Este documento presenta el concepto de funciones inversas. Explica que solo funciones biunívocas tienen funciones inversas y describe cómo determinar si una función es biunívoca usando la prueba de la recta horizontal. Define la función inversa como aquella que revierte las operaciones de la función original. Muestra ejemplos de cómo calcular funciones inversas despejando x e ilustra gráficamente cómo una función y su inversa son simétricas respecto a la línea y=x.
1) El documento presenta conceptos básicos de funciones como dominio, imagen, gráficas, operaciones entre funciones, composición de funciones y transformaciones de gráficas. 2) Se definen conceptos como funciones pares e impares, intervalos de positividad y negatividad, ceros y ordenada al origen. 3) Finalmente, se describen propiedades como monotonía y características para determinar intervalos de crecimiento o decrecimiento.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones reales de variable real, incluyendo nociones preliminares como pares ordenados y producto cartesiano, definición de relaciones binarias y funciones, dominio y rango, y tipos comunes de funciones como polinómicas, raíces y logaritmos. También incluye ejemplos y prácticas para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta una guía de trabajos prácticos de matemática para 5to año que incluye ejercicios sobre funciones, límites, derivadas, integrales, sucesiones, combinatoria y probabilidad. El documento también incluye información sobre el programa anual de la asignatura y conceptos básicos de álgebra de funciones como igualdad, suma, producto, cociente y composición de funciones.
Este documento presenta una guía de trabajos prácticos de matemática para 5to año que incluye ejercicios sobre funciones, límites, derivadas, integrales, sucesiones, combinatoria y probabilidad. El documento también presenta conceptos sobre álgebra de funciones como igualdad, suma, producto, cociente y composición de funciones.
El documento define conceptos fundamentales de las funciones como dominio, rango, contradominio y diferencia entre rango y contradominio. También describe varios tipos de funciones especiales como funciones constantes, identidad, potenciales, de proporcionalidad inversa y lineales. Finalmente, introduce la noción de continuidad de una función en términos de límites.
Este documento describe las funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva. 1) Una función es inyectiva si cada elemento del dominio se mapea a un elemento único en el codominio. 2) Una función es suprayectiva si cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. 3) Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva, estableciendo una correspondencia única entre los elementos del dominio y codominio.
Este documento describe las características de las funciones lineales y recíprocas. Explica que las funciones lineales tienen la forma y=mx+b y pendiente m, mientras que las funciones recíprocas tienen la forma f(x)=1/x. También discute cómo encontrar la función inversa y las propiedades como creciente, decreciente, dominio y alcance.
1) El documento presenta conceptos básicos de funciones como dominio, imagen, gráficas, operaciones entre funciones, composición de funciones y transformaciones de gráficas. 2) Se definen conceptos como funciones pares e impares, intervalos de positividad y negatividad, ceros y ordenada al origen. 3) Finalmente, se describen propiedades como monotonía y características para determinar intervalos de crecimiento o decrecimiento.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones reales de variable real, incluyendo nociones preliminares como pares ordenados y producto cartesiano, definición de relaciones binarias y funciones, dominio y rango, y tipos comunes de funciones como polinómicas, raíces y logaritmos. También incluye ejemplos y prácticas para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta una guía de trabajos prácticos de matemática para 5to año que incluye ejercicios sobre funciones, límites, derivadas, integrales, sucesiones, combinatoria y probabilidad. El documento también incluye información sobre el programa anual de la asignatura y conceptos básicos de álgebra de funciones como igualdad, suma, producto, cociente y composición de funciones.
Este documento presenta una guía de trabajos prácticos de matemática para 5to año que incluye ejercicios sobre funciones, límites, derivadas, integrales, sucesiones, combinatoria y probabilidad. El documento también presenta conceptos sobre álgebra de funciones como igualdad, suma, producto, cociente y composición de funciones.
El documento define conceptos fundamentales de las funciones como dominio, rango, contradominio y diferencia entre rango y contradominio. También describe varios tipos de funciones especiales como funciones constantes, identidad, potenciales, de proporcionalidad inversa y lineales. Finalmente, introduce la noción de continuidad de una función en términos de límites.
