El documento define y explica conceptos básicos sobre matrices. Explica que una matriz es un conjunto de números dispuestos en forma rectangular con filas y columnas. Define elementos, dimensión, tipos de matrices como cuadradas, triangulares, nulas, etc. También cubre propiedades de sumas, productos y transposición de matrices.

1. Ing. Vanessa Borjas

2. Se denomina MATRIZ a todo conjunto de
números o expresiones dispuestos en
forma rectangular, formando filas y
columnas.
a11
…
a1j
…
a1n
a21
A=
a12
a22
…
a2j
…
a2n
…
…
…
…
…
…
ai1
…
…
aij
…
ain
…
…
…
…
…
…
am1
am2
…
amj
…
amn

3. a11
…
a1j
…
a1n
a21
a22
…
a2j
…
a2n
…
…
…
…
…
…
ai1
…
…
aij
…
ain
…
…
…
…
…
…
am1
A=
a12
am2
…
amj
…
amn
Son cada uno de los números contenidos
en la matriz. Un elemento se distingue de
otro por la posición que ocupa (la fila y
columna a la que pertenece).

4.  Es
el número de filas y columnas de una
matriz.
 Así, una matriz con 2 filas y 4 columnas
será de dimensión 2x4.
 Si la matriz tiene el mismo número de
filas que de columnas, se dice que es de
orden: 2, 3, …

5. El conjunto de matrices de m filas y n
columnas se denota por Amxn o (aij), y
un elemento cualquiera de la misma, que
se encuentra en la fila i y en la columna j,
por aij.
12
6
5
7
9
32
A=
3
8
10
Dimensión
(3x3)
Por ejemplo, el elemento a23 (es decir, el
elemento que está ubicado en la fila 2,
columna 3) de la matriz A es: 9.

6. Dos matrices son iguales cuando tienen
la misma dimensión y los elementos que
ocupan el mismo lugar en ambas, son
iguales.
12
A=
3
6
5
7
9
32
8
10
12
B=
(3x3)
A=B
3
6
5
7
9
32
8
10
(3x3)

7.  MATRIZ
FILA:
Constituida por una sola fila.
24
 MATRIZ
30
60
COLUMNA:
Constituida por una sola columna.
48
10
67

8.  MATRIZ
RECTANGULAR:
Tiene distinto número de filas que de columnas,
siendo su dimensión mxn.
12
6
5
 MATRIZ
3
7
9
CUADRADA:
Tiene el mismo número de filas que de columnas.
• Los elementos de la forma aii constituyen
la diagonal principal.
• La diagonal secundaria la forman los elementos
con i+j = n+1.
15
33
67
98

9.  MATRIZ
NULA:
Todos los elementos son ceros.
0
0
0
0
 MATRIZ TRIANGULAR
SUPERIOR:
Los elementos situados por debajo de la diagonal
principal son ceros.
12
3
6
0
7
9
0
0
10

10.  MATRIZ TRIANGULAR
INFERIOR:
Los elementos situados por encima de la diagonal
principal son ceros.
5
0
3
7
0
6
 MATRIZ
0
12
10
DIAGONAL:
Todos los elementos situados por encima y por
debajo de la diagonal principal son nulos.
5
0
0
0
7
0
0
0
10

11.  MATRIZ
ESCALAR:
Matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales.
2
0
0
2
0
0
 MATRIZ
0
0
2
IDENTIDAD O UNIDAD:
Es una matriz diagonal en la que los elementos de
la diagonal principal son iguales a 1.
1
0
0
0
1
0
0
0
1

12.  MATRIZ TRASPUESTA:
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de
A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas.
2
A=
3
0
1
2
0
3
5
6
Matriz traspuesta de A:
2
At =
1
3
3
2
5
0
0
6

13.  MATRIZ
REGULAR:
Es una matriz cuadrada que tiene inversa.
 MATRIZ
SINGULAR:
No tiene matriz inversa.
 MATRIZ
IDEMPOTENTE:
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
 MATRIZ
INVOLUTIVA:
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I

14.  MATRIZ
SIMÉTRICA:
Es una matriz cuadrada que verifica:
A = At
 MATRIZ
ANTISIMÉTRICA O HEMISIMÉTRICA:
Es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At
 MATRIZ
ORTOGONAL:
Es una matriz cuadrada que verifica que:
A . At = I

16. Dada una matriz de orden mxn,
A=[aij], se llama matriz traspuesta de A y
se representa por At, a la matriz que se
obtiene cambiando las filas por las
columnas (o viceversa) en la matriz A. Es
decir:
a11
A=
am1
…
…
a11
a1n
amn

