Este documento describe las funciones inversas. Define una función como una relación entre dos cantidades donde los valores de una variable dependen de los valores de otra. Una función inversa es aquella que cumple que si f(a) = b, entonces f-1(b) = a. Las propiedades de una función inversa incluyen que su gráfica es simétrica a la función identidad y = x y que la composición de una función con su inversa da como resultado la función identidad. El documento también explica cómo calcular una función inversa mediante el intercambio de las variables x e y

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación y el trabajo
Universidad Fermín Toro
FUNCIONES INVERSAS
Leonel Surumay
26904026
MI31

2. INTRODUCCIÒN
Con el objetivo de entender a profundidad las funciones inversas, es
importante tener claro que es una función matemática y las características
que esta posee. Una función, en matemáticas, es el término usado para
indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El
término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático
francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.
En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el
término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.
Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en
1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859),
quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número
dentro de un conjunto de ello.
Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar
un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna
automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de
X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable
independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la
X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X
constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y
constituye su recorrido". Dicho esto podemos definir a la función inversa.

3. FUNCION INVERSA
Existen diferentes definiciones de función inversa, aunque el concepto
matemático es el mismo. Para hallar la inversa de una función no se
requiere de la utilización de la definición. Se llama función inversa o
reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente
−1 usado para números reales. Únicamente se usa como notación de la
función inversa.
Propiedades: La inversa de una función cuando existe, es única. La
inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de
una función biyectiva siempre existe. Las gráficas de f y f−1 son
simétricas respecto a la función identidad y = x. aunado a lo anterior
podemos agregar las siguiente propiedades.
 La primera propiedad coincide con la que habíamos visto
anteriormente en la función compuesta. Si realizamos la función
inversa de una composición de funciones obtenemos la
composición de sus inversas permutando el orden de la
composición:

4.  Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la
función inicial.
 La composición de una función y su inversa nos da la función
identidad.
 La función inversa no siempre existe. Si una función es continua
también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable
también lo será la función inicial. Análogamente, si una función es
derivable su inversa también lo es y viceversa.
Grafica de una función inversa: La gráfica de una función f, y la de su
inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer
cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente
imagen:

5. Por tanto si M (b, a) es un punto de f, y por tanto sabemos que M´(a, b)
será un punto de g, entonces las pendientes de las tangentes en M y en
M son inversas. Es decir si la pendiente de la tangente en M es m,
entonces la pendiente de la tangente en M´ será 1/m. El ejemplo más
conocido e importante de funciones inversas es la función exponencial y
la función logarítmica. Y como podemos ver sus representaciones gráficas
son simétricos respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante:
¿Cómo calculamos la función inversa?: Aunque existen varios
métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la
inversa de la función f (x).
Procedimiento
1. Se asila x en la ecuación y = f(x).
2. Se intercambian x por y y viceversa para obtener y = f -1(y)
Ejemplo 1: Hallar la función inversa de f(x)=3x+5. Vamos a seguir los
pasos anteriormente descritos, antes que nada tendremos en cuenta que
f(x)=y, por tanto empezaremos nuestros pasos a partir de la siguiente
función: y=3x+5.

6. 1º. Hacemos el cambio, obteniendo: x=3y+5.
2º. Despejamos y en función de x: 3y=x-5; y=(x-5)/3.
3º. Por tanto la función inversa es y=(x-5)/3.
Ejemplo 2: Calcular la siguiente función inversa:
1º. Hacemos el cambio de y por x:
2º. Despejamos la y:
3º. Finalmente, la función inversa es: