*B = B*A
- Matriz idempotente: cumple que A^2 = A
- Matriz nilpotente: existe un número n tal que A^n = 0
- Matriz involutiva: cumple que A^2 = I
- Matriz elemental: resultado de aplicar operaciones de filas a la matriz identidad I
- Matrices equivalentes: existen si una puede transformarse en la otra mediante operaciones de filas
1) El documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, semigrupos, anillos y cuerpos. 2) Define las propiedades de una estructura algebraica como la ley de composición interna, elemento neutro, inversos y asociatividad. 3) Presenta ejemplos para ilustrar estas propiedades en conjuntos numéricos como enteros y racionales.
1) El documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, semigrupos, anillos y cuerpos. 2) Define las propiedades de una estructura algebraica como la ley de composición interna, elemento neutro, inversos, asociatividad y conmutatividad. 3) Presenta ejemplos para ilustrar estas propiedades en conjuntos numéricos como enteros y racionales con las operaciones de suma y multiplicación.
1. El documento presenta ejercicios sobre matrices y operaciones matriciales. Incluye problemas para hallar determinantes, inversas, sumas y productos de matrices. También contiene sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de resolución.
2. Se piden determinar propiedades como si matrices son diagonales, ortogonales o semejantes. También involucra funciones matriciales y ecuaciones matriciales para hallar valores desconocidos.
3. Los ejercicios abarcan diversos temas sobre álgebra line
El documento presenta conceptos básicos de matemáticas como conjuntos numéricos, números reales e irracionales, la recta numérica y los diferentes tipos de intervalos. Explica la diferencia entre números racionales e irracionales y cómo representar los conjuntos numéricos en un diagrama. También define los símbolos y propiedades para ordenar y comparar números reales en la recta numérica.
El documento introduce conceptos básicos de topología en el espacio euclídeo Rn. Define bolas abiertas y cerradas, y explica que una bola abierta excluye su frontera mientras una bola cerrada la incluye. También define puntos interiores y exteriores de conjuntos, y establece que un conjunto es abierto si coincide con su interior.
1) (R2, , R, ) es un espacio vectorial. Se verifican las 10 propiedades necesarias: cierre de las operaciones, asociatividad, elemento neutro, inverso, distribución y compatibilidad del producto escalar con la suma vectorial.
2) Se analizan 3 definiciones posibles para las operaciones en R2 y sólo la primera hace de (R2, , R, ) un espacio vectorial.
3) El documento continúa analizando subconjuntos de R
El documento explica el concepto matemático de pendiente, que se refiere a la inclinación de una recta. Define la pendiente como la diferencia entre las coordenadas y de dos puntos dividida por la diferencia entre sus coordenadas x. Explica que rectas paralelas tienen la misma pendiente, mientras que rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es -1. Como ejemplo, demuestra que tres puntos dados están en la misma recta calculando que tienen la misma pendiente.
Esta presentación es un pequeño esbozo de los productos notables y los casos de factorización, lo cual debe estar acompañado de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación. Deben descargar la presentación para ver los productos notables y los casos de factorización que aparecen en las tablas.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones cuadráticas mediante la factorización y el uso de cuadros de signos. Se define una inecuación cuadrática y se dan tres ejemplos resueltos paso a paso, incluyendo la factorización, identificación de los números críticos, construcción de cuadros de signos y determinación de la solución. También incluye un anexo explicando cómo construir cuadros de signos.
El método Gauss Jordan es un método para calcular la inversa de una matriz. Consiste en transformar sistemáticamente la matriz original y la matriz identidad adyacente mediante operaciones de filas para obtener la matriz identidad en la parte derecha, lo que indica que se ha encontrado la inversa de la matriz original en la parte izquierda. Esto se logra seleccionando "pivotes" no nulos y aplicando las reglas de transformación de filas para poner en cero los elementos debajo y a la derecha del pivote seleccionado.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Explica que estas funciones están formadas por cocientes de dos funciones polinómicas. Además, describe el dominio de las funciones racionales y provee ejemplos. Luego, introduce el concepto de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones racionales, y explica cómo determinarlas en función de los grados de los polinomios en el numerador y denominador. Finalmente, pide determinar las asíntotas de varias funciones dadas.
El documento introduce los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, igualdad, y cómo se representan. Explica que una matriz es una disposición rectangular de números y que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en las mismas posiciones. También cubre operaciones básicas con matrices como suma, diferencia, producto por escalar, y producto de matrices.
1) Las matrices son tablas rectangulares de números reales ordenados en filas y columnas. Cada elemento tiene dos subíndices que indican su posición.
2) Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y sus elementos en las mismas posiciones son iguales.
3) Se definen conceptos como el orden de una matriz, igualdad, y operaciones como la trasposición, suma, diferencia, y producto de matrices.
