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Matrices
- 1. DEFINICIÓN DE MATRÍZ Sellama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: a11 a21 A = (ai,j)= a31 a n1 a12 a22 a32 an 2 a13 a23 a33 an 3 a1n a2 n a3n ann Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.
- 2. MATRIZ: EJEMPLO Aquí semuestra una matriz 2 1 1 1 1 1 1 1 0 ÷ ÷ ÷
- 3. EXPRESIÓN MATRICIAL: EJEMPLO 2x + 5 y − 3 z =1 x - 4y + z = −2 El sistema 2 5 –3 Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = 1 –4 1 2 5 –3 1 Tiene la siguiente matriz ampliada: A* = 1 –4 1 –2 Tiene la siguiente expresión matricial: x 2 5 –3 1 y = – 2 1 –4 1 z
- 4. CLASIFICACIÓN DE MATRICES:FORMA • • Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que verifica que: Matriz fila: A = (1 3 5 7 9 ) • 2 Matriz columna: A = 4 6 • 1 3 5 Matriz cuadrada:A= 2 4 6 1 1 1 aij = a ji Diagonal secundaria Diagonal principal 2 4 1 2 3 5 4 5 -1 ⇒ A = AT • Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que verifica que: aij = -a ji ⇒ A = – T 0 2 -4 A 0 3 -2 4 -3 0
- 5. CLASIFICACIÓN DE MATRICES:ELEMENTOS • Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos. 0 0 0 O = 0 0 0 0 0 0 3× 3 0 O = 0 0 0 0 0 3 ×2 • Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. 2 0 0 D = 0 − 3 0 0 0 1 • Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales. 2 0 0 A = 0 2 0 0 0 2 • Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1. 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1 • Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros. 1 3 6 T = 0 − 2 3 0 0 4 • Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros. 1 0 0 T = 3 − 2 0 3 5 4
- 6. OPERACIONES CON MATRICES Trasposiciónde matrices Suma y diferencia de matrices Producto de una matriz por un número Producto de matrices Propiedades simplificativas Matrices inversibles
- 7. OPERACIONES CON MATRICESI 1.- Trasposición de matrices Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: Propiedades de la trasposición de matrices: 1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. (At)t = A.
- 8. MATRIZ TRASPUESTA: EJEMPLOY PROPIEDADES La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm. Ejemplo: Si A = 1 4 1 2 3 t entonces A = 2 5 4 5 6 3 6 Propiedades: I. Para la matriz A, (At)t = A II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At V. Si A es una matriz simétrica, At = A
- 9. OPERACIONES CON MATRICESII 2.- Suma y diferencia de matrices La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (a ij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo Sin embargo, no se pueden sumar. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)
- 10. SUMA DE MATRICES:EJ DE ORDEN 3 Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij) a11 a12 a13 a14 A + B = (a ) + (b ) = a21 a22 a23 a24 ij ij a31 a32 a33 a34 a11 + b11 = a21 + b21 a31 + b31 a12 + b12 a22 + b22 a32 + b32 b11 b12 b13 b14 + b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 a13 + b13 a14 + b14 a23 + b23 a24 + b24 a33 + b33 a34 + b34 = ij ij = (a + b )
- 11. PROPIEDADES DE LAADICIÓN DE MATRICES Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. • Asociativa: • Conmutativa: A + (B + C) = (A + B) + C A+B=B+A • Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula. • Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0 La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
- 12. OPERACIONES CON MATRICESIII 3.- Producto de un número por una matriz Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Si A = (aij), entonces kA = (kaij) a11 a12 a13 ka11 ka12 ka13 k . A = k . (aij) = k· a21 a22 a23 = ka21 ka22 ka23 = (kaij) a31 a32 a33 ka31 ka32 ka33
- 13. PROPIEDADES CON LASUMA Y EL PRODUCTO POR UN NÚMERO Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales. • Distributiva I: k(A + B) = kA + kB • Distributiva II: (k + h)A = kA + hA • Elemento neutro: • Asociativa mixta: 1·A=A k(hA) = (kh)A El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial
- 14. OPERACIONES CON MATRICESIV 4.- Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Pij = ∑a ik · bkj con k=1,….n Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, Ejemplos: no se pueden multiplicar