(547) didáctica del álgebra y la trigonometria gi

Vicerrectorado Académico
Universidad Nacional Abierta
Didáctica del Álgebra
y la Trigonometría
Julio Mosquera
Caracas, 2005

Índice
Introducción ...................................................................................................................... 5
Lección 1: Modelos y Teorías del Aprendizaje del Álgebra .......................................... 9
Lección 2: Enseñanza del Álgebra y Justicia Social en la Escuela ................................. 25
Lección 3: Desarrollo del Pensamiento Algebraico .......................................................... 29
Lección 4: Estudio de las Funciones Periódicas ............................................................... 37
Lección 5: Aplicaciones del Álgebra ................................................................................ 43
Lección 6: Aplicaciones de la Trigonometría ................................................................... 53
Lección 7: Tipos de Materiales Instruccionales ................................................................ 65
Lección 8: Evaluación de Materiales Instruccionales ....................................................... 87
Lección 9: El Álgebra y la Trigonometría en los Programas de Estudio .......................... 93
Lección 10: Transición de la Aritmética al Álgebra ......................................................... 101
Lección 11: Criterios para Diseñar y Evaluar de Entornos de Aprendizaje ...................... 105
Lección 12: Diseño de Entornos de Aprendizaje .............................................................. 111
Lección 13: Prácticas de Enseñanza en la Escuela ........................................................... 113
Anexo ................................................................................................................................ 117
3

4 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría

Introducción
En esta asignatura usted tendrá la oportunidad de estudiar asuntos
relacionados con la enseñanza y aprendizaje del álgebra y la trigonometría. En
Venezuela, a diferencia de otros países, actualmente no existen asignaturas
diferenciadas bajo esos nombres en la Tercera Etapa de Educación Básica ni en la
Educación Media Diversificad y Profesional. Sin embargo, el programa de estudio
de Matemática incluye muchos contenidos de estas dos ramas de las
matemáticas. Por tanto, el futuro profesor tiene que conocer esos contenidos y
su didáctica para desempeñarse en el futuro como un buen profesor de
matemáticas.
En esta asignatura, como en las otras asignaturas de didáctica, asumimos
que el único eslabón entre la enseñanza y el aprendizaje es el estudio. Desde
esta perspectiva, para garantizar que un estudiante aprenda, no es suficiente una
buena enseñanza, es necesario que estudie. La enseñanza por si sola no produce
aprendizaje. En buena medida es la dedicación y el esfuerzo del estudiante
puesto en el estudio lo que garantiza el aprendizaje.
Esta asignatura está organizada en tres módulos, seis unidades y catorce
lecciones. Entendemos por lección un intervalo de cuatro horas semanales de
estudio. No asumimos que tengan que ser cuatro horas continuas de estudio.
Diseñamos las lecciones de manera tal que con cuatro horas de estudio, con
dedicación y concentración usted asimilará el material presentado y realizará las
actividades propuestas. Claro está que no todos los estudiantes necesitan del
mismo tiempo para estudiar un tema y comprenderlo, unos necesitarán más
tiempo otros menos. Lo importante es asumir el estudio como un asunto serio y
dedicarle el tiempo necesario.
Este material instruccional está acompañado de una Selección de Lecturas.
En esa selección usted encontrará un material complementario para el estudio de
varias de las lecciones. Cada vez que se disponga a estudiar una lección debe
tener a mano la selección de lecturas.
Usted encontrará anexo un CD con el ClassPad 300 Manager. Usted debe
instalar esta aplicación en un computador para realizar algunas actividades que
se proponen en las lección 7, 8 y 12. También se incluye una versión del
material manipulable “piezas de álgebra”. Este material es necesario para
realizar actividades de las lecciones 7, 8 y 12.
Algunas pocas actividades incluidas en este
curso requieren que usted vaya al Centro Local y
vea un video determinado para poder realizarlas.
Esas actividades están identificadas con un icono
especial que se muestra a la derecha.
Esos videos son: Ondas, Sistemas de Coordenadas y Variables. Si usted
vive muy lejos del Centro Local organice su visita al mismo de manera tal que
pueda ver los tres videos el mismo día y tomar notas para responder a las
actividades propuestas. También se requiere que usted oiga dos programas de
audio correspondientes a la asignatura Matemáticas I de Estudios Generales. En
5

la Lección 12 se le indica exactamente cuáles son estos audios. Prepare
anticipadamente la visita al Centro Local, lea previamente con detenimiento las
actividades que requieren videos.
Para terminar, le recomendamos que siempre tenga a mano un cuaderno
de trabajo, preferiblemente cuadriculado, y una caja con diversas herramientas.
En particular le recomendamos que tenga una calculadora científica, materiales
de geometría, etc. También le recomendamos que tenga varias sesiones de
trabajo en una computadora con acceso a internet para que explore algunos de
los sitios recomendados a lo largo del curso. Es más, en algunas actividades se
le solicita que trabaje con alguna aplicación que se encuentra en algún sitio de
internet. Igualmente le recomendamos que obtenga una dirección de correo
electrónico, lo cual facilitaría la comunicación con nosotros.
Julio Mosquera
jmosque@una.edu.ve

MÓDULO 1
Investigación sobre el pensamiento algebraico
Objetivo del Módulo:
Comprender los principales métodos, problemas y resultados de la investigación en
didáctica del álgebra y sus implicaciones para el trabajo en la clase de matemáticas.
UNIDAD 1: El Álgebra y la Aritmética en la Investigación
OBJETIVO DE LA UNIDAD:
Identificar diferentes tendencias en la investigación en didáctica de las matemáticas
sobre el aprendizaje del álgebra y la trigonometría.
CONTENIDOS:
Teorías e investigación en la enseñanza, aprendizaje y evaluación del álgebra y
trigonometría. Concepciones alternas de los estudiantes en el álgebra y la
trigonometría. Visión algebraica de la realidad. Raza, Género, Injusticia, repitencia,
creencias y concepciones.
UNIDAD 2: Pensamiento Algebraico y Trigonométrico
Especificar modelos del desarrollo del pensamiento algebraico en jóvenes y
adolescentes.
CONTENIDOS:
Pensamiento algebraico y trigonométrico. Desarrollo y madurez del pensamiento
algebraico y trigonométrico del estudiante. Interpretación de las funciones circulares.
7

9
Unidad 1
Lección 1
Modelos y Teorías del Aprendizaje del Álgebra
En esta lección estudiaremos una serie de contenidos relacionados con teorías e
investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza del álgebra y la trigonometría
en la escuela. En particular prestaremos atención a aquellas que tienen que ver
con las concepciones alternas que se forman los estudiantes sobre diversos
temas de álgebra y de trigonometría. También nos ocuparemos un poco de las
creencias.
Antes de entrar en la materia particular de esta lección, consideraremos qué es el
álgebra. La manera como respondamos a esta pregunta influirá sobre la forma
como enfoquemos el problema de la enseñanza del aprendizaje y la enseñanza
del álgebra en la escuela. Es decir, nuestra concepción del álgebra influirá sobre
los tipos de problemas que nos planteemos y las formas de resolverlos.
¿Qué es el álgebra?
Las respuestas a esta pregunta la podemos clasificar en dos grupos. En el primer
grupo incluimos respuestas dadas por matemáticos. En el segundo grupo
incluimos respuestas a esta pregunta ofrecidas por educadores matemáticos o
especialistas en didáctica de las matemáticas. Entre los primeros podemos
mencionar a Vieta (o Viete), Newton, de Morgan, el grupo Bourbaki, y Mac Lane y
Birkhoff.
Según Vieta (1591), considerado por muchos historiadores de las matemáticas
como el fundador del álgebra,
El álgebra fue descubierta por los antiguos a partir de la Aritmética, y
es la más noble, y de ninguna manera celebrada suficientemente
técnica de los números. Como dice Cardano, como el Álgebra
sobrepasa toda la sutileza humana y la claridad de cada alma mortal,
ésta tiene que ser considerada como un verdadero regalo celestial, el
cual da tal experiencia iluminadora del verdadero poder del intelecto
que quienquiera que lo domine creerá que no hay nada que no pueda
comprender. (...)
Hay una cierta manera de buscar la verdad en matemáticas del cual se
dice que Plato fue el primero en descubrirlo. Theon lo llamó análisis,
el cual el define como asumir que aquello que es buscado como si
fuera admitido [y trabajar] a través de las consecuencias [asumidas]
hasta lo que es [ya] admitido [y trabajar] a través de las
consecuencias [asumidas] hasta llegar a y comprender aquello que se
busca.

Aunque los antiguos proponían sólo [dos tipos] de análisis, zetetics y
poristics, a los cuales mejor se aplica la definición de Theon, Yo he
agregado un tercero, que podría llamarse rhetics o exegetics. Es
propiamente zetetics por la cual uno establece una ecuación y
proporción entre un término que debemos hallar y los términos dados,
poristics por la cual la verdad de un teorema propuesto es evaluada
por medio de una ecuación o proporción, y exegetics por la cual el
valor de un término desconocido en una ecuación o proporción es
determinado. Por tanto, todo el arte analítico, asumiendo estas tres
funciones por si mismo, podría denominarse la ciencia del
descubrimiento correcto en matemáticas.
Esta (Zetetics) no limita su razonamiento a números, una limitación
del viejo analista, sino que trabaja con la recientemente descubierta
logística simbólica la cual es más fructífera y poderosa que la logística
numérica para comparar las magnitudes unas con otras.
La logística numérica es [una logística] que emplea números, la
logística simbólica una que emplea símbolos o signos para cosas
como, digamos, letras del alfabeto.
En análisis la palabra “ecuación”, por si misma, significa un igualdad
construida propiamente de acuerdo con [las reglas] de la zetetics.
Así una ecuación es una comparación de una magnitud desconocida y
una magnitud conocida.
Finalmente, el arte analítico, dotado de estas tres formas de zetetics,
porsitics y exegetics, reclama para si mismo el más grande de todos
los problemas, el cual es Resolver todo problema. [Traducción Julio
Mosquera]
Para Newton (1628),
El cálculo es ejecutado con Números, como en la Aritmética Vulgar, o
con Especies, como es usual entre los Algebristas. Ambos están
construidos sobre los mismos Fundamentos, y buscan el mismo
Objetivo, viz. la Aritmética definitiva y particularmente, el Álgebra
indefinida y universalmente; de manera tal que todas las Expresiones
que son halladas mediante estos Cálculos, y particularmente
Conclusiones, pueden ser llamadas Teoremas. Pero el Álgebra es
particularmente excelente en esto, mientras que las Preguntas
Aritméticas son resueltas solamente procediendo desde las
Cantidades dadas a las Cantidades buscadas, el Álgebra procede en
Orden retrogrado, de las Cantidades buscadas, como si estuvieran
dadas, a la Cantidades dadas, como si fueran buscadas, al final se
llega a una Conclusión o Ecuación de una u otra manera, a partir de
la cual podremos obtener la Cantidad buscada. [Traducción de Julio
Mosquera]
Augusto de Morgan (1828) comenta que el álgebra
... es la parte de las matemáticas en la cual símbolos son empleados
para abreviar y generalizar el razonamiento que surge en cuestiones
relacionadas con los números.

