CÁLCULO II vectores y geometria, teoría sobre el Cálculo 2, vectores en varias dimensiones y geometría analítica

1. CÁLCULO II
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN
EL ESPACIO

2. CONTENIDO
• Espacio tridimensional y sistema de coordenadas
• Vectores en el espacio
• Operaciones con vectores
• Producto punto y producto cruz
• Rectas y planos en el espacio
• Superficies

3. ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SISTEMA DE
COORDENADAS
Para localizar un punto en un plano, son necesarios un par ordenado
(a, b) de números reales. Por esta razón, un plano se llama
bidimensional.
Para localizar un punto en el espacio, se requieren tres números. Se
representa cualquier punto en el espacio mediante una terna
ordenada (a, b, c) de números reales.
Al conjunto de ternas ordenadas (a, b, c) se denomina espacio
tridimensional y se denota por R3.
Espacio tridimensional R3

4. Los tres ejes coordenados determinan los
tres planos coordenados ilustrados en la
Figura 3. El plano XY, es el plano que
forman los ejes x & y (de ecuación z=0), el
plano YZ lo forman los ejes y & z (de ecuación
x=0), y el plano XZ forma con los ejes x & z
(de ecuación y=0). Esos tres planos
coordenados dividen el espacio en ocho
partes llamados octantes Figura 4. El primer
octante se localiza en la coordenada positiva
(x,y,z)

5. Punto
Si P es cualquier punto en el espacio, a será la
distancia del plano YZ hasta P, b la distancia del
plano XZ hasta P, y c, la distancia del plano XY
hasta P. Representaremos el punto P por la
coordenada triple (a,b,c). Empezaremos en el
origen O, y nos moveremos a unidades a través
de x, b unidades a través de y, y c unidades a
través del eje vertical z como en la Figura 5. El
punto P(a,b,c), es representado por una caja
rectangular en la Figura 6.

6. Ejercicios 1:
1. Cual de los siguientes puntos se encuentra mas cerca del plano XZ,
P(6,3,2), Q(-5,-1,4) ó R(0,3,8)?. Qué punto se encuentra sobre el
plano YZ?.
2. Demuestra como el triángulo con vértices P(-2,4,0), Q(1,2,-1) y
R(-1,1,2) es un triángulo equilátero.
3. Encuentre la ecuación de la esfera con centro (6,5,-2) y radio 7.
Describa su intersección con cada uno de los planos coordenados.

7. VECTORES EN EL ESPACIO
Vector
Un vector se representa por lo común mediante una flecha o un
segmento de recta dirigido. La longitud de la flecha representa la
magnitud del vector y la flecha apunta en la dirección del vector. Un
vector se denota por medio de una letra en negrita (v) o escribiendo
una flecha sobre la letra Ԧ
𝑣.
El vector de desplazamiento v
correspondiente, mostrado
también de escribe
v

AB

8. Operaciones con vectores
Definición de suma vectorial: Sean los vectores u y v.
El vector u+v representada a la suma de vectores.
Definición de multiplicación por un escalar:
Sea un número k≠0 y un vector v, el vector kv
representa al producto por un escalar
• tiene la misma dirección que v.
• el mismo sentido que u si k>0 y sentido puesto al de
v si k<0
Si k=-1 el vector kv se denomina opuesto del vector v,
se escribe –v
Si k=0 el vector kv es el vector cero 0 cuyo extremo y
origen coinciden.