At =
…
am1
a1n
…
amn

17.  PROPIEDADES:
• Dada una matriz A, siempre existe una
•
•
•
•
traspuesta y además es única.
(At)t = A.
(A+B)t = At + Bt
(α. A)t = α. At
(A.B)t = Bt . At

18. A=
2
5
0
1/2
7
8
2
At=
½
5
7
0
8
22
2
15
6
3/8
9
B=
87
4
3
22
Bt =
15
9
87
6
4
2
3/8
3

19. La suma de dos matrices A=[aij], B=[bij] de la
misma dimensión, es otra matriz S=[sij] de la
misma dimensión que los sumandos y con término
genérico sij=aij+bij. Por lo tanto, para poder sumar
dos matrices, estas deben tener la misma
dimensión. La suma de las matrices A y B se
denota por A+B.

20.  PROPIEDADES:
• A+(B+C) = (A+B)+C.
•
•
•
•
Propiedad Asociativa.
A+B = B+A. Propiedad Conmutativa.
A+0 = A.
0 es la Matriz Nula.
La matriz –A, que se obtiene cambiando de
signo todos los elementos de A, recibe el
nombre de «Matriz opuesta de A», ya que
A+(-A)=0.
La diferencia de matrices A y B se representa y
se define como: A-B.

21. A=
-2
f
3
4
B=
4
d
-3
1
Entonces
A+B =
(-2+4)
(f+d)
(3-3)
(4+1)
=
2
f+d
0
5

22. A=
-2
5
3
4
A-B =
B=
(-2-4)
(5-6)
(3-3)
(4-1)
4
6
-3
1
=
-6
-1
0
3

23. 2
C=
0
1
3
0
0
5
1
1
(2+1) (0+0) (1+1)
C+D =
(3+1) (0+2) (0+1)
(5+1) (1+1) (1+0)
(2-1)
C-D =
(0-0)
(1-1)
(3-1)
(0-2)
(0-1)
(5-1)
(1-1)
(1-0)
1
1
1
2
1
1
D=
0
1
0
=
0
2
4
2
1
6
=
3
2
1
1
0
0
2
-2
-1
4
0
1

24. El producto de una matriz A=[aij] por
un número real k es otra matriz B=[bij] de
la misma dimensión que A y tal que cada
elemento bij de B se obtiene multiplicando
aij por k, es decir, bij=kaij.
El producto de la matriz A por el
número real k se designa k.A. Al número
real k se le llama también escalar, y a este
producto, producto de escalares por
matrices.

25.  PROPIEDADES:
• k(A+B)=kA+kB.
• (k+h)A=kA+hA.
• k(hA)=(kh)A.
• 1.A=A.
Propiedad Distributiva 1ª.
Propiedad Distributiva 2ª.
Propiedad Asociativa Mixta.
Elemento Unidad.

26.  PROPIEDADES
SIMPLIFICATIVAS:
• A+B = B+C  A=B.
• kA = kB  A=B si k es distinto de 0.
• kA = hA  k=h si A es distinto de 0.

27. k=2
kA = 2
A=
-2
g
-3
4
5
1
=
-2
g
-3
4
5
1
=
-4
2g
-6
8
10
2
2(-2)
2(g)
2(-3)
2(4)
2(5)
2(1)

28. 2
B=
0
1
3
0
0
5
1
1
k=3
2
kB = 3
=
0
1
3
0
0
5
1
1
3(2)
3(0)
3(1)
3(3)
3(0)
3(0)
3(5)
3(1)
3(1)
=
6
0
3
9
0
0
15
3
3

29. Dadas dos matrices A y B, su producto
es otra matriz P cuyos elementos se
obtienen multiplicando las filas de A por
las columnas de B. De manera más formal,
los elementos de P son de la forma:

30. Se requiere que el número de
columnas de A debe coincidir con el
número de filas de B para que esta
multiplicación sea posible. Así, si A tiene
dimensión mxn y B dimensión nxp, la
matriz P será de orden: mxp. Es decir:

31. Con otras palabras, el elemento que
se encuentra en la fila i y la columna j de la
matriz C=AB se obtiene multiplicando los
elementos de la fila i de A por la columna j
de B y sumando los resultados.

32.  PROPIEDADES:
• A.(B.C)=(A.B).C
• A.I = A donde I es la matriz Identidad del mismo
orden que la matriz A.
• A.B ≠ B.A
No es Conmutativa.
• A.(B+C)=A.B+A.C Distributiva del Producto
respecto a la suma.
• Dada una matriz cuadrada A de orden n, no
siempre existe otra matriz B tal que A.B=B.A=I.
Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz
inversa de A y se representa por A-1.

