Este documento presenta notas sobre vectores, rectas y planos en 3 dimensiones. Incluye definiciones de conceptos básicos de vectores como igualdad, suma, resta, multiplicación por escalar y producto punto. También presenta ecuaciones para rectas y planos, y cómo calcular ángulos y distancias. El documento contiene ejemplos interactivos en 3D para visualizar los conceptos.
Apunte de Vectores, rectas y Planos - Algebra LinealCelso Sobarzo
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra lineal como vectores, suma y diferencia de vectores, producto escalar, longitud de vectores.
2) Un vector representa un desplazamiento en una dirección y magnitud. La suma de vectores representa desplazamientos consecutivos.
3) Se define el producto escalar como una medida de la componente paralela entre dos vectores, y la longitud de un vector como su producto escalar consigo mismo.
Este documento habla sobre vectores, rectas y planos en geometría vectorial. Explica la introducción a vectores, su notación, operaciones básicas como suma y resta, y cómo representar rectas y planos usando vectores. También incluye la información de contacto del autor Walter Mora F.
Este documento presenta un libro interactivo sobre álgebra lineal, específicamente sobre vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. El libro incluye cuatro secciones principales: vectores, rectas y planos en el espacio, planos, y rotación de un punto alrededor de una recta. El autor es Walter Mora F. del Instituto Tecnológico de Costa Rica y la versión es 1.1 de agosto de 2011. El libro se distribuye gratuitamente bajo una licencia Creative Commons.
El documento explica conceptos básicos sobre vectores en espacios vectoriales R2 y R3. Define un vector como un elemento de un espacio vectorial y explica que en R2 y R3 los vectores pueden representarse como pares o tripletas de números reales respectivamente. Describe cómo graficar vectores en estos espacios utilizando sistemas de coordenadas cartesianas, así como conceptos como suma y producto escalar de vectores.
Un vector es una cantidad orientada que tiene magnitud y dirección. Tiene elementos como módulo (longitud), dirección (recta que lo contiene), sentido (orientación) y punto de aplicación (origen). R2 es el conjunto de vectores (x1, x2) donde x1 y x2 son números reales. Dos vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud y sentido, como dos segmentos de recta dirigidos PQ y DF. La magnitud de un vector es la longitud de cualquiera de sus representaciones y su dirección es la dirección de sus representaciones.
Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto inicial hasta un punto final. Los vectores tienen magnitud, dirección y sentido. Las operaciones básicas con vectores son la suma, resta y multiplicación por un escalar. La suma y resta se realizan agregando o restando las correspondientes componentes. La multiplicación por un escalar implica multiplicar cada componente por el escalar.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre el tema de vectores, rectas y planos en R3. Introduce los conceptos básicos de vectores como segmentos dirigidos y su representación. Explica operaciones como suma, resta y producto punto y cruz de vectores. Finalmente, cubre conceptos geométricos como rectas, planos, paralelismo, perpendicularidad y sus relaciones. El documento proporciona una introducción concisa pero completa a estos temas fundamentales de álgebra lineal.
Este documento presenta las unidades IV y V sobre espacios vectoriales y transformaciones lineales. La unidad IV cubre conceptos como bases, dimensión e independencia lineal de vectores. La unidad V introduce transformaciones lineales, incluyendo su núcleo e imagen, representación mediante matrices y ejemplos como reflexión, dilatación y rotación. El documento provee definiciones formales, teoremas y ejemplos para ilustrar estos importantes conceptos lineales.
Apunte de Vectores, rectas y Planos - Algebra LinealCelso Sobarzo
1) El documento describe conceptos básicos de álgebra lineal como vectores, suma y diferencia de vectores, producto escalar, longitud de vectores.
2) Un vector representa un desplazamiento en una dirección y magnitud. La suma de vectores representa desplazamientos consecutivos.
3) Se define el producto escalar como una medida de la componente paralela entre dos vectores, y la longitud de un vector como su producto escalar consigo mismo.
Este documento habla sobre vectores, rectas y planos en geometría vectorial. Explica la introducción a vectores, su notación, operaciones básicas como suma y resta, y cómo representar rectas y planos usando vectores. También incluye la información de contacto del autor Walter Mora F.
Este documento presenta un libro interactivo sobre álgebra lineal, específicamente sobre vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. El libro incluye cuatro secciones principales: vectores, rectas y planos en el espacio, planos, y rotación de un punto alrededor de una recta. El autor es Walter Mora F. del Instituto Tecnológico de Costa Rica y la versión es 1.1 de agosto de 2011. El libro se distribuye gratuitamente bajo una licencia Creative Commons.
El documento explica conceptos básicos sobre vectores en espacios vectoriales R2 y R3. Define un vector como un elemento de un espacio vectorial y explica que en R2 y R3 los vectores pueden representarse como pares o tripletas de números reales respectivamente. Describe cómo graficar vectores en estos espacios utilizando sistemas de coordenadas cartesianas, así como conceptos como suma y producto escalar de vectores.
Un vector es una cantidad orientada que tiene magnitud y dirección. Tiene elementos como módulo (longitud), dirección (recta que lo contiene), sentido (orientación) y punto de aplicación (origen). R2 es el conjunto de vectores (x1, x2) donde x1 y x2 son números reales. Dos vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud y sentido, como dos segmentos de recta dirigidos PQ y DF. La magnitud de un vector es la longitud de cualquiera de sus representaciones y su dirección es la dirección de sus representaciones.
Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto inicial hasta un punto final. Los vectores tienen magnitud, dirección y sentido. Las operaciones básicas con vectores son la suma, resta y multiplicación por un escalar. La suma y resta se realizan agregando o restando las correspondientes componentes. La multiplicación por un escalar implica multiplicar cada componente por el escalar.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre el tema de vectores, rectas y planos en R3. Introduce los conceptos básicos de vectores como segmentos dirigidos y su representación. Explica operaciones como suma, resta y producto punto y cruz de vectores. Finalmente, cubre conceptos geométricos como rectas, planos, paralelismo, perpendicularidad y sus relaciones. El documento proporciona una introducción concisa pero completa a estos temas fundamentales de álgebra lineal.
Este documento presenta las unidades IV y V sobre espacios vectoriales y transformaciones lineales. La unidad IV cubre conceptos como bases, dimensión e independencia lineal de vectores. La unidad V introduce transformaciones lineales, incluyendo su núcleo e imagen, representación mediante matrices y ejemplos como reflexión, dilatación y rotación. El documento provee definiciones formales, teoremas y ejemplos para ilustrar estos importantes conceptos lineales.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de geometría vectorial y analítica en dos capítulos. El capítulo 1 introduce vectores geométricos en el plano, incluyendo suma, producto por escalar, descomposición y proyección de vectores. El capítulo 2 describe vectores coordenados o algebraicos en R2, con definiciones de suma, producto por escalar, magnitud, dirección y otros conceptos clave.
1) Un vector en R3 es una terna ordenada de números reales que se representa geométricamente como un segmento de recta dirigido en el espacio.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, que se define como la adición componente a componente, y el producto por un escalar.
3) Estas operaciones siguen propiedades como la conmutatividad y asociatividad de la suma y la existencia de un vector neutro y vector inverso aditivo.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores en R3. Introduce magnitudes escalares y vectoriales, y explica cómo las ternas ordenadas (x, y, z) representan puntos en R3. También cubre sumas y productos vectoriales, y define conceptos clave del álgebra lineal como espacios vectoriales, subespacios vectoriales, combinaciones lineales e independencia lineal.
Este documento trata sobre geometría analítica y espacios afines. Introduce conceptos como espacio afín, subespacio afín, plano afín, espacio afín euclídeo, y coordenadas de puntos. Explica cómo representar vectores y puntos mediante coordenadas y define distancias y ángulos entre puntos y vectores usando el producto escalar.
Este documento introduce conceptos básicos de cálculo vectorial, incluyendo:
1) La definición de magnitudes escalares y vectoriales, y la representación gráfica de vectores.
2) Métodos para representar vectores analíticamente usando coordenadas cartesianas y vectores unitarios.
3) Cómo calcular el módulo de un vector y obtener un vector unitario a partir de otro vector.
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio tridimensional. Explica los sistemas de coordenadas espaciales, cómo ubicar puntos en dichos sistemas, y cómo representar y calcular la magnitud y dirección de vectores utilizando componentes ortogonales y ángulos directores. También cubre conceptos como producto punto, producto vectorial, y cómo graficar y multiplicar vectores.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
04. analisis vectorial r2 y r3 edición 2020Limber Quispe
El documento presenta un análisis del concepto de vector. Define un vector como un segmento de recta orientado que tiene dos elementos: módulo y dirección. Explica cómo calcular el módulo usando el teorema de Pitágoras y la dirección usando funciones trigonométricas. Además, describe diferentes tipos de vectores y operaciones básicas como suma, resta y multiplicación por un escalar.
1) Los vectores se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos y se definen por sus componentes. 2) Se explican conceptos como suma y producto escalar de vectores, así como norma, vector unitario y ángulo entre vectores. 3) Se introduce el producto punto y producto cruz como operaciones entre vectores que producen respectivamente un escalar y un vector.
Este documento describe los conceptos de vector de coordenadas, cambio de base y matriz de transición. Explica que el vector de coordenadas de un vector v con respecto a una base B son los coeficientes de v cuando se expresa como una combinación lineal de los vectores de la base. También define la matriz de transición P que relaciona los vectores de coordenadas de v con respecto a dos bases diferentes B y B' e incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen de las unidades 4 y 5 de álgebra lineal. La unidad 4 define conceptos como espacio vectorial, subespacio vectorial, combinación lineal, independencia lineal, base, dimensión y cambio de base. La unidad 5 introduce las transformaciones lineales, núcleo e imagen. El documento explica estos conceptos a través de definiciones, ejemplos y propiedades.