Lección 1 11
Hay dos especies de preguntas, teoremas y problemas. Un teorema
demuestra la existencia de ciertas propiedades de números dados y
conocidos. Un problema tiene por su objeto determinar que números
tienen relaciones dadas con otros números conocidos. [Traducción
de Julio Mosquera]
Para Nicolas Bourbaki (1943), seudónimo usado por un colectivo de matemáticos
franceses que sentaron las bases de la matemática moderna,
El álgebra se ocupa esencialmente del cálculo, esto es, ejecutar, sobre
elementos de un conjunto, “operaciones algebraicas”, el ejemplo más
conocido es proporcionado por las “cuatro reglas” de la aritmética
elemental. El álgebra ... por largo tiempo ha sido considerada como
el estudio de las operaciones algebraicas, independiente de las
entidades matemáticas a las que ellas puedan aplicarse.
Privadas de cualquier carácter específico, la noción común subyacente
a las operaciones algebraicas usuales es muy simple: realizar una
operación algebraica en dos elementos a, b del mismo conjunto E,
significa asociar al par ordenado (a, b)un tercer elemento c bien
definido del conjunto E. En otras palabras, no hay más nada en esta
noción que una función: tener una operación algebraica es tener un
función definida sobre ExE y toma sus valores en E ...
En conformidad con las definiciones generales, tener sobre un
conjunto E una o varias leyes de composición o leyes de acción
definen una estructura sobre E; para las estructuras definidas de esta
manera preservamos precisamente el nombre de estructuras
algebraicas y es el estudio de éstas lo que constituye el álgebra.
[Traducción de Julio Mosquera]
Un libro clásico de álgebra es el de Saunders Mac Lane y Garret Birkhoff (1967).
Para estos matemáticos,
El álgebra comienza como el arte de manipular cantidades, productos
y el poder de los números. Las reglas para esta manipulación
sostenida por todos los números, de modo que la manipulación puede
ser llevada a cabo con letras en representación de los números.
Entonces parece que las mismas reglas contenidas para varios tipos de
números diferentes … y que las reglas incluso se aplican a las cosas ...
las cuales no son para nada números. Un sistema algebraico, como el
que estudiaremos, es un conjunto de elementos de cualquier clase en
los cuales las funciones tales como la suma y la multiplicación operan,
siempre que dichas operaciones satisfagan ciertas reglas básicas. (p.
1).
Actividad 1.1
Compare y contraste las cinco definiciones del álgebra y los comentarios sobre
éstas presentados anteriormente. Señale las principales semejanzas y
diferencias.
Pasaremos ahora a considerar algunas definiciones del álgebra propuestas por
educadores matemáticos. Entre los educadores matemáticos haremos mención

de los trabajos de Kieran (1996), Usiskin (1988) y Picciott y Wah (1993). Para
Kieran (1996), el “Álgebra es una herramienta por medio de la cual no sólo
representamos números y cantidades con símbolos literales sino que también
calculamos con esos símbolos” (p.271). Como la misma Kieran señala, esta
definición de álgebra escolar incluye tanto “acciones” como “objetos”.
Para Usiskin (1988), el álgebra escolar tiene “... que ver con la comprensión de
las “letras” (hoy acostumbramos a llamarlas variables) y sus operaciones, y
consideramos que los estudiantes están estudiando álgebra cuando encuentran
las variables por primera vez.” (p.8). Y agrega que ésta provee los medios para
analizar y describir relaciones. Además, el álgebra es la clave para la
caracterización y comprensión de las estructuras matemáticas (Usiskin, 1988, p.
18).
Este mismo autor distingue cuatro concepciones del álgebra.
Concepción 1: Álgebra como aritmética generalizada.
Concepción 2: Álgebra como el estudio de procedimientos para
resolver ciertos tipos de problemas.
Concepción 3: Álgebra como el estudio de relaciones entre
cantidades.
Concepción 4: Álgebra como el estudio de estructura.
(Usiskin, 1988)
Picciotto y Wah (1993) proponen un cambio radical en la manera de concebir el
álgebra escolar. Proponen una nueva álgebra, la cual La nueva Álgebra, como
ellos la llaman, se construye teniendo en cuenta las limitaciones del enfoque
tradicional y superándolas. Ellos proponen que la nueva Álgebra debe diseñarse
de manera tal que permita abrir la puerta para todos los estudiantes. Ésta se
caracterizaría por:
Multidimensionalidad. Tal curso usa una interdependencia
entre temas y herramientas, para crear un “scaffolding” alrededor
del cual se puedan construir las lecciones en las que los conceptos
del álgebra sean aprendidos en un ambiente rico de resolución de
problemas (ver Figura 1). La manipulación de símbolos es sólo
una aspecto del curso.
Empoderamiento por medio de herramientas. Las
herramientas matemáticas son objetos (y ambientes electrónicos)
los cuales proveen modelos concretos y manipulables de ideas
complejas y abstractas, por tanto las hacen accesibles e
interesantes. Ellos son los “objetos-para-pensar-con” como los
denomina Papert (1980) en su libro Mindstorms, pero no son
necesariamente basados en computadora.
Motivación por medio de temas. Los temas son contextos
matemáticos ricos, tomados del mundo real o problemas
llamativos, donde los conceptos del álgebra pueden ser
introducidos, explorados, desarrollados y revisados. Los temas
bien escogidos pueden darle vida al álgebra, revelar conexiones

Lección 1 13
con otras partes de las matemáticas y apoyar la afirmación que el
álgebra si tiene aplicaciones.
Habilidades por medio de la resolución de problemas. La
manipulación de símbolos, en lugar de ser el centro principal de
atención, se convierte en una herramienta para la resolución de
problemas, lo cual es el principal modo de operar a través de todo
el curso.
Organización en espiral. La interacción de herramientas hace
posible múltiples representaciones de conceptos y una exposición
extendida a los mismos. Este enfoque permite prever y revisar de
manera substancial, y ayuda a resaltar conexiones entre
conceptos.
Figura 1. Una nueva Álgebra
(Picciotto y Wah, 1993, traducción libre de Julio Mosquera)
Ese nuevo enfoque del contenido y la enseñanza del álgebra se respresenta con
el siguiente modelo.
Figura 2. Modelo de una nueva álgebra
Actividad 1.2
En los párrafos anteriores presentamos una serie de definiciones y
consideraciones acerca del álgebra en la escuela.
1. ¿Cuál de esas concepciones cree usted que predomina en la escuela
venezolana?
2. Señale las principales diferencias y semejanzas entre los planteamientos de
Kieran, Usiskin, y Picciotto y Wah.

Usos de las Variables en el Álgebra
Todas las concepciones del álgebra incluyen de una manera u otra el estudio,
uso o manipulación de las letras. Diversos autores incluyen la consideración del
uso y la concepción de las letras y las variables en el álgebra.
Kieran (1996) señala que las concepciones de las variables más comúnmente
desarrolladas y usadas por los niños son la de las letras como un incógnita y la
de las letras como representantes de un rango de valores.
Usiskin (1988) plantea que las variables son interpretadas y usadas de diferentes
formas según el contexto en que son usadas, en principio el proponer los
siguientes “contextos”.
(1) A = L. W (formula)
(2) 40 = 5.X (ecuación, para resolver)
(3) sen x = cos x tan x (identidad)
(4) 1 = n ( 1
n
) (propiedad)
(5) y = kx (ecuación de una función, no resolver).
En (1) las letras son percibidas como conocidas, en (2) la letra es una incógnita,
en (3) es el argumento de una función, en (4) se percibe la generalización de un
patrón que n es una instancia o caso de ese patrón, y por último, en (5) x es el
argumento de una función y k un parámetro, el estudiante tiene sentido de la
“variabilidad”.
Las expresiones (1) y (2) tienen todas la misma forma: el producto de dos
números igual a un tercer número. Según el tipo de expresión la interpretación
de las variables (las letras) cambia.
En la expresión (1), las letras A, L y W, representan el área, el largo y el ancho,
y son percibidas como conocidas. En (2) uno piensa en X como una incógnita.
En (3), X es vista como el argumento de una función. La expresión (4), a
diferencia de las otras, generaliza un patrón aritmético y no identifica una
instancia del patrón. Sólo con (5) hay el sentido de “variabilidad”, del cual el
término de variable se derivó. En (5), X es de nuevo el argumento de una
función, y el valor K una constante o parámetro.
Usiskin (1988) luego resume estos usos de las variables en cuatro categorías.
(1) Generalizador de patrones. (traduce, generaliza)
(2) Incógnita, constante. (resolver, simplificar)
(3) Argumentos, parámetros. (relacionar, graficar).
(4) Marcas arbitrarias en el papel. (manipular, justificar).
Actividad 1.3
3. Vea el video Variables. Tome como referencia los usos de
las letras (variables) en el álgebra identificadas por Usiskin.
¿Cuáles de esos usos son presentados en este video? Razone
su respuesta.

Lección 1 15
4. Dada su opinión en 1, ¿propone usted la realización de un
video diferente? Bosqueje ese video si su respuesta es
afirmativa.
Para más detalles sobre estos planteamientos revise las lecturas 3 y 6 en la
Selección de Lecturas.
Investigación sobre Aprendizaje del Álgebra
La investigación sobre el aprendizaje del álgebra ha evolucionado en las últimas
tres o cuatro décadas desde el análisis de los errores que comenten los
estudiantes al resolver ecuaciones hasta el estudio de las concepciones y el
desarrollo del pensamiento algebraico pasando por la indagación sobre las
estrategias que usan los estudiantes para resolver problemas y ecuaciones.
Otra manera de caracterizar la investigación sobre el desarrollo del pensamiento
algebraico es tomando en consideración su punto de partida. Básicamente
podemos distinguir dos enfoques, uno donde se propone como punto de partida
la aritmética y otro donde se toma la geometría, en la Sección 3.2 de la Lectura 6
se hace referencia a estos puntos de vista. También encontramos algunas
investigaciones que hacen referencia a la oposición o resistencia al álgebra.
Nos ocuparemos aquí de un trabajo de investigación que ubicamos en la etapa
más reciente del desarrollo antes descrito. Se trata de una investigación acerca
de las concepciones que se forman los estudiantes del concepto de igualdad.
Este trabajo es presentado en la Lectura 1 incluida en la Selección de Lecturas.
Actividad 1.4
1. Haga una lista de las concepciones erróneas que se forman los estudiantes
acerca del signo igual.
2. Señale cuál es la principal concepción errónea que se forman los niños del
concepto de igualdad. Converse con una maestra de Primera o de Segunda
etapa de EB sobre este asunto y pregúntele si ha detectado algo similar entre
sus estudiantes.
3. Explique con sus propias palabras la estrategia usada por Falkner para lograr
que sus estudiantes comprendieran el significado del signo de igualdad.
4. ¿Cree usted que estudiantes de la Tercera Etapa de EB y de EMDP sostienen
una concepción errónea del signo de igualdad.
5. ¿Por qué es importante que los estudiantes logren una concepción adecuada
del signo de igualdad?
En la Lectura 1 encontramos un reporte informal de una investigación sobre el
significado que le asignan los estudiantes de primeros grados al signo de
igualdad. En este artículo se resalta la importancia de la comprensión adecuada
de dicho signo para encarar con éxito el estudio del álgebra. También se
presentaron algunas estrategias didácticas para trabajar con niños la elaboración
de ese significado.

