3. Notación
Se empleará la siguiente notación:
La recta de los números reales es denotada
por
El conjunto de los pares ordenados (x,y) es
denotado por
El conjunto de las ternas ordenadas (x,y,z) es
denotado por ℝ³
ℝ
ℝ²
4. Vectores en 2D y 3D
Los puntos P en el
plano se representan
por pares ordenados
de números reales
(a1, a2)
Los números a1 y a2
se llaman
coordenadas
cartesianas de P
x
y
a1
a2
P = (a1,a2)
5. Vectores en 2D y 3D
Los puntos P en el
espacio se
representan por
ternas ordenadas de
números reales
(a1, a2, a3)
Los números a1, a2 y
a3 se llaman
coordenadas
cartesianas de P
x
y
a1
a3
P = (a1,a2,a3)
z
a2
7. Vectores
Vectores: segmentos de rectas dirigidos
en el plano o el espacio que representan
una cantidad física.
Los vectores tienen módulo, unidades,
dirección y sentido
8. Suma Vectorial y Multiplicación por
un Escalar
Dadas dos ternas (a1,a2,a3) y (b1,b2,b3)
definimos la suma vectorial como
Dadas un escalar y un vector
(a1, a2,a3) definimos el producto escalar por
medio de
𝛼𝛽 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 = 𝛼 𝛽 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 + 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 = 𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3 .
𝛼
𝛼 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 = 𝛼𝑎1, 𝛼𝑎2, 𝛼𝑎3 .
9. Representación gráfica de los
vectores
Geométricamente los
vectores son flechas
que salen del origen
10. Los vectores son segmentos de recta representado por
segmentos de recta dirigidos con un inicio (cola) y un final
(punta). Los segmentos de recta que se obtienen uno de otro
por traslación paralela (pero no rotación) representan el
mismo vector.
Las componentes (a1,a2,a3) de a son las longitudes
(dirigidas) de las proyecciones de a a lo largo de los tres ejes
coordenados.
La suma de dos vectores se obtiene colocándolos final con
inicio y trazando el vector que va del inicio al final del
segundo.
12. El Vector Que Une Dos Puntos
Si el punto P tiene coordenadas (x, y, z) y
P’ tiene coordenadas (x’, y’, z’) entonces el
vector PP’ del punto P a hacia el punto P’
tiene componentes
𝑥′ − 𝑥, 𝑦′ − 𝑦, 𝑧′ − 𝑧
13. Distancia
Dados dos vectores
a = a1i+a2j+a3k y
b = b1i+b2j+b3k, la
distancia entre los
puntos finales de a y b
se define como
Módulo del vector b - a
𝐛 − 𝐚
x
z
a
b
𝐛 − 𝐚
21. Base Canónica de Vectores
Existen tres vectores especiales a lo largo
de los ejes x, y, z:
i: (1,0,0)
J: (0,1,0)
k: (0,0,1)
Sea (a1, a2,a3)
entonces
a = a1i+ a2j+ a3k x
y
z
j
i
k
24. Producto Interno
Dados dos vectores a = a1i + a2j + a3k y
b = b1i + b2j + b3k, el producto interno de a
y b se define como
𝐚 ⋅ 𝐛 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3
a ∙ b) = a b cos(a,b)
25. Producto Interno
Propiedades del producto interno. Sean a,
b, c vectores en ℝ³ y números
reales, entonces
1. 𝐚 ⋅ 𝐚 ≥ 0;
𝛼 y 𝛽
26. Vectores Unitarios
Dado el vector a = a1i + a2j + a3k diferente
de cero, para normalizarlo forme el
vector 𝐚
𝐚
27. Ejemplos
Normalizar el vector v = 15i – 2j + 4k.
Solución
La normalización del vector v está dada por
𝐯 = 152 + 22 + 42
𝐮 =
1
𝐯
𝐯
=
15
7 5
𝐢 −
2
7 5
𝐣 +
4
7 5
𝐤.
28. Ejemplos
Defina en el plano el vector
Observe que es un vector
Unitario.
𝑒𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐢 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐣
29. Vectores Ortogonales
Si a y b son vectores diferentes de cero y
𝜃 es el ángulo entre ellos. Entonces a.b =
0 sí y sólo si los vectores son ortogo-
nales.
Ejemplo
Los vectores de la base canónica i, j, k, son
ortogonales entre sí.
Los vectores 𝑒𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐢 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐣 y
son ortogonales.
𝑒𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐢 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐣
37. • A x B
• No es conmutativa A x B = - B x A
• ¿Es asociativa?
• ¿Es distributiva ?
• | A x B | = A B sen α
38.