Este documento presenta conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Introduce la noción de matriz, incluyendo su igualdad, dimensión y elementos. Explica diferentes tipos de matrices como simétricas, triangulares y diagonales. Finalmente, describe operaciones con matrices como suma, producto por un escalar y producto entre matrices.
Este documento presenta conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Define una matriz como una disposición rectangular de números reales y explica que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en las mismas posiciones. También describe operaciones con matrices como suma, diferencia, producto por un escalar y producto de matrices.
1) Se define una matriz como un conjunto rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.
2) Se describen diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, simétricas, triangulares, etc. según la disposición de sus elementos.
3) Se explican diversas operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar, producto y trasposición, así como algunas de sus propiedades.
El documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, notación y ejemplos. Explica que una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas, y que se denotan con letras mayúsculas mientras que sus elementos se denotan con letras minúsculas. También introduce conceptos como la dimensión, traspuesta y diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, fila y columna.
1) El documento habla sobre matrices y determinantes. Define una matriz como una disposición rectangular de números reales con dos subíndices para indicar la fila y columna. 2) Explica que dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y elementos iguales en la misma posición. 3) Describe cómo calcular el determinante de una matriz cuadrada mediante la suma de productos de elementos con signos + o - según la paridad de la permutación.
1. El documento define y explica diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices cuadradas, rectangulares, nulas, diagonales, escalares, unitarias, triangulares, transpuestas, simétricas y antisimétricas.
2. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar, y producto de matrices.
3. Finalmente, presenta algunos ejemplos y propiedades de las operaciones con matrices.
Las matrices son conjuntos de números o funciones organizados en filas y columnas. Una matriz se representa por una letra mayúscula y sus elementos por la misma letra en minúscula con doble subíndice para indicar la fila y columna. Las operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto de matrices siguen propiedades algebraicas.
Las matrices son conjuntos de números o funciones organizados en filas y columnas. Una matriz se representa por una letra mayúscula y sus elementos por la misma letra en minúscula con doble subíndice para indicar la fila y columna. Las operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto de matrices siguen propiedades algebraicas.
Las matrices son conjuntos de números o funciones organizados en filas y columnas. Una matriz se representa por una letra mayúscula y sus elementos por la misma letra en minúscula con doble subíndice para indicar la fila y columna. Las operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto de matrices siguen propiedades algebraicas.
Este documento describe las matrices y sus propiedades fundamentales. Introduce los conceptos básicos de matrices, incluidas las definiciones de matriz, tipos de matrices como cuadradas y triangulares, y operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices. Explica que las matrices se usan comúnmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tienen aplicaciones en áreas como economía, estadística y física.
El documento describe cómo un candidato contrató una empresa de relaciones públicas para dar a conocer sus propuestas durante las elecciones municipales en dos distritos a través de llamadas telefónicas, volantes y cartas. Se proporcionan los costos de cada método de contacto en una matriz, así como el número de contactos establecidos en cada distrito en otra matriz. Se piden calcular la cantidad total gastada en cada distrito.
Este documento trata sobre matrices y determinantes. Explica qué es una matriz, sus elementos y dimensiones. Presenta ejemplos de matrices como la compra de bocadillos. Describe operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, define determinantes de orden 2 y 3, y explica la regla de Sarrus para calcularlos.
matrices. operaciones con matrices, transpuesta de una matriz, determinante d...Jorge536405
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Este sería un ejemplo de una matriz ""
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Así, los elementos de nuestra matriz del ejemplo anterior serían lo números que contiene .
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.
Una matriz de filas y columnas podemos denotarla como (siempre el número de la izquierda en el subíndice indica las filas, mientras que el de la derecha las columnas) o (está entre paréntesis), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila y en la columna , por (no lleva paréntesis). Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
Ejemplo:
Del ejemplo anterior, para nuestra matriz
tendríamos que sus elementos, al distinguirlos por posición, serían , , , , , , , , , , y . Además, su dimensión es de filas y columnas, por lo tanto podemos denotar a como o .
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. En forma matemática, si tenemos las matrices y
Entonces y son iguales si , y para cualquier y .
Ejemplo:
Dadas las matrices
Tenemos que y son iguales ya que tienen la misma dimensión y los elementos de las mismas posiciones también son iguales. Sin embargo, y no son iguales ya que , pero , por lo tanto .
Operaciones de matrices
Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, y , se define la matriz suma como: . Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición (suma elemento a elemento).
Ejemplo:
Dadas las matrices
su suma estaría dada por
Propiedades
Asociativa: Dadas las matrices , y se cumple que
.
Elemento neutro: Existe una matriz, denotada por , tal que, para toda matriz , si hacemos su suma obtenemos
.
Los elementos de la matriz son puros ceros.
Inverso aditivo: Para toda matriz , existe una matriz , llamada inverso aditivo de , la cual cumple que
.
Los elementos de la matriz son los elementos de A multiplicados por .
Conmutativa: Dadas las matrices y se cumple que
.
Producto de un número real por una matriz
Dada una matriz y un número real , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que , en la que cada elemento está multiplicado por , en otras palabras .
Ejemplo:
Dada la matriz
y el escalar real , la multiplicación estaría dada por
Propiedades
Asociativa escalar: Dada la matriz y los escalares y , se cumple que
.
Distributividad en los escalares: Dada la matriz y los escalares y , se cumple que
.
Distributividad en las matrices: Dadas las
Este documento presenta una introducción a las matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números y explica conceptos como el orden, elementos, filas y columnas de una matriz. Luego resume diferentes tipos de matrices como cuadradas, nulas, triangulares e identidad. Finalmente, describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.
El documento define matrices y describe sus propiedades fundamentales. Una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas. Se definen varios tipos de matrices como matrices nulas, filas, columnas, cuadradas y triangulares. También se explican operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices son una forma de organizar datos y se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas como economía y física. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices son ordenamientos de datos que se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas como economía y física. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
Este documento presenta el sílabo de la asignatura de Álgebra Lineal de la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales e Informáticos de la Universidad Técnica de Ambato. El sílabo describe la información general de la asignatura, el perfil del profesor, los objetivos y contenidos del curso organizados en cuatro unidades, y la carga horaria que comprende clases, tutorías y trabajo autónomo del estudiante.
Este documento presenta el programa analítico de la asignatura de Álgebra Lineal de la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales e Informáticos de la Universidad Técnica de Ambato. Incluye la caracterización de la asignatura, objetivos, contenidos temáticos distribuidos en cuatro unidades, metodología de enseñanza, procedimientos de evaluación, bibliografía básica y complementaria, y validación del programa.
Este documento presenta los números complejos, incluyendo su definición, representación y operaciones. Introduce la unidad imaginaria i, define los números complejos como pares ordenados de la forma a + bi, y explica cómo representarlos gráficamente en el plano complejo. Además, describe cómo convertir entre las formas binómica y polar de los números complejos, y cómo realizar sumas y restas en forma binómica.
El documento trata sobre matrices y determinantes. Explica conceptos como tipos de matrices, operaciones con matrices como suma, diferencia y producto, y determinantes. Los objetivos son analizar la teoría de matrices para resolver problemas y aplicar sistemas de ecuaciones lineales a situaciones profesionales.
1) (R2, , R, ) es un espacio vectorial. Se verifican las 10 propiedades necesarias: cierre de las operaciones, asociatividad, elemento neutro, inverso, distribución y compatibilidad del producto escalar con la suma vectorial.
2) Se analizan 3 definiciones posibles para las operaciones en R2 y sólo la primera hace de (R2, , R, ) un espacio vectorial.
3) El documento continúa analizando subconjuntos de R
The document is a 49 page text written by Gustavo Salinas E. about algebraic structures and linear algebra. It covers topics such as vector spaces, linear transformations, matrices, determinants, and eigenvalues. The text is intended to introduce these fundamental concepts in abstract algebra and linear algebra.
Este capítulo trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales con coeficientes reales. Se clasifican los sistemas en incompatibles, compatibles determinados e indeterminados dependiendo del número de soluciones. También introduce la representación matricial de los sistemas y métodos para resolver sistemas con dos incógnitas o tres ecuaciones.
Este documento introduce los números complejos. Explica que los números complejos son la suma de un número real y un número imaginario y que se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería. También describe las propiedades fundamentales de los números complejos como el teorema fundamental del álgebra y que forman un cuerpo algebraico. Finalmente, invita a estudiar los números complejos por su belleza al integrar trigonometría, álgebra y geometría.
Este documento presenta el temario de la asignatura de Álgebra Lineal impartida en el Instituto Tecnológico de Saltillo durante el periodo de Enero a Junio de 2013. El temario incluye cinco unidades: números complejos, matrices y determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y transformaciones lineales. La primera unidad introduce los números complejos y cómo se pueden representar y operar con ellos.
El documento describe los orígenes e historia de Internet, desde su creación como ARPANET en 1969 hasta su evolución actual. Explica que Internet es una red de redes que conecta millones de sistemas informáticos a través de diferentes tecnologías. También describe los diferentes tipos de conexiones a Internet como ADSL, cable, satélite e inalámbricas, así como servicios como correo electrónico, la Web y buscadores.
La historia del Internet comenzó en los años 1960 cuando Estados Unidos creó la Agencia de Investigación de Proyectos Avanzados (ARPA) y luego la red ARPANET en 1969 con 4 máquinas conectadas, con el objetivo de que el gobierno pudiera acceder a información militar desde cualquier punto del país en caso de un ataque. A lo largo de los años 1970 y 1980, ARPANET se expandió para cubrir Estados Unidos y otros países, y servicios como el correo electrónico y los foros de discusión fueron desarrollados, mientras que redes com
The document compares two multicriteria decision methods - Brans' PROMETHEE and a modified version - for selecting erosion control alternatives in Argentina's Chaco area. It applies the methods to choose among five alternatives (forestation options and agriculture/livestock mixes) across six subzones. Eight criteria are considered, including water/wind erosion, economic/social impacts. The modified PROMETHEE method weights criteria similarly to ELECTRE I. Results show alternative rankings for one subzone using both methods, with some alternatives preferred over others.
El documento describe el modelo de negocios CANVAS, el cual se divide en nueve componentes clave. El objetivo es aplicar los conocimientos adquiridos a lo largo de la carrera en la elaboración y desarrollo de un proyecto productivo que promueva la posibilidad de autoempleo. El modelo CANVAS ayuda a identificar los elementos más importantes de una idea de negocio como el segmento de mercado, la propuesta de valor, los canales de distribución y las fuentes de ingresos.
Este documento describe el modelo de negocios de la tienda de música digital iTunes de Apple. El modelo se basa en vender canciones individuales a $1 cada una a través de iTunes (36% de ingresos) y equipos como iPod e iPhone, además de recibir pagos de anunciantes por exponer a usuarios a publicidad (64% a discográficas). La propuesta de valor es permitir a los usuarios acceder legalmente a música de forma gratuita con publicidad o pagando por canciones sin publicidad.
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an improver particle optmizacion plan de negociosCarlos Iza
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Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
Presentacion de mezclado de polimeros, de la materia de Quimica de Polímeros ultima unidad. Se describe la definición y los tipos de mezclado asi como los aditivos usados para mejorar las propiedades de las mezclas de polimeros
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
2. Dimensión de la matriz nm×
2ª columna
3ª fila
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les
denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero
indica la fila y el segundo la columna
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.
a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (aij )
Concepto de matriz. Igualdad de matrices
3. Definición de matríz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m,
j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz,
el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el
elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
321
3333231
2232221
1131211
A = (ai,j)=
4. Matriz: Ejemplo
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz
÷
÷
÷
2 1 1
1 1 1
1 1 0
5. Expresión matricial: ejemplo
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =
2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A*
=
2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial:
2 5 –3
1 –4 1
x
y
z
=
1
– 2
−=+
=−+
2z4y-x
1352 zyx
El sistema
6.
1 2 4
2 3 5
4 5 -1
0 2 -4
-2 0 3
4 -3 0
• Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 )
• Matriz columna: A =
2
4
6
jiij aa =
Diagonal
secundaria
Diagonal
principal
• Matriz cuadrada:A=
1 3 5
2 4 6
1 1 1
• Matriz simétrica: es una matriz cuadrada
que verifica que:
• Matriz antisimétrica: es una matriz
cuadrada que verifica que:
Clasificación de matrices: Forma
jiij -aa =
⇒ A = AT
⇒ A = –
AT
7. Clasificación de matrices: Elementos
• Matriz escalar: es una matriz diagonal
donde todos los elementos de ella son iguales.
• Matriz triangular superior: es una matriz
donde todos los elementos por debajo de la
diagonal son ceros.
• Matriz triangular inferior: es una matriz
donde todos los elementos por encima de la
diagonal son ceros.
• Matriz nula: es una matriz en la que todos los
elementos son nulos.
• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en
la que todos los elementos no pertenecientes a
la diagonal principal son nulos.
• Matriz unidad o identidad: es una matriz
escalar, cuya diagonal principal es 1.
33
000
000
000
O
×
=
23
00
00
00
O
×
=
−=
400
320
631
T
−=
100
030
002
D
=
100
010
001
I3
=
200
020
002
A
−=
453
023
001
T
8. Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Producto de matrices
Matrices inversibles
Propiedades simplificativas
9. Operaciones con matrices I
1.- Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se
representa por At
, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o
viceversa) en la matriz A.
Es decir:
Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. (At
)t
= A.
10. Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades
I. Para la matriz A, (At
)t
= A
II. Para las matrices A y B, (A+ B)t
= At
+ Bt
III. Para la matriz A y el número real k, (k .
A)t
= k .
At
IV. Para las matrices A y B, (A.
B)t
= Bt .
At
V. Si A es una matriz simétrica, At
= A
Propiedades:
La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se
representa por At
. Si A = (aij), entonces At
= (aji). Si A es mxn, entonces At
es nxm.
Ejemplo:Si A =
1 2 3
4 5 6
entonces A
t
=
1 4
2 5
3 6
11. Operaciones con matrices II
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz
S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij).