Investigación sobre la Enseñanza y el Aprendizaje de la Trigonometría
Se han realizado muy pocas investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza
de la Trigonometría en la escuela. Una evidencia de esta escasez es que la
Trigonometría no aparece mencionada en el Handbook of Research on the
Teaching and Learning of Mathematics editado por Grouws (1992, citado en de
Kee, Moura y Dionne, s.f.). En esta sección haremos referencia a algunos de los
pocos trabajos que pudimos localizar en nuestra investigación bibliográfica sobre
el tema. (de Kee y otros, s.f., Doerr, 1996, Shama, 1998, Delice y Monaghan,
2003, Orhun, 200 y Balckett y Tall, 1991). Estos trabajos pueden ser
catalogados en cinco categorías: (1) estudio de la comprensión de conceptos
trigonométricos (de Kee y otros, s.f. y Shama, 1998), (2) estudio de las
concepciones erróneas y errores (Orhun, 2000), (3) estudio de la integración de
la trigonometría con otros tópicos (Doerr, 1996), (4) estudio del efecto del uso
de computadoras en el aprendizaje de la trigonometría (Blackett y Tall, 1991) y
(5) estudio comparativo de la enseñanza de la trigonometría (Delice y Monaghan,
2003).
De Kee y otros (s.f) estudiaron la comprensión de las nociones de las funciones
seno y coseno en estudiantes de secundaria. Estos autores aclaran que se
ocupan de la comprensión en un momento determinado y no en su desarrollo.
Basándose en un modelo constructivista propuesto por Herscovics y Bergeron
(1982), de Kee y otros (s.f.) distinguen cinco tipos de componentes de la
comprensión (1) inicial, (2) procedimental (3) abstracción, (4) formalización y (5)
global.
Los autores diseñaron un conjunto de tareas las cuales le propusieron a los cinco
estudiantes participantes durante una serie de entrevistas. Todos los estudiantes
pertenecían a la misma sección. Tomando en cuenta el modelo de Herscovics y
Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f) elaboraron una serie de criterios para
indagar acerca de la comprensión del seno y del coseno por parte de los
alumnos. Por ejemplo, relacionado con el componente abstracción propusieron un
texto a los alumnos sobre la invarianza de las razones trigonométricas respecto
al triángulo, es decir, las razones trigonométricas no varían si las dimensiones del
triángulo se reducen o se aumentan en longitud.
La comprensión de la noción de seno y coseno en los estudiantes de secundaria
fue estudiada por de Kee y otros (s.f) en dos contextos clásicos. El primero de
estos contextos fue el del triángulo rectángulo, mientras que el segundo fue el
contexto de la circunferencia trigonométrica. En ambos contextos se indagó
sobre la comprensión según los cinco componentes del modelo de Herscovics y
Bergeron (1982). El seno y coseno son vistos como razones de lados de un
triángulo rectángulo con hipotenusa En el primer contexto, el triángulo
rectángulo, se encontró que algunos estudiantes tienen problema en comprender
el seno y el coseno como razones sin unidad; no pueden calcular el seno o el
coseno a partir de un ángulo, emplean correctamente la notación trigonométrica;
reproducen correctamente la definición formal de seno y de coseno, y las aplican
correctamente al caso de un ángulo agudo en un triángulo dado; y en un
principio los alumnos sólo veían al seno y al coseno como fracciones, es decir, no
se consideraban expresar las fracciones resultantes como números con decimales
(por ejemplo, tomar 3 como 0,6).

Lección 1 17
En el contexto de la circunferencia trigonométrica, el seno y coseno son
presentados como funciones reales de variable real. Esta manera de ver las
funciones trigonométricas es estudiada en la lección 4. Al igual que en el
contexto anterior, de Kee y otros (s.f) le pidieron a los estudiantes que dijeran
cómo le explicarían a un compañero lo qué es una función trigonométrica. Se les
propuso a los estudiantes que harían a partir de una tabla con valores del seno
para ciento ochenta ángulos medidos en grados. Para algunos estudiantes cada
par de valores en la tabla representaba una función, para otros de los
estudiantes la tabla completa representaba una función trigonométrica. Otros
alumnos hicieron referencia al triángulo y otros a las gráficas. Ninguno de los
estudiantes hizo referencia a las funciones circulares. Una vez que los
investigadores les mencionaron estas funciones y les pidieron que hablaran sobre
ellas, sólo una alumna se dio cuenta que éstas y las funciones trigonométricas
están relacionadas.
Todos los estudiantes mostraron tener dificultades en comprender que una tabla
representa a una función, en general tenían problemas con el concepto de
función. Los estudiantes también mostraron tener dificultades para hallar el valor
del seno de un número real usando una cuerda y una circunferencia
trigonométrica.
De Kee y otros (s.f.) encontraron cuatro representaciones del seno y del coseno
entre los estudiantes de secundaria. La primera tiene que ver con las razones, la
segunda con las coordenadas cartesianas, la tercera con los valores que se
obtienen en una calculadora y, por último las curvas con aspecto ondulado. El
desempeño de los estudiantes en todas las tareas fue mejor en el primer
contexto que en el segundo. Los estudiantes mostraron no haber establecido
relaciones entre las diferentes representaciones del seno y del coseno antes
enumeradas. Si desea mejorar la comprensión es necesario promover y
fortalecer las relaciones entre esas representaciones. Por último, de Kee y otros
(s.f) resaltan que los estudiantes en general tenían dificultad para expresarse.
Por tanto, proponen que se den más a menudo oportunidades para la discusión
de temas de matemáticas en el aula.
Shama (1998) estudió la comprensión de la periodicidad con un proceso que
tiene una estructura Gestalt. Este trabajo de investigaciones fue realizado con
estudiantes israelíes de 3er grado hasta el grado 12. Este es un estudio que se
llevó a cabo en dos fases, la primera de tipo cualitativo en la que se observaron
clases y se realizaron entrevistas con los estudiantes. La segunda de tipo
cuantitativo consistió de una encuesta aplicada a 895 estudiantes de grado 11.
La periodicidad aparece en la naturaleza, por todos lados. Por ejemplo, la fases
de la luna y las estaciones. También encontramos patrones periódicos en algunas
manifestaciones culturales. La periodicidad es un concepto científico. Las
funciones periódicas son usadas para modelar un sin número de fenómenos en
biología, química,, física y en la tecnología. Este concepto cobra aún más
relevancia si lo vemos como necesario para comprender la conducta de sistemas
caóticos y sistemas no lineales. Los patrones periódicos juegan un papel de
relevancia en las matemáticas. Podemos concluir que es un concepto muy
general y de mucha relevancia (Shama, 1998, p.255).
Señala Shama (1999) que a pesar de la relevancia de este tema, hasta ese
momento no se había investigado sobre la comprensión de la periodicidad.

Shama decidió entonces centrar su investigación en este concepto. Para ello
adoptó como marco conceptual las ideas de concepto imagen y concepto
definición propuesta por Vinner (1991, citado por Shama, 1998, p 256).
Shama (1998) organiza la presentación de los resultados de su investigación en
tres grandes categorías. Estas categorías son la comprensión de la periodicidad
como un proceso, la identificación del período. Tanto los resultados de la
entrevista como los de la encuesta llevan a la conclusión que la mayoría de los
estudiantes concibe la periodicidad como un proceso. Este puede decir que el
concepto imagen de la periodicidad se basa en ejemplos dinámicos. Esto se debe
tanto a la enseñanza como a la experiencia diaria.
En las entrevistas se encontró con frecuencia el error de considerar fenómenos
no-periódicos como si fueran periódicos. Tomando en consideración los
resultados de la entrevista se diseñaron diferentes tipos de preguntas para
evaluar aún más esa relación. Muchos de los estudiantes mostraron una
comprensión incompleta de la periodicidad.
Los resultados acerca de la identificación del periódico fueron organizados en
cuatro grupos. El primer grupo fue identificado como la longitud del período.
Shama (1998) observa que una función con período de longitud r, también tiene
período de longitud nr, para, cualquier número natural n. Un período de longitud
mínima. Los estudiantes prefirieron identificar un período fundamental como el
período. Una conducta similar se encontró en los profesores. El segundo grupo
fue identificado como las características de los puntos extremos del período. La
mayoría de los estudiantes prefirieron identificar puntos de discontinuidad,
puntos extremos o puntos cero (de la forma (x, o) ó (o, y) como los puntos
extremos de un período. El tercer grupo tiene que ver con la localización del
período. En los resultados anteriores vimos que los estudiantes tienen preferencia
por el período fundamental y ciertas características de los extremos del período.
En esta parte de la investigación Shama (1998) explora si los estudiantes tienen
una preferencia particular por la localización del período. En efecto, los
estudiantes suelen escoger como período aquel que comienza en el extremo
izquierdo de la representación gráfica de una función periódica. Por ejemplo, en
el curso de un decimal periódico escoger como extremo inicial del período el
primer dígito a la derecha de la coma, les cuesta identificar como extremo inicial
del período a un dígito que esté “alejado” de la coma. En otras palabras, los
estudiantes tienden a localizar el período al comienzo de la representación gráfica
en el extremos izquierdo. Por último, encontramos los resultados sobre los
extremos del período. Algunos estudiantes piensan que los extremos de un
período tienen que ser iguales, para algunos incluso si un período termina y
comienza en extremos diferentes no es un período.
Shama (1998) concluye su artículo con una discusión sobre los resultados más
resaltantes de su investigación. Uno de estos resultados es el que tiene que ver
con la comprensión de la periodización como proceso. En particular, los
estudiantes tienden a confundir el proceso con sus productos, entonces
transfieren las propiedades del primero a los segundos. Entendida la periodicidad
como proceso, se concibe entonces como fenómeno dependiente del tiempo. Por
tanto, como un proceso que tiene un punto de inicio. Además, se tiende a asociar
una dirección de ocurrencia al período como proceso es la frente de muchos de
los errores que cometen los estudiantes. El otro resultado relevante discutido por
Shama (1998) tiene que ver con la teoría de la Gestalt escapa del objetivo de la