Este documento describe las funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva. 1) Una función es inyectiva si cada elemento del dominio se mapea a un elemento único en el codominio. 2) Una función es suprayectiva si cada elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio. 3) Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva, estableciendo una correspondencia única entre los elementos del dominio y codominio.
Este documento describe las características de las funciones lineales y recíprocas. Explica que las funciones lineales tienen la forma y=mx+b y pendiente m, mientras que las funciones recíprocas tienen la forma f(x)=1/x. También discute cómo encontrar la función inversa y las propiedades como creciente, decreciente, dominio y alcance.
Jorge lanzó una pelota hacia arriba y calculó la altura máxima que alcanzó usando una función cuadrática. Graficó la trayectoria de la pelota en un plano cartesiano y determinó que la altura máxima fue de 3 metros, alcanzada en 1.5 segundos, y que la pelota volvió a sus manos a los 3 segundos.
CÁLCULO INTEGRAL. CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ESCALA...Pablo García y Colomé
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones escalares de varias variables, incluyendo su dominio, codominio e imagen. Explica cómo representar estas funciones gráficamente mediante curvas de nivel y en 3D. Incluye ejemplos de funciones escalares de dos variables y su dominio.
Este documento trata sobre funciones y sus gráficas. Explica conceptos como dominio, recorrido, notación de funciones, evaluación de funciones, gráficas de funciones y transformaciones de funciones. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos clave relacionados con funciones.
Este documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo calcular la pendiente, intersección con los ejes y ecuación de una recta dados puntos o información sobre la función. También incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones reales. Explica que una función asocia a cada elemento de un conjunto dominio un único elemento de un conjunto recorrido. Describe cómo representar funciones de manera algebraica, gráfica y numérica. Cubre temas como el dominio, la imagen, la representación gráfica y la composición de funciones. El objetivo es que los estudiantes aprendan a reconocer, analizar y representar diferentes tipos de funciones reales.
El documento describe diferentes tipos de funciones elementales, incluyendo sus dominios, rangos y gráficas. Se definen funciones como polinómicas, afines, cuadráticas y potencias. También se describen operaciones básicas con funciones como suma, resta, producto y cociente. Finalmente, se explica la función valor absoluto.
1. El documento define conceptos básicos de funciones como dominio, campo de valores y representaciones alternas como diagramas, conjuntos de pares ordenados, gráficas y ecuaciones.
2. Se explican métodos para determinar si una relación o ecuación representan una función, como el teorema de la línea vertical para gráficas.
3. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo identificar el dominio y campo de valores de funciones dadas en diferentes formas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones. En 3 oraciones o menos:
Introduce el concepto de función y define variables independientes y dependientes. Explica que una función relaciona un valor de entrada con un único valor de salida y puede representarse como y=f(x). Presenta formas de determinar funciones como tablas de valores, expresiones analíticas y gráficas.
Este documento clasifica y describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones pares e impares, funciones crecientes y decrecientes, funciones constantes y periódicas, funciones polinómicas, racionales, radicales y trascendentes, funciones especiales como valor absoluto y parte entera, operaciones y composición de funciones, y funciones inversas. Contiene gráficas para ilustrar cada tipo de función.
Este documento introduce los conceptos de extremos absolutos y relativos de una función. Explica que los extremos absolutos son el valor máximo y mínimo de una función en su dominio completo, mientras que los extremos relativos son valores locales máximos o mínimos en subintervalos. También define números críticos como aquellos puntos donde la derivada deja de existir o es cero, ya que estos puntos son candidatos para ser extremos. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo encontrar números críticos y extremos de diferentes funciones.
Este documento introduce el concepto de función matemática. Define una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto. Presenta ejemplos de situaciones de la vida real que pueden modelizarse mediante funciones y describe las propiedades fundamentales de las funciones como el dominio, el rango y la función inversa.
Este documento presenta un resumen de las funciones matemáticas elementales y sus gráficas. Se definen cinco funciones y se pide graficarlas indicando su dominio y codominio. También se pide graficar varias transformaciones de una función g dada, como traslaciones, reflexiones y valor absoluto. Finalmente, se grafican transformaciones análogas de una función f dada.
1) El documento explica las funciones inversas y cómo se definen. Una función f tiene una inversa g si f es inyectiva, lo que significa que f(x1) = f(x2) solo cuando x1 = x2. 2) Para que una función continua sea inyectiva en un intervalo, debe ser estrictamente monótona en ese intervalo. 3) Si una función continua f es estrictamente monótona en un intervalo [a,b], entonces tiene una inversa g cuyo dominio es el intervalo [f(a), f(b)].
Este documento trata sobre derivadas de funciones. Explica cómo calcular la derivada de funciones como funciones polinómicas, funciones a trozos, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas inversas. También cubre conceptos como derivadas laterales y puntos donde una función no es derivable.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento trata sobre funciones algebraicas usuales. Explica conceptos como funciones afines, lineales, potencia, raíz, polinómica y racional. Detalla las propiedades de cada función, incluyendo su dominio, rango y forma gráfica. También cubre operaciones con funciones como suma, resta, producto y cociente. El objetivo es proporcionar una introducción a estas funciones algebraicas fundamentales usadas en cálculo.
Este documento discute cuatro maneras de representar funciones: verbalmente, numéricamente, visualmente y algebraicamente. Presenta ejemplos de funciones que se representan de manera más natural en una forma que en otra. La función P que modela la población mundial con el tiempo se describe primero verbalmente y luego se elabora una tabla de valores numéricos. La función C que modela el costo de envío postal se describe verbalmente pero no tiene una fórmula algebraica simple.
El documento describe operaciones básicas con funciones como suma, resta, multiplicación y división. Define el dominio de cada operación como la intersección de los dominios de las funciones involucradas. También cubre composición de funciones y tipos de funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Finalmente, define intervalos de crecimiento, decrecimiento y constancia para funciones basadas en su gráfica.
Jorge lanzó una pelota hacia arriba y calculó la altura máxima que alcanzó usando una función cuadrática. Graficó la trayectoria de la pelota en un plano cartesiano y determinó que la altura máxima fue de 3 metros, alcanzada en 1.5 segundos, y que la pelota volvió a sus manos a los 3 segundos.
CÁLCULO INTEGRAL. CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ESCALA...Pablo García y Colomé
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones escalares de varias variables, incluyendo su dominio, codominio e imagen. Explica cómo representar estas funciones gráficamente mediante curvas de nivel y en 3D. Incluye ejemplos de funciones escalares de dos variables y su dominio.
Este documento trata sobre funciones y sus gráficas. Explica conceptos como dominio, recorrido, notación de funciones, evaluación de funciones, gráficas de funciones y transformaciones de funciones. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos clave relacionados con funciones.
Este documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo calcular la pendiente, intersección con los ejes y ecuación de una recta dados puntos o información sobre la función. También incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento introduce conceptos básicos sobre funciones reales. Explica que una función asocia a cada elemento de un conjunto dominio un único elemento de un conjunto recorrido. Describe cómo representar funciones de manera algebraica, gráfica y numérica. Cubre temas como el dominio, la imagen, la representación gráfica y la composición de funciones. El objetivo es que los estudiantes aprendan a reconocer, analizar y representar diferentes tipos de funciones reales.
El documento describe diferentes tipos de funciones elementales, incluyendo sus dominios, rangos y gráficas. Se definen funciones como polinómicas, afines, cuadráticas y potencias. También se describen operaciones básicas con funciones como suma, resta, producto y cociente. Finalmente, se explica la función valor absoluto.
1. El documento define conceptos básicos de funciones como dominio, campo de valores y representaciones alternas como diagramas, conjuntos de pares ordenados, gráficas y ecuaciones.
2. Se explican métodos para determinar si una relación o ecuación representan una función, como el teorema de la línea vertical para gráficas.
3. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo identificar el dominio y campo de valores de funciones dadas en diferentes formas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones. En 3 oraciones o menos:
Introduce el concepto de función y define variables independientes y dependientes. Explica que una función relaciona un valor de entrada con un único valor de salida y puede representarse como y=f(x). Presenta formas de determinar funciones como tablas de valores, expresiones analíticas y gráficas.
