Exposición

1. ALGEBRA LINEAL
Unidad 3
ESPACIOS VECTORIALES
Tema 1
ESPACIOS VECTORIALES

2. SUBTEMAS
Definición de Vectores, propiedades y
» Subtema 1:
operaciones.

3. OBJETIVO
Identificar vectores en Rn, para
realizar las operaciones entre
vectores.

4. VECTORES
En física o ingeniería, un vectores está representado
por un segmento de recta dirigido y caracteriza por
dos cantidades:
• Magnitud
• Dirección
Al vector se lo puede expresar:
• 𝑣
• 𝐯

5. VECTORES EN 𝑹𝟐
Un vector 𝒗 en ℝ2 es un par ordenado de números reales 𝑥1 y
𝑦1, los cuales se denominan elementos o componentes del
vector.
𝑣= 𝐯 = (𝑥1, 𝑦1)
Por ejemplo, el vector 𝐮 = (𝑥1, 𝑦1) , se lo puede representar
de la siguiente manera:
Fuente: Kolman B., (2006).

6. VECTORES EN EL PLANO
Fuente: autor
Eje x
Sean 𝑃 y 𝑄 dos puntos en el plano. Entonces el segmento de
recta dirigido de 𝑃 a 𝑄 se lo denota por 𝑃𝑄, es el segmento
dirigido de 𝑃 hacia 𝑄
Eje y

7. VECTORES EN EL PLANO
Un vector en el plano se representa geométricamente por un
segmento de recta el cual se forma mediante dos puntos:
• Punto inicial: Es el de origen del vector (𝑥0, 𝑦0)
• Punto final: Es donde culmina dicho segmento (𝑥1, 𝑦1)
Sea 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) el punto inicial, y 𝑃1(𝑥1,𝑦1) el punto final del
vector 𝒗 será igual:
𝒗 = 𝑃0𝑃1 = 𝑃1− 𝑃0
𝒗 = 𝑥1, 𝑦1 − 𝑥0, 𝑦0
𝒗 = (𝑥1 − 𝑥0, 𝑦1 − 𝑦0)

8. Ejemplo: Sea 𝐴(−6, 2) y 𝐵(−2,8). Halle el vector 𝒖 = 𝐴𝐵
Fuente: autor
Eje x
𝑢 = 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴
𝑢 = −2, 8 − (−6,2)
𝑢 = (4, 6)
Eje y

9. VECTORES EN 𝑹𝐧
El análisis de vectores en el plano, se puede ampliar al análisis
de vectores en el espacio n-dimensional. Un vector 𝑣 de
dimensión 𝑛, viene representado por una coordenada, de la
forma:
𝑣= (𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛); 𝑣𝜖 ℝ𝑛
Donde ℝ𝑛 , representa al espacio n-dimensional en el
conjunto de los números reales.
Simbólicamente tenemos:
ℝ𝑛 = 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 Τ 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 𝜖ℝ

10. VECTORES EN 𝑹𝟑
Fuente: Stewart J. (2008)
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye
trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas
a los ejes (𝑥, 𝑦). Cada punto viene determinado por tres
coordenadas 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧).
𝑣= (𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑣𝜖ℝ3
Por ejemplo, el vector 𝐚 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) , se lo puede
representar de la siguiente manera:

11. MAGNITUD DE UN VECTOR
Para 𝐯 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
La magnitud de un vector es una cantidad escalar y se define
como la longitud. La magnitud de un vector puede ser expresada
como 𝐯 𝑜 𝐯 .
Para 𝐯 = (𝑥, 𝑦) 𝐯 = 𝐯 = 𝑥2 + 𝑦2
𝐯 = 𝐯 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Ejemplo: Sea 𝒗 = (𝟏, −𝟑)
𝑣 = 𝑣 = (1)2+(−3)2= 1 + 9
𝑣 = 𝑣 = 10
Ejemplo: Sea 𝒖 = (𝟐, −𝟏, 𝟓)
4 + 1 + 25
𝑣 = 𝑣 = (2)2+(−1)2+(5)2=
𝑣 = 𝑣 = 30