Lección 1 19
lección contar con más detalles sobre este asunto en particular. Para concluir,
nos interesa resaltar que Shama (1998) llama la atención sobre la necesidad de
investigar acerca de la influencia que tiene la enseñanza sobre estas maneras en
que los estudiantes comprenden la periodicidad.
Pasamos ahora a considerar la investigación de Orhun (2000) sobre errores y
concepciones erróneas en la enseñanza de la trigonometría. Para Orhun (2000) la
trigonometría es la unidad donde se juntan tópicos de aritmética, realidades
geométricas y relaciones trigonométricas. En la educación secundaria, la
enseñanza de la trigonometría se limita, en buena medida, a la obtención de
razones para un ángulo en particular. En la lección 9 estudiaremos este asunto
para el caso de la enseñanza de la trigonometría en Venezuela. En parte, este
énfasis en asuntos tan particulares es responsabilidad de los docentes quienes
muchas veces no le proveen a los estudiantes de oportunidades de aprendizaje
que lleven al aprendizaje de conceptos fundamentales en trigonometría.
En la enseñanza de la trigonometría en la escuela se debería considerar tanto las
necesidades futuras de los estudiantes como resultados de algunas
investigaciones en educación matemática. En cuanto al primer punto tenemos
que experimentar por parte de los estudiantes con la parte analítica de la
trigonometría es necesaria para el estudio del cálculo en la universidad. Sobre el
segundo asunto tenemos que el uso de diferentes sistemas de representación
(tablas numéricas, ecuaciones, gráficos) y la traducción entre ellos ayuda a la
mejor comprensión de la conceptos matemáticos.
En la investigación realizada por Orhun participaron 77 estudiantes de décimo
grado en Turquía. El estudio, tipo survey, se llevo a cabo mediante la aplicación
de un instrumento con 15 preguntas. En el artículo comentado aquí, Orhun
(2000) sólo presenta los resultados obtenidos en cuatro de esas preguntas. Dos
de estas preguntas tienen que ver con la relación entre la medida de un ángulo
con vértice en el centro de la circunferencia trigonométrica. Las otras dos
preguntas tienen que ver con la función seno. El desempeño de los estudiantes
en esta cuatro preguntas es bastante bajo. En las respuestas a las dos primeras
preguntas los estudiantes mostraron dificultad en la conversación entre medidas
de ángulos en grados a radianes. En cuanto a las otras dos preguntas, éstas
tenían que ver con el concepto de dominio de una función y con percibir un
número real como un ángulo en una función trigonométrica.
Orhun (2000) concluye que los estudiantes no desarrollan conceptos claros de
trigonometría, algunos de ellos usan la notación algebraica de manera informal,
la mayoría no comprende el concepto de trigonometría numérica, y la
trigonometría es comprendida como relaciones entre los ángulos y los lados de
un triángulo rectángulo. Orhun le atribuye todos estos errores y concepciones
erróneas en los estudiantes al método de enseñanza que predomina en las
escuelas. Para superar estos problemas, Orhun recomienda enseñar primero las
funciones trigonométricas como funciones reales y antes de entrar a tratar
problemas con ángulos, el uso de los gráficos de las funciones trigonométricas, y
determinar las posibles concepciones erróneas y elaborar métodos para
eliminarlas. Muchos de los problemas que encontramos en el aprendizaje de la
trigonometría se resolverían con una enseñanza que tome en cuenta estas
observaciones.

Algunos investigadores se han ocupado de estudiar la relación entre la
trigonometría y otras materias escolares. Por ejemplo, Doerr (1996) estudió la
integración entre la trigonometría, los vectores y la fuerza en un contexto de
enseñanza centrado en el modelaje matemático. Doerr (1996) reporta en este
trabajo la parte cualitativa de su investigación. En esta parte los datos fueron
recogidos de diversas fuentes, tales como grabaciones en video de las clases y
los cuadernos de apuntes de los estudiantes. En este estudio participaron 17
estudiantes, desde noveno hasta el doceavo grado, que aceptaron tomar un
curso integrado de álgebra, trigonometría y física.
Doerr (1996) nos recuerda que hay que distinguir en la enseñanza del modelaje
entre el enfoque exploración de un modelo y el enfoque construcción de un
modelo. En el primer caso los estudiantes exploran con un modelo las
posibilidades tales como fueron ya estudiadas por un experto. Entonces, desde
este enfoque se le permita al estudiante comprender la manera de pensar de un
experto sobre el problema particular propuesto al estudiante. En el segundo
enfoque se le provee a los estudiantes de oportunidades para expresar sus
propios conceptos, definir relaciones y explorar las consecuencias de esas
relaciones. En este enfoque se busca que los estudiantes investiguen sus propias
maneras de pensar sobre el problema propuesto. Según Doerr (1996) este
enfoque es el más útil, la construcción de modelos lleva a los estudiantes a que
hagan explícitas sus propias concepciones sobre las relaciones entre las variables
y examinar las consecuencias de las mismas. Dentro de este enfoque se incluye
el uso de herramientas computarizadas que faciliten la construcción de modelos.
Sin embargo, escogieron un enfoque que combina ambas aproximaciones.
En las clases que tomaban los estudiantes se les presentaba un evento físico y se
les pedía que hicieran explícitas sus propias representaciones, elegir las variables
y formular las relaciones entre ellas. Estas clases formaban parte de una unidad
curricular la cual fue diseñada de manera tal que integre tres componentes. 1) la
recolección de datos en un experimento físico, 2) desarrollar y explorar una
simulación por computadora y 3) analizar matemáticamente los datos (simbólico,
gráfico, tabulador y geométrico).
Uno de los resultados más interesantes reportados por Doerr (1996) es que los
estudiantes enfocaron desde cuatro puntos de vista diferentes las soluciones a
los problemas planteados. Esto se debió en parte a que el ambiente de
simulación por computadora proveyó a los estudiantes de herramientas flexibles
que les permitían explorar la situación y contribuir una representación que
tuviera sentido para ellos. Otro resultado reportado por Doerr (1996) es el de la
creciente complejidad en los modelos desarrollados por los estudiantes. A medida
que los estudiantes progresaban a lo largo de las clases, incorporaban varios
componentes del modelo, los integraban con componentes previos y los
extendían para responder a situaciones más complejas. Se produjo un
refinamiento de las conjeturas elaboradas por los estudiantes. A pesar de esto,
los estudiantes solían basarse más en las ecuaciones y la geometría para
desarrollar sus soluciones a expensas del uso de la simulación por computadora.
Doerr (1996) organiza las implicaciones de su estudio en dos grupos. En el
primer grupo incluye implicaciones para la enseñanza. Se concluye que este
enfoque integrado en la enseñanza de la trigonometría fomenta la diversidad de
razonamientos, la creatividad y el enriquecimiento de las respuestas mucho más
allá de lo que se logra en el aula normal de matemáticas. Sin embargo, todo lo

Lección 1 21
anterior no se logra fácilmente; como veremos más adelante, este enfoque
introduce al profesor en lo que Skovsmose (2001) llama una zona de riesgo (ver
la lección 5). Se requiere mejorar las actividades de manera tal que permitan
llevarlas a un cierre. En el segundo grupo, Doerr (1998) incluye las implicaciones
para el curriculum. Primero tenemos que un enfoque como el propuesto requiere
un curriculum que permita la exploración de un problema durante un prolongado
período de tiempo, muy distinto de lo que se hace dentro de un currículum
tradicional. Para que nos demos una idea de este asunto, tenemos que el
contenido cubierto durante los 35 días que duró el experimento, normalmente se
cubre en 10 ó 12 días en un ambiente tradicional. El segundo punto tiene que ver
con el contenido incluido en el curriculum. Desde la perspectiva propuesta por
Doerr (1996) el modelaje no es sólo una actividad agregada al curriculum.
Entonces, el curriculum se basaría en nociones centrales de las matemáticas, las
actividades de indagación de los estudiantes estarían guiadas por una pregunta
esencial a partir de la cual se generaron nuevos problemas. Este entorno
promocionó la investigación y mantuvo el interés de los estudiantes durante
todas las clases. Para concluir, Doerr (1996) resalta que implementar este
enfoque en el aula no es sencillo. Se requiere de una interpretación entre el
trabajo en pequeños grupos y la discusión con toda la clase.
Blackett y Tall (1991) realizaron un estudio sobre el uso de computadoras en la
enseñanza de la trigonometría y el género. Este estudio es del tipo experimental
y un grupo control. Blackett y Tall (1991) señalan que en Inglaterra, la evidencia
empírica muestra que aunque las hembras se desempeñan tan bien como los
varones en matemáticas en los primeros años, a medida que avanzamos en los
años de escolaridad comienzan a aparecer diferencias a favor de los varones, en
particular en los grupos de mayor habilidad. También se sabe que las hembras
resultan menos aventajadas que los varones en pruebas visuales-espaciales. Otro
resultado mencionado por Blackett y Tall (1991), observado en
experimentaciones anteriores, es que las hembras tienden más a la cooperación
mientras que los varones tienden más a la competencia. Por lo tanto, se
plantearon como hipótesis de su investigación si cierto software diseñado para
relacionar conceptos espaciales y datos numéricos y simbólicos es usado en la
enseñanza de la trigonometría entonces las hembras mejorarían en la percepción
de esas relaciones.
El experimento fue realizado en dos escuelas en Inglaterra, una de las escuelas
fue tomada como grupo control y la otra escuela fue considerada como grupo
experimental. Un pre-test administrado a todos los estudiantes confirmó que
había diferencias significativas entre ambos grupos. Luego le fueron
administrados dos post-test, uno se aplicó inmediatamente al finalizar el
tratamiento y el otro ocho semanas más tarde.
Blackett y Tall (1991) reconocen que la enseñanza inicial de la trigonometría está
llena de dificultades. Al principio, se le pide al estudiante que establezca
relaciones entre dibujos de triángulos y relaciones numéricos, trabajar con
razones y manipular símbolos involucrados en tales relaciones. Aquí enfrentamos
varios problemas. Primero, el uso de bosquejos de triángulos comunicaría la idea
que sólo se pueden obtener resultados precisos usando procedimientos
numéricos y si se usan dibujos estáticos en lugar de prestar atención a las
relaciones cambiantes dinámicamente. Segundo, otras dificultades aparecen
cuando el estudiante tiene que conceptualizar que pasa cuando un triángulo