Este documento clasifica y describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones pares e impares, funciones crecientes y decrecientes, funciones constantes y periódicas, funciones polinómicas, racionales, radicales y trascendentes, funciones especiales como valor absoluto y parte entera, operaciones y composición de funciones, y funciones inversas. Contiene gráficas para ilustrar cada tipo de función.
Este documento introduce los conceptos de extremos absolutos y relativos de una función. Explica que los extremos absolutos son el valor máximo y mínimo de una función en su dominio completo, mientras que los extremos relativos son valores locales máximos o mínimos en subintervalos. También define números críticos como aquellos puntos donde la derivada deja de existir o es cero, ya que estos puntos son candidatos para ser extremos. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo encontrar números críticos y extremos de diferentes funciones.
Este documento introduce el concepto de función matemática. Define una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto. Presenta ejemplos de situaciones de la vida real que pueden modelizarse mediante funciones y describe las propiedades fundamentales de las funciones como el dominio, el rango y la función inversa.
Este documento presenta un resumen de las funciones matemáticas elementales y sus gráficas. Se definen cinco funciones y se pide graficarlas indicando su dominio y codominio. También se pide graficar varias transformaciones de una función g dada, como traslaciones, reflexiones y valor absoluto. Finalmente, se grafican transformaciones análogas de una función f dada.
1) El documento explica las funciones inversas y cómo se definen. Una función f tiene una inversa g si f es inyectiva, lo que significa que f(x1) = f(x2) solo cuando x1 = x2. 2) Para que una función continua sea inyectiva en un intervalo, debe ser estrictamente monótona en ese intervalo. 3) Si una función continua f es estrictamente monótona en un intervalo [a,b], entonces tiene una inversa g cuyo dominio es el intervalo [f(a), f(b)].
Este documento trata sobre derivadas de funciones. Explica cómo calcular la derivada de funciones como funciones polinómicas, funciones a trozos, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas inversas. También cubre conceptos como derivadas laterales y puntos donde una función no es derivable.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento trata sobre funciones algebraicas usuales. Explica conceptos como funciones afines, lineales, potencia, raíz, polinómica y racional. Detalla las propiedades de cada función, incluyendo su dominio, rango y forma gráfica. También cubre operaciones con funciones como suma, resta, producto y cociente. El objetivo es proporcionar una introducción a estas funciones algebraicas fundamentales usadas en cálculo.
Este documento discute cuatro maneras de representar funciones: verbalmente, numéricamente, visualmente y algebraicamente. Presenta ejemplos de funciones que se representan de manera más natural en una forma que en otra. La función P que modela la población mundial con el tiempo se describe primero verbalmente y luego se elabora una tabla de valores numéricos. La función C que modela el costo de envío postal se describe verbalmente pero no tiene una fórmula algebraica simple.
El documento describe operaciones básicas con funciones como suma, resta, multiplicación y división. Define el dominio de cada operación como la intersección de los dominios de las funciones involucradas. También cubre composición de funciones y tipos de funciones como inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Finalmente, define intervalos de crecimiento, decrecimiento y constancia para funciones basadas en su gráfica.
Esta exposición tiene como objetivo educar y concienciar al público sobre la dualidad del oxígeno en la biología humana. A través de una mezcla de ciencia, historia y tecnología, se busca inspirar a los visitantes a apreciar la complejidad del oxígeno y a adoptar estilos de vida que promuevan un equilibrio saludable entre sus beneficios y sus potenciales riesgos.
¡Únete a nosotros para descubrir cómo el oxígeno puede ser tanto un salvador como un destructor, y qué podemos hacer para maximizar sus beneficios y minimizar sus daños!
"Abordando la Complejidad de las Quemaduras: Desde los Orígenes y Factores de...AlexanderZrate2
Las quemaduras, una de las lesiones traumáticas más comunes, representan un desafío significativo para el cuerpo humano. Estas lesiones pueden ser causadas por una variedad de agentes, desde el contacto con el calor extremo hasta la exposición a productos químicos corrosivos, la electricidad y la radiación. Independientemente de su origen, las quemaduras pueden provocar un amplio espectro de daños, que van desde lesiones superficiales de la piel hasta afectaciones graves de tejidos más profundos, con potencial para comprometer la vida del individuo afectado.