9. Componentes
Para ciertos propósitos es mejor introducir un sistema de coordenadas
y tratar a los vectores algebraicamente.
Un vector se representa por:
3
2
1
2
1 ,
,
;
, a
a
a
OP
a
a
OP 


 a
a
En ambos casos los vectores son de posición, tienen su punto inicial en el
origen y las coordenadas del punto final coinciden con las componentes
del vector

10. Dados los puntos 𝑃 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 y Q 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 ,el
vector v con representación 𝑃𝑄 es
v=𝑃𝑄=(𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1)
Modulo o Norma
La longitud o norma del vector v=𝑃𝑄 es el
nùmero no negativo
∣ v ∣= 𝑣1
2
+ 𝑣2
2
+ 𝑣3
2
o
∣ v ∣= (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2+(𝑧2 − 𝑧1)2

11. Operaciones algebraicas con vectores
Sean u = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) , v = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) vectores y k un escalar
Suma: 𝐮 + v = 𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2+𝑣2, 𝑢3 + 𝑣3
Multiplicación por un escalar: 𝑘u = (𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2, 𝑘𝑢3)
Propiedades:
Sean u,v y w vectores, 𝑎 y 𝑏 escalares entonces
1. u+v=v+u 6. 1u=u
2. u+(v+w)=(u+v)+w 7. 𝑎(𝑏u)=(𝑎𝑏)u
3. u+o=u 8. 𝑎(u+v)= 𝑎u+ 𝑎v
4. u+(-u)=o 9. (𝑎+𝑏)u= 𝑎u+𝑏u
5. 0u=o

12. Vectores base estándar
Así, cualquier vector en R3 se puede expresar en términos de los
vectores base estándar i, j y k. Por ejemplo,
Vector unitario
Un vector unitario es un vector cuya longitud es 1. Por ejemplo, i, j y k
son vectores unitarios. En general, si , entonces el vector unitario
que tiene la misma dirección que a es
0
,
0
,
1

i 0
,
1
,
0

j 1
,
0
,
0

k
  k
j
i
k
j
i
a 







 2
4
1
2
4
1
,
2
,
4
0

a
a
a
a
a
u 

1

13. Ejemplo 3. Para u=(1,−2,3) y v= (3,−1,4), halla: a) −u+3v, b) w=λu+μv.
a) −u+3v=–(1,−2,3)+3·(3,−1,4)= (–1+9,2–3,–3+12) = (8,–1,9).
b) w=λu+μv=λ(1,− 2,3)+µ(3,−1,4) = (λ +3µ,−2λ− µ,3λ+4µ).
Ejemplo 4. Calcula los valores de a y b para que los puntos A(1,1,1), B(a,2,b) y
C(1,0,0) estén alineados.
Solución: Los puntos A, B y C están alineados cuando los vectores 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶 son
proporcionales. Esto es, cuando 𝐴𝐵 = k·𝐴𝐶
Como 𝐴𝐵=(a,2,b)–(1,1,1)=(a−1,1,b−1) y 𝐴𝐶=(1,0,0)–(1,1,1)=(0,–1,–1),
debe cumplirse que:
(a−1,1,b−1)=k·(0,−1,−1)=(0,–k,–k) ⇒ ቐ
a − 1 = 0
1 = −𝑘
b − 1 = −𝑘
⇒ k = −1; a = 1; b = 2

14. Ejercicios 2
1. Si v =(2,1,3) es un vector de velocidad, exprese como el producto de
su rapidez por un vector unitario en la dirección de su movimiento.
Si la rapidez es la magnitud de v.
2. Dados u=(1,–1,1), v=(2,0,2) y w=(–1,3,–1) ¿Existen α,β∈ℝ tales que
w=αu+βv?.
3. Se sabe que un vector en el espacio es u=2i—6j+zk. Determina los
posibles valores de la coordenada z sabiendo que el u =12.