rectángulo cambia de dimensiones en dos maneras esencialmente diferentes: (1)
en la medida que un ángulo agudo aumenta y la hipotenusa se mantiene fija, el
lado opuesto aumenta y el lado adyacente decrece, (2) los ángulos permanecen
constantes, el alargamiento de la hipotenusa por un factor dado cambia los otros
dos lados por el mismo factor (Blackett y Tall, 1991). Una manera de superar
estas dificultades es mediante la introducción de un software que permita la
manipulación dinámica de objetos matemáticos.
Blackett y Tall (1991) reportan que su experimento confirmó la hipótesis que el
grupo experimental, el cual uso el software, mejoró su desempeño respecto a los
estudiantes en el grupo control. En especial, las hembras en el grupo
experimental mostraron una mayor ganancia en ese mejoramiento que los
varones, excepto en el caso del grupo de los menos capaces. Además, concluyen
que el uso del software ayuda a los estudiantes a establecer relaciones entre las
habilidades visual y numérica.
Por último tenemos el estudio de Delice y Monaghan (2003) sobre las
herramientas usadas en la enseñanza de la trigonometría en Inglaterra y el
Turquía respectivamente. Este estudio se centra en dos asuntos. (1) el
desempeño de los estudiantes al hallar longitud y ángulos desconocidos a partir
de diagramas, simplificación de expresiones y resolución de problemas; y (2) los
contextos de aprendizaje: el curriculum, la evaluación, las prácticas en el aula y
la actitud de los profesores. Este estudio es el tipo estudio de casos múltiple
exploratorio. Los datos fueron recogidos mediante un test, entrevistas con los
estudiantes y profesores, y observaciones de clases. En este estudio participaron
60 estudiantes de 17-18 años de edad de ambos países. Para evaluar el
desempeño de los estudiantes se usó un instrumento con 16 preguntas. Sobre
álgebra (la mayoría de simplificación), 16 preguntas de simplificación
trigonométrica y 6 problemas del “mundo real”.
Veamos ahora los resultados obtenidos en cada una de las partes del instrumento
aplicado a los estudiantes. Los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeño
que los estudiantes ingleses en la primera parte del instrumento. En particular,
Delice y Monaghan (2003) resaltan que los estudiantes ingleses experimentaron
dificultad en especial con fracciones algebraicas, cancelando con frecuencia
equivocadamente. Todos los estudiantes tuvieron dificultad para responder la
segunda parte del instrumento, pero los estudiantes turcos tuvieron un mejor
desempeño que los estudiantes de Inglaterra. Algunos estudiantes manifestaron
en la entrevista que traducían la expresión trigonométrica, operaban con la
nueva expresión y luego la convertían otra vez a trigonométrica. Este método no
resultó muy útil en particular cuando se cometían errores en la manipulación
algebraica. Los estudiantes ingleses obtuvieron mejores resultados que los
estudiantes turcos en la tercera parte del instrumento. En particular, los
estudiantes turcos tienen problemas con representaciones tridimensionales y con
figuras donde aparecen más de un triángulo rectángulo.
En lo que respecta al uso de instrumentos Delice y Monaghan (2003) reportan
diferencias entre ambos países. En Inglaterra es común el uso de calculadoras y
de hojas con fórmulas en las clases de trigonometría. Mientras que en Turquía se
usan, aunque de manera marginal, las tablas trigonométricas. El uso de las
tablas aparece como un objetivo en los programas de matemáticas en ese último
país. Volveremos sobre este tema más adelante en la lección 9. Las herramientas
seleccionadas y la manera en que son usadas depende de la enseñanza de la

Lección 1 23
trigonometría en el aula, pero éstas no se encuentran relacionadas linealmente.
Más bien existe una relación dialéctica entre uso de herramientas y enseñanza.
Por ejemplo, en Inglaterra los estudiantes realizan problemas con ángulos de
cualquier magnitud, mientras que en Turquía se trabaja casi exclusivamente con
ángulos múltiplos de 15°. Lo anterior se debe al uso de calculadoras. Aún más,
en Inglaterra se enfatiza las funciones seno, coseno y tangente las cuales
aparecen como teclas en las calculadores. Como vemos, a diferencia de Orhun
(2000), Delice y Monaghan (2003) no asumen una simple relación de causalidad
entre la manera en que los profesores enseñan trigonometría y aquello que los
estudiantes aprenden.
Delice y Monaghan (2003) concluyen que la trigonometría en Inglaterra y en
Turquía están relacionadas pero resultan ser diferentes trigonometrías. En ambos
países las actividades que se realizan en el aula son diferentes”, hay diferencias
considerables en las herramientas y técnicas usadas; las acciones matemáticas
relacionadas al uso de las herramientas difieren; y las reglas de comportamiento
relacionadas con las actividades y uso de herramientas son distintas.
Hasta aquí pasamos revista a un conjunto de investigaciones sobre diferentes
aspectos de la enseñanza y aprendizaje de la trigonometría en la escuela. Cada
uno de estos trabajos se enfoca en problemas particulares de la enseñanza y el
aprendizaje de la trigonometría, usan diferentes metodologías, etc. Casi todos
ellos coinciden en que se han realizado muy pocas investigaciones; en este
campo a pesar de la importancia de este contenido en la escuela y de las
numerosas dificultades que muestran los estudiantes en su aprendizaje. A
continuación le proponemos una actividad relacionada con estas investigaciones.
Actividad 1.5
1. ¿Cuáles son los temas centrales tratados en cada una de las investigaciones
anteriores?
2. Haga una lista de los tipos de investigaciones, metodologías e instrumentos
usados en cada una de las investigaciones, identifique cuáles son los más
usados.
3. Haga un resumen con los resultados más relevantes reportados en cada una
de las investigaciones.
Referencias
Blackett, N. y Tall, D. (1991). Gender and th eversatile learning of trigonometry
using computer software. Ponencia publicada en The Proceedings of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education XV, Vol. 1
(pp. 144-151). Assisi, Italia. Disponible en: www.warwick.ac.uk/staff/
David.Tall/ pdfs/dot1991g-blackett-trig-pme.pdf
De Kee, S., Moura, y Dionne, J. (s.f.). La comprensión de nociones del seno y
el coseno en los alumnos de secundaria. Trabajo mimeografiado.
Delice, A. y Mohaghan, J. (2003). Tool use in trigonometry in two countries.
Documento en línea. Disponible en: http://cerme4.crm.es/Papers%
20definitius/ 9/Delice-Monaghan.pdf
Doerr, H. M. (1996). Integrating the study of trigonometry, vectors, and force
through modelling. School Science and Mathematics, 96, 407-418.

Orhun, N. (2000). Studen’s mistakes and misconceptions on teaching of
trigonometry. Trabajo en línea. Disponible en: http://math.unipa.it/
~grim/AOrhun.PDF
Picciotto, H. y Wah, A. (1993). A new algebra: Tools, themes, concepts.
Journal of Mathematical Behavior, 12(1). Disponible en:
www.picciotto.org/math-ed/new-algebra/new-algebra.html#geoboards
Shama, G. (1998). Understanding periodicity as a process with a Gestalt
structure. Educational Studies in Mathematics, 35, 255-281.
Usiskin, S. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. En A.
Coxford y A. P. Schulte (Comps.), Ideas of algebra, K-12 (1988 Anuario).
Reston: NCTM.

25
Unidad 1
Lección 2
Enseñanza del Álgebra y Justicia Social en la Escuela
Esta lección está dedicada a la reflexión sobre problemas relacionados con
la justicia social en la escuela, con el respeto a los derechos culturales y
educativos de todos los estudiantes. En particular, en esta lección se trata con
problemas relacionados con la “raza”, género y repitencia, entre otros. Las
matemáticas han sido utilizadas tradicionalmente, de manera consciente o
inconsciente, como un filtro. Como un mecanismo para seleccionar a los más
“aptos” según determinada ideología. Aquí proponemos un cambio de metáfora,
las matemáticas más bien deben funcionar como un trampolín que impulse el
desarrollo de los estudiantes en la escuela y en la vida diaria. Las matemáticas
como una herramienta para el “empoderamiento” de los que sobreviven, como
los llama Paulo Freire.
Las matemáticas, y en particular los contenidos de álgebra, constituyen un
obstáculo, una puerta que no permite que todos avancen en el sistema escolar en
condiciones similares. Podemos decir que el álgebra es una puerta que se
mantiene cerrada para la mayoría de los estudiantes.
Para Muchos la Puerta Está Cerrada
Piccitto y Wah (1993) sostienen que el problema no es si enseñar o no álgebra a
los estudiantes de secundaria en los Estados Unidos, sino más bien cómo
enseñarla. El enfoque tradicional, que también predomina en Venezuela, ha
demostrado ser terriblemente ineficiente en cuanto a la promoción del
aprendizaje del álgebra por parte de un gran número de estudiantes. Por tanto,
es tiempo de abandonar ese enfoque y de pensar en uno nuevo. Un enfoque
nuevo que sea fundamentalmente diferente al que se quiere sustituir. Para
elaborar ese nuevo enfoque se requiere identificar las limitaciones del enfoque
tradicional. Picciotto y Wah (1993) identifican cinco limitaciones principales: 1)
unidimensionalidad, 2) autoritarismo, 3) sin sentido aparente, 4) dicotomía
habilidades/enriquecimiento y 5) organización de los tópicos. Veamos detalles de
cada una de estas limitaciones.
1) Se hace un énfasis exagerado en la manipulación de símbolos que
resulta demasiado abstracta para la mayoría de los estudiantes, para
otros, resulta aburrida. A falta de un contexto concreto para la
comunicación, la clase queda prácticamente dividida en dos grupos
aquellos que “entienden el truco” y el resto que no logra captarlo.
2) Todo conocimiento proviene del profesor. El fin es manipular
símbolos y el profesor es la única fuente de información sobre como
manipularlos correctamente. Los estudiantes dependen de la

memorización de algoritmos, y como ésta es una tarea que realizan
mejor las computadoras que los humanos, ellos con frecuencia los
olvidan y se encuentran desamparados.
3) El trabajo parece completamente desconectado de las situaciones
que los estudiantes encuentran fuera del aula, o aún en otras ramas
de las matemáticas o de otras ciencias.
4) La resolución de problemas es relegada para actividades de
enriquecimiento y está divorciada del propósito principal del curso, el
cual es la adquisición de habilidades limitadas por medio de la
práctica repetitiva.
5) Los tópicos son enseñados en capítulos autosuficientes. Los
estudiantes tienen un tiempo insuficiente para absorber una idea
nueva antes de pasar a la siguiente. Aún los problemas con
enunciado son construidos para evaluar una sola habilidad, en lugar
de apoyarse o ejercitar el reservorio entero del conocimiento
matemático del estudiante. (Picciotto y Wah, 1993)
Esta lista de limitaciones identificadas por Picciotto y Wah se refiere a asuntos
curriculares y pedagógicos. Estas deficiencias se encuentran enraizadas en la
esencia misma de la manera como se enseñan actualmente las matemáticas en
la escuela y en particular los contenidos de álgebra. Entonces, estos autores
señalan que cambios en ciertos aspectos del enfoque tradicional no nos
conducirán a ninguna parte, lo que se requiere es una nueva Álgebra. Esta
nueva Álgebra contendría cambios fundamentales tanto en el contenido como en
lo pedagógico (Picciotto y Wah, 1993).
Actividad 2.1
Escriba un ensayo breve donde desarrolle su opinión sobre la caracterización que
hacen Picciotto y Wah (1993) del álgebra escolar. Señale si algunas de estas
características se aplican al caso venezolano y explique como se manifiestan.
Una Nueva Álgebra
Picciotto y Wah (1993) sostienen que la manera de lograr una mayor justicia
social y equidad en la enseñanza del álgebra en la escuela secundaria
estadounidense es cambiar radicalmente los contenidos y las maneras en que
enseñamos esta rama de las matemáticas. Algunos elementos de la propuesta
de Picciotto y Wah fueron presentados en la lección anterior. Volveremos a
considerarla más adelante.
Kaput (1998) , de manera similar que Picciotto y Wah (1993), plantea que el
álgebra es actualmente una máquina de iniquidad la cual debe ser transformada
en una máquina de empoderamiento matemático. Igualmente plantea que lo
anterior no se logra introduciendo modificaciones menores en la manera como
estamos enseñando actualmente los tópicos de álgebra en la escuela. Kaput
también propone que es necesario redefinir el álgebra que enseñamos
actualmente en la escuela.
No entraremos en más detalles aquí sobre las propuestas de Picciotto y Wah
(1993) y de Kaput (1998) respectivamente. Lo importante de resaltar es que
encontramos básicamente dos posiciones respecto al problema de la justicia