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
2.- Suma y diferencia de matrices
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma
de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
12. Suma de matrices: ej de orden 3
Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los
correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)
A + B = (aij ) + (bij ) =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
+
b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
=
=
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34
= (aij + bij )
13. Propiedades de la adición de matrices
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Conmutativa: A + B = B + A
• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.
• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0
La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.
14. Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los
elementos de la matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
Operaciones con matrices III
k . A = k . (aij) = k·
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
= (kaij)
3.- Producto de un número por una matriz
15. Propiedades con la suma y el producto por un número
• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
• Elemento neutro: 1 · A = A
• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.
El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto
por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial
16. Operaciones con matrices IV
4.- Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se
obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que
deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la
forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número
de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz
P será de orden m x p,
no se pueden multiplicar
Ejemplos:
Pij = ∑ aik · bkj con k=1,….n
18. Propiedades del producto de matrices (I)
I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de
dimensión pxr.
A .
(B .
C) = (A .
B) .
C
III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn,
B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.
A .
(B + C) = A .
B + A .
C
IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B
de dimensión mxn y C de dimensión nxp.
(A + B) .
C = A .
C + B .
C
las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:
Im · A = A · In = A
II. Elemento unidad. Si A es una matriz mxn, y
Im =
1......000
..........
0......100
0......010
0......001
e I n =
1 0 0 ...... 0
0 1 0 ...... 0
0 0 1 ...... 0
.. .. .. .. ..
0 0 0 ...... 1
19. Propiedades del producto de matrices (II)
I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de
las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en
un orden distinto al dado.
II. Si A .
B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.
III. Si A .
C = B .
C y C ≠ 0, entonces no necesariamente A = B.
IV. (A + B)2
≠ A2
+ 2A .
B + B2
salvo que A y B conmuten.
V. (A – B)2
≠ A2
– 2A .
B + B2
salvo que A y B conmuten.
VI. A2
– B2
≠ (A – B) .
(A + B) salvo que A y B conmuten.
Ejemplo: Aunque
0 2
0 0
.
0 –3
0 0 =
0 0
0 0 ninguno de los factores que
forman el producto es la matriz nula.
20. Producto: Potencia de una matriz
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en
el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica
la matriz por sí misma.
An
= A .
A .
........... .
An veces
Ejemplo:
=
10
11
A
=
=⋅=
10
21
10
11
10
11
AAA2
=
=⋅=
10
31
10
21
10
11
AAA 23
=
⋅
=⋅=⋅⋅⋅=
10
41
10
31
10
11
AAAAAAA 34
=
−
=⋅==
10
1
10
11
10
11
AAAAA 1-
veces-
nnn
n
n
21. Propiedades de la matriz inversa
I. Si las matrices A y B son inversibles (A.
B)–1
= B–1 .
A–1
II. Si A es una matriz inversible y k ≠ 0, (k .
A)–1
= (1/k) .
A–1
III. Si A es una matriz inversible, (A–1
)–1
= A
IV. La matriz unidad es inversible y además I–1
= I
V. Si A es una matriz inversible, (A–1
)t
= (At
)–1
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra
matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que
es la matriz inversa de A y se representa por A-1
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en
caso contrario recibe el nombre de singular.
Inversa de una matriz, Matrices inversibles
Operaciones con matrices V
22. Métodos de cálculo de la matriz inversa
Directamente
Por el método de Gauss-Jordan
Usando determinantes
Observación:
Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A ≠ I, en tal
caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la
inversa de A "por la derecha".
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
23. Inversa de una matriz (directamente)
Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A .
B = B .
A = I, siendo
la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1
.
Y de aquí se deduce que:
Ejemplo: Dada A =
2 –1
1 1 para obtener A
-1
=
x y
z t se ha de cumplir
2 –1
1 1
.
x y
z t =
1 0
0 1
2x– z 2y– t
x + z y + t =
1 0
0 1
⇔
2x – z = 1
x + z = 0
2y – t = 0
y + t = 1
⇔
x =1/3
y= 1/3
z =–1/3
t =2/3
Por tanto A-1
=
1
3
1
3
– 1
3
2
3
24. Combinación lineal entre filas y columnas
En una matriz A, las filas pueden representarse por F1, F2, ... , Fm y las columnas
por C1, C2, ... , Cn.
Se llama combinación lineal de las filas F1, F2, F3 ... , Fm a una expresión de la
forma:
k1
.
F1 + k2
.
F2 + k3
.
F3 + ... + km
.
Fm siendo k1, k2, ... , km números reales.
Se llama combinación lineal de las columnas C1, C2, C3 ... , Cn a una expresión
de la forma:
k1
.
C1 + k2
.
C2 + k3
.
C3 + ... + kn
.
Cn siendo k1, k2, ... , kn números reales.
A =
a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (C1, C2, C3, ... , Cn) =
F1
F2
F3
......