15. EL PRODUCTO PUNTO
Entonces el producto de a y b es el número a·b dado por
a·b=𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3
3
2
1 ,
, a
a
a

a 3
2
1 ,
, b
b
b

b
Si y
Si los vectores están alineados, el ángulo entre ellos es 0 o
π, si apuntan en la misma dirección o en dirección
contraria respectivamente.
Dos vectores a y b son ortogonales (o perpendiculares), si
y solo si a·b=0

16. Propiedades
Sean u,v y w tres vectores y 𝑐 un escalar, entonces
1. u·v=v·u 4. 𝑐(u·v)=(𝑐u)·v=u·(𝑐v)
2. u·(v+w)=u·v+u·w 5. u·u= u 2
3. o·u=0
Proyecciones

17. Ejemplo 5. Determine el ángulo θ del triangulo ABC determinado por
los vértices A(0,0), B(3,5) y C(5,2).
Solución: θ es el ángulo entre los vectores 𝐶𝐴 =(-5,-2) y 𝐶𝐵 =(-2,3)
calculemos el producto punto y norma de los vectores
𝐶𝐴 · 𝐶𝐵 =(-5)(-2)+(-2)(3)=4
𝐶𝐴 = (−5)2+(−2)2= 29
𝐶𝐵 = (−2)2+32 = 13
Luego, aplicando la formula del ángulo
𝜃 = cos−1
(
𝐶𝐴·𝐶𝐵
𝐶𝐴 𝐶𝐵
) = cos−1
(
4
29 13
)=78.1
Por tanto, el ángulo θ es 78.1 aproximadamente

18. Ejercicios 3.
1. a) Calcula el ángulo que forman los vectores u=(2,1,1) y v=(–1,1,1).
b) ¿Cuánto debe valer a para que los vectores u=(2,a,1) y v=(–1,a,1)
sean ortogonales.
2. Calcule la proyección del vector u=(0,1,1) sobre v=(1,0,1).
3. Dados los vectores v=(1,0,−1) y w= (1,1,0), calcula los vectores
unitarios que son ortogonales a ambos.

19. EL PRODUCTO CRUZ
Si u=(u1, u2, u3 ) y v=(v1, v2, v3 ), entonces el product cruz de u y v es
el vector u × v dado por
u × v=(u2v𝟑 − u3v𝟐, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)
Dirección del vector a x b
El producto cruz como determinante
u × v=
𝐢 𝐣 𝐤
u1 u2 u3
v1 v2 v3

20. Propiedades
Sean u,v y w vectores, 𝑎 y 𝑏 escalares entonces
1. (au)x(bv)=(ab)(vxu) 5. ux(vxw)=(u·w)v-(u·v)w
2. ux(v+w)=uxv+uxw 6. uxu=o
3. uxv=-(vxu)
4. uxo=o
El vector uxv es ortogonal tanto al vector u como a v.
El vector uxv=o si y solo si u y v son paralelos.

21. Interpretación geométrica del producto cruz y triple
producto escalar
• a

22. Ejemplo 6: Obtenga un vector perpendicular al plano que contiene los
puntos P(1,-1,0), Q(2,1,-1) y R(-1,1,2).
Solución:
El vector 𝑃𝑄 × 𝑃𝑅 es perpendicular al plano porqué es perpendicular a
ambos vectores. En términos de componentes tenemos que
𝑃𝑄=(2 − 1, 1 − −1 , −1 + 0) = (1,2, −1)
𝑃𝑅=( − 1 − 1, 1 + 1, −2 + 0) = (−2,2,2)
Asi
𝑃𝑄 × 𝑃𝑅=
𝐢 𝐣 𝐤
1 2 −1
−2 2 2
= (6,0,6)

23. Ejercicios 4.
1. Calcular el producto vectorial de u=(-2,1,4) por v=(3,3,2). a) Probar
que el producto es ortogonal a cada uno de los vectores. b) Hallar
un vector unitario ortogonal a u y v.
2. Determina el valor de a para que los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y
C(1, 6, a) sean los vértices de un triángulo de área 3/2.
3. Si los vectores u y v tienen la misma dirección ¿Como será el
product punto? y ¿como será el product cruz?