Este documento describe vectores en el espacio tridimensional. Explica que un vector está definido por sus coordenadas cartesianas (ux, uy, uz) y su magnitud y dirección. También describe cómo se representa una línea recta en el espacio mediante un punto y un vector director, y cómo calcular sus ecuaciones paramétricas y simétricas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores en el plano para el primer año de bachillerato. Introduce la noción de vector fijo y libre, y define vectores equipolentes. Explica operaciones con vectores como el producto de un número por un vector. Finalmente, ilustra gráficamente ejemplos de vectores múltiplos.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre vectores. Define la notación de vectores y sus propiedades como magnitud, dirección y oposición. Explica cómo calcular la suma y resta de vectores, así como la multiplicación por un escalar. También cubre conceptos geométricos como el producto escalar y vectorial entre vectores.
VECTORES: Bachillerato y Nivel Cero B (ESPOL)ESPOL
Este documento describe la representación gráfica de un vector. Explica que un vector tiene dirección, magnitud (longitud) y que la localización es irrelevante. Luego describe cómo representar un vector usando coordenadas rectangulares y polares, incluyendo ejemplos. Finalmente, cubre conceptos como la suma, resta y multiplicación de vectores.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas para describir posiciones en una línea, superficie o espacio. Explica las coordenadas cartesianas, que usan dos ejes perpendiculares y valores numéricos para cada eje. También describe las coordenadas polares, que usan la distancia desde el origen y el ángulo respecto a un eje. Finalmente, explica cómo extender las coordenadas cartesianas a tres dimensiones usando una tercera coordenada.
Este documento presenta conceptos básicos de análisis vectorial como vectores opuestos, iguales, nulos y la multiplicación de un vector por un escalar. También explica métodos para hallar el vector resultante de la suma de varios vectores, como el método del polígono. Finalmente, proporciona ejercicios para aplicar estos conceptos en el cálculo de vectores resultantes y sus módulos.
El documento presenta un análisis de conceptos básicos de vectores como módulo, dirección, vectores unitarios cartesianos, vector unitario direccional, cosenos directores, producto escalar, producto vectorial y triple producto escalar. Se definen cada uno de estos conceptos y se incluyen ejemplos para ilustrarlos.
El documento presenta conceptos básicos de vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. Introduce vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Define el producto punto y la norma de un vector. Explica rectas en R3 y planos, incluyendo sus ecuaciones vectorial y normal. Cubre conceptos como paralelismo, perpendicularidad y distancias.
En el Aula Virtual online de Educagratis ( http://www.educagratis.org ) es posible encontrar un Curso de Química Básica(http://ciencias.educagratis.org ) en el cual se tratan los siguientes contenidos:
En el presente curso a distancia se pretende profundizar en conceptos básicos relacionados con Química por medio de diversos medios como textos y recursos audiovisuales que el alumno deberá de estudiar y trabajar.
Objetivo:
Describir los distintos modelos atómicos
Definir términos usados en teoría atómicaReconocer y utilizar los números cuánticosDesarrollar propiedades periódicasReconocer los diferentes tipos de enlace químico
CONTENIDOS
- TEORIAS ATOMICAS
- TERMINOS EN TEORIA ATOMICA
- TIPOS DE ATOMOS
- NUMEROS CUANTICOS
- CONFIGURACION ELECTRONICA
- PROPIEDADES PERIODICAS
- TABLA PERIODICA DE LOS ELEMENTOS
- ENLACE QUIMICO
Y muchos otros cursos de diversas áreas:
- Animales, Aves y Peces ( http://animales.educagratis.org )
- Artes, Diseño, Pintura y Dibujo ( http://artes.educagratis.org )
- Autoayuda ( http://autoayuda.educagratis.org )
- Belleza y Moda ( http://belleza.educagratis.org )
- Ciencias Alternativas ( http://alternativas.educagratis.org )
- Ciencias Naturales ( http://ciencias.educagratis.org )
- Ciencias Sociales y Juridicas ( http://sociales.educagratis.org )
- Cocina, Bebidas, Pastelería y Repostería ( http://cocina.educagratis.org )
- Computación e Informática ( http://computacion.educagratis.org )
- Construcción, Arquitectura y Paisajismo ( http://construccion.educagratis.org )
- Deportes y Educación Física ( http://deportes.educagratis.org )
- Educación, Religión y Filosofía ( http://educacion.educagratis.org )
- Historia, geografía, tradiciones y cultura ( http://historia.educagratis.org )
- Hogar, Tejido, Borado y Jardín ( http://hogar.educagratis.org )
- Idiomas, Lenguaje y Letras ( http://idiomas.educagratis.org )
- Juegos, Recreación y Pasatiempos ( http://juegos.educagratis.org )
- Matemáticas ( http://matematicas.educagratis.org )
- Mecánica, Autos y Motos ( http://mecanica.educagratis.org )
- Medicina, Psicología y Salud ( http://medicina.educagratis.org )
- Musica, Baile y Danza ( http://musica.educagratis.org )
- Negocios, Empresa y Economía ( http://negocios.educagratis.org )
- Técnicos, Oficios y Manualidades ( http://tecnicos.educagratis.org )
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de geometría vectorial y analítica en dos capítulos. El capítulo 1 introduce vectores geométricos en el plano, incluyendo suma, producto por escalar, descomposición y proyección de vectores. El capítulo 2 describe vectores coordenados o algebraicos en R2, con definiciones de suma, producto por escalar, magnitud, dirección y otros conceptos clave.
1) Un vector en R3 es una terna ordenada de números reales que se representa geométricamente como un segmento de recta dirigido en el espacio.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, que se define como la adición componente a componente, y el producto por un escalar.
3) Estas operaciones siguen propiedades como la conmutatividad y asociatividad de la suma y la existencia de un vector neutro y vector inverso aditivo.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores en R3. Introduce magnitudes escalares y vectoriales, y explica cómo las ternas ordenadas (x, y, z) representan puntos en R3. También cubre sumas y productos vectoriales, y define conceptos clave del álgebra lineal como espacios vectoriales, subespacios vectoriales, combinaciones lineales e independencia lineal.
Este documento trata sobre geometría analítica y espacios afines. Introduce conceptos como espacio afín, subespacio afín, plano afín, espacio afín euclídeo, y coordenadas de puntos. Explica cómo representar vectores y puntos mediante coordenadas y define distancias y ángulos entre puntos y vectores usando el producto escalar.
Este documento introduce conceptos básicos de cálculo vectorial, incluyendo:
1) La definición de magnitudes escalares y vectoriales, y la representación gráfica de vectores.
2) Métodos para representar vectores analíticamente usando coordenadas cartesianas y vectores unitarios.
3) Cómo calcular el módulo de un vector y obtener un vector unitario a partir de otro vector.
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio tridimensional. Explica los sistemas de coordenadas espaciales, cómo ubicar puntos en dichos sistemas, y cómo representar y calcular la magnitud y dirección de vectores utilizando componentes ortogonales y ángulos directores. También cubre conceptos como producto punto, producto vectorial, y cómo graficar y multiplicar vectores.
1) Los vectores en R3 se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos con una magnitud, dirección y sentido.
2) Las operaciones con vectores en R3 incluyen la suma, multiplicación por escalar, producto escalar y producto vectorial.
3) El producto escalar mide la proyección de un vector sobre otro, mientras que el producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.
04. analisis vectorial r2 y r3 edición 2020Limber Quispe
El documento presenta un análisis del concepto de vector. Define un vector como un segmento de recta orientado que tiene dos elementos: módulo y dirección. Explica cómo calcular el módulo usando el teorema de Pitágoras y la dirección usando funciones trigonométricas. Además, describe diferentes tipos de vectores y operaciones básicas como suma, resta y multiplicación por un escalar.
1) Los vectores se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos y se definen por sus componentes. 2) Se explican conceptos como suma y producto escalar de vectores, así como norma, vector unitario y ángulo entre vectores. 3) Se introduce el producto punto y producto cruz como operaciones entre vectores que producen respectivamente un escalar y un vector.
Este documento describe los conceptos de vector de coordenadas, cambio de base y matriz de transición. Explica que el vector de coordenadas de un vector v con respecto a una base B son los coeficientes de v cuando se expresa como una combinación lineal de los vectores de la base. También define la matriz de transición P que relaciona los vectores de coordenadas de v con respecto a dos bases diferentes B y B' e incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen de las unidades 4 y 5 de álgebra lineal. La unidad 4 define conceptos como espacio vectorial, subespacio vectorial, combinación lineal, independencia lineal, base, dimensión y cambio de base. La unidad 5 introduce las transformaciones lineales, núcleo e imagen. El documento explica estos conceptos a través de definiciones, ejemplos y propiedades.
Este documento describe vectores en el espacio tridimensional. Explica que un vector está definido por sus coordenadas cartesianas (ux, uy, uz) y su magnitud y dirección. También describe cómo se representa una línea recta en el espacio mediante un punto y un vector director, y cómo calcular sus ecuaciones paramétricas y simétricas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores en el plano para el primer año de bachillerato. Introduce la noción de vector fijo y libre, y define vectores equipolentes. Explica operaciones con vectores como el producto de un número por un vector. Finalmente, ilustra gráficamente ejemplos de vectores múltiplos.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre vectores. Define la notación de vectores y sus propiedades como magnitud, dirección y oposición. Explica cómo calcular la suma y resta de vectores, así como la multiplicación por un escalar. También cubre conceptos geométricos como el producto escalar y vectorial entre vectores.
VECTORES: Bachillerato y Nivel Cero B (ESPOL)ESPOL
Este documento describe la representación gráfica de un vector. Explica que un vector tiene dirección, magnitud (longitud) y que la localización es irrelevante. Luego describe cómo representar un vector usando coordenadas rectangulares y polares, incluyendo ejemplos. Finalmente, cubre conceptos como la suma, resta y multiplicación de vectores.