Lección 2 27
social y la enseñanza del álgebra. Por un lado tenemos aquellos que piensan que
la solución está en redefinir totalmente lo que llamamos álgebra escolar y la
manera como la hemos venido enseñando en nuestras aulas. Por el otro lado
encontramos aquellos que sostienen que la solución está en buscar maneras de
enseñar, y lograr que todos los estudiantes, aprenden el álgebra tal cual como
está planteada actualmente. Dentro de esta segunda opción se encuentra el
matemático estadounidense afro-descendiente Robert P. Moses. Las ideas de
Moses las encontramos en Lectura 2 en la Selección de Lecturas.
Para profundizar en el estudio de la iniquidad y la injusticia social promovida por
la actual enseñanza de las matemáticas en la escuela usted tiene que leer la
Lectura 2 incluida en la Selección de Lecturas. En dicha lectura presentamos el
caso particular de la lucha de la población de afro-descendiente en los Estados
Unidos por la justicia social en la enseñanza del álgebra en la escuela.
Actividad 2.2
1. Describa en pocas palabras la línea central del argumento de Moses y Cobb
(2001). Nota: Le sugerimos que lea detenidamente las primeras tres
páginas de la Lectura 2 y tome en cuenta la transición de los razonamientos
a partir de la situación política de los afro-descendientes en Estados Unidos.
2. ¿Qué papel juega el cambio tecnológico en la manera como concebimos la
educación?
3. ¿Tienen los padres y la sociedad la misma actitud hacia el aprendizaje de las
matemáticas que el aprendizaje de otras asignaturas? Explique.
4. ¿Cómo caracterizan Moses y Cobb la relación de los afro-descendientes con
la tecnología?
5. ¿Cuál es la situación de estudiantes provenientes de las minorías en las
matemáticas universitarias?
6. ¿Cuáles serían las repercusiones de no aprender matemáticas entre los
estudiantes afro-descendientes en Estados Unidos?
7. ¿Qué papel juega el álgebra en la exclusión de los estudiantes del sistema
escolar?
8. ¿Cuáles son los planteamientos principales de Moses y Cobb para una nueva
organización del álgebra?
9. ¿Por qué se dice que el Proyecto Álgebra es radical?
10. ¿Cuáles elementos de los argumentos de Moses y Cob se aplican a la
realidad venezolana?
11. ¿Cree usted que existe en Venezuela el mismo nivel de discriminación en
través de las matemáticas escolares, en particular el álgebra, que en los
Estados Unidos? ¿Es nuestro sistema escolar más justo?
Referencias
Kaput, J. (1998). Transforming algebra from an engine of inequity to an engine
of mathematical power by “algebrafying” the K-12 curriculum. In National
Council of Teachers of Mathematics & Mathematical Sciences Education

Board (Eds.), The nature and role of algebra in the K-14 curriculum:
Proceedings of a National Symposium (pp. 25-26). Washington, DC:
National Research Council, National Academy Press.
Picciotto, H. y Wah, A. (1993). A new algebra: Tools, themes, concepts.
Journal of Mathematical Behavior, 12(1). Disponible en:
www.picciotto.org/math-ed/new-algebra/new-algebra.html#geoboards

29
Unidad 2
Lección 3
Desarrollo del Pensamiento Algebraico
Normalmente hablamos de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra y de la
trigonometría. Esta manera de hablar pone el énfasis en el contenido. Cada vez
es más común cambiar de énfasis y hablar entonces de pensamiento algebraico y
pensamiento trigonométrico. Como vemos se cambia el énfasis en el desarrollo
del pensamiento algebraico en lugar del mero contenido. Ese es precisamente el
tema que nos ocupa en esta lección.
Después de haber tenido la oportunidad de estudiar algunas investigaciones
sobre el aprendizaje del álgebra y problemas de injusticia social en la enseñanza
del álgebra en la escuela, pasaremos ahora a considerar el tema del pensamiento
algebraico y trigonométrico, y su desarrollo.
Álgebra
¿Qué es el álgebra?
En la Lección 1 le dedicamos un buen tiempo a estudiar una serie de definiciones
del álgebra. Revise esas definiciones. A continuación le presentamos otra
definición de esta rama de las matemáticas.
Para Piaget y Garcia (1984) el álgebra es “... la ciencia de las estructuras
generales comunes a todas las partes de las matemáticas, incluyendo la lógica”
(p. 161). Esta definición es característica de los autores que se posicionan
dentro de la corriente estructuralista al estilo Bourbaki. Aunque, estos mismos
autores reconocen que el álgebra se consolidó como disciplina independiente
durante un largo período que se caracterizó por el estudio de la resolución de
ecuaciones como tema único.
Esta definición, como usted ya lo habrá notado, tiene elementos en común con la
definición del grupo Bourbaki. Consideramos esta definición de Piaget y Garcia
porque estos autores ofrecen, como veremos más adelante, un enfoque muy
interesante sobre el desarrollo del pensamiento algebraico.
Orígenes y desarrollo del álgebra
La determinación del origen del álgebra dependerá de la definición del álgebra
que asumamos. Si concebimos al álgebra como el arte de resolver ecuaciones
tendríamos que ésta tendría un origen muy remoto y cuyo desarrollo alcanzaría
su punto más alto en el trabajo de Vieta. Por el contrario, si asumimos el álgebra
como el estudio de las estructuras algebraicas, entonces tendríamos que su
origen es bastante reciente y su desarrollo vertiginoso durante el siglo XX.

Es ocioso ponerse a trazar el origen del álgebra, como de cualquier otro campo
de las matemáticas, a una persona o civilización. Las matemáticas son un
fenómeno pan-humano, esto quiere decir que muchas personas y civilizaciones
contribuyen a su desarrollo. Cuando nos referimos al origen del álgebra nos
referimos más bien a las fuentes de ideas y problemas en que surgen.
Desde el punto de vista clásico, el origen del álgebra es localizado en la
aritmética. En el cuadro siguiente, elaborado por Sfard y Linchevski (1994),
podemos ver un ejemplo de esquema de desarrollo del álgebra elaborado desde
el punto de vista clásico.
Cuadro 1. Etapas en el desarrollo del álgebra
Tipo Etapa Nuevo interés
por
Representación Hechos históricos
1. Aritmética
generalizada
1.1. Operacional 1.1.1. Cálculo
numérico
Verbal
(retórica)
Papiro Rhind, c.
1650 B.C.
Mixta
Verbal+simbólica
(sincopada)
Diofanto, c. 250
A.D.
1.2. Estructural 1.2.1. Producto
(Numérico)
del cálculo
(algebra de
un valor
fijo)
Simbólica
(letra como
incógnita)
Siglo XVI,
principalmente
Vieta (1540-1603)
1.2.2. Función
(numérica)
(algebra
functional)
Simbólica
(Letra como
variable)
Vieta, Liebniz
(1646-1716),
Newton (1642-
1727)
2. Álgebra
abstracta
2.1. Operacional Procesos sobre
símbolos
(combinaciones de
operaciones)
Simbólica
(Letras sin
significado)
Escuela formalista
inglesa (de Morgan,
Peacock, Gregory),
desde 1830
2.2. Estructural Estructuras
abstractas
Simbólica Siglos XIX y XX;
teoría de grupos,
anillos, campos,
etc., álgebra lineal
(Sfard y Linchevski, 1994).
En la columna titulada “Representación” podemos ver que la evolución de la
notación en el álgebra ha pasado básicamente por tres etapas. Estas etapas son
comúnmente denominadas como retórica, sincopada y simbólica
respectivamente. Cada una de estas etapas tiene asociado un uso de las letras.
Sfard y Linchevski (1994) distinguen dos tipos de álgebra: aritmética
generalizada y abstracta, y dentro de cada tipo identifican dos etapas:
operacional y estructural. En cada una de estas etapas se manifiesta un nuevo
interés por determinados objetivos matemáticos. Tenemos así que en la etapa
estructural del álgebra como aritmética generalizada encontramos un nuevo
interés por las funciones, en cuyo estudio se usan las letras como variables.