24. LA RECTA
La recta 𝐿 es el conjunto de puntos de ℝ3 definido por:
𝐿 = 𝑃 ∈ ℝ3/𝑃 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑣; 𝑡 ∈ ℝ
dónde
𝑃0 ; es un punto de paso de la recta 𝐿
Ԧ
𝑣; es un vector direccional de la recta 𝐿
𝑃 ; es un punto cualquiera de la recta 𝐿
El escalar t es un parámetro
Ecuaciones de la recta.
Del gráfico: 𝑂𝑃 = 𝑂𝑃0 + 𝑃0𝑃
𝑂𝑃 = 𝑂𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑣

25. Pero 𝑃 = 𝑂𝑃 y 𝑃0 = 𝑂𝑃0 por tanto tenemos:
La ecuación vectorial: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑣
Sean 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y Ԧ
𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) entonces la recta L resulta
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐)
de donde igualando componentes se tiene
La ecuación paramétrica: ቐ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏
𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑐
Despejando el parámetro t de cada ecuación
e igualando se obtiene
La ecuación simétrica:
𝑥−𝑥0
𝑎
=
𝑦−𝑦0
𝑏
=
𝑧−𝑧0
𝑐
Los números 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 se denominan números directores de la recta L o
del vector Ԧ
𝑣 y cosα, cos β y cosγ se llaman cosenos directores.

26. Posiciones relativas de dos rectas
Sean 𝐿1: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑣, 𝑡 ∈ ℝ y 𝐿2: 𝑄 = 𝑄0 + 𝑠𝑢; 𝑠 ∈ ℝ dos rectas en ℝ3, se
tienen las siguientes posiciones:

27. Angulo entre dos rectas
Sean 𝐿1: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑣, 𝑡 ∈ ℝ y 𝐿2: 𝑄 = 𝑄0 + 𝑠𝑢; 𝑠 ∈ ℝ
dos rectas en ℝ3, el ángulo entre ellas es el ángulo
que forman sus vectores direccionales. Y esta dada
por: 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑣∙𝑢
𝑣 𝑢
Distancia de un punto a una recta
Sean 𝐿: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑣, 𝑡 ∈ ℝ una recta y Q un punto en
ℝ3, la distancia de Q a L es la longitud del segmento
de recta perpendicular que une al punto con la
recta. Esta determinada por:
𝑑 𝑄, 𝐿 =
𝑃0𝑄×𝑣
𝑣

28. Ejemplo 7. Determine si las siguientes rectas son o no paralelas y halle su
intersección. 𝐿1: 𝑃 = (1,3, −2) + 𝑡(3, −6,9) y 𝐿2: 𝑄 = (2,1,7) + 𝑠(−2,4, −6)
Solución: Las rectas son paralelas si Ԧ
𝑣 × 𝑢 = 0
donde Ԧ
𝑣 = 3, −6,9 𝑦 𝑢 = (−2,4, −6) y calculando el producto cruz
Ԧ
𝑣 × 𝑢 =
Ԧ
𝑖 Ԧ
𝑗 𝑘
3 −6 9
−2 4 −6
= 36 − 36, − −18 + 18 ,12 − 12 = 0
Por tanto las rectas son paralelas.
Para el punto de intersección. Si 𝑃0(1,3,−2) ∈ 𝐿1 entonces
𝑃0(1,3,−2) ∈ 𝐿2 por lo que
1,3, −2 = 2,1,7 + 𝑠 −2,4 − 6 ⇒ 1,3, −2 − 2,1,7 = −2𝑠, 4𝑠, −6𝑠
−1,2, −9 = (−2𝑠, 4𝑠, −6𝑠) ⇒
−2𝑠 = −1
4𝑠 = 2
−6𝑠 = −9
⇒
𝑠 =
1
2
𝑠 =
1
2
𝑠 =
6
9
como s no satisface a las tres
ecuaciones entonces no hay punto de intersección o 𝐿1 ∩ 𝐿2 = ∅.