Este documento describe diferentes sistemas de coordenadas para describir posiciones en una línea, superficie o espacio. Explica las coordenadas cartesianas, que usan dos ejes perpendiculares y valores numéricos para cada eje. También describe las coordenadas polares, que usan la distancia desde el origen y el ángulo respecto a un eje. Finalmente, explica cómo extender las coordenadas cartesianas a tres dimensiones usando una tercera coordenada.
Este documento presenta conceptos básicos de análisis vectorial como vectores opuestos, iguales, nulos y la multiplicación de un vector por un escalar. También explica métodos para hallar el vector resultante de la suma de varios vectores, como el método del polígono. Finalmente, proporciona ejercicios para aplicar estos conceptos en el cálculo de vectores resultantes y sus módulos.
El documento presenta un análisis de conceptos básicos de vectores como módulo, dirección, vectores unitarios cartesianos, vector unitario direccional, cosenos directores, producto escalar, producto vectorial y triple producto escalar. Se definen cada uno de estos conceptos y se incluyen ejemplos para ilustrarlos.
El documento presenta conceptos básicos de vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. Introduce vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Define el producto punto y la norma de un vector. Explica rectas en R3 y planos, incluyendo sus ecuaciones vectorial y normal. Cubre conceptos como paralelismo, perpendicularidad y distancias.
En el Aula Virtual online de Educagratis ( http://www.educagratis.org ) es posible encontrar un Curso de Química Básica(http://ciencias.educagratis.org ) en el cual se tratan los siguientes contenidos:
En el presente curso a distancia se pretende profundizar en conceptos básicos relacionados con Química por medio de diversos medios como textos y recursos audiovisuales que el alumno deberá de estudiar y trabajar.
Objetivo:
Describir los distintos modelos atómicos
Definir términos usados en teoría atómicaReconocer y utilizar los números cuánticosDesarrollar propiedades periódicasReconocer los diferentes tipos de enlace químico
CONTENIDOS
- TEORIAS ATOMICAS
- TERMINOS EN TEORIA ATOMICA
- TIPOS DE ATOMOS
- NUMEROS CUANTICOS
- CONFIGURACION ELECTRONICA
- PROPIEDADES PERIODICAS
- TABLA PERIODICA DE LOS ELEMENTOS
- ENLACE QUIMICO
Y muchos otros cursos de diversas áreas:
- Animales, Aves y Peces ( http://animales.educagratis.org )
- Artes, Diseño, Pintura y Dibujo ( http://artes.educagratis.org )
- Autoayuda ( http://autoayuda.educagratis.org )
- Belleza y Moda ( http://belleza.educagratis.org )
- Ciencias Alternativas ( http://alternativas.educagratis.org )
- Ciencias Naturales ( http://ciencias.educagratis.org )
- Ciencias Sociales y Juridicas ( http://sociales.educagratis.org )
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- Computación e Informática ( http://computacion.educagratis.org )
- Construcción, Arquitectura y Paisajismo ( http://construccion.educagratis.org )
- Deportes y Educación Física ( http://deportes.educagratis.org )
- Educación, Religión y Filosofía ( http://educacion.educagratis.org )
- Historia, geografía, tradiciones y cultura ( http://historia.educagratis.org )
- Hogar, Tejido, Borado y Jardín ( http://hogar.educagratis.org )
- Idiomas, Lenguaje y Letras ( http://idiomas.educagratis.org )
- Juegos, Recreación y Pasatiempos ( http://juegos.educagratis.org )
- Matemáticas ( http://matematicas.educagratis.org )
- Mecánica, Autos y Motos ( http://mecanica.educagratis.org )
- Medicina, Psicología y Salud ( http://medicina.educagratis.org )
- Musica, Baile y Danza ( http://musica.educagratis.org )
- Negocios, Empresa y Economía ( http://negocios.educagratis.org )
- Técnicos, Oficios y Manualidades ( http://tecnicos.educagratis.org )
El documento proporciona información sobre los perfiles estructurales y comerciales de acero laminado en caliente que ofrece Deacero. Presenta una amplia selección de perfiles que cumplen con normas internacionales de calidad. También describe la ubicación de las instalaciones de Deacero en México y Estados Unidos y ofrece detalles técnicos sobre diversos tipos de perfiles como vigas en I, en S y canales.
La adenomiosis es un engrosamiento del útero causado por el crecimiento anormal de tejido endometrial en las paredes musculares del útero. Puede causar sangrado menstrual abundante, dolor pélvico y dismenorrea. El diagnóstico definitivo requiere histerectomía, pero puede sospecharse mediante ultrasonido o resonancia magnética que muestren un engrosamiento del miometrio. No tiene cura y el tratamiento se enfoca en aliviar los síntomas.
Este documento presenta un resumen de la introducción a un curso de Matemática Discreta. Explica brevemente que la Matemática Discreta estudia objetos discretos como los números naturales, que están separados entre sí a diferencia de los números reales que son continuos. También resume los temas que se cubrirán en el curso como lógica, algoritmos, combinatoria y grafos. Finalmente, indica que el curso está estructurado en 6 temas con introducciones, conceptos, ejemplos y ejercicios para cada uno.
The security monitoring and attack detection planning guideatul chaurasia
This document provides guidance on implementing security monitoring and attack detection. It discusses approaches to security monitoring such as implementing security monitoring systems, correlating security audit events, and using independent software vendor solutions. It also covers issues and requirements for detecting policy violations, identifying external attacks, and implementing forensic analysis. Finally, it outlines the design of a security monitoring solution including elements, concepts, prerequisites, planning, architecture, and how the solution would work.
Este documento establece los requisitos técnicos para el diseño de tanques atmosféricos de acero utilizados para almacenar petróleo y sus derivados en instalaciones de PEMEX. Incluye definiciones de términos relacionados con tanques como anclaje, anillos atiesadores y boquillas. También describe diferentes tipos de techos, juntas y soldaduras para tanques. El objetivo es normalizar el diseño y materiales de tanques atmosféricos verticales de acero en PEMEX para garantizar la seguridad
Este documento describe los 12 elementos esenciales de un sistema integral para administrar la seguridad, salud y protección ambiental en Petróleos Mexicanos. Incluye una tabla de auto-evaluación para que los centros de trabajo evalúen su desempeño en estos elementos y realicen mejoras continuas. Los 12 elementos se agrupan en tres categorías: compromiso gerencial, estructura organizacional, y operaciones.
El documento habla sobre la importancia de resumir información de forma concisa para ofrecer la idea principal sin incluir detalles innecesarios. Explica que un buen resumen debe identificar la idea central y los puntos más relevantes del texto original de manera clara y breve.
Este documento contiene información sobre el sistema eléctrico de una máquina JCB. Incluye datos técnicos, diagramas de circuitos, descripciones del funcionamiento de los componentes eléctricos y procedimientos de diagnóstico y mantenimiento.
This document contains an English test with multiple sections:
1) Writing the negative and interrogative forms of sample sentences.
2) Completing sentences with affirmative or negative forms depending on symbols.
3) Defining and writing words based on definitions.
4) Listening and circling correct answers.
5) Reading and circling correct answers.
6) Translating a text into Spanish.
7) Completing questions with phrases and matching to answers. The test covers a range of English grammar and comprehension topics.
El documento describe los elementos básicos del plano cartesiano y los vectores. Explica que en el plano cartesiano, la posición de un punto se define por un par ordenado de coordenadas (x,y) y que un vector es un segmento dirigido con magnitud, dirección y sentido. También resume métodos para calcular la magnitud de un vector, sumar y restar vectores, y la regla del paralelogramo para sumar y restar vectores.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en el plano, incluyendo: (1) la definición geométrica de un vector como un desplazamiento, (2) las operaciones de suma y multiplicación por escalar de vectores, y (3) la noción de producto escalar y sus propiedades.
El documento describe vectores en el plano cartesiano. Un vector está determinado por las coordenadas de sus puntos inicial y final y se representa como ux y uy. La magnitud de un vector se calcula como la raíz cuadrada de ux^2 + uy^2 y su dirección como arctan(uy/ux). Los vectores i y j son vectores unitarios paralelos a los ejes x e y respectivamente y cualquier vector u puede expresarse como ux*i + uy*j.
Manual de Partes de la Retroexcavadora 420 D
La información sobre el producto, se presenta en este manual, como elementos de información, que representan todos los componentes de un modelo especifico.
Los elementos de información están organizados primeramente por nombres de piezas en orden alfabético y en segundo lugar por el numero de pieza dentro de cada sección principal del manual.
El proceso para obtener la inversa de una matriz elemental es el siguiente:
1. Identificar la matriz elemental dada. En este caso tenemos dos matrices elementales:
E1 = 1 0 0
1 1 0
0 0 1
E2 = 1 0 0
0 1 0
0 0 6
2. Invertir el valor del escalar en la posición que no es 1.
Para
TRABAJO COLABORATIVO 2 ALGEBRA LINEAL UNADatristanchor
Este documento presenta el trabajo colaborativo de varios estudiantes sobre sistemas de ecuaciones lineales y álgebra lineal. El objetivo es identificar conceptos clave como sistemas de ecuaciones lineales, eliminación gaussiana, factorización LU, matriz inversa, rectas y planos en R3, y espacios vectoriales; y aplicarlos para resolver problemas. Se resuelven varios ejercicios utilizando métodos como Gauss-Jordan, inversa de matrices, ecuaciones de rectas y planos.
