1. INVERSA DE UNA FUNCIÓN Función y función inversa guía y ejercicios Héctor Zúñiga 516249 Adolfo Avila 516221 Eduardo Fanjon 516236

3. FUNCIÓN 1-1 FUNCIÓN INYECTIVA

4. ¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN… ...EN UNA TABLA DE VALORES? Es función Es función Es función x y 2 4 1 2 0 1 -1 ½ -2 ¼ Aquí es solamente observando el dominio. Será una función si los valores del dominio no se repiten. No olvides  Dominio: x Recorrido: y x y 2 -3 1 -1 0 1 -1 3 -2 5 x y 2 1 1 2 1 3 0 4 -1 5 x y 3 -6 1 2 0 3 -1 2 -3 -6 No es función Repite el dominio 1 1

5. ¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN… ...EN LOS CONJUNTOS? Es función Para cada elemento del dominio hay un elemento en el recorrido. No es función Fíjate que un elemento del dominio tiene dos valores en el recorrido. Será una función si para cada elemento del dominio existe un solo elemento en el recorrido. No olvides  Dominio: x Recorrido: y 0 -2 2 1 3 1 -2 f ( x ) 0 2 1 0 -1 3 2 g ( x )

6. ¿CÓMO DETERMINAR SI ES UNA FUNCIÓN… Si al pasar la línea vertical sobre las gráficas, esta sólo las interseca en un solo punto a la vez podremos concluir que son funciones. Las gráficas A y C son funciones. ...EN UNA GRÁFICA? Es función Es función A B C No es función Línea vertical toca en más de 1 punto

7. CONTESTA LO SIGUIENTE Estas gráficas, ¿serán funciones? Sí, pues cumplen con el análisis de la línea vertical. ¿Recuerdas cómo se llaman cada una de ellas? Cuadrática (Parábola) Valor absoluto

8. ¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN 1-1? Es la característica de aquellas funciones que poseen un solo valor del dominio para un solo valor del recorrido. Una sola x para una sola y . De ahí proviene el nombre 1-1. ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA Si tenemos una tabla de valores de una función podremos decir que es una función inyectiva o 1-1, si no existen valores repetidos en el recorrido. Pero si lo que tenemos es la gráfica de una función podremos hacer un análisis con la línea horizontal.

9. PRUEBA DE LA LÍNEA HORIZONTAL Haremos un proceso similar a la línea vertical pero ahora será con la línea horizontal. Si toda línea horizontal que se dibuje sobre la gráfica la interseca en no más de un punto, decimos que es función inyectiva ó 1-1. PARA SABER SI ES UNA FUNCIÓN 1-1 Es función 1-1 No es función 1-1

10. FUNCIÓN INVERSA f -1 ( x ) Esto NO REPRESENTA un exponente Cuidado

11. ANALIZA LO SIGUIENTE Si las siguientes tablas corresponden a dos funciones 1-1 (inyectivas), ¿qué puedes decir con relación a sus dominios y recorridos? Los elementos del dominio y recorrido están intercambiados. Es decir, la Función B es la inversa de la A. Función A Función B x y 2 4 1 2 0 1 -1 ½ -2 ¼ x y 4 2 2 1 1 0 ½ -1 ¼ -2 2 1 -1 -2 0 2 1 -1 -2 0 4 2 ½ ¼ 1 4 2 ½ ¼ 1 2 1 -1 -2 0 4 2 ½ ¼ 1

12. ¿QUÉ IMPORTANCIA TIENE LA FUNCIÓN 1-1? Si una función es 1-1 entonces tiene función inversa. La función inversa consiste en intercambiar entre sí el conjunto del dominio y el recorrido. Si una función tiene inversa se puede escribir así: f -1 ó f -1 ( x ) se lee “inversa de f ” f -1 (x) = {(2,1), (4, 2), (9, 3)} Halla la inversa de la función, si existe. 1) f(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 9)} Ejemplos: 2) g(x) = {(1,2), (2, 4), (3, 2)} g(x) no es 1-1 , no tiene g -1

14. CALCULANDO LA FUNCIÓN INVERSA Para comprobar si la función inversa es correcta, solo tienes que hacer la composición de ambas funciones [ f ( x ) y f -1 ( x ) ] en cualquier orden. Si todo está correcto debes obtener la función identidad: f o f -1 = x y f -1 o f = x EN FUNCIONES DEFINIDAS POR ECUACIONES Si dibujamos ambas gráficas podrías observar que f -1 tiene una gráfica que es el reflejo de la función original, a lo largo de la recta y = x , con el mismo dominio.

15. LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA La gráfica de f -1 es una reflexión de f con respecto a la recta y = x. f -1 es la imagen espejo de f ESTA IMAGEN FUE CREADA CON GEOGEBRA En este caso f (x) inicia en (2, 0) . Por lo tanto su f -1 tiene que iniciar en ese par ordenado pero invertido (0, 2).

16. EJEMPLOS Halla la inversa de cada función y comprueba: Como la comprobación es la identidad entonces, es una función inversa Comprobación

17. EJEMPLOS Halla la inversa de cada función y comprueba: Existe la identidad entonces, es una función inversa Comprobación Recuerda en f ( x ), x ≠ 1 ; si x ≠ 2

18. EJEMPLOS Halla la inversa de cada función y comprueba: El resultado fue la identidad por lo tanto, la inversa calculada está correcta. Comprobación Recuerda en f ( x ) , x ≥ 1

19. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Escribe la función inversa y comprueba No olvides limitar el valor de la x donde aplique.

20. EJERCICIOS DE PRÁCTICA TRAZAR Y CONSTRUIR GRÁFICAS DE FUNCIONES INVERSAS Luego de observar los vídeos anteriores podrás utilizar el programado GEOGEBRA para trazar y construir las gráficas de las funciones inversas de los ejercicios anteriores. Si no tienes este programado lo puedes bajar completamente gratis en la dirección de Internet que aparece en las referencias.

22. Para mas informacion sobre funciones inversas. Visite nuestro Blog CURSO: Trigonometria 4to semestre. Héctor Zúñiga Capistran 516249 Eduardo Ortega Fanjón 516236 Adolfo Ávila 516221 http://matematicasmagico.blogspot.com/ /