33.  CONSECUENCIAS
DE LAS
PROPIEDADES:
• Si A.B=0 no implica que A=0 ó B=0.
• Si A.B=A.C no implica que B=C.
• En general, (A+B)2 = A2+B2+2AB, ya que
A.B≠B.A.
• En general, (A+B).(A-B)=A2-B2, ya que A.B≠B.A.

34. 2
1
4
2
5
3
-2
(2x4)
B=
-4
1
1
-2
1
2
0
2
3
A=
-3
0
2
1
(4x3)
Obtener: C=AB
Nótese que el número de
columnas de A es igual al
número de filas de B.

35. Solución:
Primero, se comprueba que se pueda realizar el
producto AB. Puesto que el número de columnas de A
es igual al número de filas de B, entonces la operación
es factible. La matriz resultante tendrá la dimensión
2x3, es decir, 2 filas y 3 columnas.
0
C=
-4
1
-3
2
1
4
1
-2
1
2
5
3
-2
2
0
2
3
2
1
=
c11
c12
c13
c21
c22
c33

36. Luego, el elemento de la fila 1 y la columna 1 de AB (es decir,
C11) proviene de la sumatoria del producto de un elemento de
la fila 1 de A por otro elemento de la columna 1 de B, de la
multiplicación:
c11 = a11.b11+a12.b21+a13.b31+a14.b41
c11 = (-3).0+2.1+1.2+4.3 = 0+2+2+12 = 16
El elemento de la fila 1 y la columna 2 de AB (es decir,
C12) será igual a la sumatoria del producto de un
elemento de la fila 1 de A por otro elemento de la
columna 2 de B, de la multiplicación:
c12 = a11.b12+a12.b22+a13.b32+a14.b42
c12 = (-3).(-4)+2.(-2)+1.0+4.2 = 12-4+0+8 = 16

37. El elemento de la fila 1 y la columna 3 de C proviene de
la sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de
A por otro elemento de la columna 3 de B:
c13 = a11.b13+a12.b23+a13.b33+a14.b43
c13 = (-3).1+2.1+1.2+4.1 = -3+2+2+4 = 5
Así sucesivamente se obtiene:
C=
16
16
5
5
-22
11

38. Se llama matriz inversa de una matriz
cuadrada A, y se expresa A-1, a la única matriz que
cumple que:
A.A-1 = A-1.A = I
Es decir, la matriz inversa de A es la única
matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la
matriz identidad del orden correspondiente.
La matriz inversa no siempre existe, para que
exista, es condición necesaria y suficiente que el
determinante de la matriz sea distinto a cero.

39.  PROPIEDADES:
• La matriz inversa, si existe, es única.
• (A-1)-1 = A.
Es decir, la inversa de la inversa es
la matriz inicial.
• (A.B)-1 = B-1.A-1.
• (k.A)-1 = k-1.A-1.
• (At)-1 = (A-1)t.

40. Se puede calcular la matriz inversa
por dos métodos:
 Cálculo
de la matriz inversa por
determinantes.
 Cálculo de la matriz inversa por el
Método de Gauss.

41. Sea A una matriz cuadrada de orden
n. Para calcular la matriz inversa de A, que
denotaremos como A-1, seguiremos los
siguientes pasos:

42. 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A
está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en
la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:
1
A=
1
0
1
0
1
0
1
0
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3:
1 1 0
1 0 0
1 0 1
0 1 0
0 1 0
0 0 1

43. 2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la
mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está
a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho
será la matriz inversa: A-1.
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
-1
1
-1
1
0
0
1
0
0
0
1
F2=-F1+F2
F2F3

44. 1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
-1
1
-1
1
0
1
0
0
1
0
-1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
-1
1
1
F1=-F2+F1
F3=F2+F3
Ya conseguimos una
matriz identidad del lado
izquierdo. Así que,
La matriz inversa es:
A-1 =
1
0
-1
0
0
1
-1
1
1

46. A continuación se presentan cinco matrices de
diferentes tamaños:
a)
1
3
4
2
c)
d)
3
4
0
1
b)
-1
Es una matriz de 2x2 (cuadrada)
-2
Es una matriz de 3x2
-1
4
1
3
0
2
Es una matriz de 2x3
1
6
-2
3
1
4
2
-6
5
Es una matriz de 3x3 (cuadrada)

