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1. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA
CRES
APUNTE TEÓRICO – PRÁCTICO
UNIDAD N° 2
“Álgebra Matricial”
Docentes:
Ing. Micaela Mulassano
Ing. Luana Genero

2. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 2
2. ÁLGEBRA MATRICIAL
2.1 Matriz
Dados m y n enteros positivos, una matriz A de 𝑚 𝑥 𝑛 es un arreglo rectangular de escalares
dispuestos en m renglones y n columnas.
Los 𝑚 𝑥 𝑛 números del arreglo se denominan elementos de la matriz, y un elemento genérico de
A se simboliza con 𝑎𝑖𝑗 (elemento ubicado en el i-ésimo renglón o fila y en la j-ésima columna). Se
utilizan paréntesis o corchetes para encerrar a los 𝑚 𝑥 𝑛 elementos de la matriz; y en general, se
emplean letras mayúsculas para designar a las matrices.
En símbolos:
𝐴𝑚𝑥𝑛 =
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑗 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛
]
, o bien
𝐴𝑚𝑥𝑛 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚 𝑥 𝑛, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
Si bien los escalares pueden resultar complejos, se trabajará sobre matrices con elementos reales.
Estas matrices se denominan matrices reales y se simbolizan con A ∈ ℝn x m
.
(𝑎𝑖1; 𝑎𝑖2; … ; 𝑎𝑖𝑛) es un renglón o fila 𝑖 de 𝑨, y
(
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
.
.
.
𝑎𝑚𝑗)
es la columna 𝑗 de 𝑨.
El vector (𝑎𝑖1; 𝑎𝑖2; … ; 𝑎𝑖𝑛) es el vector renglón 𝑖, y (𝑎1𝑗; 𝑎2𝑗; … ; 𝑎𝑚𝑗) es el vector columna 𝑗.
2.1.1 Tamaño u orden de una matriz
Una matriz tiene m filas y n columnas es de tamaño u orden 𝑚 𝑥 𝑛 (se lee m por n)
2.1.2 Matriz fila
Si una matriz es de tamaño 1 𝑥 𝑛, se denomina matriz fila o vector fila.
2.1.3 Matriz columna
Si una matriz es de tamaño 𝑚 𝑥 1, se denomina matriz columna o vector columna.

3. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 3
2.1.4 Matriz cuadrada
Una matriz 𝐴𝑚𝑥𝑛 es cuadrada si 𝑚 = 𝑛. En este caso, se dice que el tamaño de A es n.
Los elementos de una matriz cuadrada 𝑎11; 𝑎22; … ; 𝑎𝑛−1 𝑛−1; 𝑎𝑛𝑛 forman la diagonal principal de
A, y los elementos 𝑎1 𝑛; 𝑎2 𝑛−1;… ; 𝑎𝑛−1 2; 𝑎𝑛 1 constituyen la diagonal secundaria de A.
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1 𝑛−1 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2 𝑛−1 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛−1 1 𝑎𝑛−1 2 … 𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑛
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛𝑛 ]
Diagonal Principal
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1 𝑛−1 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2 𝑛−1 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛−1 1 𝑎𝑛−1 2 … 𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛−1 𝑛
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛 𝑛−1 𝑎𝑛𝑛 ]
Diagonal Secundaria
2.1.5 Matriz identidad y matriz nula
Se denomina matriz identidad, y se simboliza con I, a la matriz cuadrada tal que
𝑎𝑖𝑗 = {
1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
Se denomina matriz cero o matriz nula, y se simboliza con O, a la matriz tal que
⩝ 𝑖,⩝ 𝑗 ∶ 𝑎𝑖𝑗 = 0
Por ejemplo, [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] es la matriz identidad de tamaño 3, que se nota como I3, y [
0 0 0
0 0 0
]es la
matriz nula de tamaño 2 x 3.
2.1.6 Igualdad de matrices
Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo tamaño y si 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ⩝ 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑦 ⩝
𝑗 = 1,2, … , 𝑛, es decir, cuando los elementos correspondientes (homólogos) son iguales.
Por ejemplo, dadas 𝐴 = [
1 2 3
−1 𝑥 0
] ; 𝐵 = [
1 2 3
−1 3 𝑦
] ; 𝐶 = [
1 2
−1 𝑥
],

4. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 4
𝐴 = 𝐵 ↔ 𝒙 = 𝟑 y 𝒚 = 𝟎
Y 𝐶 ≠ 𝐴 porque son de distinto tamaño.
2.2 Operaciones con matrices
2.2.1 Suma de matrices
Dadas las matrices A y B, dos matrices cualesquiera del mismo tamaño, la suma de A+B es otra
matriz C del mismo tamaño que se obtiene de sumar los elementos homólogos de las matrices dadas.
Sean 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
Entonces la suma de A y B es la matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
/ ∀𝑖; ∀𝑗: 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
En símbolos:
Si 𝐴 =
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
. . .
. . .
. . .
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 ]
y 𝐵 =
[
𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛
𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛
. . .
. . .
. . .
𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 𝑏𝑚𝑛 ]
, entonces
𝐶 = 𝐴 + 𝐵 =
[
𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 … 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛
𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 … 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛
. . .
. . .
. . .
𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛]
Así, cuando 𝐴 = [
1 2 3
−1 𝑥 0
] y 𝐵 = [
−2 1 −2
1 3 𝑥
], entonces 𝐶 = [
−1 3 1
0 3 + 𝑥 𝑥
]
2.2.2 Multiplicación de una matriz por un escalar
Sean 𝝀 un escalar, 𝝀 𝜖 𝑅 y 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
, una matriz cualquiera, el producto 𝝀𝑨 es otra matriz
de la misma dimensión que la matriz A.
Entonces la matriz 𝑩 = 𝝀𝑨 se obtiene al multiplicar cada componente de A por el escalar 𝝀.
Esto es, 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)
𝑚𝑥𝑛
/ ⩝ 𝑖; ⩝ 𝑗: 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗
En símbolos, si 𝐴 =
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
. . .
. . .
. . .
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 ]
→ 𝜆𝐴 =
[
𝜆𝑎11 𝜆𝑎12 … 𝜆𝑎1𝑛
𝜆𝑎21 𝜆𝑎22 … 𝜆𝑎2𝑛
. . .
. . .
. . .
𝜆𝑎𝑚1 𝜆𝑎𝑚2 𝜆𝑎𝑚𝑛 ]

5. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 5
Así, cuando 𝐴 = [
1 2 3
−1 𝑥 0
], entonces:
 2𝐴 = [
2 4 6
−2 2𝑥 0
]
 (−
1
2
) 𝐴 = [
−
1
2
−1 −
3
2
1
2
−
𝑥
2
0
]
 1𝐴 = [
1 2 3
−1 𝑥 0
]
 0𝐴 = [
0 0 0
0 0 0
]
 (−1)𝐴 = [
−1 −2 −3
1 −𝑥 0
]
La matriz (−1)𝐴 se denomina opuesta de A, y se simboliza con −𝐴.
Al combinar las dos operaciones anteriores se puede plantear la combinación lineal de dos
matrices, esto es 𝜆1𝐴 + 𝜆2𝐵.
Si, en particular, 𝜆1 = 1, y 𝜆2 = −1, la matriz resultante 1𝐴 + (−1)𝐵 = 𝐴 − 𝐵 se denomina
matriz diferencia de A y B.
2.2.3 Producto de matrices
Dadas 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)
𝑚𝑥𝑙
y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)
𝑙𝑥𝑛
. Entonces el producto de A y B es una matriz:
𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)
𝑚𝑥𝑛
/ ⩝ 𝑖;⩝ 𝑗: 𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗
𝑙
𝑘=1
En otras palabras, cada elemento 𝑐𝑖𝑗 de la matriz producto se obtiene al realizar el producto punto
del vector fila i-ésima de A y el j-ésimo vector de B.
Advierta que para poder realizar el producto 𝐴𝑥𝐵, la cantidad de columnas de A debe ser igual a la
cantidad de filas de B. La matriz producto tiene tantas filas como A y tantas columnas como B.
𝐴 𝑚 𝑥 𝑙 𝐵𝑙 𝑥 𝑛 = 𝐶𝑚 𝑥 𝑛
𝐴𝑚𝑥𝑙 =
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑙
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑙
⋮ ⋮ … ⋮
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑙
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑙]
y 𝐵𝑙𝑥𝑛 =
[
𝑏11 𝑏12 𝑏1𝑗 𝑏1𝑛
𝑏21 𝑏22 𝑏2𝑗 𝑏2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑏𝑙1 𝑏𝑙2 𝑏𝑙𝑗 𝑏𝑙𝑛 ]
=

6. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 6
AxB = C 𝑚𝑥𝑛 =
[
𝑐11 𝑐12 … 𝑐1𝑗 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑐2𝑗 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑐𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑐𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛]
𝐶𝑖𝑗 = (𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑙) *
(
𝑏1𝑗
𝑏2𝑗
⋮
𝑏𝑙𝑗 )
= 𝑎𝑖1 𝑥 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑥 𝑏2𝑗 + 𝑎𝑖1 𝑥 𝑏1𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑙 𝑥 𝑏𝑙𝑗
Si se define al vector fila “i” de la matriz A como (𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑙) y al vector columna “j” de B como
(𝑏1𝑗 𝑏2𝑗 … 𝑏𝑙𝑗), el elemento 𝑐𝑖𝑗 puede interpretarse como el producto punto entre el vector
renglón (𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑙) y el vector columna (𝑏𝑖𝑗 𝑏2𝑗 … 𝑏𝑙𝑗)
𝐶𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑥 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑥 𝑏2𝑗 + 𝑎𝑖1 𝑥 𝑏1𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑙 𝑥 𝑏𝑙𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗
𝑙
𝑘=1
Realizar el producto mediante la definición resulta tedioso y lento, más aún cuando las
matrices son de gran tamaño. Existe una regla práctica para realizar la tarea:
(
𝑏1𝑗
𝑏2𝑗
⋮
𝑏𝑙𝑗 )
(𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑙) 𝐶𝑖𝑗

7. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 7
C 𝑚𝑥𝑛 = AxB
[
𝑏11 𝑏12 𝑏1𝑗 𝑏1𝑛
𝑏21 𝑏22 𝑏2𝑗 𝑏2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑏𝑙1 𝑏𝑙2 𝑏𝑙𝑗 𝑏𝑙𝑛 ]
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑙
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑙
⋮ ⋮ … ⋮
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑙
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑙] [
𝑐11 𝑐12 … 𝑐1𝑗 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑐2𝑗 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑐𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑐𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛]
2.2.4 Propiedades de las operaciones matriciales
Las propiedades de las operaciones matriciales definidas son suma, multiplicación por un
escalar, y producto.
Sean 𝜆, 𝜆1 𝑦 𝜆2 escalares, y 𝐴, 𝐵 y 𝐶 matrices (en todos los casos se supone que su tamaño
permite realizar las operaciones). 𝑂 es la matriz nula.
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 → 𝐿𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎
2. (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) → 𝐿𝑒𝑦 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎
3. 𝜆 (𝐴 + 𝐵) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵 → 𝐿𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎
4. (𝜆1 + 𝜆2)𝐴 = 𝜆1𝐴 + 𝜆2𝐴 → 𝐿𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎
5. 𝐴 + 𝑂 = 𝐴 → 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎
6. 𝐴 + (−𝐴) = 𝑂 → 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑢 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎
7. 1𝐴 = 𝐴 → 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
8. 𝜆𝐴 = 𝑂 ↔ 𝜆 = 0 v 𝐴 = 𝑂
9. 𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑛𝐴 = 𝐴, siendo 𝐴𝑛𝑥𝑛 → 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛
10. (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 → 𝐿𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
11. 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 → 𝐿𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
12. (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) → 𝐿𝑒𝑦 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
13. (𝜆1𝜆2)𝐴 = 𝜆1(𝜆2𝐴) → 𝐿𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
14. 𝜆(𝐴𝐵) = (𝜆𝐴)𝐵 = 𝐴(𝜆𝐵) → 𝐿𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
15. 𝐴𝑂 = 𝑂𝐴, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴𝑛𝑥𝑛 →
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠
16. 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠 (𝐴 ≠ 𝑂, 𝐵 ≠ 𝑂) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴𝐵 = 𝑂 →
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜
17. 𝐵 = 𝐶 → 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
𝐵 = 𝐶 → 𝐵𝐴 = 𝐶𝐴 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
Sin embargo, el producto entre matrices no goza de la propiedad cancelativa
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 → 𝐵 = 𝐶

8. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 8
𝐵𝐴 = 𝐶𝐴 → 𝐵 = 𝐶
Todas estas propiedades se demuestran en forma sencilla usando, por lo general, la definición
de las operaciones y las propiedades de los escalares.
2.2.5 Potencia de una matriz
La potencia de una matriz se define en términos de la multiplicación de la matriz consigo
misma un número finito de veces.
Si A es un matriz cuadrada, es posible realizar el producto A.A…A (n veces). Para simbolizar
esta matriz se usa la misma notación exponencial que para los números, esto es 𝐴𝑛
= A.A…A (n veces).
Ejemplo
Dada la matriz 𝐴 = [
1 −1
2 0
], calcular 𝐴5
.
Solución
[
1 −1
2 0
] [
1 −1
2 0
] [
1 −1
2 0
] [
1 −1
2 0
]
[
1 −1
2 0
] [
−1 −1
2 −2
] [
−3 1
−2 2
] [
−1 3
−6 2
] [
5 1
−2 6
]
A A2 A3 A4 A5
Por la propiedad asociativa de la multiplicación de matrices, también podría haberse resuelto
haciendo A2 A2 A o A3 A2.
2.2.6 Transpuesta de una matriz
Sea una matriz 𝐴mxn, se dice que 𝐵nxm es la matriz transpuesta de 𝐴 ↔ ∀𝑖; ∀𝑗: 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑗𝑖. La
matriz transpuesta de 𝐴 se simboliza con 𝐴𝑇
.
Así,
[
1 2
3 4
5 6
]
𝑇
= [
1 3 5
2 4 6
]
[
1 0 −4
8 2 3
−1 −3 3
]
𝑇
= [
1 8 −1
0 2 −3
−4 3 3
]
[
1 4 −2
4 2 0
−2 0 3
]
𝑇
= [
1 4 −2
4 2 0
−2 0 3
]

9. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 9
[
0 −4 −1
4 0 3
1 −3 0
]
𝑇
= [
0 4 1
−4 0 −3
−1 3 0
]
Advierta que la fila k de una matriz pasa a ser la columna k en la matriz transpuesta.
Dado que trasponer significa intercambiar fila por columna, es común escribir un elemento cualquiera
𝑎𝑗𝑖 como 𝑎𝑖𝑗
𝑇
(el elemento que se encuentra en la posición ji de una matriz es el que está en la posición
ij de su transpuesta).
2.2.6.1 Matriz simétrica y antisimétrica
Una matriz simétrica coincide con su transpuesta, y antisimétrica coincide con la matriz
opuesta de su transpuesta, esto es:
A es simétrica si 𝐴 = 𝐴𝑇
A es antisimétrica si 𝐴 = −𝐴𝑇
A partir de la definición se puede concluir que tanto las matrices simétricas como las antisimétricas
deben ser cuadradas.
Las matrices [
1 4 −2
4 2 0
−2 0 3
] 𝑦 [
1 0 0
0 2 0
0 0 3
] son simétricas, ya que 𝐴 = 𝐴𝑇
.
Observamos que
[
1 4 −2
4 2 0
−2 0 3
]
𝑇
= [
1 4 −2
4 2 0
−2 0 3
], y [
1 0 0
0 2 0
0 0 3
]
𝑇
= [
1 0 0
0 2 0
0 0 3
]
La matriz [
0 −4 −1
4 0 3
1 −3 0
] es antisimétrica, ya que 𝐴𝑇
= −𝐴
[
0 −4 −1
4 0 3
1 −3 0
]
𝑇
= [
0 4 1
−4 0 −3
−1 3 0
] = (−1) [
0 −4 −1
4 0 3
1 −3 0
]
Advierta que todos los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica deben ser
nulos (𝑎𝑖𝑖 = −𝑎𝑖𝑖 → 𝑎𝑖𝑖 = 0).

10. Apunte teórico-práctico
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pág. 10
2.2.7 Inversa de una matriz
Sean 𝐴 y 𝐵 dos matrices de 𝑛𝑥𝑛. Se dice que 𝐵 es inversa de 𝐴 ↔ 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼.
Si 𝐵 existe, se dice que 𝐴 es invertible o no singular y se denota con 𝐴−1
.
Entonces 𝑨𝑨−𝟏
= 𝑨−𝟏
𝑨 = 𝑰
Advierta que la definición no asegura que toda matriz cuadrada sea invertible. De hecho, hay
muchas matrices cuadradas que no son invertibles. Estas se denominan singulares, o no invertibles.
Si una matriz tiene inversa, esta es única.
Para demostrarlo suponemos que tanto B como C son inversas de A.
B es inversa de A  AB = BA = I
C es inversa de A  AC = CA = I
A partir de AB = I es posible premultiplicar miembro a miembro por la matriz C.
Luego, CAB = CI, y dado que C es la inversa de A, CA = I.
Además, CI = C y BI = B.
De manera sintética: AB = I  CAB = CI  IB = CI  B=C  𝑨−𝟏
es única.
Ejemplo:
Mostrar que 𝐵 = [
1 2 −1
0 1 1
−2 0 5
] es la inversa de 𝐶 = [
−5 10 −3
2 −3 1
−2 4 −1
].
Solución:
Si B es la inversa de C, debe cumplirse que 𝐵𝐶 = 𝐶𝐵 = 𝐼.
BC =
[
−5 10 −3
2 −3 1
−2 4 −1
]
[
1 2 −1
0 1 1
−2 0 5
] [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
CB =
[
1 2 −1
0 1 1
−2 0 5
]
[
−5 10 −3
2 −3 1
−2 4 −1
] [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]

11. Apunte teórico-práctico
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pág. 11
2.2.7.1 Cálculo de la matriz inversa
Sea 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21
⋮
𝑎22 ⋯
⋮
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
] y su inversa 𝐴−1
= [
𝑥11 𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑛
𝑥21
⋮
𝑥22 ⋯
⋮
𝑥2𝑛
⋮
𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 ⋯ 𝑥𝑛𝑛
]
Entonces por definición 𝐴𝐴−1
= 𝐴−1
𝐴 = 𝐼
Al resolver el producto: 𝐴𝐴−1
= 𝐼
[
𝑥11 𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑛
𝑥21
⋮
𝑥22 ⋯
⋮
𝑥2𝑛
⋮
𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 ⋯ 𝑥𝑛𝑛
]
[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21
⋮
𝑎22 ⋯
⋮
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
] [
1 0 ⋯ 0
0
⋮
1 ⋯
⋮
0
⋮
0 0 ⋯ 1
]
Se tiene, para cada columna de I, un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
Para la primera columna de la matriz, resulta el sistema:
𝑆1 {
𝑎11𝑥11 + 𝑎12𝑥21 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛1 = 1
𝑎21𝑥11 + 𝑎22𝑥21 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛1 = 0
… … … … … …
𝑎𝑛1𝑥11 + 𝑎𝑛2𝑥21 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛1 = 0
Para la segunda columna de la matriz, resulta el sistema:
𝑆2 {
𝑎11𝑥12 + 𝑎12𝑥22 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛2 = 0
𝑎21𝑥12 + 𝑎22𝑥22 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛2 = 1
… … … … … …
𝑎𝑛1𝑥12 + 𝑎𝑛2𝑥22 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛2 = 0
Para la i-ésima columna de la matriz, resulta el sistema:
𝑆𝑖
{
𝑎11𝑥1𝑖 + 𝑎12𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛𝑖 = 0
𝑎21𝑥1𝑖 + 𝑎22𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛𝑖 = 0
… … … … … …
𝑎𝑖1𝑥1𝑖 + 𝑎𝑖2𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑥𝑛𝑖 = 1
… … … … … …
𝑎𝑛1𝑥1𝑖 + 𝑎𝑛2𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛𝑖 = 0
Por último, para la columna n-ésima se tendrá
𝑆𝑛 {
𝑎11𝑥1𝑛 + 𝑎12𝑥2𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛𝑛 = 0
𝑎21𝑥1𝑛 + 𝑎22𝑥2𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛𝑛 = 0
… … … … … …
𝑎𝑛1𝑥1𝑛 + 𝑎𝑛2𝑥2𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛𝑛 = 1
Advierta que cada sistema lineal tiene n incógnitas. Las 𝑛2 incógnitas totales son los elementos 𝑥𝑖𝑗
de la matriz inversa. Encontrar la matriz inversa implica determinar la solución de los 𝑛 sistemas
lineales.
Observemos que las 𝑛 incógnitas del sistema S1 son 𝑥11; 𝑥21; … ; 𝑥𝑛1
Si se resuelve S1 con el método de eliminación de Gauss-Jordan se tendrá:

12. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 12
[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21
⋮
𝑎22 ⋯
⋮
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
|
1
0
⋮
0
] realizando operaciones elementales de filas: [
1 0 ⋯ 0
0
⋮
1 ⋯
⋮
0
⋮
0 0 ⋯ 1
|
𝑥11
𝑥21
⋮
𝑥𝑛1
]
En el caso de que S1 sea compatible determinado.
Las 𝑛 incógnitas del sistema S2 son 𝑥12; 𝑥22; … ; 𝑥𝑛2
Si se resuelve S2 de igual manera:
[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21
⋮
𝑎22 ⋯
⋮
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
|
0
1
⋮
0
], se obtiene [
1 0 ⋯ 0
0
⋮
1 ⋯
⋮
0
⋮
0 0 ⋯ 1
|
𝑥12
𝑥22
⋮
𝑥𝑛2
].
Procediendo de forma similar hasta el n-ésimo sistema Sn, cuyas incógnitas son 𝑥1𝑛; 𝑥2𝑛; … ; 𝑥𝑛𝑛
se resuelve Sn escalonando:
[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21
⋮
𝑎22 ⋯
⋮
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
|
0
0
⋮
1
], se obtiene [
1 0 ⋯ 0
0
⋮
1 ⋯
⋮
0
⋮
0 0 ⋯ 1
|
𝑥1𝑛
𝑥2𝑛
⋮
𝑥𝑛𝑛
]
Advierta que los n sistemas comparten la matriz de los coeficientes y que solo varías en los términos
independientes. Luego, las operaciones para escalonar serán las mismas en los n sistemas. Por lo
tanto, es posible sistematizar los cálculos (para no repetirlos), escalonando la siguiente matriz
ampliada:
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21
⋮
𝑎22 ⋯
⋮
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
|
1 0 ⋯ 0
0
⋮
1 ⋯
⋮
0
⋮
0 0 ⋯ 1
S1 S2 … Sn
Se realiza el escalonamiento aplicando las operaciones elementales sobre los renglones hasta
reducir, si es posible, la matriz A a la matriz identidad. Al aplicar estas operaciones a la matriz
identidad ubicada a la derecha, esta cambia a la inversa de A.
[
1 0 ⋯ 0
0
⋮
1 ⋯
⋮
0
⋮
0 0 ⋯ 1
|
𝑥11 𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑛
𝑥21
⋮
𝑥22 ⋯
⋮
𝑥2𝑛
⋮
𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 ⋯ 𝑥𝑛𝑛
].
Entonces para encontrar 𝐴−1
se escribe A seguida por la matriz I, se lleva la matriz A a su forma
escalonada reducida por renglones. Si ésta resulta ser la matriz identidad, matriz que se obtiene a la
derecha es 𝐴−1
.
Simbólicamente:
Operaciones elementales por renglón
A | I I | 𝑨−𝟏

13. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 13
2.2.8 Propiedades de la transposición e inversión de matrices
1. (𝐴 + 𝐵)𝑇
= 𝐴𝑇
+ 𝐵𝑇
2. (𝜆𝐴)𝑇
= 𝜆𝐴𝑇
3. (𝐴𝑇
)𝑇
= 𝐴
4. (𝐴𝐵)𝑇
= 𝐵𝑇
𝐴𝑇
5. (𝐴−1
)−1
= 𝐴
6. 𝐵−1
𝐴−1
= (𝐴𝐵)−1
7. (𝐴𝑇
)−1
= (𝐴−1
)𝑇
8. (𝜆𝐴)−1
=
1
𝜆
𝐴−1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜆 ≠ 0
9. (𝐴𝑛
)−1
= (𝐴−1
)𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ∈ ℕ
2.3 Matrices Especiales
Ya definimos, oportunamente, el concepto de matriz fila, matriz columna, matriz nula, matriz
identidad, matriz simétrica, matriz antisimétrica, matriz invertible (regular o no singular) y matriz
singular (matriz no invertible).
Consideramos conveniente agregar otras matrices especiales, que reúnen condiciones particulares:
 Matriz escalar: 𝐴𝑛𝑥𝑛 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛
/𝑎𝑖𝑗 = {
𝑘 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
, para 𝑘 ∈ ℕ
 Matriz diagonal: 𝐴𝑛𝑥𝑛 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛
/𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
 Matriz cuadrada triangular:
a) Superior: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛
/𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗
b) Inferior: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛
/𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗
 Matriz idempotente: 𝐴2
= 𝐴
 Matriz nilpotente: 𝐴𝑘
= 𝑂/ 𝑘 Є 𝑁 ^𝑘 ≥ 2
 Matriz involutiva: 𝐴2
= 𝐼
 Matriz ortogonal: 𝐴−1
= 𝐴𝑇
2.4 Matriz Elemental
Es la matriz cuadrada que resulta de aplicarle una sola operación elemental de fila a una matriz
identidad.
Ejemplo: [
2 0
0 1
] es una matriz elemental ya que: [
1 0
0 1
] 2𝑟1
De esta manera, las matrices elementales suelen designarse con las letras E, o bien, teniendo en
cuenta la operación realizada, es decir:
 Multiplicación: 𝑘𝑟1

14. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 14
 Permutación (o intercambio): 𝑟𝑖 ↔ 𝑟𝑗
 Adición: 𝑟𝑖 + 𝑘 𝑟𝑗
Matriz inversa como un producto de matrices elementales
Dada la matriz A y después de obtener la matriz inversa de A, aplicando las operaciones
elementales de Gauss-Jordan sobre la matriz hasta obtener la matriz identidad, podemos expresar
cada operación elemental como matriz, de esta forma obtenemos las matrices elementales de A.
𝐸1, 𝐸2 … 𝐸𝑚
Al multiplicar por izquierda a la matriz A por las matrices elementales E se obtiene la matriz
identidad.
𝐼 = 𝐸𝑚 ∗ 𝐸𝑚−1 ∗ … ∗ 𝐸2 ∗ 𝐸1 ∗ 𝐴
𝐴−1
Dado que el producto entre una matriz y su inversa da como resultado la matriz identidad, el
producto de las matrices elementales es la matriz inversa de A
𝐴−1
= 𝐸𝑚 + 𝐸𝑚−1 + ⋯ + 𝐸2 + 𝐸1
Si elevamos toda la expresión al exponente (−1) y trabajamos matricialmente podemos
expresar a la matriz A como producto de matrices elementales.
(𝐴−1
)−1
= (𝐸𝑚
+ 𝐸𝑚−1 + ⋯ + 𝐸2 + 𝐸1)
−1
𝐴 = 𝐸1
−1
∗ 𝐸2
−1
∗ … ,∗ 𝐸𝑚
−1
2.5 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sea S el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
𝑆𝑚𝑥𝑛
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3
… … … … … …
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

15. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 15
Este se puede reescribir usando matrices de la siguiente forma:
𝐴𝑚𝑥𝑛𝑥𝑛𝑥1
[
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛
]
[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21
⋮
𝑎22 ⋯
⋮
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
] [
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
… … … … … …
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
]
𝐴𝑚𝑥𝑛𝑥𝑛𝑥1 = 𝑏𝑚𝑥1
[
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛
]
[
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21
⋮
𝑎22 ⋯
⋮
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
] [
𝑏1
𝑏2
…
𝑏𝑚
]
Luego S tiene una expresión matricial dada por 𝐴𝑚𝑥𝑛𝑥𝑛𝑥1 = 𝑏𝑚𝑥1, donde 𝐴𝑚𝑥𝑛 es la matriz de los
coeficientes; 𝑥𝑛𝑥1 es la matriz columna de las n incógnitas y 𝑏𝑚𝑥1 es la matriz columna de los m
términos independientes.
En general 𝐴𝑚𝑥𝑛𝑥𝑛𝑥1 = 𝑏𝑚𝑥1, es la forma matricial de un S.E.L.
Cuando se trata de un S.E.L.H. se tiene que 𝑏 = [
0
0
…
0
], entonces la forma matricial será 𝐴𝑚𝑥𝑛𝑥𝑛𝑥1 =
0
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales de n ecuaciones y n incógnitas
Si el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas, la matriz A es cuadrada. El sistema se expresa
como 𝐴𝑛𝑥𝑛𝑥𝑛𝑥1 = 𝑏𝑛𝑥1 .
Si A es una matriz regular, entonces es posible encontrar la matriz incógnita x premultiplicando
miembro a miembro por A-1
:
𝐴𝑥 = 𝑏
𝐴−1
𝐴𝑥 = 𝐴−1
𝑏
𝐼𝑥 = 𝐴−1
𝑏
𝑥 = 𝐴−1
𝑏
Si el sistema es homogéneo, la matriz de los términos independientes es la matriz nula.

16. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 16
Si existe A-1
:
𝐴𝑥 = 0
𝐴−1
𝐴𝑥 = 𝐴−1
0
𝑥 = 0
En el caso de que la inversa de A no exista, el sistema homogéneo de n ecuaciones y n incógnitas
será evidentemente indeterminado (recordemos que no puede ser incompatible).
Si el sistema es no homogéneo, la no existencia de A-1
no concluye sobre el tipo de solución. El
sistema podrá ser compatible indeterminado o incompatible.
Luego son equivalentes las siguientes proposiciones:
Un sistema lineal de ecuaciones 𝑨𝒏𝒙𝒏𝒙 = 𝒃 es compatible determinado ↔ ∃ 𝐴−1
Un sistema lineal de ecuaciones 𝑨𝒏𝒙𝒏𝒙 = 𝟎 no tiene soluciones no triviales ↔ ∃ 𝐴−1
Un sistema lineal de ecuaciones 𝑨𝒏𝒙𝒏𝒙 = 𝟎 tiene soluciones no triviales ↔ ∄ 𝐴−1

17. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 17
Ejercicios: ÁLGEBRA MATRICIAL
1. Dadas las siguientes matrices:
a. 𝐴 = [
1 2 −2
3 −1 0
]
b. 𝐵 = [
9 4 −1 2
−2 3 1 1
−1 5 6 −6
]
c. 𝐶 = [
−2 3 0 2
−3 4 1 1
−1 −2 2 4
]
d. 𝐷 = [
7 2 −3
4 0 2
]
Calcular las siguientes operaciones matriciales:
a. −2𝐴
b. 𝐴 + 𝐵
c. 3𝐴 − 𝐷
d. 2𝐵 + 𝐶
e. −𝐴 + 3𝐷
f. −𝐶
g. 𝐵 − 2𝐶
h. 𝐶 + 𝐷
2. Dadas las siguientes matrices, obtener la matriz transpuesta.
𝐴 = [
−1 3 2
0 −2 5
4 −1 1
] 𝐵 = [
2 −1
5 −2
3 −3
] 𝐶 = [
−2
3
−3
]
3. Dadas las siguientes matrices:
𝑀 = [
2 3
1 5
−1 1
3 −2
]
𝑁 = [
1 3 7
2 −1 1
]
𝑂 = [
3 5 2 2
1 1 4 2
1 2 6 3
]
𝑃 = [8 5 1 0]
𝑄 = [
1 2 2
1 2 1
]
𝑅 = [
3 −1 0
1 2 −2
4 1 −1
]
𝑆 = [
2 1
−1 3
5 1
]
𝑈 = [
−3 2 1
1 −2 3
]
𝑉 = [
4
2
−2
]
Determinar cuáles de las siguientes expresiones matriciales existen. Para cada una de las que existen,
dar la matriz resultante y su dimensión.
a. 𝑀 𝑥 𝑁
b. 𝑁 𝑥 𝑀
c. [(𝑁 + 𝑄) 𝑥 𝑂] + 𝑀𝑇
d. (𝑃 𝑥 𝑂) + (𝑄 𝑥 𝑂)
e. (2 𝑂 𝑥 𝑀) 𝑥 (𝑁 + 3𝑄)
f. [(𝑃 𝑥 𝑀) 𝑥 (𝑁 + 𝑄)] 𝑥 𝑁𝑇
g. (𝑃 𝑥 𝑂) + (𝑀 𝑥 𝑃)𝑇
h. 𝑅 𝑥 𝑆

18. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 18
i. 2𝑆 𝑥 𝑈
j. 𝑈 𝑥 2𝑆
k. 𝑉𝑇
𝑥 𝑅
l. 𝑉 𝑥 𝑉𝑇
m. 𝑉𝑇
𝑥 𝑉
n. [(−3𝑈 + 𝑆𝑇) 𝑥 𝑉]𝑇
𝑥 𝑈
4. Dar la matriz A = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
], sabiendo que: 2𝐴 = [
3𝑎 𝑎 + 2𝑏
3𝑐 − 𝑑 𝑑 − 2
] + [
−3 −4𝑏
2 + 𝑐 3𝑑
]
5. Dadas las matrices A = [
1 2
𝒌 1
], B = [
1 𝒌
2 0
], C = [
1 0
3 2
]; hallar el valor de k para que se verifique
que: 2𝐴 − 𝐵 = 𝐶𝑇
.
6. Determinar si existe la matriz W = [
𝑠 𝑡 𝑠
𝑡 𝑠 𝑡
] tal que:
𝑊 𝑥 𝑊𝑇
+ 12 [
−2 2
2 −3
] = 𝑂 (Siendo O la matriz nula (2x2))
7. Dadas las matrices 𝑃 = [
3 3
−4 −4
] y 𝑄 = [
1 0
−1 0
], hallar 𝑃𝑥𝑄.
¿Qué conclusión puede obtenerse? ¿Ocurre lo mismo con el mismo con el producto 𝑄𝑥𝑃?
8. Dadas las siguientes matrices, hallar la matriz inversa aplicando el método de reducción por filas.
𝐴 = [
4 5
2 3
] 𝐵 = [
1 −2 −4
2 −3 −6
−3 6 15
] 𝐶 = [
−2 −1 0
0 2 2
1 3 2
]
9. Hallar la matriz A conociendo la matriz inversa 𝑨−𝟏
𝑨−𝟏
= [
−1 2
4 −7
]
10.
a. ¿Qué valores deben tomar a y b para que la matriz R dada sea simétrica?
𝑅 = [
2 𝑎 3
5 −6 2
𝑏 2 4
]
b. Determinar cuáles de las siguientes matrices son antisimétricas:
𝐴 = [
1 −6
6 0
] 𝐵 = [
0 −6
6 0
] 𝐶 = [
2 −2 −2
2 2 −2
2 2 2
] 𝐷 = [
0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0
]
c. Verificar cuáles de las siguientes matrices son idempotentes:
𝐴 = [
1 0
0 1
] 𝐵 = [
1 0
0 0
] 𝐶 = [
0 1
1 0
] 𝐷 = [
3 −6
1 −2
]
d. Verificar si la siguiente matriz es nilpotente para k = 3 (k = grado de nilpotencia).
𝐴 = [
2 6
−1 −3
]
e. Determinar cuáles de las siguientes matrices son involutivas:
𝐴 = [
0 −1
0 1
] 𝐵 = [
−1 0
−1 1
] 𝐶 = [
1 −2
0 1
] 𝐷 = [
−1 2
0 1
]

19. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 19
11. Escribir la matriz de 3𝑥3 que lleva a cabo la siguiente operación elemental de fila:
a. 𝑅2 → 4𝑅2
b. 𝑅2 → 𝑅2 + 2𝑅1
c. 𝑅1 → 𝑅1 − 3𝑅2
12. Dadas las siguientes matrices, demostrar que cada una es invertible y escribirla como un producto
de matrices elementales.
a. 𝐴 = [
2 1
3 2
]
b. 𝐴 = [
1 1 1
0 2 3
5 5 1
]

20. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 20
Resultados: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.
a. −2𝐴 = [
−2 −4 4
−6 2 0
]
b. 𝐴 + 𝐵 = 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
c. 3𝐴 − 𝐷 = [
−4 4 −3
5 −3 −2
]
d. 2𝐵 + 𝐶 = [
16 11 −2 6
−7 10 3 3
−3 8 14 −8
]
e. −𝐴 + 3𝐷 = [
20 4 −7
9 1 6
]
f. −𝐶 = [
2 −3 0 −2
3 −4 −1 −1
1 2 −2 −4
]
g. 𝐵 − 2𝐶 = [
13 −2 −1 −2
4 −5 −1 −1
1 9 2 −14
]
h. 𝐶 + 𝐷 = 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
2. 𝐴𝑇
= [
−1 0 4
3 −2 −1
2 5 1
] 𝐵𝑇
= [
2 5 3
−1 −2 −3
] 𝐶𝑇
= [−2 3 −3]
3.
a. 𝑀 𝑥 𝑁 = [
8 3 17
11 −2 12
1 −4 −6
−1 11 19
]
b. 𝑁 𝑥 𝑀 = 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
c. [ (N + Q) x O] + 𝑀𝑇
= [
22 34 77 44
15 25 23 12
]
d. (P x O) + (Q x O) = 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.
e. (2O x M) x (N + 3Q) = [
440 590 646
120 170 194
186 256 286
]
f. [ (P x M) x (N + Q)] x 𝑁𝑇
= [2600 510]
g. (𝑃 𝑥 𝑂) + (𝑀 𝑥 𝑃)𝑇
= 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.
h. R x S = [
7 0
−10 5
2 6
]
i. 2S x U = [
−10 4 10
12 −16 16
−28 16 16
]
j. 𝑈 𝑥 2𝑆 = [
−6 8
38 −4
]
k. 𝑉𝑇
x R = [6 −2 −2]

21. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 21
l. V x 𝑉𝑇
= [
16 8 −8
8 4 −4
−8 −4 4
]
m. 𝑉𝑇
x V = [24]
n. [−52 0 104]
4. 𝐴 = [
3
3
4
−1
2
1
]
5. 𝑘 = 1
6. 𝑊1 = [
2 −4 2
−4 2 −4
]
𝑊2 = [
−2 4 −2
4 −2 4
]
7. 𝑃 𝑥 𝑄 = [
0 0
0 0
] El producto de dos matrices no nulas, pueden dar una matriz nula.
𝑄 𝑥 𝑃 = [
3 3
−3 −3
]
8.
𝐴−1
= [
3
2
−5
2
−1 2
]
𝐵−1
= [
−3 2 0
−4 1
−2
3
1 0
1
3
]
𝐶−1
= [
−1 1 −1
1 −2 2
−1
5
2
−2
]
9. 𝐴−1
= [
7 2
4 1
]
10.
a. Para 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 3 la matriz R es simétrica.
b. Las matrices A y C no son antisimétricas. Las matrices B y D son antisimétricas.
c. Las matrices A, B y D son idempotentes. La matriz C no es idempotente.
d. La matriz A, es nilpotente para k = 3.
e. Las matrices B y D son involutivas. Las matrices A y C no son involutivas.
11.
a. 𝐴 = [
1 0 0
0 4 0
0 0 1
]
b. 𝐴 = [
1 0 0
2 1 0
0 0 1
]

22. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES
pág. 22
c. 𝐴 = [
1 −3 0
0 1 0
0 0 1
]
12.
a. 𝐴 = [
2 0
0 1
] [
1 0
3 1
] [
1 0
0
1
2
] [
1
1
2
0 1
]
b. 𝐴 = [
1 0 0
0 1 0
5 0 1
] [
1 0 0
0 2 0
0 0 1
] [
1 1 0
0 1 0
0 0 1
] [
1 0 0
0 1 0
0 0 −4
] [
1 0 −
1
2
0 1 0
0 0 1
] [
1 0 0
0 1
3
2
0 0 1
]