39. La masa es la
cantidad de materia
que posee un cuer-
po. Es independien-
te del peso.
Masa
40. *El peso equivale a la fuerza que ejerce un cuerpo
sobre un punto de apoyo, originada por la acción
del campo gravitatorio local sobre la masa del
cuerpo. Depende del campo gravitatorio.
*Unidad de medida N (Newton)
41. El peso representa como un vector
Cómo obtenemos el peso:
• w = peso
• m = masa
• g = constante gravitacional (9,8 en la Tierra)
• w = mg
42. Ejercicio:
Un niño, cuya masa podemos calcular en unos
36 kilogramos (medidos en la Tierra, con
ayuda de una balanza). Pesa (en la Tierra,
pero cuantificados con un dinamómetro)
352,8 Newtons (N).
43. La fuerza es una magnitud que puede cambiar el
estado de movimiento de un objeto.
Es una magnitud vectorial. Se aplican las
operaciones de vectores.
La unidad en el S.I es el Newton: 1 N = 1 kg .
Una forma de medir fuerzas es con una balanza
de resorte.
La fuerza
44. Las componentes de
la fuerza son:
Fx = F cos
Fy = F sen j
Los vectores compo-
nentes Fx y Fy tienen
juntos el mismo efec-
to que la fuerza origi-
nal F.
45. Fuerza Normal
• La fuerza peso actúa siempre sobre los
obje-tos, sin embargo, hay ocasiones que
los objetos están en reposo.
• Según la primera condición de equilibrio ha
de existir otra fuerza que equilibre al peso.
Características de la Fuerza Normal.
• Ocurre cuando dos objetos están en
contacto.
• Actúa perpendicularmente a la superficie
de contacto.
46. Fuerza de rozamiento
A escala microscópica todas las superficies son
rugosas. Los detalles exactos no se conocen aún, sin
embargo, la fuerza se puede modelar de manera
sencilla.
Para un objeto que se desliza, el módulo de la fuerza
de rozamiento es:
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐𝑁
es el coeficiente cinético de fricción, y depende de la
naturaleza de las superficies de contacto.
47. La fricción estática es la fuerza de rozamiento entre dos
superficies, las cuales no se mueven una respecto de la
otra.
La fricción estática permite mantener objetos quietos
sobre una superficie horizontal al cual se le aplica una
fuerza o sobre una superficie inclinada.
N
48. A medida que aumenta la fuerza
aplicada, aumenta la fuerza de
fricción estática, hasta que
alcanza su valor máximo:
N
Luego, el objeto comienza a moverse, y la fuerza de fricción cinética es
la que actúa.
Note que: 𝜇𝑒 > 𝜇𝑐
49.
50. Tercera ley de Newton
A toda acción siempre se le opone una
reacción igual y contraria: A las acciones
mutuas entre dos cuerpos siempre son
iguales y dirigidas en direcciones
opuestas
51. Tercera ley de Newton
La tercera ley expone que por cada fuerza que
actúa sobre un cuerpo, este ejerce una fuerza
de igual intensidad y dirección, pero en senti-
do contrario sobre el cuerpo que produjo la
fuerza.
Es decir, las fuerzas
siempre se presentan
en pares de igual mag-
nitud, sentido opuesto y
están sobre la misma
recta.
52. Tercera ley de Newton
Este principio presupone que la
interacción entre dos partículas se
propaga instantáneamente en el espacio
(con velocidad finita). Y en su formulación
original, no es válido para fuerzas
electromagnéticas.
53. Diagrama de cuerpo libre y equilibrio
Para hallar la condición de equilibrio de una
partícula, primero se deberá dibujar un
diagrama de cuerpo libre de la partícula que
muestre todas las fuerzas que actúan sobre
ella.
54. Si solo actúan tres fuerzas coplanares
sobre la partícula, se puede dibujar un
triángulo de fuerzas para expresar que la
partícula se encuentra en equilibrio.
55. Este triángulo se puede resolver
gráficamente o por trigonometría para no
más de dos incógnitas.
Si se incluyen más de tres fuerzas, se
deberán utilizar y resolver las ecuaciones
de equilibrio.
𝐹𝑋 = 0 𝐹𝑌 = 0 𝐹Z = 0
𝑀𝑋 = 0 𝑀Y = 0 𝑀Z = 0
56. Diagrama de cuerpo libre (DCL)
Hacer el DCL de un cuerpo es repre-
sentar gráficamente las fuerzas que
actúan en él. Se siguen los siguientes
pasos:
1. Se aísla al cuerpo, de todo el sistema.
2. Se representa al peso del cuerpo me-
diante un vector dirigido siempre hacia el
centro de la tierra.