29. Ejercicios 5.
1. Hallar en sus diferentes formas, las ecuaciones de la recta definida
por el punto A(2, –1, 1) y el vector Ԧ
𝑣 = (–1, 0, 2).
2. Deducir la fórmula de la distancia mínima entre dos rectas que se
cruzan. Hallar la distancia entre las rectas 𝐿1: 𝑃 = (0,1,29 + 𝑡(1,1,1) y
𝐿2: 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 0.
3. Obtener las ecuaciones de los ejes del sistema de coordenadas
tridimensionales.

30. EL PLANO
El plano P es el conjunto de puntos de ℝ3 definido por:
𝐏 = 𝑃 ∈ ℝ3/(𝑃 − 𝑃0) ∙ 𝑛 = 0
donde
𝑃0 ; es un punto de paso del plano P
𝑛; es un vector ortogonal al plano P
𝑃 ; es un punto cualquiera del plano P
Diversas ecuaciones del plano.
Sean 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃0 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) puntos del plano,
Ԧ
𝑎= (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 ) y 𝑏= (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 ) vectores contenidas en el plano, entonces
la ecuación del plano resulta

31. Ecuación vectorial del plano. 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑎 + 𝑠𝑏
Como 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + 𝑡(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)+ 𝑡(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)
Igualando componentes se tiene
Ecuación paramétrica.ቐ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎1 + 𝑠𝑏1
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑎2 + 𝑠𝑏2
𝑥 = 𝑧0 + 𝑡𝑎3 + 𝑠𝑏3
Si 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) de (𝑃 − 𝑃0) ∙ 𝑛 = 0 tenemos
𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 ∙ 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 0
𝑎 𝑥 − 𝑥0 + 𝑏 𝑦 − 𝑦0 + 𝑐 𝑧 − 𝑧0 = 0
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 = 0
Donde 𝑑 = −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 lo cual nos determina la
Ecuación general del plano. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0

32. Posiciones relativas de dos planos.
Sean los planos P1: 𝑃 − 𝑃0 ∙ 𝑛1 = 0 y P2: 𝑄 − 𝑄0 ∙ 𝑛2 = 0 en ℝ3. Se
presentan las siguientes posiciones relativas:

33. Posiciones relativas entre una recta y un plano
Sean la recta 𝐿: 𝑃 = 𝑃0 + 𝑡 Ԧ
𝑣, 𝑡 ∈ ℝ y el plano P: 𝑄 − 𝑄0 ∙ 𝑛 = 0 en ℝ3. Se
presentan las siguientes posiciones relativas:

34. Distancia de un punto a un plano
Sean el plano P: 𝑃 − 𝑃0 ∙ 𝑛 = 0 y el punto Q en ℝ3.
Para determinar esta distancia se sigue:
𝑑 P, 𝑄 =
𝑃0𝑄∙𝑛
𝑛
Si 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) , 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) y Q(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) entonces
𝑑 P, 𝑄 =
𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐𝑧1+𝑑
𝑎2+𝑏2+𝑐2
Distancia entre planos paralelos
Sean los planos: ቊ
P1: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0
P2: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0
La distancia entre estos planos es:
𝑑 P1, P2 =
𝑑2−𝑑1
𝑎2+𝑏2+𝑐2

35. Ejemplo 8. Identifique el plano 2𝑥 − 3𝑧 = 2
Solución: El plano queda determinado por su normal y un punto,
reescribiendo la ecuación 2 𝑥 − 1 + 0 𝑦 − 0 + 3 𝑧 − 0 = 0 tenemos que la
normal 𝑛 = (2,0,3) y el punto 𝑃0(1,0,0).
Ejemplo 9. Determine la recta que pasa por el punto (1,-5,6) y paralela al
plano que contiene a los puntos (0,1,2), (3,2,6) y (-2,0,5).
Solución: Sea Ԧ
𝑎=(3,2,6)-(0,1,2)=(3,1,4) y
𝑏=(-2,0,5)-(0,1,2)=(-2,-1,3), 𝑛 = Ԧ
𝑎 × 𝑏 normal del
plano luego 𝑛 =
Ԧ
𝑖 Ԧ
𝑗 𝑘
3 1 4
−2 −1 3
= 7Ԧ
𝑖 − 17Ԧ
𝑗 − 𝑘 = (7, −17, −1)
De donde la recta tiene como dirección a 𝑛 y
Pasa por (1,-5,6), su ecuación es:
𝑥−1
7
=
𝑦+5
−17
=
𝑧−6
−1