Fm
25. Dependencia lineal entre filas y columnas
• Una fila (o columna) de una matriz depende linealmente de otras si es combinación
lineal de ellas.
• Si entre las filas (o columnas) de una matriz, alguna depende linealmente de otras, se
dice que son linealmente dependientes; en caso contrario, son linealmente
independientes.
F3 = F1 + 2F2
Ejemplo: En la matriz A =
2 0 –1 1
1 3 1 0
4 6 1 1
la tercera fila es combinación lineal de la primera y la
segunda ya que:
En cambio:En la matriz B =
1 2 4
3 –1 5las dos filas son linealmente independientes porque ninguna
de ellas es igual a una constante por la otra.
26. Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo.
Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos
que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar
la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación
inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.
Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa
El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una
dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la
cual se le quiere calcular la inversa.
Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que
transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas
en la matriz (In I B). La matriz B será la inversa de A.
Las transformaciones elementales son las siguientes:
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
Suprimir las filas o columnas que sean nulas,
27. En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que
estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones:
A-1
·A= In y A-1
· In = A-1
=B
Si hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente
a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:
−− 211
112
011
−
−
220
110
011
F2
– 2F1
F2
F1
+ F3
F3
−
−=
−−
⋅
−
220
110
011
211
112
011
101
012
001
Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:
Cálculo de la Matriz Inversa por el método
de Gauss – Jordan I
28. Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz
•En primer lugar triangulamos inferiormente:
•Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente:
Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad:
De donde, la matriz inversa de A es
Cálculo de la Matriz Inversa por el método
de Gauss – Jordan II: Ejemplo
29. Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz se tiene:
Como hay una fila completa de ceros, la matriz A no tiene rango máximo, en
este caso 2, por tanto no tiene inversa pues es una matriz singular
Cálculo de la Matriz Inversa por el método
de Gauss – Jordan III : Ejemplo
30. Cálculo de la Matriz Inversa por el método
de Gauss – Jordan IV: Ejemplo
2º.- Triangulamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la
matriz de la derecha.
Queremos calcular la inversa de
1º.- Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad,
Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por
tanto la matriz A es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa.
31. Cálculo de la Matriz Inversa por el método
de Gauss – Jordan V: continuación
3º.- Triangulamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la
matriz de la derecha.
4º.- Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente.
32. Rango de una matriz
• El rango por filas de una matriz es el número de filas linealmente
independientes.
• El rango por columnas de una matriz es el número de columnas linealmente
independientes.
• Se puede demostrar que el rango por filas coincide con el rango por
columnas en cualquier matriz. A este valor común se le llama rango de la
matriz y se representa rg A.
Operaciones que no modifican el rango de una matriz
• Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí.
• Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero.
• Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de otras filas (o
columnas).
33. Dependencia e independencia lineal : filas
Vectores fila de una matriz:
Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible
que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan
linealmente de otros. Por ejemplo:
Sus dos filas son linealmente independientes
=
2431
5232
A
Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen
linealmente de las primeras
=
43
50
12
31
B
2123 FFF −⋅= 214 FFF +=
Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de
las dos primeras
−−
=
158
209
351
C
312 FFF =−
Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes
34. Teorema
En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de
columnas L.I.
Dependencia e independencia lineal: columnas
Vectores columna de una matriz:
También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.
Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente
independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir
en algún caso la anterior.
¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente independientes
sea distinto del número de columnas linealmente independiente?. El siguiente
teorema nos asegura que no.
Por esto podemos dar una nueva definición de Rango:
Rango de una matriz es el número de filas, o columnas,
linealmente independientes.
35. Ejemplos rango de una matriz escalonada
2 0 –1 1
0 1 1 0
0 0 1 1
La matriz A = tiene rango 3.
−
0000
0110
1102
La matriz A = tiene rango 2.
−
1000
0100
1102
La matriz A = tiene rango 3.
0000
0200
1120
La matriz A = tiene rango 2.
0000
0000
1000
La matriz A = tiene rango 1.
36. El rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodos
diferentes:
Métodos de cálculo del rango de una matriz
Por el método de Gauss
Usando Determinantes
37. Proceso para el cálculo del rango de una matriz:
Método de Gauss
a) Si es necesario, reordenar filas para que a11 ≠ 0 (si esto no fuera posible,
aplicar todo el razonamiento a a12).
b) Anular todos los elementos por debajo de a11: para ello multiplicar la primera
fila por –a21/a11 y sumar a la segunda, multiplicar la primera fila por –a31/a11 y
sumar a la tercera, .... multiplicar la primera fila por –am1/a11 y sumar a la m-
ésima.
c) Repetir los pasos anteriores basados en a22 y, después, en cada aii.
d) El proceso termina cuando no quedan más filas o están formadas por ceros.
