Los vectores son segmentos de recta dirigidos representados por su magnitud y dirección. Pueden sumarse geometrícamente colocando el final de un vector con el inicio del otro, o algebraicamente mediante la suma de sus componentes. El producto interno entre dos vectores es un escalar que representa el coseno del ángulo entre ellos multiplicado por el producto de sus magnitudes.

1. Física I
Dr. Rogerio Enríquez Caldera
(Graficas: Dr. Gustavo Rodríquez)

2. Vectores
• Definiciones
• Operaciones Básicas
• Componentes
• Vectores en 2D y 3D
• Magnitud
• Unidades
• Marcos de referencia

3. Notación
• Se empleará la siguiente notación:
– La recta de los números reales es denotada
por
– El conjunto de los pares ordenados (x,y) es
denotado por
– El conjunto de las ternas ordenadas (x,y,z) es
denotado por ℝ³
ℝ
ℝ²

4. Vectores en 2D y 3D
• Los puntos P en el
plano se representan
por pares ordenados
de números reales
– (a1, a2)
• Los números a1 y a2
se llaman
coordenadas
cartesianas de P
x
y
a1
a2
P = (a1,a2)

5. Vectores en 2D y 3D
• Los puntos P en el
espacio se
representan por
ternas ordenadas de
números reales
– (a1, a2, a3)
• Los números a1, a2 y
a3 se llaman
coordenadas
cartesianas de P
x
y
a1
a3
P = (a1,a2,a3)
z
a2

6. Representación geométrica del
punto (2,4,4)

7. Vectores
• Vectores: segmentos de rectas dirigidos
en el plano o el espacio con un inicio y un
final
• Los segmentos de recta que se obtienen
uno de otro por traslación representan el
mismo vector

8. Suma Vectorial y Multiplicación
por un Escalar
• Dadas dos ternas (a1, a2,a3) y (b1,b2,b3)
definimos la suma vectorial como
• Dadas un escalar y un vector
(a1, a2,a3) definimos el producto escalar
por medio de
).
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
( 3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1 b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a 





).
,
,
(
)
,
,
( 3
2
1
3
2
1 a
a
a
a
a
a 


 

9. Propiedades de los Vectores
• Elemento cero
• Inverso aditivo
 
0
,
0
,
0
 
3
2
1 ,
, a
a
a
 
3
2
1 ,
, a
a
a 



10. Propiedades de la Suma y
Multiplicación Escalar
 
 
)
,
,
(
)
,
,
(
1
.
6
)
0
,
0
,
0
(
)
,
,
(
0
.
5
)
0
,
0
,
0
(
)
0
,
0
,
0
(
.
4
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
.
3
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
)(
(
.
2
)
,
,
(
)
,
,
)(
.
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a










(












11. • Geométricamente los
vectores son flechas
que salen del origen

12. Los vectores son segmentos de recta dirigidos en [el plano o]
el espacio representados por segmentos de recta dirigidos con
un inicio (cola) y un final (punta). Los segmentos de recta
que se obtienen uno de otro por traslación paralela (pero no
rotación) representan el mismo vector.
Las componentes (a1,a2,a3) de a son las longitudes
(dirigidas) de las proyecciones de a a lo largo de los tres ejes
coordenados.
La suma de dos vectores se obtiene colocándolos final con
inicio y trazando el vector que va del inicio al final del
segundo.

13. Vector Que Une Dos Puntos

14. El Vector Que Une Dos Puntos
• Si el punto P tiene coordenadas (x, y, z) y
P’ tiene coordenadas (x’, y’, z’) entonces el
vector PP’ de la punta de P a las punta de
P’ tiene componentes
 
z
z
y
y
x
x 

 '
,
'
,
'

15. Distancia
• Dados dos vectores
a = a1i+a2j+a3k y
b = b1i+b2j+b3k, la
distancia entre los
puntos finales de a y
b se define como
a
b 
x
z
a
b
a
b 

16. Suma de vectores (a)
a
a+b
b
b

17. Suma de Velocidades
• Una ave volando con velocidad v1, velocidad el
viento v2. Velocidad resultante v1 + v2

18. Suma de Vectores (b)

19. Equivalencia Geométrica con
Algebraica
• Equivalencia de la definición de suma vectorial
en forma geométrica y algebraica.