36. Ejercicios 5
1. Determine una normal para el plano que pasa por los puntos (1,-2,-3),
(-2,3,4) y (3,1,-1).
2. Determine el ángulo entre el plano que pasa por los puntos (1,0,0),
(0,1,0), (0,0,1) y el plano cuya ecuación es 3x-5y+z=8.
3. Encuentre la intersección de la recta L : P=(3,1,3) + t(1,1,1) con cada
uno de los planos coordenados

37. SUPERFICIES
Se llama superficie al conjunto de puntos (S ), y solamente de aquellos
puntos, cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma
F(x,y,z)=0 ò z=f(x,y), que podemos escribir como:
𝑆 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3/𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
Cuádricas
Una superficie cuadrática (ó cuádrica) es la gráfica
de una ecuación de segundo grado en tres variables
x, y, z de la forma 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0
donde A, B, C, …, J son constantes. Usando traslaciones y rotaciones la
ecuación se puede llevar a una de las dos formas siguientes
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑧2
+ 𝐽 = 0 ò 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐼𝑧 = 0
Las cuádricas más importantes son:

38. Cuadricas con centro: Con ecuaciones de la forma 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑧2
+ 𝐽 = 0
Las trazas son las curvas de intersección con los planos coordenados.

40. Cuadricas sin centro:Con ecuaciones de la forma 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐼𝑧 = 0

41. Cuadricas degeneradas: Con ecuaciones del forma 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑧2
= 0 y
𝑓 𝑥, 𝑦 = 0,𝑓 𝑦, 𝑧 = 0 o 𝑓 𝑥, 𝑧 = 0.

42. Sistema de coordenadas cilíndricas y esféricas
En muchos problemas, resulta mas conveniente trabajar en otro
sistema de coordenadas diferente de las coordenadas cartesianas.

43. Ejemplo 9. El lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al
punto (2,-1,3) es dos veces su distancia al plano XY, corresponde a una
superficie cuádrica. Estudiar la superficie.
Solución: Del enunciado
(𝑥 − 2)2+(𝑦 + 1)2+(𝑧 − 3)2= 2 𝑧2
Elevando al cuadrado y simplificando
(𝑥 − 2)2
+(𝑦 + 1)2
+(𝑧 − 3)2
= 4𝑧2
(𝑥 − 2)2
+(𝑦 + 1)2
+(𝑧 − 3)2
−4𝑧2
= 0
(𝑥 − 2)2
+(𝑦 + 1)2
+𝑧2
− 6𝑧 + 9 − 4𝑧2
= 0
(𝑥 − 2)2+(𝑦 + 1)2−3(𝑧2+2𝑧 − 3) = 0
Completando cuadrados
(𝑥 − 2)2+(𝑦 + 1)2−3 𝑧 + 1 2 + 12 = 0
(𝑥 − 2)2
+(𝑦 + 1)2
−3 𝑧 + 1 2
= −12
Dividiendo entre -12
−
𝑥 − 2 2
122
−
𝑦 + 1 2
12
+
3 𝑧 + 1 2
12
= 1
Se trata de un hiperboloide de dos hojas, con centro de simetría en (2,-1,-1).

44. Ejercicios 5
1. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de
cuádrica que es, sus elementos notables y su representación gráfica:
a) x2+y2+x+4y+3z−1 0. b) x2+y2+x 4y−1=0.
2. Determinar la ecuación de la cuádrica siguiente:
3. Determinar las coordenadas esféricas del punto P(-1,1, 2).