A =
a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
38. Cálculo del rango de una matriz
Aplicando los procesos anteriores se puede llegar a una matriz escalonada que
indica el número de filas o columnas independientes y por tanto el rango de la
matriz.
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
Rango 4
* * * * *
0 * * * *
0 0 * * *
0 0 0 * *
Rango 3
* * * * *
0 * * * *
0 0 * * *
Rango 2
* * * * *
0 * * * *
Rango 1
* * * * *
41. A no es inversible
• Restando a la segunda fila la primera por 4:
1 –
1
2
1
2 0
0 0 –2 1
Condición para que una matriz sea inversible
• Ampliamos la matriz A con la matriz identidad:
2 –1 1 0
4 –2 0 1
• Dividiendo la primera fila por 2:
1 –
1
2
1
2
0
4 –2 0 1
• Al operar con las filas de A se ha llegado a una matriz de rango distinto a la dimensión
de la matriz A.
• Por tanto: una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si rg A = n.
• De otra forma: A es inversible si y sólo si sus filas (o sus columnas) son linealmente
independientes.
Vamos a estudiar si A =
2 –1
4 –2
es inversible:
42. Determinantes de orden 2 y 3
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.
a11
a12
a13
a 21 a22 a23
a31 a32 a33
Dada una matriz cuadrada de orden 3 A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det (A) o |A|, al número real siguiente:Se llama determinante de A,
Dada una matriz cuadrada de segundo orden:
a a
aA =
11 12
a21 22
se llama determinante de A al número real:
Det( A) = |A| =
aa 11 12
a 21 a 22
= a11 · a22 – a12 · a21
Ejemplo: 3 2
2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1
43. Regla de Sarrus
La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la
expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal
principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas
cambiadas de signo.
45. Cálculo de determinantes usando desarrollo por los elementos
de una fila o columna
• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir
en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.
• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+j
Mij.
El determinante de una matriz A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
es igual a la suma de los elementos
de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima columna
46. Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3
Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3
Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a
11
.(-1)1+1
a
22
a
23
a
32
a
33
+ a
21
.(-1)2+1
a
12
a
13
a
32
a
33
+ a
31
.(-1)3+1
a
12
a
13
a
22
a
23
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a
31
.(-1)3+1
a
12
a
13
a
22
a
23
+ a
32
.(-1)3+2
a
11
a
13
a
21
a
23
+ a
33
.(-1)3+3
a
11
a
12
a
21
a
22
47. Determinante de cualquier orden
–3 5
–1 –1
= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34
El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los
elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna
Por ejemplo:
2 –1 1 2
1 6 1 0
3 –1 –1 3
2 –1 0 1
= 1 · (–1)2+1
–1 1 2
–1 –1 3
–1 0 1
+ 6 · (–1)2+2
2 1 2
3 –1 3
2 0 1
+
+ 1 · (–1)2+3
2 –1 2
3 –1 3
2 –1 1
+ 0 · (–1)2+4
2 –1 1
3 –1 –1
2 –1 0
=
48. I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.
II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.
Cálculo inmediato de determinantes (I)
Ejemplos:
• El determinante de una matriz A =
–1 4 –1
3 2 3
2 5 2
es igual a cero porque la tercera y
primera columnas son iguales.
• El determinante de una matriz A =
2 4 –1
1 –2 3
3 –6 9
es igual a cero porque la tercera fila
es igual a la segunda multiplicada por 3.
Ejemplo:
El determinante de una matriz A =
–1 0 –1
3 0 3
2 0 2
es igual a cero porque la segunda columna
es nula.
49. III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de
otras filas o columnas es cero.
IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de
su diagonal principal.
Cálculo inmediato de determinantes (II)
Ejemplo:
El determinante de una matriz A =
2 4 0
1 3 –1
3 1 5
es igual a cero porque la tercera columna es
igual al doble de la primera menos la segunda.
Ejemplo:
El determinante de la matriz A =
–1 0 –1
0 2 3
0 0 2
es igual –4.
50. V. El determinante de la matriz unidad es 1
Cálculo inmediato de determinantes (III)
Ejemplos:
• El determinante de la matriz I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
es igual a 1.
• El determinante de la matriz I5 =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
es igual a 1.
51. I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el
determinante de la matriz se multiplica por ese número.
II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante
cambia de signo.
Propiedades: operaciones con filas y columnas (I)
Ejemplo:
2 3
4 20 =
2 3
4
.
1 4
.
5
= 4
2 3
1 5
Ejemplo:
1 – 4
2 5 = –
– 4 1
5 2
52. III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas,
respectivamente, el valor del determinante no varía.