Lección 3 31
Desarrollo del pensamiento algebraico
El desarrollo del pensamiento algebraico puede ser descrito en términos de
sucesión de tres etapas, las cuales se denominan como: intra-operacional, inter-operacional
y trans-operacional (Piaget y Garcia, 1984). A continuación
describimos cada una de estas etapas.
(...). La etapa intra-operacional está caracterizada por relaciones
intra-operacionales que se presentan bajo formas aislables sin
transformaciones de una a otra que impliquen la existencia de
invariantes y sin composición entre ellas que conduzcan a definir
estructuras.
La etapa inter-operacional está caracterizada por correspondencia y
transformaciones entre las formas aislables de la etapa anterior, con
los invariantes que tales transformaciones exigen.
La etapa trans-operacional está caracterizada por la construcción de
estructuras cuyas relaciones internas corresponden a las
transformaciones inter-operacionales. (Piaget y Garcia, 1984, p. 134)
Para estos autores, la constitución del álgebra como disciplina independiente se
caracterizó por la resolución de ecuaciones, la cual fue su tema central y único
durante mucho tiempo. Veamos como Piaget y Garcia (1984) plantean las
etapas antes señaladas para el caso específico de la resolución de ecuaciones.
Durante un primer período, extremadamente prolongado, no se trata
sino de la resolución de ecuaciones específicas. El método que se
aplica es puramente “empírico”, por tanteos sucesivos. Cada ecuación
es objeto de un tratamiento particular. Estamos sin duda, en un
período intra-operacional.
No es sino hasta el siglo XVIII que comienza la búsqueda de métodos
más generales y de plantear, asimismo, problemas generales tales
como la existencia o no existencia de soluciones. Las
transformaciones de ecuaciones que pueden permitir reducir una
ecuación no resuelta a una ecuación resoluble dominan ampliamente
las investigaciones. Aquí, como en el caso de la geometría, el análisis
va a desempeñar un papel fundamental. Lagrange y Gauss son, entre
otras, las grandes figuras de este período que constituye, desde
nuestro punto de vista, un período inter-operacional.
Con Galois y el desarrollo de la teoría de los grupos—primera
estructura tematizada en matemáticas—culmina la historia de la
resolución de ecuaciones y comienza el predominio del análisis de
estructuras. Este es el punto de partida de un largo período trans-operacional.
(pp. 156-157)
Actividad 3.1
Considere las etapas del desarrollo del álgebra según Sfard y Linchevski (1994) y
las etapas del desarrollo identificadas por Piaget y Garcia (1984) y establezca las
semejanzas entre ambos enfoques.
Si bien usted se está formando para enseñar mejor las matemáticas de la II
Etapa de EB y la EMDP, no podemos ignorar los problemas de la enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas en etapas anteriores. Por tanto, la Lectura 4
está dedicada al desarrollo del pensamiento algebraico en los primeros grados.
Reconocemos que la formación en los tres primeros grados de la EB es de
particular importancia para el desarrollo posterior de los estudiantes en
matemáticas.
Actividad 3.2
Esta actividad es referida a la Lectura 4 de la Selección de Lecturas.
1. Resuelva el Problema de la Proporción planteado en la Figura 1 antes de leer
las soluciones propuestas en la Lectura 4. ¿Cuál estrategia usó usted?
2. Describa las principales diferencias entre las estrategias algebraica y
aritmética respectivamente.
3. Resuelva el Problema Promedio. ¿Cómo lo resolvió?
4. Describa brevemente con sus propias palabras la enseñanza del álgebra en
China.
5. Escriba un ensayo breve de una página señalando la relevancia del trabajo
reportado en la Lectura 4 para la realidad venezolana.
De la Lectura 4 podemos concluir que en distintos sistemas educativos
encontramos enseñanzas diferentes de las matemáticas. En particular, tenemos
que en unos se enfatizan las estrategias algebraicas, como en China, y en otros
las estrategias aritméticas y de medición, como en los Estados Unidos. Una
situación similar encontramos en la investigación de Delice y Monaghan (2003)
presentada en la Lección 1 acerca de las diferencias en el uso de herramientas en
la enseñanza de la trigonometría en Turquía e Inglaterra.
Para concluir esta sección, podemos decir que tanto el álgebra como el
pensamiento matemático en los individuos han pasado por un largo proceso de
desarrollo, el cual no se ha detenido. Tenemos que tomar en cuenta ese proceso
de desarrollo al momento de considerar la enseñanza, al aprendizaje y la
evaluación en álgebra.
Trigonometría
Al igual que en la sección anterior, antes de iniciar nuestras consideraciones en
torno al pensamiento trigonométrico tenemos que aclarar qué entendemos por
Trigonometría.
¿Qué es la trigonometría?
La trigonometría es considerada por algunos autores como una geometría
computacional. En sus inicios, la trigonometría comenzó como el componente
computacional de la geometría. Por ejemplo, una proposición de la geometría
establece que un triángulo es determinado por un lado y dos ángulos. En otras
palabras, dado un lado de un triángulo y dos ángulos en el triángulo, entonces
los otros dos lados y el otro ángulo están determinados. La trigonometría incluye
los métodos para calcular esos otros dos lados. El ángulo restante se halla
fácilmente ya que la suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180 grados.

Lección 3 33
Las funciones trigonométricas como el seno, coseno y tangente son usadas en
cálculos en trigonometría. Estas funciones relacionan medidas de ángulos a
medidas de segmentos de rectas asociados.
Origen de la Trigonometría
A continuación transcribimos una breve historia de la trigonometría elaborada por
Lydia Bobakova (2004).
La historia de la trigonometría se remonta a los primeros registros
matemáticos en Egipto y Babilonia. Los babilonios establecieron la
medición de ángulos en grados, minutos y segundos. No fue sino
hasta el tiempo de los griegos, sin embargo, que una cantidad
considerable de trigonometría existió. En el siglo II antes de nuestra
era, el astrónomo Hiparco compiló una tabla trigonométrica para la
resolución de triángulos. En su gran manual de astronomía, El
Almagesto, Tolomeo proveyó una tabla de cuerdas en pasos de 1°,
desde 0° hasta 180°, esto es con una exactitud de 1/3600 de una
unidad. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, sin embargo, los
astrónomos de la India habían desarrollado un sistema trigonométrico
basado en la función seno en lugar de la función cuerda de los griegos.
Esta función seno, a diferencia de la moderna, no era una razón sino
simplemente la longitud del lado opuesto al ángulo en un triángulo
recto de hipotenusa fija.
A finales del Siglo XVII, los astrónomos musulmanes heredaron tanto
las tradiciones griegas como las de la India, pero ellos prefirieron la
función seno. A finales del Siglo X ellos habían completado el seno y
las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios
teoremas básicos de la trigonometría para los triángulos planos y
esféricos. Varios matemáticos sugirieron usar r = 1 en lugar de r =
60, éste produce exactamente los valores modernos de las funciones
trigonométricas. Finalmente, el gran astrónomo Nasir ad-Din at-Tusi
escribió el libros la Figura Transversal, el cual fue el primer
tratamiento de la trigonometría plana y esférica como ciencia
matemática independiente.
En la mitad del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencia e
integral. Uno de los fundamentos de su trabajo fue la representación
de Newton de muchas funciones como series infinitas de potencias de
x. Entonces Newton encontró la serie sen(x) y series similares para el
cos(x) y tan(x). Con la invención del cálculo, las funciones
trigonométricas fueron tomadas por el análisis, donde aún juegan un
papel importante en las matemáticas puras y aplicadas.
Finalmente, en el siglo XVIII el matemático suizo Leonardo Euler
definió las funciones trigonométricas en términos de los números
complejos. Esto convirtió a todo el campo de la trigonometría en una
aplicación de los números complejos, y mostró que las leyes básicas
de la trigonometría eran simplemente consecuencia de la aritmética de
esos números.
[Traducción: Julio Mosquera]

Desarrollemos un poco más algunas de las ideas expuestas anteriormente.
Como vemos la trigonometría se nutre de adelantos logrados en diversas culturas
o civilizaciones. Ésta tiene sus orígenes en las matemáticas y la astronomía
elaborada por babilonios, griegos, indios y árabes preocupados por el estudio de
las esferas y de los triángulos esféricos. Recordemos que antes del siglo XVI,
para los astrónomos la Tierra se encontraba en el centro de una serie de esferas
encajadas. La adopción de este modelo motivó el desarrollo de la trigonometría
esférica para calcular la posición de las estrellas o de los planetas.
Figura 1. Modelo del universo como esferas concéntricas.
(Fuente: http://www.hps.cam.ac.uk/starry/sacroarmill.html)
Como menciona Bobakova (2004) en su escrito, los primeros usos de las
funciones trigonométricas estaban relacionados con las cuerdas de una
circunferencia, y el reconocimiento de la longitud de la cuerda subtendida por un
ángulo dado x. En la terminología actual diríamos que los matemáticos de esa
época estaban realmente trabajando con la función 2 sen (x/2).
Los matemáticos de la India, bajo la influencia de los trabajos babilónicos y
griegos, elaboraron aún más la trigonometría. En algunos de los tratados
matemáticos hindúes como Aryabhata contienen tablas de medias cuerdas,
conocidas con el término jya-ardha o simplemente jya, el cual tiene la siguiente
relación con nuestro concepto moderno de seno: jya x = r sen x, como se
muestra en la figura 2.
Figura 2. Dibujo de una media cuerda de una circunferencia.
[Fuente: George Gheverghese Joseph, 2000. The Crest of the
Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, new ed.
Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 282.]

Lección 3 35
En la figura 2 tenemos que Jya representa la media cuerda AM. Desde la India la
función seno fue introducida en el mundo árabe en el siglo VIII, donde el término
jya fue transliterado en jiba o jyb. Las primeras traducciones al latín de tratados
matemáticos árabes erróneamente tomaron jiba por la palabra árabe jaib, la cual
puede significar la apertura de un vestido de mujer en el cuello. Por
consiguiente, jaib fue traducido al latín como sinus, el cual significa “doblaje” (en
un traje), “seno”, “mirador”, y hasta “curva”. De allí proviene nuestra palabra en
español “seno”.
Otro conjunto de funciones trigonométricas, la tangente y la cotangente, se
desarrollaron del estudio de las longitudes de las sombras producidas por objetos
de varias alturas. Tales de Mileto usó longitudes de sombras para calcular la
altura de las pirámides cerca del año 600 de nuestra era. Los matemáticos
hindúes y árabes desarrollaron una tradición trigonométrica basada en longitudes
de sombras, una tradición que, a su vez, influyó sobre las matemáticas europeas.
Las funciones secante y cosecante derivaron de tablas usadas por navegantes en
el siglo XV.
El término Trigonometría apareció por primera vez como el título de un libro, la
Trigonometria de Bartolomeo Pitiscus la cual fue publicada en 1595. En este libro
la trigonometría era asumida como la medida de triángulos. Lo anterior nos
indica que la aparición del término trigonometría no estuvo asociado a las
actividades reales que dieron origen a esta rama de las matemáticas. De allí la
confusión que tienen muchos autores de libros de texto y profesores de
matemáticas acerca del origen de la trigonometría.
De esta parte podemos concluir que primero se originó la trigonometría esférica,
estrechamente ligada a la astronomía, que la trigonometría plana, varias
civilizaciones o culturas han contribuido al desarrollo de la trigonometría.
Aunque los matemáticos, astrónomos y otros técnicos realizaron importantes
desarrollos en el campo de la trigonometría, la mayoría relacionados con la
astronomía y otras actividades prácticas, no fue sino hasta finales del Siglo XVI
que se adoptó el término trigonometría para referirse a ese campo específico de
las matemáticas.
Desarrollo del pensamiento trigonométrico
Como ya dijimos en la Lección 1, contamos con muy pocas investigaciones en
educación matemática sobre el desarrollo del pensamiento trigonométrico. En la
bibliografía encontramos trabajo de investigación relacionados con la formación
de conceptos específicos (de Kee y otros, s.f.) y sobre propuestas didácticas
(Doerr, 1996). Por tanto, no contamos con modelos del desarrollo del
pensamiento trigonométrico como lo que tenemos para el pensamiento
algebraico o para el pensamiento geométrico. Por ahora, contamos con
resultados aislados obtenidos en diversas investigaciones tales como las
presentadas en la Lección 1. ¿Qué nos dicen esas investigaciones?
De las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría
presentadas en la Lección 1 podemos decir que algunas de las dificultades que
los estudiantes tiene en apropiarse de los contenidos de la trigonometría están
relacionadas con problemas en el aprendizaje de otros conceptos matemáticos.
Dos de estos conceptos matemáticos son el de razón, de ángulo y de función.
Sabemos que los estudiantes tienen problemas para aprender de razones, así