20. Interpretación Geométrica
Multiplicación Escalar por un
Vector

21. Interpretación Geométrica de la
Resta de Dos Vectores

22. Distancia
• Dados dos vectores
a = a1i+a2j+a3k y
b = b1i+b2j+b3k, la
distancia entre los
puntos finales de a y
b se define como
a
b 
x
z
a
b
a
b 

23. Suma de los Vectores u + v y -
2u

24. Multiplicación de (-1,1,2) por -2

25. Base Canónica
• Existen tres vectores especiales a lo largo
de los ejes x, y, z:
– i: (1,0,0)
– J: (0,1,0)
– k: (0,0,1)
• Sea (a1, a2,a3)
entonces
a = a1i+ a2j+ a3k x
y
z
j
i
k

26. Base Canónica
• Representación del
vector (2,3,2) en
términos de la base
canónica

27. Los Tres Planos Coordenados

28. Producto Interno
• Dados dos vectores a = a1i+a2j+a3k y
b = b1i+b2j+b3k, el producto interno de a
y b se define como
Nótese que el producto interno es un
escalar.
3
3
2
2
1
1 b
a
b
a
b
a 


b
a

29. Producto Interno
• Propiedades del producto interno. Sean a,
b, c vectores en ℝ³ y números
reales, entonces
.
4
.
)
(
)
(
.
3
).
(
)
(
.
2
.
0
;
0
.
1
a
b
b
a
c
b
c
a
c
b
a
y
c
a
b
a
c
b
a
b
a
b
a
y
b
a
b
a
0
a
a
a
a
a
































 y

30. Longitud
• Dado un vector
a = a1i+a2j+a3k en ℝ³
definimos su longitud
como 2
3
2
2
2
1 a
a
a 

x
y
a1
a3
P = (a1,a2,a3)
z
a2
)
(
2
3
2
2
2
1
a
a
a




 a
a
a

31. Vectores Normalizados
• Dado el vector a = a1i + a2j + a3k diferente
de cero, para normalizarlo forme el
vector
a
a

32. Ejemplos
• Normalizar el vector v = 15i – 2j + 4k.
Solución
La normalización del vector v está dada por
,
5
7
4
)
2
(
15 2
2
2





v
.
5
7
4
5
7
2
5
7
15
1
k
j
i
v
v
u 




33. Ejemplos
• Defina en el plano el vector
Observe que es un vector
Unitario.
j
i )
(sen
)
(cos 
 

r
e

34. Vectores Ortogonales
• Si a y b son vectores diferentes de cero y
es el ángulo entre ellos. Entonces
si y sólo si los vectores son ortogonales.
• Ejemplo
– Los vectores de la base canónica i, j, k, son
ortogonales entre si.
– Los vectores y
son ortogonales.

0

b
a
   j
i 
 sen
cos 

r
e
   j
i 

 cos
sen 


e

35. Vectores Ortonormales

36. B
A


37. B
A
cB

38. B
A
K B
C Por tanto
A = k B + C


39. B
A
K B
C Por tanto
A = k B + C
¿Cómo despejar o reslover para k?


40. Usemos lo que conocemos:
i) Ortogonalidad o perpendicularidad
ii) Producto punto

41. Por otro lado:
||
||||
||
cos
||
||
||
||
|
|
|
|
.
.
cos
A
B
AB
B
AB
B
A
B






entonces
c
pero
c
hip
a
c

42. B
A


43. B
A

K B
cos (180 –  ) = cos 180 cos  + sen 180 sen  = cos 

44. B
A


45. B
A

u
u
x
A

46. Por tanto si A es unitario
u B = || u || || B || cos  = Bu
Y por tanto si || B || solo escribimos B
Bx = B cos 
By = B sen  porqué?
Y asi
B = ux B cos  + uy B sen  = B ( ux cos  + uy sen  )

47. 














N
i
i
ib
a
b
b
b
a
a
a
1
)
0
1
AB
k
j
)(i
k
j
(i
AB
ki
jk
ij
kk
jj
ii
z
y
x
z
y
x

48. 
























parejas
m
l
todos
l
N
l
l
V
V
V
V
AB
B
A
B
A
V
AB
B
A
B
A
V
2
cos
2
2
)
(
cos
2
2
)
(
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
V
V
AB
B
B)(A
A
AB
B
B)(A
A



49. Ejemplos
• Calcule el angulo entre los vectores
A = 2i + 3j – k y B = - i + j + 2k
Solución:
Usando
0
3
.
96
?
109
.
0
17
.
9
1
cos
45
.
2
4
1
1
74
.
3
1
9
4
1
2
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
2
||
||||
||
cos
























oceano
que
unidades
B
unidades
A
AB
A
B
AB

50. Reflexiones
• Ángulo en grados o en radianes
• Se mide con respecto a que?
• Ejemplo en el Planeta Tierra

54. Ejemplos
• Encuentre los angulos que forma el vector
A = 2i + 3j + 2k con los ejes x & z
Solución





cos
cos
A
A
sen
Asen
A
Asen
A
z
y
x




55. Base Canónica
• Representación del
vector (2,2,2) en
términos de la base
canónica

56. A x B
No es conmutativa A x B = - B x A
Es asociativa?
Es distributiva ?
| A x B | = A B sen 

59. Significado Físico?