Propiedades: operaciones con filas y columnas (II)
Ejemplo: Si en A =
2 3 – 1
1 5 2
4 13 4
sumamos a la tercera fila la primera multiplicada por – 1 más
la segunda multiplicada por – 2, obtenemos:
B =
2 3 – 1
1 5 2
4 + 2 (–1) + 1(–2) 13 + 3 (–1) + 5(–2) 4 + (–1) (–1) + 2(–2)
y se cumple que ambos determinantes son iguales: BA =
53. I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual
al producto de los determinantes de cada una de ellas.
II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.
Determinantes de operaciones con matrices (I)
Ejemplo:
• Sean A =
2 0
1 –1
y B =
4 1
3 2
. Se tiene que |A| = –2 y |B| = 5.
• Como A
.
B =
8 2
1 –1
y | A
.
B | = – 10 se observa que | A
.
B | = |A|
.
|B|
Ejemplo:
• Sea A =
3 0
1 1
; entonces A
–1
=
1/3 0
–1/3 1
• Como | A | = 3 y | A
–1
| = 1/3, se observa que | A |
.
| A
–1
| = 1
54. III. Al trasponer una matriz su determinante no varía.
VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo
determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.
Operaciones con matrices (II)
Ejemplo:
• Sea A =
2 0 –2
1 1 3
3 0 2
. Entonces At
=
2 1 3
0 1 0
–2 3 2
• Se cumple que | A | = | At
|
Ejemplo:
Se cumple que: 2
2 0 – 2
1 1 3
3 0 2
=
4 0 – 4
2 2 6
6 0 4
= 2
3
2 0 – 2
1 1 3
3 0 2
55. Operaciones con matrices (III)
Ejemplo:
• Sea A =
2 3 –1
1 5 2
4 13 4
. Entonces se cumple que | A | = 7
• Y se tiene que:
2 3 –1
1 5 2
4 13 4
=
1 + 1 3 –1
3 – 2 5 2
1 + 3 13 4
=
1 3 –1
3 5 2
1 13 4
+
1 3 –1
– 2 5 2
3 13 4
= (-70) + 77
Si A =
a11 a12 + b12 a13
a21 a22 + b22 a23
a31 a32 + b32 a33
se cumple que:
a11 a12 + b12 a13
a21 a22 + b22 a23
a31 a32 + b32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
+
a11 b12 a13
a21 b22 a23
a31 b32 a33
V.- Si una fila o columna es suma de varios sumandos, se descompone en tantos
determinantes como sumandos haya
56. El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Rango de una matriz por determinantes I
Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar
ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al
determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo
alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p
dado.
Definición:
El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores
distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A).
Consecuencias
Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su
determinante es cero.
57. • Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 4.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 4.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 3.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y
columnas posibles para formar matrices de
orden 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A) ≥ 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada
de orden tres es distinto de cero rang(A) ≥ 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A) ≥ 2.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A) ≥ 2.
En caso contrario rang(A) = 1En caso contrario rang(A) = 1
En caso contrario rang(A) = 2En caso contrario rang(A) = 2
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden cuatro es distinto de cero rang(A) ≥ 4.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden cuatro es distinto de cero rang(A) ≥ 4.
En caso contrario rang(A) = 3En caso contrario rang(A) = 3
Y así hasta que no sea posible continuarY así hasta que no sea posible continuar
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) ≥ 1.
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) ≥ 1.
Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz
58. • La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.
• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a
la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.
Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I)
Ejemplo: Dada la matriz (A) =
2 -2 2
2 1 0
3 -2 2
, su adjunta sería:
adj (A)=
1 0
–2 2 –
2 0
3 2
2 1
3 –2
–
–2 2
–2 2
2 2
3 2 –
2 –2
3 –2
–2 2
1 0 –
2 2
2 0
2 –2
2 1
=
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
• Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado
por (-1)i+j
59. La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2 ≠ 0
Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II)
Ejemplo:Dada la matriz A =
2 –2 2
2 1 0
3 –2 2
, pretendemos encontrar su inversa:
Ya hemos visto que: adj (A) =
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
Entonces: [adj (A)]
t
=
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
Por lo tanto: A
–1
=
1
| A | [adj (A)]
t
=
1
–2
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
=
–1 0 1
2 1 –2
7/2 1 –3
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los
elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de
los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0
60. Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos I
61. Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos II
62. • El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de
una fila o columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los
elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga
1 ó –1, para simplificar los cálculos.
• 2ª fila por (–3) + 1ª fila
• 2ª fila por (–2) + 3ª fila
• 2ª fila por (–3) + 4ª fila
desarrollo por 1ª
columna
• 1ª fila por 1 + 3ª fila
desarrollo por 1ª
columna
–18
Cálculo de determinantes por el método de Gaus
Ejemplo:
3 5 – 2 6
1 2 – 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
=
0 – 1 1 3
1 2 –1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
= –1
.
– 1 1 3
0 3 3
1 8 0
= –1
.
– 1 1 3
0 3 3
0 9 3
=
= (–1)
.
(–1)
3 3
9 3 =