La incidencia y gravedad de las quemaduras pueden variar según factores como la edad, la ocupación, el entorno y la atención médica disponible. Las quemaduras son un problema global de salud pública, con impacto no solo en la salud física, sino también en la calidad de vida y la salud mental de los afectados. Además del dolor y la discapacidad física que pueden ocasionar, las quemaduras pueden dejar cicatrices permanentes y aumentar el riesgo de infecciones y otras complicaciones a largo plazo.
El manejo adecuado de las quemaduras es esencial para minimizar el riesgo de complicaciones y promover una recuperación óptima. Desde los primeros auxilios en el lugar del incidente hasta el tratamiento médico especializado en centros de quemados, se requiere una atención integral y multidisciplinaria. Además, la prevención juega un papel fundamental en la reducción de la incidencia de quemaduras, mediante la educación pública, la implementación de medidas de seguridad en el hogar, el trabajo y otros entornos, y la promoción de políticas de salud y seguridad efectivas.
En esta exploración exhaustiva sobre el tema de las quemaduras, analizaremos en detalle los diferentes tipos de quemaduras, sus causas y factores de riesgo, los mecanismos fisiopatológicos involucrados, las complicaciones potenciales y las estrategias de tratamiento y prevención más relevantes en la actualidad. Además, consideraremos los avances científicos y tecnológicos recientes que están transformando el enfoque hacia la gestión de las quemaduras, con el objetivo último de mejorar los resultados para los pacientes y reducir la carga global de esta importante condición médica.
Las heridas son lesiones en el cuerpo que dañan la piel, tejidos u órganos. Pueden ser causadas por cortes, rasguños, punciones, laceraciones, contusiones y quemaduras. Se clasifican en:
Heridas abiertas: la piel se rompe y los tejidos quedan expuestos (ej. cortes, laceraciones).
Heridas cerradas: la piel no se rompe, pero hay daño en los tejidos subyacentes (ej. contusiones).
El tratamiento incluye limpieza, aplicación de antisépticos y vendajes, y en algunos casos, suturas. Es crucial vigilar las heridas para prevenir infecciones y asegurar una curación adecuada.
Fijación, transporte en camilla e inmovilización de columna cervical II.pptxjanetccarita
Explora los fundamentos y las mejores prácticas en fijación, transporte en camilla e inmovilización de la columna cervical en este presentación dinámica. Desde técnicas básicas hasta consideraciones avanzadas, este conjunto de diapositivas ofrece una visión completa de los protocolos cruciales para garantizar la seguridad y estabilidad del paciente en situaciones de emergencia. Útil para profesionales de la salud y equipos de respuesta ante emergencias, esta presentación ofrece una guía visualmente impactante y fácil de entender.
La era precámbrica comenzó hace 4 millones de años y se cuenta hasta hace 570 millones de años. Durante este período se creó el complejo basal propio de la Guayana venezolana, al sur del país; también en Los Andes; en la cordillera norte de Perijá, estado de Zulia; y en el Baúl, estado de Cojedes.
Una unidad de medida es una cantidad de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley. Cualquier valor de una cantidad física puede expresarse como un múltiplo de la unidad de medida. Para entender mejor las mismas, hay que saber como se pueden convertir en otras unidades de medida.
Cardiopatias cianogenas con hipoflujo pulmonar.pptxELVISGLEN
Las cardiopatías congénitas acianóticas incluyen problemas cardíacos que se desarrollan antes o al momento de nacer pero que normalmente no interfieren en la cantidad de oxígeno o de sangre que llega a los tejidos corporales.
García, Francisco. - Las Navas de Tolosa [2024].pdf
5.1-Funciones-inversas.pdf
1. UNIDAD 5 Funciones inversas 5.1 Funciones inversas 1
5.1 Funciones inversas
OBJETIVOS
Determinar si una función es biunívoca usando la prueba de la recta horizontal.
Determinar si una función es inversa de otra utilizando la definición de función inversa.
Encontrar la función inversa de una función en casos sencillos.
Dibujar la representación gráfica de una función y su función inversa.