El documento presenta información sobre manuales de mantenimiento. Explica que un manual de mantenimiento describe las normas, organización y procedimientos de mantenimiento de una empresa. Señala que un manual es importante porque constituye una acción planificada y eficiente del mantenimiento, permite la formación de personal y establece una conducta responsable del personal.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores, rectas y planos en espacios tridimensionales. Introduce la noción de vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Explica propiedades importantes de los vectores como conmutatividad, asociatividad y existencia de elemento neutro. También cubre temas como producto punto, norma, ángulo entre vectores, paralelismo, perpendicularidad, proyección ortogonal y producto cruz. Finalmente, analiza conceptos geométricos como rectas, plan
Este documento presenta un PDF interactivo sobre vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional R3. El documento comienza explicando conceptos básicos de vectores como operaciones entre ellos, producto punto y norma. Luego, introduce conceptos de rectas y planos como ecuaciones vectoriales, paralelismo, perpendicularidad y distancias. Finalmente, cubre rotaciones de puntos alrededor de rectas. El documento proporciona ejemplos interactivos en 3D para facilitar la comprensión de estos conceptos geométricos.
El documento presenta conceptos básicos de vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. Introduce vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Define el producto punto y la norma de un vector. Explica propiedades importantes de estas operaciones y cómo se representan y manipulan vectores, rectas y planos en R3. Finalmente, cubre temas como ángulos entre vectores, paralelismo, perpendicularidad, proyecciones y distancias.
Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios vectoriales. Explica que un espacio vectorial es un conjunto con operaciones de suma y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades. Presenta ejemplos de espacios vectoriales como R2, R3 y conjuntos de polinomios y matrices. También define subespacios vectoriales y operaciones como intersección de subespacios.
El documento trata sobre vectores en el espacio tridimensional R3. Explica que R3 cumple dos condiciones relacionadas con la suma y el producto escalar de vectores. También define conceptos como norma, paralelismo, producto escalar y vectorial de vectores, y da ejemplos de cómo aplicar estas operaciones.
Este documento introduce los vectores en R2 y R3, definiendo sus propiedades como suma, producto por escalar y producto punto. Explica cómo representar vectores gráficamente en estos espacios y calcula el ángulo entre dos vectores usando el producto punto y las normas de los vectores. Finalmente, describe la proyección de un vector sobre otro.
Este documento presenta una introducción a los vectores en matemáticas. Define un vector geométricamente como un segmento de recta con magnitud y dirección. Explica cómo representar vectores usando puntos iniciales y finales, y cómo realizar operaciones algebraicas con vectores como suma, escalamiento y propiedades. Incluye ejemplos para ilustrar conceptos como magnitud de vectores, suma y multiplicación de vectores.
Este documento presenta una propuesta para una serie de clases destinadas a ayudar a estudiantes de educación media a diferenciar vectores en el espacio y en el plano. La propuesta incluye cuatro clases que abordan objetivos como reconocer los componentes de un vector en el espacio, diferenciar vectores en el espacio y el plano, y aplicar propiedades de vectores. Cada clase incluye ejemplos, ejercicios y discusión para explicar conceptos como suma y producto de vectores.
Este documento presenta una introducción a los vectores. Explica que un vector en el plano es un segmento de recta con una dirección asignada y se denota por su punto inicial y punto terminal. También describe cómo representar vectores mediante sus componentes x e y y cómo realizar operaciones algebraicas con vectores como suma, resta y multiplicación por un escalar. El documento incluye ejemplos para ilustrar conceptos como la magnitud de un vector y cómo dibujar vectores.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores en R3 como parte de una sesión introductoria de matemática básica para ingeniería. Explica cómo representar puntos y vectores en R3, calcular la magnitud de un vector, y realizar operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También introduce ecuaciones para representar rectas y planos en R3.
1. El documento describe el concepto de producto escalar entre vectores y sus propiedades. Explica cómo calcular el producto escalar entre dos vectores a partir de sus componentes, y cómo determinar la medida del ángulo entre dos vectores usando el producto escalar.
2. También explica cómo calcular la proyección escalar de un vector sobre la dirección de otro vector, la cual es igual al producto escalar entre los vectores dividido por la norma del vector sobre el cual se proyecta.
3. Finalmente, proporciona ejemplos para calcular el product
Este documento presenta una introducción a los vectores en el espacio tridimensional. Explica los sistemas de coordenadas espaciales, cómo ubicar puntos y representar vectores utilizando vectores base. También define la magnitud y dirección de un vector, y describe las operaciones de producto punto y producto vectorial entre vectores.
Matemática de Vectores - Vectores en el plano y el espacio.OyolaAngel
El documento presenta conceptos básicos sobre vectores, incluyendo sus características, sumas y restas de vectores, vectores en el plano y sus componentes cartesianas. Explica cómo representar un vector mediante su magnitud, dirección y componentes, y cómo determinar estas propiedades a partir de la información dada. También incluye ejemplos resueltos de cálculos con vectores.
El documento describe los conceptos básicos de los vectores, incluyendo su módulo, dirección y sentido. Explica que un vector se puede expresar mediante coordenadas en una base dada y cómo realizar operaciones como suma, resta y multiplicación por escalares con vectores. También cubre conceptos como paralelismo, producto escalar y proyección ortogonal de vectores.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica vectorial. Define vectores y sus características como módulo, dirección y sentido. Explica cómo expresar un vector dado sus puntos extremos, la igualdad y suma de vectores, el módulo y distancia entre puntos. También cubre el producto de un vector por un número y producto escalar.
El documento presenta conceptos básicos sobre vectores, incluyendo: 1) la definición de un vector, 2) cómo se representan y caracterizan vectores, 3) operaciones con vectores como suma, resta y producto escalar, y 4) cómo expresar vectores utilizando coordenadas cartesianas. Se proveen ejemplos para ilustrar cada concepto y se piden ejercicios para practicar el cálculo con vectores.
Este documento introduce los conceptos básicos de los vectores, incluyendo su definición como un segmento orientado con magnitud y dirección, formas de representarlos analítica y gráficamente, y operaciones como suma, resta, producto por escalar, producto escalar y vectorial, y descomposición. Explica cómo realizar estas operaciones y cómo representar y calcular vectores y sus propiedades.
Este documento presenta apuntes sobre álgebra lineal para ingeniería civil. Incluye definiciones y propiedades de vectores, operaciones con vectores como suma y producto escalar, y conceptos como norma, ángulo, proyección, producto vectorial, ecuaciones de rectas y planos. También cubre temas de espacios vectoriales, subespacios, bases, dependencia e independencia lineal y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento describe el desarrollo de una aplicación para sumar vectores usando C++ y Visual Studio. Explica brevemente vectores y sus propiedades matemáticas como la suma conmutativa y asociativa. Luego detalla la interfaz gráfica del programa con controles y formularios para ingresar y mostrar vectores y el resultado de su suma.
Fijación, transporte en camilla e inmovilización de columna cervical II.pptxjanetccarita
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2. Walter Mora F.
Notas sobre
Vectores, Rectas y Planos
-Puede ver y manipular las figuras en 3D haciendo clic sobre ellas (necesita una conexión a Internet)
—-PDF interactivo. Primera edición
Revista digital
Matemática, Educación e Internet. (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).
5. Índice general
Prólogo 6
1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Operaciones Básicas 10
1.2 Propiedades de los vectores 14
1.3 Producto punto y norma. 15
1.4 Ángulo entre vectores en R3. 18
1.5 Paralelismo, perpendicularidad. 21
1.6 Proyección ortogonal 21
1.7 Producto Cruz en R3 25
2 Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Rectas en R3. 33
2.2 Distancia de un punto a una recta 37
2.3 Rectas en R2 38
2.4 Ecuación vectorial del plano 39
2.5 Ecuación normal y cartesiana del plano 39
2.6 Paralelismo, perpendicularidad y ángulo 42
2.7 Intersección entre recta y plano. 46
2.8 Distancia mínima de un punto a un plano. 47
6. 2.9 El punto de un plano más cercano a un punto dado. 47
2.10 Proyección ortogonal sobre un plano. 49
3 Rotación de un punto alrededor de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliografía 56
7. Prólogo
Uno de los objetivos de este libro es la visualización en 3D. La mayoría de figuras en 3D tienen una liga a un
applet Java (debe tener una conexión a Internet y el plugin de Java instalado), en este applet el lector puede
manipular las figuras con el ratón.
Cartago, Agosto 2014. W. MORA F. (wmora2@itcr.ac.cr)
8.
9. 1 — Vectores
A partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos (a,b) 2 R2 se asocian con puntos de un
plano definido por dos rectas perpendiculares que almismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares
donde la interseccón representa al origen de coordenadas (0,0) y cada par ordenado (a,b) se asocia con un punto de
coordenada a en la recta horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y ).
Analógamente, los puntos (a,b,c) 2 R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas
mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).
Figura 1.1: Punto (a,b)
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
Figura 1.2: Punto (a,b,c)
Si vemos a R2 y R3 como “espacios vectoriales” (con la suma y el producto escalar usual), sus elementos son “vectores”
que se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en el plano XY o en el espacio tridimen-sional.
La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.
Notación. Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba tales como #v , #y , #z . Los puntos se
denotarán con letras mayúsculas tales como A, B , C . En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados
11. 1.1 Operaciones Básicas 11
Ejemplo 1.1
Sea #v Æ (1, 3,4) y w# w Æ (3, 1,4) , entonces #v6Æ
w# ww.
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
X
Y
Z
4 w v
1
2
3
4
1 2
3
3
2
1
Suma y resta. La suma y resta de vectores en Rn se hace componente a componente.
Definición 1.2 (Suma y resta).