12. VECTORES UNITARIOS
Un vector unitario es aquél que tiene módulo uno.
Sea un vector 𝑣= (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) , el vector unitario de 𝑣esta
dado por:
𝑣
𝐮 =
𝑣
=
𝑣 (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
𝑥1
2 + 𝑦1
2 + 𝑧1
2
Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido
positivo de cualquier eje.
Fuente: Stewart J. (2008)

13. VECTORES UNITARIOS
La forma convencional de representar vectores es por medio
de coordenadas.
𝑣= (𝑎, 𝑏, 𝑐)
También se los puede expresar de forma polinomial en
términos de vectores unitarios:
𝑣= 𝑎 𝐢 + 𝑏 𝐣 + 𝑐 𝐤
Ejemplo: Sea 𝒗 = (𝟏, −𝟐, 𝟑). Hallar su unitario
𝑣 = 𝑣 = 12 + −2 2 + (3)2= 1 + 4 + 9 = 14
𝐮𝑣 =
𝑣
𝑣
𝑣
𝐮 =
1 −2 3
, ,
14 14 14
=
(1, −2,3)
14
=
1
14 14
−2
𝐢 + 𝐣 +
3
14
𝐤

14. OPERACIONES CON VECTORES

15. SUMA DE VECTORES
La suma y resta vectorial es una operación básica la cual
consiste en sumar o restar sus componentes
correspondientes.
Si tenemos que 𝑣= 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 y 𝑢 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 , la suma de
ambos vectores, se representa como:
𝑣+ 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2
Ejemplo: Determine la suma de 𝒗 = (𝟏, 𝟐, −𝟑) y 𝒖 = (𝟐, −𝟑, 𝟓)
𝑣+ 𝑢 = 1,2, −3 + 2, −3, 5 = 1 + 2, 2 − 3, −3 + 5
𝒗 + 𝒖 = 𝟑, −𝟏, 𝟐
Ejemplo: Determine la resta de 𝒓 = (−𝟏, 𝟓, 𝟕) y 𝒔 = (𝟏, −𝟑, 𝟐)
𝑟− 𝑠= −1,5, 7 − 1, −3, 2 = −1 − 1, 5 − −3 , 7 − 2
𝒓 − 𝒔 = −𝟐, 𝟖, 𝟓

16. MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR
La multiplicación por un escalar consiste en
multiplicar cada uno de los componentes del vector 𝑣
por un escalar "𝑐"
𝑣= 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
𝒄 𝑣= 𝒄 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
𝑐 𝑣= 𝑐 𝑥1, 𝑐 𝑦1, 𝑐 𝑧1
Ejemplo: Sea 𝒗 = (𝟏, 𝟐, −𝟑) y 𝒄 = 𝟐
𝑐 𝑣= 2 1,2, −3 = 2(1), 2(2), 2(−3)
𝒄 𝒗 = 𝟐, 𝟒, −𝟔
Ejemplo: Sea 𝒖 = (𝟔, −𝟑, 𝟏𝟐) y 𝒄 = −
𝟏
𝟑
(6),
1 1
−
3
(−3), −
3
(12)
1 1
𝑐 𝑢 = −
3
6, −3, 12 = −
3
𝒄 𝒖 = −𝟐, 𝟏, −𝟒

17. PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL Y
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Sean 𝐮, 𝐯, 𝐰 vectores en el plano, y sean 𝑐 y 𝑑 escalares:

18. PRODUCTO PUNTO
𝜽 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏
𝒂 ∙ 𝒃
𝒂 𝒃
Es una operación algebraica en la que se multiplican dos
vectores y se obtiene una cantidad escalar.
Sean 𝑎= 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 y 𝑏 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 el producto punto entre
los dos será:
𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏 ∙ 𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐
Geométricamente, es el producto del módulo de los dos
vectores y el coseno del ángulo entre ellos.
𝑎∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃
Por lo tanto, esto nos permite hallar el ángulo entre los vectores
usando el producto punto.