Función uno a uno o biunívoca
El concepto de función biunívoca o uno a uno es necesario en el estudio de las funciones inversas ya que
solo las funciones biunívocas tienen función inversa.
D e f i n i c i ó n d e f u n c i ó n u n o a u n o
Una función f con dominio D y rango R es una función uno a uno o biunívoca si
satisface la condición siguiente:
Si a b
en D entonces ( ) ( )
f a f b
en R.
Es decir que elementos distintos en el dominio deben tener imágenes distintas en el Rango. Una
forma simple para determinar si una función es uno a uno consiste en utilizar la prueba siguiente
P r u e b a d e l a r e c t a h o r i z o n t a l
Si toda recta horizontal intercepta la gráfica de una función en no más de un punto,
entonces la función es uno a uno.
La figura siguiente muestra la gráfica de una función uno a uno pues cualquier recta horizontal
corta la gráfica sólo en un punto
Mientras que la figura que sigue muestra la gráfica de una función que no es uno a uno pues hay al
menos una recta horizontal que la intercepta en más de un punto
2. UNIDAD 5 Funciones inversas 5.1 Funciones inversas 2
Ejemplo 1: Determinando si una función es uno a uno
Utilice la gráfica de la función para determinar si la función es uno a uno
a. 2
( ) 9
f x x
b. 2
( )
2
g x
x
Solución
a. La gráfica de la función 2
( ) 9
f x x
es la mitad de una circunferencia con centro
en el origen y radio 3. La figura muestra que una recta horizontal intercepta la
gráfica en dos puntos, por lo tanto la función no es uno a uno.
b. La función 2
( )
2
g x
x
es una función racional, estas funciones se estudian en un
tema posterior del curso. Por el momento la gráfica se puede construir por medio de
una tabla de valores o bien utilizando un programa de cómputo. Puede observarse
que cualquier recta horizontal la intercepta solamente en un punto, por lo tanto la
función es biunívoca.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
3. UNIDAD 5 Funciones inversas 5.1 Funciones inversas 3
Función inversa
En esta sección se presenta la definición de función inversa, así como algunos ejemplos sobre el
cálculo de las mismas
D e f i n i c i ó n d e f u n c i ó n i n v e r s a
Si f es una función uno a uno cono dominio D y rango R, y g es una función con
dominio R y rango D. La función g es la función inversa de f si y solo si
( )
f g x x
para toda x en el dominio de g
( )
g f x x
para toda x en el dominio de f
La función inversa de la función f se representa como 1
f
Es decir que la función inversa revierte las operaciones que la función efectúa sobre un número x
como se ilustra en el diagrama siguiente
Al aplicar la función f al número a se obtiene como resultado ( )
f a , luego al aplicar la función g a
( )
f a se obtiene ( ( ))
g f a a
. De la misma forma al aplicar la función g a un número b se obtiene ( )
g b y
luego al aplicar la función f a ( )
g b se obtiene ( ( ))
f g b b
Por ejemplo si ( ) 2 8
f x x
su función inversa es 1 1
( ) 4
2
f x x
. La gráfica siguiente ilustra
como opera la función inversa para 10
x
(10) 2(10) 8 20 8 28
f
Ahora 28 toma el valor de x en la función inversa y se tiene
1 1
(28) (28) 4 14 4 10
2
f
4. UNIDAD 5 Funciones inversas 5.1 Funciones inversas 4
Ejemplo 2: Prueba de que dos funciones son inversas entre sí
Utilice la definición de función inversa para probar que las funciones 2
( )
4
x
f x
x
y 4
( )
2
x
g x
x
son
funciones inversas
Solución
La definición establece que dos funciones son inversas si ( ( )) ( ( ))
f g x g f x x
Efectuando los cálculos se tiene
4 8 8
2
8 (2 )
4 2 2 2
( ( ))
4 4(2 ) 8
4
2 8(2 )
4
2
2 2
x x x
x x
x x x x
f g x f x
x x
x
x x
x
x x
2 8 8
4
8 ( 4)
2 4 4 4
( ( ))
2( 4) 2 8
2
4 8( 4)
2
4
4 4
x x x
x x
x x x x
g f x g x
x x
x
x x
x
x x
Como en ambos casos el resultado es igual a x, se concluye que f y g son funciones
inversas una de la otra.