Si #v Æ (v1, v2, v3) 2 R3 y w# w Æ (w1,w2,w3) 2 R3;
#v Å
w# w Æ (v1 Åw1, v2 Åw2, v3 Åw3) y #v ¡
w# w Æ (v1 ¡w1, v2 ¡w2, v3 ¡w3)
Ejemplo 1.2
Sea #v Æ (1, 3,4) y w# w Æ (3, 1,4) , entonces #v Å
w# w Æ (4, 4,8)
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
X
Y
Z
v w
w v
12. 12 Vectores
Ejemplo 1.3
Sea P Æ (0, 3, 1), Q Æ (1, 2,4) y R Æ (10,1,6). Entonces
#
OR
Æ
#
OP
Å
#
PQ
Å
#
QR
QR.
X
Y
Z
Ejemplo 1.4
Sea #v Æ (1, 3,4) y w# w Æ (3, 1,4) , entonces
#v ¡
w# w Æ (¡2, 2,0) y w# w ¡
#v Æ (2,¡2, 0).
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
X
Y
Z
w v
v w
w v
v w (traslación)
Ejemplo 1.5
Considere los puntos A Æ (0,0,1),B Æ (3,5,0) y C Æ (2,0,0). Nos interesa calcular D 2 R3 tal que A, B, C y D
sean los vértices de un paralelogramo.
Hay tres soluciones. Supongamos que el paralelogramo tiene lados AB y AC , entonces B ¡ A ÆD1¡C de donde
D1 ÆC ÅB ¡ A, en este caso, D1 es el vértice opuesto al vértice A. Las otras dos soluciones son D2 ÆC Å A¡B y
D3 Æ AÅB ¡C. Así, tenemos los paralelogramos ACBD3, ACD1B y AD2CB.
13. 1.1 Operaciones Básicas 13
X
Y
Z
A
B
C
D3
X
Y
Z
A
B
C
D1
D2
D3
Multiplicación por un escalar. Un escalamiento de un vector, por un factor k 2 R, se logra multiplicando cada com-ponente
por el mismo número real k
Definición 1.3 (Multiplicación por un escalar).
Consideremos el vector #v Æ (v1, v2, v3) 2 R3 y el escalar k 2 R, entonces
k #v Æ (k v1,k v2,k v3)
Ejemplo 1.6
Sea #v Æ (1, 3,4) entonces
2#v Æ (2, 6,8)
1
2
#v Æ
¡12
, 32
, 42
¢
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X
Y
16. 16 Vectores
Teorema 1.2 (Propiedades del producto punto).
Consideremos los vectores #v , w# ww, u# u 2 R3 y ® 2 R, entonces
1.) #v ¢
#v È 0 si #v6Æ
#
0
(el producto punto es definido positivo)
2.) #v ¢
w# w Æ
w# w ¢
#v
3.) u# u ¢
¡#v Å
w# w
¢
Æ
u# u ¢
#v Å
u# u ¢
w# w
4.)
¡
®#v
¢
¢
w# w Æ ®
¡#v ¢
w# w
¢
Nota: No hay propiedad asociativa pues “#v ¢ (w# w ¢
u# u )” no tiene sentido dado que w# w ¢
u# u es un número real.
Norma (Euclidiana). La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría euclideana
Definición 1.5 (Norma).
Consideremos el vector #v Æ (v1, v2, v3) 2 R3. La norma de #v se denota jj
#v jj y se define de la siguiente manera,
jj
#v jj Æ
p
#v ¢
#v
Æ
q
v2
1
Åv2
2
Åv2
3
La distancia de A a B se define como d(A,B) Æ jjB ¡ Ajj.
Observemos que v ¢ v Æ jj
#v jj2
Ejemplo 1.10
a.) Sea w# w Æ (1, 0,
p
2) entonces jj
w# wjj Æ
q
12 Å02 Å
¡p
2
¢2
Æ
p
3
b.) La distancia de A Æ (x, y, z) a B Æ (1,¡3,2) es jjB ¡ Ajj Æ
p
(x ¡1)2 Å(y Å3)2 Å(z ¡2)2
18. 18 Vectores
1.4 Ángulo entre vectores en R3.
A partir de la Ley de los cosenos podemos establecer una relación
entre el producto punto, normas y ángulos, como se muestra a
continuación.
Ley de los cosenos. Si a,b y c son las longitudes de los lados de
un triángulo arbitrario, se tiene la relación
c2 Æ a2 Åb2 ¡ 2ab cosµ
donde µ es el ángulo entre los lados de longitud a y b.
Para visualizar esta ley usando vectores, consideremos el trián-gulo
determinado por los vectors #v , w# w 2 R3, como se muestra
en la figura.
X
Y
Z
v w
Entonces
jj
#v ¡
w# wjj2 Æ jj
#v jj2 Åjj
w# wjj2 ¡2jj
#v jj jj
w# wjjcosµ (¤)
ahora, puesto que
jj
#v ¡
w# wjj2 Æ (#v ¡
w# ww) ¢ (#v ¡
w# ww) Æ jj
#v jj2 Åjj
w# wjj2 ¡2#v ¢
w# w
entonces, despejando en (*) obtenemos
#v ¢
w# w Æ jj
#v jj jj
w# wjj cosµ
Ángulo entre vectores en Rn. En el caso del Rn, si #v , w # 2 Rn son vectores no nulos, entonces usando la desigualdad d
Cauchy-Schwarz: #j
v ¢
ww# wj · jj
#v jj jj
w# wjj y la propiedad del valor absoluto jxj · k , ¡k · x · k para un número k ¸ 0,
obtene-mos ¡jj
#v jj jj
w# wjj ·
#v ¢
w# w · jj
#v jj jj
w# wjj y entonces ¡1 ·
#v ¢
w# w
jj
#v jj jj
w# wjj
· 1.
Se puede garantizar que para #v , w# w 2 Rn vectores no nulos, es posible encontrar un único µ 2 [0,¼] tal que #v ¢
w# w Æ
jj
#v jj jj
w# wjj cosµ. Formalmente,
Definición 1.7
Si #v , w# w 2 Rn son vectores no nulos, el ángulo entre #v y w# w es el único µ 2 [0,¼] tal que
#v ¢
w# w Æ jj
#v jj jj
w# wjj cosµ, i.e. µ Æ arccos
µ #v ¢
w# w
jj
#v jj jj
w# wjj
¶
,
19. 1.4 Ángulo entre vectores en R3. 19
Notación: #v , w# w denota el ángulo entre #v y w# w
Como una consecuencia, tenemos una caracterización para vectores ortogonales. Recordemos que dos vectores son
ortogonales si al menos uno de ellos es nulo o si el ángulo entre ellos es ¼/2. Entonces
Teorema 1.4 (Vectores ortogonales).
Los vectores #v , w# w 2 Rn son ortogonales si y sólo si #v ¢
w# w Æ 0
Nota: El único vector ortogonal consigo mismo es el vector
#
0
Ejemplo 1.12
Sean w# w Æ (1,0,
p
2) y #v Æ (¡2,1,
p
2) entonces w# w y #v son
ortogonales pues w# w ¢
#v Æ ¡2Å2 Æ 0
X
Y
Z
v
w
20. 20 Vectores
Ejemplo 1.13
Sean w# w Æ (2,0,2) y #v Æ (0,2,2) entonces el ángulo entre w# w y
#v es
µ Æ arccos
µ
1
2
¶
Æ ¼/3;
pues,
cosµ Æ
#v ¢
w# w
jj
w# wjj
#v jj jj
Æ) µ Æ arccos
µ #v ¢
w# w
jj
w# wjj
#v jj jj
¶
Æ arccos
µ
1
2
¶
X
Y
Z
w v
Ejemplo 1.14
Sean #v Æ (1,¡1,0) y w# w Æ (1,1,0). Consideremos el problema de encontrar un vector u# u 2 R3 que cumpla las tres
condiciones siguientes
u# u ?
#v ; jj
u# u jj Æ 4; y u# u , w# w Æ
¼
3
Para resolver el problema, supongamos que u# u Æ (x, y, z),
entonces tenemos que
8
:
u# u ¢
#v Æ 0
jj
u# u jj Æ 4
u# u ¢
w# w Æ jj
u# u jj jj
w# wjjcos ¼3
Æ)
8
:
x ¡ y Æ 0
x2 Å y2 Åz2 Æ 16
x Å y Æ 4
p
2 ¢
1
2
Æ)
8
:
x Æ y
2x2 Åz2 Æ 16
x Æ
p
2,
de donde finalmente obtenemos, u# u Æ
¡p
2,
p
2, §2
p
2
¢
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
X
Y
Z
v
w
u
u
22. 22 Vectores
u
proy u
w
w
u tw
8
:
¡!u
¡!w
proy
Æ t ¡!w
¡!w
¢ (¡!u
¡t ¡!w
) Æ 0
Æ)
8
:
¡!u
¡!w
proy
Æ t ¡!w
¡!w
¢
¡!u
¡
¡!w
¢ t ¡!w
Æ 0
Æ)
8
:
¡!u
¡!w
proy
Æ t ¡!w
t Æ Æ
¡!w
¢
¡!u
¡!w
¢
¡!w
y finalmente,
¡!u
¡!w
proy
Æ
¡!w
¢
¡!u
¡!w
¢
¡!w
¡!w
w
Definición 1.9 (!wProyección ortogonal de #v sobre ww).
# Si #v , w # 2 R3 con ¡6Æ 0.
wSe llama proyección ortogonal de ¡!v
sobre ¡!w
al vector
¡!v
¡!w
proy
Æ
¡!w
¢
¡!v
¡!w
jj
jj2
¡!w
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
X
Y
Z
v
v
proy w w
. Como ¡!v
¢
¡!w
Æ
°°°°
¡!v
¡!w
proy
°°°°
¢ kwk; si ponemos ¸ Æ
°°°°
¡!v
¡!w
proy
°°°°
entonces, el producto punto de ¡!v
y ¡!w
es “¸ veces la
longitud de ¡!w
”.