47. Encuentre los componentes (1, 2), (3, 1) y
(2,2) de la matriz A.
A=
1
2
7
6
-3
4
4
5
0
Solución 

48. El componente (1,2) es el número que se
encuentra en la fila 1, columna 2.
1
2
6
-3
4
5
7
4
0

Fila 1 
Columna 2

49. Los componentes (3,1) y (2,2) son los que se
muestran a continuación:
Columna 1
6
-3
4
4
5
0
Fila 2 
1
2
7
6
-3
4


Fila 3 
1
2
7
Columna 2
4
5
0

50. ¿Son iguales las siguientes matrices?
a)
4
1
5
2
-3
0
b)
-2
0
1
3
c)
1
0
0
1
y
1+3
1
2+3
1+1
1-4
6-6
y
0
-2
1
3
y
1
0
0
0
1
0
Solución 

51. a) Si. Ambas matrices son de 2x3 y 1+3=4, 2+3=5,
1+1=2, 1-4=-3 y 6-6=0.
b) No. -2≠0, por lo que las matrices son distintas ya que
por ejemplo, las componentes (1,1) son diferentes. Esto
es cierto aun cuando las matrices contienen los mismos
números. Las componentes correspondientes deben ser
iguales. Esto significa que la componente (1,1) en A debe
ser igual a la componente (1,1) en B, etc.
c) No. La primera matriz es de 2x2 y la segunda es de
2x3, de manera que no tienen el mismo tamaño.

52. Sean las matrices:
A=
1
2
3
4
5
-1
6
4
0
1
-2
B=
2
4
-6
7
1
3
2
1
-4
C=
3
3
-5
5
D=
0
1
6
-2
2
3
4
3
-2
1
4
4
Resolver:
a) A + B
b) C + D
Solución 

53. a) A + B
Respuesta: La suma de dos matrices está
definida sólo cuando las matrices son del
mismo tamaño. Por lo tanto, no es posible
sumar las matrices A y B pues, no son
compatibles bajo la suma.

54. b) C + D
2
=
4
-6
7
1
3
2
1
-4
3
-5
5
0
+
1
6
-2
2
3
4
3
-2
1
4
4
2+0
=
=
4+1
-6+6
7+(-2)
1+2
3+3
2+4
1+3
-4+(-2)
3+1
-5+4
5+4
2
5
0
5
3
6
6
4
-6
4
-1
9

55. -3
4
2
3
1
4
6
-2
Sea la matriz A =
1
3
5
7
Hallar:
a) 2A
b) -1/3 A
c) 0A
Solución 

56. a) 2A
-3
4
2
3
1
4
6
-2
= 2
1
3
5
7
=
-3(2)
4(2)
2(2)
3(2)
1(2)
4(2)
6(2)
-2(2)
=
1(2)
3(2)
5(2)
7(2)
2
-6
8
4
6
2
8
12
-4
6
10
14

57. b) -1/3 A
-1/3
-3
4
2
3
1
4
6
-2
=
1
3
5
7
=
-3(-1/3)
4(-1/3)
2(-1/3)
3(-1/3)
1(-1/3)
4(-1/3)
6(-1/3)
-2(-1/3)
=
1(-1/3)
3(-1/3)
5(-1/3)
7(-1/3)
-1/3
1
-4/3
-2/3
-1
-1/3
-4/3
-2
2/3
-1
-5/3
-7/3

58. c) 0A
-3
4
2
3
1
4
6
-2
= 0
1
3
5
7
=
-3(0)
4(0)
2(0)
3(0)
1(0)
4(0)
6(0)
-2(0)
=
1(0)
3(0)
5(0)
7(0)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

59. Sean las matrices:
A=
3
2
6
-2
4
6
Hallar: AxB
2
B=
-4
6

60. AB =
=
=
=
3
2
6
-2
4
6
(3)(2)+(2)(-4)+(6)(1)
(-2)(2)+(4)(-4)+(6)(1)
6-8+6
-4-16+6
4
-14
2
-4
1

61. Hallar la matriz inversa de A =
3
1
1
0
2
1
0
1
1
1/3
1/3
0
2/3
1/3
0
1/3
1
1/3
1/3
0
0
1/9
-2/9
1/3
F1=(1/3)F1
F2=(-2/3)F1+F2
F2=(-2/3)F1+F2
3
1
2
1

62. 1
1/3
1/3
0
0
1/9
-2/9
1/3
1
1/3
1/3
0
0
1
-2
3
1
0
1
-1
0
1
-2
3
F2=9F2
F1=(-1/3)F2+F1
Respuesta:
A-1
=
0
-2
1
3

63. Ing. Vanessa Borjas