En el cuadro siguiente se presenta el procedimiento para calcular la inversa de una función en los
casos donde es posible despejar x en términos de y.
P r o c e d i m i e n t o p a r a o b t e n e r u n a f u n c i ó n i n v e r s a
1. Compruebe que f es una función uno a uno en todo su dominio.
2. Despeje x en la ecuación ( )
y f x
para obtener una expresión para la función
inversa 1( )
x f y
.
3. Escriba la fórmula para la función inversa 1
( )
y f x
.
4. Verifique que el dominio de f es el rango de 1
f y que el rango de f es el dominio
de 1
f
5. Verifique que se satisfacen las condiciones
( )
f g x x
para toda x en el dominio de g
( )
g f x x
para toda x en el dominio de f
Ejemplo 3: Obteniendo la inversa de una función
Dada la función 2
( )
3
x
f x
x
a. Dibuje la representación gráfica e indique si la función es uno a uno.
b. Determine el dominio y el rango de f.
c. Encuentre la función inversa 1
f , indicando su dominio y su rango.
d. Verifique que 1 1
( ( )) ( ( ))
f f x x f f x
e. Dibuje la gráfica de f y 1
f en un mismo sistema de coordenadas
5. UNIDAD 5 Funciones inversas 5.1 Funciones inversas 5
Solución
a. La figura siguiente muestra la gráfica de f. La función es uno a uno ya que cualquier
recta horizontal la intercepta solamente una vez
b. El dominio de f está formado por todos los números en el intervalo ( , 3) ( 3, )
ya que 3
x hace que el denominador sea igual a cero. El rango de f es el dominio
de la función inversa y se obtendrá cuando se calcule la función inversa.
c. Para obtener la fórmula de la función inversa se despeja x en la ecuación ( )
y f x
2
3
( 3) 2
2 3
( 2) 3
3
2
x
y
x
y x x
yx x y
x y y
y
x
y
Por lo tanto la función inversa es 1 3
( )
2
x
f x
x
El dominio de 1
f es el conjunto de todos los números en el intervalo ( ,2) (2, )
ya que 2
x hace que el denominador sea cero.
Entonces el dominio de 1
f es el intervalo ( ,2) (2, )
y el rango es el intervalo
( , 3) ( 3, )
que es el dominio de f, obtenido en el inciso anterior.
d. Desarrollando la composición de funciones se tiene
1
3 6 6
2
6 ( 2)
3 2 2 2
( ( ))
3 3( 2) 6
3
2 ( 2)( 6)
3
2
2 2
x x x
x x
x x x x
f f x f x
x x
x
x x
x
x x
1
2 6 6
3
6 ( 3)
2 3 3 3
( ( ))
2 2( 3) 6
2
3 ( 3)( 6)
2
3
3 2
x x x
x x
x x x x
f f x f x
x x
x
x x
x
x x
Lo que prueba que la función 1
f es la inversa de la función f
e. La gráfica de la función f se muestra en color azul y la de 1
f en color rojo, han sido
construidas con el programa Scientific Notebook. Observe la simetría de la función y
su inversa con respecto a la recta y x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-40
-20
20
40
x
y
6. UNIDAD 5 Funciones inversas 5.1 Funciones inversas 6
Ejemplo 4: Obteniendo la inversa de una función
Dada la función 2
( ) 4 2
f x x x
a. Dibuje la representación gráfica e indique si la función es biunívoca.
b. Determine el dominio y el rango de f.
c. Encuentre la función inversa 1
f , restringiendo el dominio de f si es necesario.
d. Indique el dominio y el rango de 1
f
e. Verifique que 1 1
( ( )) ( ( ))
f f x x f f x
f. Dibuje la gráfica de f y 1
f en un mismo sistema de coordenadas.