. Al vector ¡!v
¡!v
¡!w
¡proy
se le conoce como “la componente de ¡!v
ortogonal a ¡!w
”.
. Si µ Æ]#v w# ww, entonces
°°°°
¡!v
¡!w
proy
°°°°
Æ jj
#v jjcosµ
23. 1.6 Proyección ortogonal 23
Ejemplo 1.15
Sean #v Æ (5, 0,
p
2) y #v Æ (2, 1,
p
2) entonces
¡!v
¡!w
proy
Æ
¡!w
¢
¡!v
¡!w
¢
¡!w
¡!w
Æ
12
7
(2, 1,
p
2) Æ
Ã
24
7
,
12
7
,
p
2
7
12
!
¡!w
¡!v
proy
Æ
¡!w
¢
¡!v
¡!v
¢
¡!v
¡!v
Æ
12
27
(5, 0,
p
2) Æ
Ã
60
27
, 0,
p
2
27
12
!
X
Y
Z
Ejemplo 1.16
Sean ¡!v
Æ (3,1,0) y ¡!w
Æ (2,2, 0). Consideremos el problema de determinar un vector ¡!u2 R3 tal que ¡!u
Æ (x, y,x)
¡!u
¡!v
y que cumpla las dos condiciones proy
¡!v
y u# u ?
Æ ¡
w# ww.
Bien, 8
:
¡!u
¡!v
proy
¡!v
Æ ¡
u# u ¢
w# w Æ 0
Æ)
8
:
3x Å y
10
(3, 1,0) Æ ¡(3, 1, 0),
2x Å2y Æ 0.
Resolviendo el sistema, x Æ ¡5, y Æ 5, y entonces
¡!u
Æ (¡5, 5,¡5)
X
Y
Z
24. 24 Vectores
Ejemplo 1.17
Consideremos un triángulo determinado por los puntos A,B,C 2 R3. Podemos calcular la altura y el área de la
siguiente manera,
Sean ¡!u
Æ B ¡ A, ¡!w
¡!u
ÆC ¡ A, entonces la altura es h Æ jj
¡!u
¡!w
¡proy
¡!w
jj . Luego, como la base mide jj
jj, entonces
Área Æ
¡!w
jj
¡!u
jj jj
¡!u
¡!w
¡proy
jj
2
u
w
proy
u
w
Ejemplo 1.18
Sea A Æ (2,2,2), B Æ (1,1,0) y C Æ (0,2,2). Nos interesa Calcular el punto E en el segmento BC tal que el
segmento AE sea la “altura” del triángulo 4ABC sobre este segmento.
Sean ¡!u
Æ A¡B, ¡!w
ÆC ¡B, el punto buscado es
E Æ
#
B¡!u
¡!w
B Å proy
.
La traslación es necesaria pues la proyección es un vector an-clado
en el origen.
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
X
Y
Z
u
w
u
proy w
u
proyw
26. 26 Vectores
. Recordemos que ˆı Æ (1, 0, 0), ˆ| Æ (0, 1, 0), ˆk
Æ (0, 0, 1), entonces también podríamos escribir
u# u £
#v Æ (u2v3 ¡ u3v2, u3v1 ¡ u1v3, u1v2 ¡ u2v1)
. Esta fórmula se puede calcular como un determinante,
. El producto cruz #v £
w# w es un vector que es tanto perpendicular a #v como a w# ww.
Ejemplo 1.19
Si bi Æ (1, 0, 0), bj Æ (0, 1,0) y bk Æ (0, 0, 1); entonces
bi £ bj Æ bkk, bj £bbk Æbbi y bk £bbi Æ bj
Sean u# u Æ (5, 0,
p
2) y #v Æ (2, 1,
p
2) entonces
u# u £
#v Æ
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
ˆı ˆ| ˆk
5 0
p
2
2 1
p
2
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
p
2, ¡3
Æ (¡
p
2, 5)
#v £
u# u Æ
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
ˆı ˆ| ˆk
2 1
p
2
5 0
p
2
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Æ (
p
2, 3
p
2, ¡5)
X
Y
Z
u
v
Propiedades del producto cruz. Recordemos que el producto cruz solo lo hemos definido en R3,
27. 1.7 Producto Cruz en R3 27
Teorema 1.5 (Propiedades del producto cruz).
Consideremos los vectores #v , w# ww,¡!u
2 R3 y ® 2 R, entonces
1.) ¡!u
¢ (¡!u
£
¡!v
) Æ 0
2.) ¡!v
¢ (¡!u
£
¡!v
) Æ 0
¡!u
3.) jj
£
¡!v
¡!u
jj2 Æ jj
¡!v
jj2 jj
jj2 ¡ (¡!u
¢
¡!v
)2 (igualdad d Lagrange)
4.) ¡!u
£
¡!v
Æ ¡(¡!v
£
¡!u
)
5.) ¡!u
£(#v Å
w# ww) Æ
u# u £
#v Å
u# u £
w# w
6.) (u# u Å
#v )£
w# w Æ
u# u £
w# w Å
#v £
w# w
7.) ®(¡!u
£
¡!v
) Æ (®
¡!u
)£
¡!v
Æ
¡!u
¡!v
)
£(®
8.) ¡!u
£
¡!0
Æ
¡!0
£
¡!u
Æ
¡!0
9.) ¡!u
£
¡!u
Æ 0
. Observe que no tenemos una propiedad de asociatividad para el producto cruz.
. De la propiedad 9 y la propiedad 7 podemos deducir que si dos vectores son paralelos, el producto cruz es cero
¡!u
Ò
¡!v
Æ)
¡!u
¡!v
Æ ®
Æ)
¡!u
£
¡!v
Æ 0
Área Consideremos un paralelogramo determinado por dos vectores ¡!u
, ¡!v
2 R3, como se ve en la figura de la derecha.
De la igualdad de Lagrange se puede deducir la fórmula (de área): Si µ es el ángulo entre estos vectores, el área del
paralelogramo es,
¡!u
A Æ jj
¡!v
jj jj
¡!u
jjsinµ Æ jj
£
¡!v
jj
28. 28 Vectores
Volumen. Consideremos un paralelepípedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanares ¡!u
, ¡!v
, ¡!w
2 R3,
como se ve en la figura. El volumen del paralelepípedo es,
V Æ j
w# w ¢ (¡!u
£
¡!v
) j Æ
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Det
0
BBBBB@
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
1
CCCCCA
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
X
Y
Z
u
v
w
Ejemplo 1.20
El área del triángulo con vértices en P Æ (1, 3,¡2),
Q Æ (2, 1,4) y R Æ (¡3, 1,6) es
Área Æ
jj
¡¡!
PQ £
¡¡!
QRjj
2
Æ
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 2
ˆı ˆ| ˆk
1 ¡2 6
¡5 0 2
Æ
p
1140
2
X
Y
Z
w
v
P
Q
R
Ejemplo 1.21
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u# u Æ (1, 3,¡2), #v Æ (2, 1, 4), w# w Æ (¡3, 1,6) es
29. 1.7 Producto Cruz en R3 29
V Æ j
w# w ¢ (¡!u
£
¡!v
) j Æ
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Det
0
BBBBB@
1 3 ¡2
2 1 4
¡3 1 6
1
CCCCCA
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Æ 80
X
Y
Z
u
v
w
Nota: El producto cruz solo existe en R1 R3 y R7 ([12]). Con el producto punto tal y como lo hemos definido, si un
“producto cruz” cumple las propiedades del teorema (1.7), solo podría existir en en R1, R3 y R7.
1
Ejercicios
1.1 Considere los vectores #v Æ (2, 3), w# w Æ (¡2,1) y u# u Æ (4,¡2).
a.) Hacer la representación gráfica de estos puntos en el plano XY
b.) Hacer la representación gráfica de #v Å
w# w y w# w ¡
#v en el plano XY
c.) Calcular jj
#v jj, jj
w# wjj y jj
u# u jj
d.) Calcular jj
1
2
#v jj, jj¡
1
2
#v jj y jj¡2#v jj
e.) Calcular jj
#v ¡
w# wjj, jj
w# w ¡
u# u jj.
f.) Sea #s Æ
#v
jj
#v jj
. Verifique que #s es unitario
g.) Calcular el ángulo entre #v y w# w
h.) Sea #s Æ
w# w ¡
#v y #r Æ
#v ¡
u# u . ¿Son #s y #r perpendiculares?
¡!v
¡!w
i.) Calcule #r Æ proy
y haga la representación gráfica de #v , w# w y #r .
j.) Verifique que #v ¡
¡!v
¡!w
#r Æ proy
es perpendicular a w# w
30. 30 Vectores
1.2 Sean A Æ (2, 3), B Æ (¡2,1) y C Æ (4,¡2).
a.) Calcular un punto D tal que ABCD sea una paralelogramo
b.) Calcular la altura del triángulo ABC sobre el lado C A
c.) Calcular el área del triángulo ABC
d.) Calcular el puntomedio M entre A y B y calcular la distancia d(A,M) .
1.3 Sean #v Æ (2, 3, 1), w# w Æ (¡2, 1,2) y u# u Æ (4,¡2, 0).
a.) Hacer la representación gráfica de estos puntos en el plano XY Z
b.) Hacer la representación gráfica de #v Å
w# w y w# w ¡
#v en el plano XY Z
c.) Calcular jj
#v jj, jj
w# wjj y jj
u# u jj
d.) Calcular jj
1
2
#v jj, jj¡
1
2
#v jj y jj¡2#v jj
e.) Calcular jj
#v ¡
w# wjj, jj
w# w ¡
u# u jj.
f.) Sea #s Æ
#v
jj
#v jj
. Verifique que #s es unitario
g.) Calcular el ángulo entre #v y w# w
h.) Sea #s Æ
w# w ¡
#v y #r Æ
#v ¡
u# u . ¿Son #s y #r perpendiculares?
