Lección 1.9 Inversa De Una Funcion CeL

INVERSA DE UNA FUNCIÓN UNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR.11.3.3 J. Pomales CeL

INTRODUCCIÓN Como hemos definido en clases pasadas, u na función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Pensando en esto, hoy: Verificaremos si una función es 1-1 Hallaremos su inversa Utilizaremos la composición de funciones para determinar que dos funciones son inversas. Utilizar el GeoGebra para trazar y construir la inversa de funciones.

FUNCIÓN 1-1 FUNCIÓN INYECTIVA

¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN… ...EN UNA TABLA DE VALORES? Es función Es función Es función x y 2 4 1 2 0 1 -1 ½ -2 ¼ Aquí es solamente observando el dominio. Será una función si los valores del dominio no se repiten. No olvides  Dominio: x Recorrido: y x y 2 -3 1 -1 0 1 -1 3 -2 5 x y 2 1 1 2 1 3 0 4 -1 5 x y 3 -6 1 2 0 3 -1 2 -3 -6 No es función Repite el dominio 1 1

¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN… ...EN LOS CONJUNTOS? Es función Para cada elemento del dominio hay un elemento en el recorrido. No es función Fíjate que un elemento del dominio tiene dos valores en el recorrido. Será una función si para cada elemento del dominio existe un solo elemento en el recorrido. No olvides  Dominio: x Recorrido: y 0 -2 2 1 3 1 -2 f ( x ) 0 2 1 0 -1 3 2 g ( x )

¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN… Si al pasar la línea vertical sobre las gráficas, esta sólo las interseca en un solo punto a la vez podremos concluir que son funciones. Las gráficas A y C son funciones. ...EN UNA GRÁFICA? Es función Es función A B C No es función Línea vertical toca en más de 1 punto

CONTESTA LO SIGUIENTE Estas gráficas, ¿serán funciones? Sí, pues cumplen con el análisis de la línea vertical. ¿Recuerdas cómo se llaman cada una de ellas? Cuadrática (Parábola) Valor absoluto

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN 1-1? Es la característica de aquellas funciones que poseen un solo valor del dominio para un solo valor del recorrido. Una sola x para una sola y . De ahí proviene el nombre 1-1. ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA Si tenemos una tabla de valores de una función podremos decir que es una función inyectiva o 1-1, si no existen valores repetidos en el recorrido. Pero si lo que tenemos es la gráfica de una función podremos hacer un análisis con la línea horizontal.

PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL Haremos un proceso similar a la línea vertical pero ahora será con la línea horizontal. Si toda línea horizontal que se dibuje sobre la gráfica la interseca en no más de un punto, decimos que es función inyectiva ó 1-1. PARA SABER SI ES UNA FUNCIÓN 1-1 Es función 1-1 No es función 1-1

FUNCIÓN INVERSA f -1 ( x ) Esto NO REPRESENTA un exponente Cuidado

ANALIZA LO SIGUIENTE Si las siguientes tablas corresponden a dos funciones 1-1 (inyectivas), ¿qué puedes decir con relación a sus dominios y recorridos? Los elementos del dominio y recorrido están intercambiados. Es decir, la Función B es la inversa de la A. Función A Función B x y 2 4 1 2 0 1 -1 ½ -2 ¼ x y 4 2 2 1 1 0 ½ -1 ¼ -2 2 1 -1 -2 0 2 1 -1 -2 0 4 2 ½ ¼ 1 4 2 ½ ¼ 1 2 1 -1 -2 0 4 2 ½ ¼ 1

¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE LA FUNCIÓN 1-1? Si una función es 1-1 entonces tiene función inversa. La función inversa consiste en intercambiar entre sí el conjunto del dominio y el recorrido. Si una función tiene inversa se puede escribir así: f -1 ó f -1 ( x ) se lee “inversa de f ” f -1 (x) = {(2,1), (4, 2), (9, 3)} Halla la inversa de la función, si existe. 1) f(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 9)} Ejemplos: 2) g(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 2)} g(x) no es 1-1 , no tiene g -1

CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA Como hemos visto anteriormente, conseguir la función inversa en funciones definidas por su conjunto de dominio y recorrido es muy fácil. Pero ¿qué hacemos para calcular f -1 si la función está definida por una ecuación? EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES Método para calcular la inversa de una función: Sustituye f(x) por y . Intercambia entre ellas todas las x y las y . Despeja para y. Sustituye y por f -1 (x).

CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA Para comprobar si la función inversa es correcta, solo tienes que hacer la composición de ambas funciones [ f ( x ) y f -1 ( x ) ] en cualquier orden. Si todo está correcto debes obtener la función identidad: f o f -1 = x y f -1 o f = x EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES Si dibujamos ambas gráficas podrías observar que f -1 tiene una gráfica que es el reflejo de la función original, a lo largo de la recta y = x , con el mismo dominio.

LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA La gráfica de f -1 es una reflexión de f con respecto a la recta y = x. f -1 es la imagen espejo de f ESTA IMAGEN FUE CREADA CON GEOGEBRA En este caso f (x) inicia en (2, 0) . Por lo tanto su f -1 tiene que iniciar en ese par ordenado pero invertido (0, 2).

EJEMPLOS Halla la inversa de cada función y comprueba: Como la comprobación es la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f (x) Comprobación

EJEMPLOS Halla la inversa de cada función y comprueba: Existe la identidad entonces, f -1 es una función inversa de f Comprobación Recuerda en f ( x ), x ≠ 1 ; si x ≠ 2

EJEMPLOS Halla la inversa de cada función y comprueba: El resultado fue la identidad por lo tanto, la inversa calculada está correcta. Comprobación Recuerda en f ( x ) , x ≥ 1

REFERENCIAS PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill MATEMÁTICA INTEGRADA 3. 2005 . Rubenstein, Craine, Butts. McDougal Littell GEOGEBRA. http://www.geogebra.org/cms/ VÍDEOS FINDING THE INVERSE OF A FUNCTION . http://es.youtube.com/watch?v=Ec5YYVxyq44 TRAZAR LA FUNCI ÓN INVERSA. http://www.youtube.com/watch?v=ZqoB6GLofc0&feature=channel_page CONSTRUIR LA FUNCIÓN INVERSA. http://www.youtube.com/watch?v=69RnyrST_VM&feature=channel_page

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