19. Ejemplo: Determine el ángulo entre los vectores
𝒂 = −𝟏, 𝟑, 𝟒 𝐲 𝒃 = (−𝟑, 𝟐, −𝟏) , utilizando el
producto punto.
𝜽 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏
𝒂 ∙ 𝒃
𝒂 𝒃
−3 + 3 2 + 4 −1 = 3 + 6 − 4
3 4 1 + 9 + 16 = 26
𝒂 ∙ 𝒃 = −1
𝒂 ∙ 𝒃 = 5
𝒂 = −1
𝒃 = −3 2
2 + 2 + 2 =
2 + 2 + −1 2 = 9 + 4 + 1 = 14
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1
5
26 14
𝜽 = 𝟕𝟒. 𝟖°

20. PRODUCTO CRUZ
Es una operación binaria entre dos vectores en un espacio
tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los
vectores que se multiplican.
Sean 𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 y 𝑣= 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 el producto punto entre
los dos será:
𝒖 × 𝒗 =
𝒊 𝒋 𝒌
𝑎1 𝑏1 𝑐1
𝑎 𝑏 𝑐
2 2 2
=
𝑏 𝑐
1 1
𝑏2 𝑐2
𝒊 − 𝑎2
𝑎1 𝑐1
𝑐2
𝒋 +
𝑎 𝑏
1 1
𝑎2 𝑏2
𝒌
𝒖 × 𝒗 = 𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1 𝒊 − 𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1 𝒋 + 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 𝒌
Si 𝜃 es ángulo entre 𝒖 y 𝒗, entonces
𝒖 × 𝒗 = 𝒖 𝒗 sin 𝜃
𝜃 = sen−1
𝒖 × 𝒗
𝒖 𝒗

21. 𝒖 × 𝒗 =
𝒊 𝒋 𝒌
1 −3 4
−2 1 1
=
−3 4 1
1 1
𝒊 −
−2
4 1 −3
1
𝒋 +
−2 1
𝒌
1 + 8 𝒋 + 1 − 6 𝒌 = −7𝒊 − 9𝒋 − 5𝒌
𝒖 × 𝒗 = −3 − 4 𝒊 −
𝒖 × 𝒗 = (−7, −9, −5)
Ejemplo: Determine el ángulo entre los vectores
𝒖 = 𝟏, −𝟑, 𝟒 𝐲 𝒗 = (−𝟐, 𝟏, 𝟏) , utilizando el
producto cruz.
𝜃 = sen−1
𝒖 × 𝒗
𝒖 𝒗
𝒖 × 𝒗 = −7 2 + −9 2 + −5 2 = 49 + 81 + 25 = 155
𝒖 = 1 2 + −3 4 2 = 1 + 9 + 16 = 26
𝒗 = −2 1 1
2 +
2 + 2 + 2 =
𝜃 = sen−1
4 + 1 + 1 = 6
155
26 6
𝜽 = 𝟖𝟓. 𝟒°

22. Propiedades del producto cruz
Sea 𝐮, 𝐯, 𝐰 tres vectores en 𝑅3 y sea 𝑐 un escalar, entonces:
Propiedades del producto punto
PROPIEDADES EN EL PRODUCTO PUNTO Y
PRODUCTO CRUZ

23. BIBLIOGRAFÍA
» Larson R. & Falvo D., (2010). Fundamentos de Álgebra
Lineal, sexta edición, Editorial Cengage Learning.
» Kolman B. & Hill D., (2006). Álgebra Lineal, octava
edición, Editorial Pearson Educación.
» Grossman Stanley, (2008). Álgebra Lineal, sexta edición,
Editorial McGraw Hill.