¡!v
¡!w
i.) Calcule #r Æ proy
y haga la representación gráfica de #v , w# w y #r .
¡!v
¡!w
j.) Verifique que #v ¡ proy
es perpendicular a w# w
k.) Calcule #v £
w# w y verifique que este “producto cruz” perpendicular a w# w y a #v .
1.4 Sean A Æ (2, 3, 1), B Æ (¡2, 1,2) y C Æ (4,¡2, 0).
a.) Calcular la altura del triángulo ABC sobre el lado C A
b.) Calcular el área del triángulo ABC
c.) Calcular un punto D tal que ABCD sea una paralelogramo
34. 34 Rectas y planos
Ejemplo 2.1
Consideremos la recta L que pasa por P Æ (1,3,2) y Q Æ (2,1, 4).
#
En este caso #v Æ
PQ
ÆQ ¡P Æ (1,¡2, 2), luego
Ecuación vectorial: (x, y, z) Æ (1, 3,2)Åt (1,¡2,2)
Ecuaciones parámetricas:
x(t ) Æ 1Åt ,
y(t ) Æ 3¡2t ,
z(t ) Æ 2Å2t
Ecuaciones simétricas:
x ¡1
1
Æ
y ¡3
¡2
Æ
z ¡2
2
.
X
Y
Z
v
P
Q
Ejemplo 2.2
a.) Consideremos la recta L que pasa por P Æ (1,3,¡2) yQ Æ (2,1,¡2). En este caso #v ÆQ¡P Æ (1,¡2, 0), luego
Ecuación vectorial: L : (x, y, z) Æ (1, 3,¡2)Åt (1,¡2,0)
Ecuaciones parámetricas:
L :
8
:
x(t ) Æ 1Åt ,
y(t ) Æ 3¡2t ,
z(t ) Æ ¡2.
Ecuaciones simétricas:
x ¡1
1
Æ
y ¡3
¡2
; z Æ ¡2.
b.) Consideremos la recta L1 de ecuaciones simétricas,
x Å1
3
Æ
y Å2
2
Æ z ¡1,
entonces L1 va en la dirección de #v Æ (3, 2,1)
35. 2.1 Rectas en R3. 35
. Observe que el segmento que va de P a Q es el conjunto de puntos
{P Åt (Q ¡P); t 2 [0,1]}
. En particular, si t Æ 12
, obtenemos el punto medio del segmento
P Å 12
(Q ¡P) Æ PÅQ
2
Ángulo, paralelismo, perpendicularidad e intersección. Consideremos dos rectas,
L1 : (x, y, z) Æ P Åt¡!v
; t 2 R ^ L2 : (x, y, z) ÆQ Ås¡!w
; s 2 R
L1 Ò L2 si y sólo si #v Ò
w# w
L1 ? L2 si y sólo si #v ?
w# w
El ángulo entre L1 y L2 es igual al ángulo entre #v y w# w
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
. Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta, las ecuaciones no son únicas pero son
equivalentes.
36. 36 Rectas y planos
Intersección. Sean P Æ (p1,p2,3 ) y Q Æ (q1,q2,q3) en R3. Con-sideremos
las rectas
L1 : (x, y, z) Æ P Åt #v y L2 : (x, y, z) ÆQ Ås w# ww.
Para determinar si hay intersección igualamos la ecuaciones,
P Åt #v ÆQ Ås w# w )
8
:
t v1 ¡sw1 Æ q1 ¡p1
t v2 ¡sw2 Æ q2 ¡p2
t v3 ¡sw3 Æ q3 ¡p3
Si este sistema tiene solución, entonces esta solución nos da el
o los puntos de intersección entre L1 y L2. Como el sistema es
lineal puede pasar que,
. hay solución única: las rectas se intersecan en un solo
punto,
. hay infinitas soluciones: las rectas coinciden,
. no hay solución: las rectas no se intersecan.
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
X
Y
Z
. Observe que, para el cálculo de la intersección usamos un párametro distinto en cada recta. Esto es así porque
el punto de intersección se obtiene en general, con un valor del parámetro que varía en cada recta.
Ejemplo 2.3
Consideremos la recta L1 : (¡1, 3,1)Åt (4, 1, 0).
. L1 y la recta L2 : (¡13,¡3,¡2)Ås (12,6,3), se intersecan en el punto (¡1,3, 1). Este punto se obtiene con
t Æ 0 en la primera recta y con s Æ 1 en la segunda recta.
(¡1, 3,1) Æ (¡1, 3,1)Å0 ¢ (4, 1,0)
(¡1, 3,1) Æ (¡13,¡3,¡2)Å1 ¢ (12,6,3)
. L1 es paralela a la recta L3 : (x, y, z) Æ (1, 3,¡2)Åt (8, 2,0) pues (8,2,0) Æ 2(4,1,0)
. L1 es perpendicular a la recta L4 : (x, y, z) Æ (0, 2,¡1)Åt (¡1, 4,3) pues (¡1, 4,3) ¢ (4, 1,0) Æ 0
. L1 no interseca a L4 : (x, y, z) Æ (0, 2,¡1)Åt (¡1, 4,3) pues el sistema
40. 40 Rectas y planos
X
Y
Z
N
PQ
N
P Q
Si P,Q,R 2 ¦ (no colineales) entonces un vector normal al plano ¦ es
¡¡!
PQ £
¡!
PR.
X
Y
Z
PQ
PR
41. 2.5 Ecuación normal y cartesiana del plano 41
Sea
¡!N
un vector normal al plano ¦. Si P está en el plano, enton-ces
(x, y, z) 2¦ si y solo si
¡
(x, y, z)¡P
¢
¢
¡!N
Æ 0
Esta ecuación es una ecuación punto normal de ¦
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
X
Y
Z
Si escribimos
¡!N
Æ (a,b,c) y desarrollamos la ecuación anterior, obtenemos una ecuación cartesiana de ¦
a x Åb y Åc z Æ
¡!N
¢P
Definición 2.2 (Ecuaciones del plano).
Consideremos un plano ¦ que pasa por los puntos no colineales P,Q,R.
¡!N
Æ (a,b,c) es un vector normal al plano ¦ si
¡!N
¢ [(x, y, z)¡P] Æ 0 para cualquier (x, y, z) 2¦.
Si
¡!N
Æ (a,b,c) es un vector normal al plano ¦ entonces
[(x, y, z)¡P] ¢
¡!N
Æ 0
se llama una ecuación normal de ¦
Si
¡!N
Æ (a,b,c) es un vector normal del plano ¦ entonces
a x Åb y Åc z Æ
¡!N
¢P
se llama una ecuación cartesiana del plano ¦
Si #v Æ
¡¡!
PQ y si w# w Æ
¡!
PR entonces
(x, y, z) Æ P Åt #v Ås w# ww; t , s 2 R
se llama una ecuación vectorial del plano ¦
43. 2.6 Paralelismo, perpendicularidad y ángulo 43
L1 ? ¦1 si y sólo si
¡!
N1 Ò
¡!v
Planos paralelos.Puedemover v,w,P y N1. . Ver en 3D Planos perpendiculares.Puede mover v,w,P y N1 . Ver
en 3D
X
Y
Z N2
N1
Recta paralela a un plano. Puedemover la recta con el
punto P .
Ver en 3D
Recta perpendicular a un plano. Puede mover la recta
con el punto P .
Ver en 3D
X
Z
L1
N
X
L1
Z
v
N
44. 44 Rectas y planos
Ejemplo 2.6
Determine una ecuación cartesiana del plano ¦1 que contenga a la recta L1 : (x, y, z) Æ (1,2,1)Åt (0,2,3) y al
punto P Æ (0, 0,¡1) (que no está en L1).
Solución: Para encontrar una ecuación cartesiana del plano ¦1, buscamos tres puntos no colineales en este
plano; el punto P que ya tenemos y dos puntos de la recta. Para obtener estos dos puntos de la recta, le damos
una par de valores al parámetro t tal que nos generen al final tres puntos no colineales.
En este caso con t Æ 0 y t Æ 1 obtenemos los dos puntos que faltan. Tres puntos no colineales en el plano ¦ son
P Æ (0, 0,¡1), Q Æ (1, 2, 1), R Æ (1, 4,4)
Estos puntos no son colineales pues
¯¯¯¯¯¯¯
0 0 ¡1
1 2 1
1 4 4
¯¯¯¯¯¯¯
Æ ¡26Æ 0
Bien, ahora tomemos
¡!N
Æ
¡¡!
QP £
¡!
RP Æ (1,2,2)£(1,4,5) Æ (2,¡3, 2). Como
¡!N
¢P Æ ¡2, una ecuación cartesiana es
2x ¡3y Å2z Æ ¡2
X
Y
Z
P
Q
R
N
Ejemplo 2.7
Determine la ecuación cartesiana del plano ¦1 que sea paralelo a las rectas L1 : (x, y, z) Æ (1,2,1)Åt (0,2,3), L2 :
(x, y, z) Æ (1, 0,1)Åt (5, 0,0) y que contenga al punto P Æ (1, 1,1)
48. 48 Rectas y planos
Como
#
EQ
Æ ¸
#
NN entonces,
E ¡Q Æ ¸N
Multiplicamos por N
N ¢ (E ¡Q) Æ ¸N ¢N
N ¢E ¡N ¢Q Æ ¸N ¢N
Como E 2 ¦ entonces N ¢E Æ d
¸ Æ
d ¡N ¢Q
N ¢N
Æ
d ¡ax ¡by ¡cz
a2 Åb2 Åc2
X
Y
Z
El puntomás cercano, en el plano ¦ de ecuación ax Åby Åcz Æ d, al punto Q es
E ÆQ ŸN con ¸ Æ
d ¡N ¢Q
N ¢N
.