Solución
a. La figura siguiente muestra la gráfica de f, que es una parábola vertical. La función
no es uno a uno ya que hay rectas horizontales que la interceptan en dos puntos
b. El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales. Para encontrar el
rango se debe localizar el vértice de la parábola, lo cual se hará completando
cuadrados
2
2
2
( ) 4 2
( 4 4) 2 4
( 2) 6
f x x x
x x
x
-6 -4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
7. UNIDAD 5 Funciones inversas 5.1 Funciones inversas 7
Obteniendo que el vértice está en el punto ( , ) ( 2, 6)
h k . A partir del vértice se
tiene que el rango de la función está formado por todos los números en el intervalo
[ 6, )
.
c. Como f no es una función uno a uno, es necesario restringir el dominio para que si lo
sea. Restringiendo el dominio al intervalo [ 2, )
, en el cual la función es creciente,
se obtiene una función uno a uno.
La figura siguiente muestra la gráfica de la función 2
( ) 4 2
f x x x
con dominio
[ 2, )
y rango [ 6, )
Para encontrar la función inversa se despeja x en la ecuación ( )
y f x
2
2
( 2) 6
6 ( 2)
6 2
6 2
y x
y x
y x
y x
Observe que se han obtenido dos fórmulas para x, 6 2
x y
y 6 2
x y
.
La que corresponde a la restricción que se ha realizado es la primera, ya que 2
x .
Por lo tanto la función inversa es 1
( ) 6 2
f x x
d. El dominio de 1
f es el rango de f, es decir el intervalo [ 6, )
, el Rango de 1
f es el
dominio de f, es decir el intervalo [ 2, )
.
e. Utilizando la composición para comprobar que son funciones inversas se tiene
2 2
1
( ( )) 6 2 ( 6 2) 2 6 6 6 6 6
f f x f x x x x x
1 1 2 2 2
( ( )) ( 2) 6 ( 2) 6 6 2 ( 2) 2 2 2
f f x f x x x x x
f. La siguiente figura muestra la gráfica de f en color azul y la de 1
f en color rojo. Al
igual que en el ejemplo anterior se observa la simetría de ambas funciones con
respecto a la recta y x
-6 -4 -2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
8. UNIDAD 5 Funciones inversas 5.1 Funciones inversas 8
Ejercicios de la sección 5.1
En los ejercicios 1 a 5 verifique si f y g son
funciones inversas mostrando que ( )( )
f g x x
y que ( )( )
g f x x
.
1. ( ) 3 5
f x x
, 5
( )
3
x
g x
2. ( ) 2 1
f x x
, 1 1
( )
2 2
g x x
3. 1
( )
1
f x
x
, 1
( ) x
g x
x
4. 2
( )
3 1
x
f x
x
, ( )
3 2
x
g x
x
5. 3
( ) 2
f x x
, 3
( ) 2
g x x
En los ejercicios 6 a 10 encuentre una expresión
en términos de x, para la función inversa de la
función dada
6. ( ) 4 1
F x x
7. 3
( ) 1
F v v
8. 5
( ) t
M t
t
9. 2
( ) 4, 0
f x x x
10. ( ) 4 2
g x x
En los ejercicios 11 a 30
a. Dibuje la gráfica de la función dada.
b. Determine si la función es uno a uno, si no lo
es restrinja el dominio para que lo sea.
c. Encuentre el dominio y el rango de la función
uno a uno.
d. Encuentre la función inversa, su dominio y
rango.
e. Verifique que las funciones una inversas una
de la otra.
f. Dibuje la representación gráfica de f y 1
f en
un mismo sistema de coordenadas.
11. ( ) 4 1
f x x
12.
2
( ) 3
3
f x x
13. 3
( ) 1
f x x
14. 3
( ) 2 5
f x x
15. 2
( ) 3 4
f x x
16. 2
( ) 9
f x x
17.
1
( )
4
F x
x
18. 2
( ) 4 1
F x x x
19. 2
( ) 2 6
f x x x
20. 2
( ) 4 2 4
F x x x
21. ( ) 3
F x x
22. ( ) 4
f x x
23. ( ) 3 5
f x x
24. 2
( ) 4
F x x
25. 2
( ) 9
f x x
26. ( ) 2
f x x
27. ( ) 3
F x x
28. ( )
F x x x
29.
1
( )
1
x
F x
x
30.
2
( )
2
x
F x
x