Los vectores son segmentos de recta dirigidos representados por sus componentes. Se pueden sumar y multiplicar por escalares siguiendo reglas algebraicas y geométricas. Representan cantidades físicas como velocidad y fuerza. El producto interno entre dos vectores es un escalar que mide su ángulo.

1. Vectores
• Definiciones
• Operaciones Básicas
• Componentes
• Vectores en 2D y 3D
• Magnitud
• Unidades
• Marcos de referencia

2. Notación
• Se empleará la siguiente notación:
– La recta de los números reales es denotada
por
– El conjunto de los pares ordenados (x,y) es
denotado por
– El conjunto de las ternas ordenadas (x,y,z) es
denotado por ℝ³
ℝ
ℝ²

3. Vectores en 2D y 3D
• Los puntos P en el
plano se representan
por pares ordenados
de números reales
– (a1, a2)
• Los números a1 y a2
se llaman
coordenadas
cartesianas de P
x
y
a1
a2
P = (a1,a2)

4. Vectores en 2D y 3D
• Los puntos P en el
espacio se
representan por
ternas ordenadas de
números reales
– (a1, a2, a3)
• Los números a1, a2 y
a3 se llaman
coordenadas
cartesianas de P
x
y
a1
a3
P = (a1,a2,a3)
z
a2

5. Representación geométrica del
punto (2,4,4)

6. Vectores
• Vectores: segmentos de rectas dirigidos
en el plano o el espacio con un inicio y un
final
• Los segmentos de recta que se obtienen
uno de otro por traslación representan el
mismo vector

7. Suma Vectorial y Multiplicación
por un Escalar
• Dadas dos ternas (a1, a2,a3) y (b1,b2,b3)
definimos la suma vectorial como
• Dadas un escalar y un vector
(a1, a2,a3) definimos el producto escalar
por medio de
).
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
( 3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1 b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a 





).
,
,
(
)
,
,
( 3
2
1
3
2
1 a
a
a
a
a
a 


 

8. Propiedades de los Vectores
• Elemento cero
• Inverso aditivo
 
0
,
0
,
0
 
3
2
1 ,
, a
a
a
 
3
2
1 ,
, a
a
a 



9. Propiedades de la Suma y
Multiplicación Escalar
 
 
)
,
,
(
)
,
,
(
1
.
6
)
0
,
0
,
0
(
)
,
,
(
0
.
5
)
0
,
0
,
0
(
)
0
,
0
,
0
(
.
4
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
.
3
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
)(
(
.
2
)
,
,
(
)
,
,
)(
.
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a










(












10. • Geométricamente los
vectores son flechas
que salen del origen

11. Los vectores son segmentos de recta dirigidos en [el plano o]
el espacio representados por segmentos de recta dirigidos con
un inicio (cola) y un final (punta). Los segmentos de recta
que se obtienen uno de otro por traslación paralela (pero no
rotación) representan el mismo vector.
Las componentes (a1,a2,a3) de a son las longitudes
(dirigidas) de las proyecciones de a a lo largo de los tres ejes
coordenados.
La suma de dos vectores se obtiene colocándolos final con
inicio y trazando el vector que va del inicio al final del
segundo.

12. Vector Que Une Dos Puntos

13. El Vector Que Une Dos Puntos
• Si el punto P tiene coordenadas (x, y, z) y
P’ tiene coordenadas (x’, y’, z’) entonces el
vector PP’ de la punta de P a las punta de
P’ tiene componentes
 
z
z
y
y
x
x 

 '
,
'
,
'

14. Distancia
• Dados dos vectores
a = a1i+a2j+a3k y
b = b1i+b2j+b3k, la
distancia entre los
puntos finales de a y
b se define como
a
b 
x
z
a
b
a
b 

15. Suma de vectores (a)
a
a+b
b
b

16. Suma de Velocidades
• Una ave volando con velocidad v1, velocidad el
viento v2. Velocidad resultante v1 + v2

17. Suma de Vectores (b)

18. Equivalencia Geométrica con
Algebraica
• Equivalencia de la definición de suma vectorial
en forma geométrica y algebraica.

19. Interpretación Geométrica
Multiplicación Escalar por un
Vector

20. Interpretación Geométrica de la
Resta de Dos Vectores

21. Distancia
• Dados dos vectores
a = a1i+a2j+a3k y
b = b1i+b2j+b3k, la
distancia entre los
puntos finales de a y
b se define como
a
b 
x
z
a
b
a
b 

22. Suma de los Vectores u + v y -
2u

23. Multiplicación de (-1,1,2) por -2

24. Base Canónica
• Existen tres vectores especiales a lo largo
de los ejes x, y, z:
– i: (1,0,0)
– J: (0,1,0)
– k: (0,0,1)
• Sea (a1, a2,a3)
entonces
a = a1i+ a2j+ a3k x
y
z
j
i
k

25. Base Canónica
• Representación del
vector (2,3,2) en
términos de la base
canónica

26. Los Tres Planos Coordenados

27. Producto Interno
• Dados dos vectores a = a1i+a2j+a3k y
b = b1i+b2j+b3k, el producto interno de a
y b se define como
Nótese que el producto interno es un
escalar.
3
3
2
2
1
1 b
a
b
a
b
a 


b
a

28. Producto Interno
• Propiedades del producto interno. Sean a,
b, c vectores en ℝ³ y números
reales, entonces
.
4
.
)
(
)
(
.
3
).
(
)
(
.
2
.
0
;
0
.
1
a
b
b
a
c
b
c
a
c
b
a
y
c
a
b
a
c
b
a
b
a
b
a
y
b
a
b
a
0
a
a
a
a
a
































 y

29. Longitud
• Dado un vector
a = a1i+a2j+a3k en ℝ³
definimos su longitud
como 2
3
2
2
2
1 a
a
a 

x
y
a1
a3
P = (a1,a2,a3)
z
a2
)
(
2
3
2
2
2
1
a
a
a




 a
a
a

30. Vectores Normalizados
• Dado el vector a = a1i + a2j + a3k diferente
de cero, para normalizarlo forme el
vector
a
a

31. Ejemplos
• Normalizar el vector v = 15i – 2j + 4k.
Solución
La normalización del vector v está dada por
,
5
7
4
)
2
(
15 2
2
2





v
.
5
7
4
5
7
2
5
7
15
1
k
j
i
v
v
u 




32. Ejemplos
• Defina en el plano el vector
Observe que es un vector
Unitario.
j
i )
(sen
)
(cos 
 

r
e

33. Vectores Ortogonales
• Si a y b son vectores diferentes de cero y
es el ángulo entre ellos. Entonces
si y sólo si los vectores son ortogonales.
• Ejemplo
– Los vectores de la base canónica i, j, k, son
ortogonales entre si.
– Los vectores y
son ortogonales.

0

b
a
   j
i 
 sen
cos 

r
e
   j
i 

 cos
sen 


e

34. Vectores Ortonormales

35. B
A


36. B
A
cB

37. B
A
K B
C Por tanto
A = k B + C


38. B
A
K B
C Por tanto
A = k B + C
¿Cómo despejar o reslover para k?


39. Usemos lo que conocemos:
i) Ortogonalidad o perpendicularidad
ii) Producto punto

40. Por otro lado:
||
||||
||
cos
||
||
||
||
|
|
|
|
.
.
cos
A
B
AB
B
AB
B
A
B






entonces
c
pero
c
hip
a
c

41. B
A


42. B
A

K B
cos (180 –  ) = cos 180 cos  + sen 180 sen  = cos 

43. B
A


44. B
A

u
u
x
A

45. Por tanto si A es unitario
u B = || u || || B || cos  = Bu
Y por tanto si || B || solo escribimos B
Bx = B cos 
By = B sen  porqué?
Y asi
B = ux B cos  + uy B sen  = B ( ux cos  + uy sen  )

46. 














N
i
i
ib
a
b
b
b
a
a
a
1
)
0
1
AB
k
j
)(i
k
j
(i
AB
ki
jk
ij
kk
jj
ii
z
y
x
z
y
x

47. 
























parejas
m
l
todos
l
N
l
l
V
V
V
V
AB
B
A
B
A
V
AB
B
A
B
A
V
2
cos
2
2
)
(
cos
2
2
)
(
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
V
V
AB
B
B)(A
A
AB
B
B)(A
A



48. Ejemplos
• Calcule el angulo entre los vectores
A = 2i + 3j – k y B = - i + j + 2k
Solución:
Usando
0
3
.
96
?
109
.
0
17
.
9
1
cos
45
.
2
4
1
1
74
.
3
1
9
4
1
2
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
2
||
||||
||
cos
























oceano
que
unidades
B
unidades
A
AB
A
B
AB

49. Reflexiones
• Ángulo en grados o en radianes
• Se mide con respecto a que?
• Ejemplo en el Planeta Tierra

53. Ejemplos
• Encuentre los angulos que forma el vector
A = 2i + 3j + 2k con los ejes x & z
Solución





cos
cos
A
A
sen
Asen
A
Asen
A
z
y
x




54. Base Canónica
• Representación del
vector (2,2,2) en
términos de la base
canónica

55. A x B
No es conmutativa A x B = - B x A
Es asociativa?
Es distributiva ?
| A x B | = A B sen 