En particular, el punto del plano ¦ más cercano al origen es E Æ
d
jjNjj2 N y d(O,¦) Æ
d
jjNjj
.
2
Ejercicios
2.1 Sean A Æ (1, 1, 1), B Æ (¡2, 1,2) y C Æ (3,¡3, 0).
a.) Calcule la ecuación vectorial de la recta L1 que pasa por A y B
b.) Calcule la ecuación vectorial del plano ¦1 que contiene a los puntos A,B y C
c.) Calcule la ecuación cartesiana del plano ¦1 que contiene a los puntos A,B y C
d.) Calcule, si hubiera, la intersección de la recta L1 y el plano ¦1
e.) Calcule la distancia del punto C a la recta L1
f.) Calcule la ecuación vectorial de una recta L2 que sea perpendicular a las rectas L1 y L3 : (x, y, z) Æ t (1,0,3).
2.2 Calcule la ecuación cartesiana del plano ¦2 que contiene a la recta L3 : (x, y, z) Æ t (1,0,3) y pasa por
Q Æ (¡2,¡2, 2).
50. 50 Rectas y planos
¡!u
¦0
El vector u# u ¡proy
se le llama componente de u# u ortogonal a ¦0 . Aunque parece suficiente con la condición a.), es la
condición b.) la que garantiza la unicidad.
Teorema 2.1
Sea ¦0 es un plano que pasa por el origen (un subespacio vectorial de R3) y sean #v y w# w vectores ortogonales y
unitarios, si
¦0 : (x, y, z) Æ t ¢
#v Ås ¢
w# ww; t , s 2 R,
entonces
a.) proy
¡!u
¦0
Æ (u# u ¢
#v )v Å(u# u ¢
w# ww)w
¡!u
¦0
b.) proy
Æ BBT u, donde B es la matriz cuyas columnas son lo vectores (columna) de la base B.
# v1
Si ¦0 es un plano que pasa por el origen con ¦0 : (x, y, z) Æ t ¢
Å
s ¢
# v2
con t , s 2 R. Para obtener los vectores #v y w# w ortogonales
y unitarios podemos usar la idea del proceso de ortogonalización
de Gram-Schmidt:
#v Æ
# v1
jj
# v1
jj
y w# w Æ
# v2
# v2
¡(¢
#v )#v
Ò
# v2
# v2
¡(¢
#v )#v Ò
v1
v2
v v2 2
v
w
proy
v2 Origen
v1
proy
v1
Proyección sobre el plano. Los vectores #v y w# w son per-pendiculares
y unitarios. La proyección de
¡¡!
OQ sobre #v es
#
OQ
(
¢
#v )#v y entonces
¡¡!
OQ ¡(
#
OQ
¢
#v )#v es ortogonal a ®#v para
cualquier ® 2 R. De manera análoga,
¡¡!
OQ ¡(
#
OQ
¢
w# ww)w# w es orto-gonal
a ¯ w# w con ¯ 2 R. Por tanto,
h#
OQ
#
OQ
¡(
¢
#
OQ
#v )#v ¡(
¢
w# ww)w# w
i
¢ (®#v ů w# ww) Æ 0.
Es decir,
#
OQ
#
OQ
¡(
¢
#
OQ
#v )#v ¡(
¢
w# ww)w# w es ortogonal al plano ¦0.
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
De nuevo, el punto E en el que se alcanza lamínima distancia entre un punto Q y el plano ¦0, que pasa por el origen
se puede calcular como E Æ proy
¡¡!
OQ
¦0
#
OQ
Æ (
¢
#
OQ
#v )#v Å(
¢
w# ww)w# w
¿Y si el plano no pasa por el origen? Hacemos una traslación. Una traslación es una transformación que preserva
distancia (isometría).
53. 3 — Rotación de un punto alrededor de una recta.
Rotar un punto P alrededor de una recta L significamover el punto P sobre un circunferencia, de radio r Æ d(P,L),
que está sobre un plano ortogonal a L y pasa por P.
Primero vamos a considerar un punto P 2 R3 y una recta L que pasa por el origen O y va en la dirección del vector
unitario bv. Supongamos que P0 se obtiene rotando P alrededor de L en un ángulo ®, entonces los únicos datos que
conocemos son P, bv y ®.
Como se observa en la figura, N, P, Q, y P0 están en el mismo
plano ¦ y bv es normal a este plano. Claramente,
#
OP0
Æ
#
ON
Å
#
NQ
Å
#
QP0
La idea ahora es calcular los sumandos Æ
#
ON
ON,
#
NQ
NQ,
#
QP0
en
términos de los datos conocidos.
Cálculo de
#
ON
: Este vector es la proyección de
#
OP
sobre bv ,
es decir,
#
ON
Æ
³#
OP
´
bv
¢ bv
Cálculo de
#
NQ
: Usando nuevamente la la proye-cción de
#
OP
sobre bv;
#
NP
Æ
#
OP
¡
³#
OP
´
bv. Luego, usando el triángulo rec-tángulo
¢ bv
4NQP0 obtenemos que
#
NQ
Æ
³#
OP
¡
³#
OP
´
bv
¢ bv
´
¢cos®.
Cálculo de
#
QP0
: Primero debemos observar que
#
QP0
es para-lelo
al plano ¦ y es ortogonal al segmento NP; por lo tanto
bv £
#
OP
es paralelo a
#
QP0
, i .e.,
#
QP0
Æ ¸
³
bv £
#
OP
´
.
X
Y
Z
(unitario)
Figura 3.1: P0 es una rotación de P, ® radianes alrede-dor
de bv
54. 54 Rotación de un punto alrededor de una recta.
Vamos a verificar que en realidad son iguales. Usando la identidad de Lagrange,
Ò bv £
#
OP
ÒÆÒ bv ÒÒ
#
OP
Ò senµ ÆÒ
#
OP
Ò senµ.
Ahora, usando el triángulo rectángulo 4ONP obtenemos,
Ò
#
NP
ÒÆÒ
#
OP
Ò senµ.
Entonces Ò bv £
#
OP
ÒÆÒ
#
NP
ÒÆÒ
#
NP0
Ò .
Nuevamente usamos el triángulo rectángulo 4NQP0,
Ò
#
QP0
ÒÆÒ bv £
#
OP
Ò sen®,
y como
#
QP0
y bv £
#
OP
son paralelos, conlcluimos
#
QP0
Æ
³
bv £
#
OP
´
¢ sen®.
Finalmente,
#
OP0
Æ
#
ON
Å
#
NQ
Å
#
QP0
Æ
³#
OP
´
bv Å
¢ bv
h#
OP
¡
³#
OP
´
bv
¢ bv
i
¢ cos® Å
³
bv £
#
OP
´
¢ sen®
Æ
#
OP
¢ cos® Å
³#
OP
´
bv ¢ (1¡cosµ) Å
¢ bv
³
bv £
#
OP
´
¢ sen®.
Rotación de un punto alrededor de una recta arbitaria. Si la recta no pasa por el origen, hacemos una
traslación. Si la recta tiene ecuación vectorial L : (x, y, z) Æ AÅt bv entonces, la rotación P0 de P alrededor de L en un
ángulo de ® radianes es,
#
OP0
Æ
#
AP
¢ cos® Å
³#
AP
´
bv ¢ (1¡cosµ) Å
¢ bv
³
bv £
#
AP
´
¢ sen® Å A. (3.1)
Código en Mathematica. Una función para rotar un punto P alrededor de la recta L : (x, y, z) Æ AÅt #v se imple-menta
en MATHEMATICA como
RotacionL[A_, vv_, P_, alpha_] := Module[{v, a = A, p = P, ang = alpha}, v = vv/Norm[vv];
Cos[ang]*(p - a) + v*(v.(p - a))*(1 - Cos[ang]) +
Cross[v, P - A]*Sin[ang] + a];
RotacionL[{1, 1, 1}, {0, 0, 1}, {0, 1, 0}, Pi/2] (*devuelve {1,0,0}*)
57. Bibliografía
[1] Anton, H. “Introducción al Álgebra Lineal”. Limusa. 1985
[2] Arce, C.; González J.; Castillo,W. “Álgebra Lineal”. Editorial Universidad de Costa Rica. 2009.
[3] Eckmann, B. “Mathematica Survey Lectures 1943-2004.” Springer. 2006.
[4] Grossman, S. “Álgebra Lineal”. Ed. Iberoaméricana.
[5] González,R. “Trataise of Plane Geometry Through Geometric Algebra”. http://campus.uab.es/
~{}pc00018
[6] Gull, S. et al. “The Geometric Algebra of Spacetime”. Found. Phys. 23(9) 1175. (1993)
[7] Gerrish, F.“Vector Products.” TheMathematical Gazette. Vol. 84, No. 501, Nov., 2000
[8] Hoffman, K. y Kunze, R “Álgebra Lineal”. Ediciones Zacatenco. 1965
[9] Dorst, L., Fontijne, D., Mann S. “Geometric Algebra for Computer Science”. Revised Edition. An Object
Oriented A-pproach to Geometry.Morgan Kaufmann. 2007.
[10] Mora, W. “Rotación de Objetos Tridimensionales Alrededor de una Recta. Implementación en MATHE-MATICA”.
En http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/ContribucionesN12000/
Rotaciones/rotaciones/pag1.html
[11] Noble, D. “Algebra Lineal Aplicada”. Prentice-Hall. 1990.
[12] Walsh, B. “The scarcity of cross products in Euclidean spaces”. The AmericanMathematicalMonthly. Vol. 74,
No. 2, Feb., 1967
[13] Kuipers, J. B. Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace and
Virtual Reality. Princeton University Press, 2002