como el de proporciones. El concepto de ángulo no es aprendido con facilidad
por los estudiantes. Una dificultad adicional es que los alumnos estudian el
concepto de ángulo por primera vez en geometría, luego en trigonometría se
tiene que abandonar esas ideas de ángulo. Sobre este asunto volveremos más
adelante. También se han documentado las numerosas concepciones erróneas y
errores que cometen los estudiantes al trabajar con funciones. Estos tres
conceptos son fundamentales para una comprensión adecuada de los conceptos y
procedimientos que se estudian en trigonometría. Además, tenemos las
dificultades que encuentran los estudiantes en el estudio de conceptos propios de
la trigonometría, tal es el caso de la periodicidad. Shama (1998), ver Lección 1,
nos muestra todas las concepciones erróneas que presentan los estudiantes al
identificar situaciones periódicas y sus elementos. En general, las
investigaciones sugieren que la enseñanza de la trigonometría se inicie por el
estudio de las funciones trigonométricas en contextos dinámicos, en especial con
la ayuda de tecnologías como calculadoras y aplicaciones en computadora.
Concluimos esta sección resaltando que el problema de la construcción de un
modelo para el razonamiento trigonométrico sigue sin solución.
Referencias
Bobakova, L. (2004). Project a didactic situation: The basic trigonometrical
equations. Documento en línea. Disponible en:
http://www.fmph.uniba.sk/~kzdm/projekty/talianske/progetto3.pdf
Piaget, J. y Garcia, R. (1984). Psicogénesis e historia de la ciencia. México:
Siglo XXI.
Sfard, A. y Linchevski, L. (1994). The gains and pitfalls of reification: The case
of algebra. Educational Studies of Mathematics, 26, 191-228.
Shama, G. (1998). Understanding periodicity as a process with a Gestalt
structure. Educational Studies in Mathematics, 35, 255-281.

37
Unidad 2
Lección 4
Estudio de las Funciones Periódicas
Comprender las funciones circulares no es una tarea fácil. Estas funciones
aparecen por primera vez en el programa de estudio del Primer Año de la
Educación Media Diversificada y Profesional, para ese momento el estudiante
posiblemente ni siquiera se ha formado un concepción completa de la relación
funcional entre dos variables. Lo anterior dificulta aún más la comprensión de las
funciones circulares. Esta lección está dedicada pues al estudio de las funciones
circulares y las dificultades que enfrenta el profesor en su enseñanza y el
estudiante en su aprendizaje.
Esta lección está formada por dos partes básicas. En la primera haremos un
repaso de las funciones periódicas. Nos interesa resaltar su importancia en el
estudio de la trigonometría. En la segunda parte pasaremos revista a una
investigación sobre la formación del concepto de función periódica en
estudiantes.
Las funciones periódicas constituyen el corazón de la Trigonometría. Antes de
entrar en el estudio de este tipo de funciones usted debe realizar la actividad
siguiente.
Actividad 4.1
Esta actividad requiere que usted vea el video Ondas. Una vez
que vea el video responda las preguntas siguientes:
1. ¿Cómo se inicia el movimiento ondulatorio del agua?
2. ¿Qué son cimas y valles?
3. Describa el movimiento ondulatorio.
4. Describa el movimiento oscilatorio
5. Señale las principales semejanzas y diferencias entre estos
dos tipos de movimientos.
6. ¿Qué es la posición de equilibrio de una partícula?
7. Describa con sus propias palabras qué es un fenómeno
periódico.
8. ¿Qué es una onda?
9. ¿Qué relación existe entre la oscilación y la onda?

10. Defina pulso
11. ¿Cómo se clasifican las ondas? Ilustre cada caso con
ejemplos.
12. Defina período, frecuencia, amplitud y longitud de onda.
13. ¿Qué es un nodo?
14. Escriba un breve ensayo sobre las ondas y que papel juega la
trigonometría en su estudio.
Funciones periódicas
Decimos que una función f es periódica si existe un número real positivo p tal que
f(x) = f(x + p)
para todo x en el dominio de f. El menor número p para el cual f es periódica es
denominado período de f.
Actividad 4.2
Describa tres situaciones que podrían ser modeladas por funciones periódicas.
Funciones circulares
Las funciones circulares se definen como aquellas funciones que describen las
posiciones vertical y horizontal de un punto sobre una circunferencia, tales como
la función del ángulo (seno y coseno) y todas aquellas funciones derivadas de
ellas (http://mathworld.wolfram.com/CircularFunctions.html).
Siguiendo con Wolfran, tenemos que las funciones circulares también reciben el
nombre de funciones trigonométricas. Partiendo de esta definición podemos
definir a la trigonometría como el estudio de las funciones circulares.
Actividad 4.3
¿Cuál es la relación entre las funciones periódicas y las circulares?
¿Qué es una función? ¿Cómo es eso de las posiciones vertical y horizontal? Una
función f es un regla que la asigna a todos los elementos de un conjunto dado A
uno y sólo un elemento en el conjunto B. Denominamos f(x) al valor de la
función f en x. En nuestro caso particular consideramos las funciones circulares.
Esto es, asumimos una circunferencia de radio 1 y con centro en el origen O,
tomamos un punto P cualquiera sobre la circunferencia y el segmento OP. Para
cada medida en radianes del ángulo que forma el segmento OP con el eje X,
este ángulo se mide en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.
Tenemos así una correspondencia entre las medidas del ángulo en radianes y el
punto P correspondiente sobre la circunferencia unitaria.

Lección 4 39
Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/
Partiendo de la situación anterior podemos definir dos funciones que asocien a
cada medida del ángulo t una y sólo una posición horizontal o vertical. Primero,
podemos definir la función que le asigna a cada valor de t la longitud x. Es decir,
esta función está definida por el conjunto de pares ordenados (t, x), ésta es la
función coseno. Segundo, le asignamos a cada valor t la longitud y. Es decir,
esta función está definida por el conjunto de pares ordenados (t, y), ésta es la
función seno.
En la figura siguiente se muestra como estas funciones están relacionadas según
un triángulo rectángulo.
Si nos imaginamos al punto P moviéndose sobre la circunferencia en el sentido
contrario al de las agujas del reloj, podemos ver como las longitudes de los lados
del triángulo rectángulo cambian y la hipotenusa se mantiene constante.
Veamos en la figura siguiente algunos casos particulares.
¿Cuál es la gráfica de estas funciones circulares? Una función se expresa
también como un conjunto de pares ordenados. A la primera de estas funciones
se representa mediante el conjunto de puntos (t, x) = (t, f(t)) ó (t, cos(t)). La
segunda función se expresa en pares ordenados de la forma (t, y) = (t, f(t)) ó (t,
sen(t)). A partir de estos conjuntos de pares ordenados podemos hacer una
gráfica de cada una de estas funciones circulares.

Consideremos algunas medidas muy particulares del ángulo t. Estos es, cuando
el punto P se encuentra en las intersecciones de la circunferencia con los ejes.
Ángulo t en
radianes
0 /2  3/2 2
P(x,y) (1, 0) (0, 1) (-1, 0) (0, -1) (1, 0)
X = cos(t) 1 0 -1 0 1
Y = sen(t) 0 1 0 -1 0
Grafiquemos estos pares de puntos sobre sendos ejes de coordenadas
cartesianas.
Considere otros valores de t y bosqueje las gráficas de cada una de estas dos
funciones circulares para el rango de t indicado en las figuras anteriores.
A continuación mostramos la gráfica de la función seno.
Fuente: http://mathworld.wolfram.com/PeriodicFunction.html

Lección 4 41
Actividad 4.4
1. Investigue cómo definen las funciones trigonométricas en por lo menos un
libro de texto de Matemática para el Primer Año de EMDP.
2. ¿Es esa definición igual o equivalente a la dada en esta lección? Explique.
Transformación de las funciones trigonométricas
Como usted sabe se pueden construir varias funciones trigonométricas a partir de
las funciones seno y coseno. Veamos a continuación dos de estas funciones:
Tangente tg(x) = sen(x)/ cos(x)
Secante sec(x) = 1/cos(x)
Otra manera de generar funciones trigonométricas es mediante
transformaciones, es decir, consideramos función dada de la forma:
f(x) = a.sen(b.x + c) + d
Para valores diferentes de a, b, c y d obtendremos diferentes funciones. Para
experimentar qué sucede cuando cambian los valores de cada uno de estos
parámetros visite la página web http://cs.jsu.edu/mcis/faculty/leathrum/
Mathlets/awl/periodic-main.html. En esa página encontrará un “applet”* que le
permitirá experimentar variando los valores de los parámetros y “observar” las
transformaciones que sufre la gráfica de la función. En esa página usted
encontrará a la izquierda la gráfica de la función f(x) = sen(x), al hacer clic sobre
los botones con los signos + y – debajo de cada parámetro usted podrá
aumentar o disminuir el valor del mismo respectivamente.
Actividad 4.5
Mantenga fijo en 1 los valores de todos los parámetros y experimente variando
sólo uno de los parámetros a la vez. Para restablecer los valores de los
parámetros a 1 haga clic sobre el botón Clear.
1. ¿Qué sucede con la gráfica de la función seno cuando a aumenta o
disminuye?
2. ¿Qué sucede con la gráfica de la función seno cuando b aumenta o
disminuye?
3. ¿Qué sucede con la gráfica de la función seno cuando c varía?
4. ¿Qué sucede con la gráfica de la función seno cuando d varía?
Para investigar en Internet
En el sitio web: http://www.ies.co.jp/math/products/trig/menu.html usted
encontrará una serie de “applets” que le pueden servir de mucha ayuda para la
exploración de diversos temas de trigonometría.
* Un “applet” es una pequeña aplicación escrita en lenguaje Java y generalmente incrustada en una
página web. Esta aplicación permite realizar actividades interactivas.

MÓDULO 2
Álgebra y Trigonometría en la Realidad y en los Materiales
Curriculares
Objetivo del Módulo:
Analizar la relación del álgebra y la trigonometría con la realidad, las prácticas
escolares y el uso de materiales curriculares en su enseñanza.
UNIDAD N° 3: Álgebra y sus Aplicaciones
Identificar diversas situaciones en las que se aplica el álgebra y la trigonometría.
CONTENIDOS:
La Matemática del entorno y de la actividad humana: aplicaciones académicas,
tecnológicas y cotidianas de la trigonometría.
UNIDAD N° 4: Materiales Curriculares
Conocer diversos materiales curriculares y su uso en didáctica del álgebra y la
trigonometría.
CONTENIDOS:
Materiales curriculares en álgebra y trigonometría, tipos y características.
Software especializado para la enseñanza del álgebra y la trigonometría.
42

43
Unidad 3
Lección 5
Aplicaciones del Álgebra
Esta lección está dedicada al estudio de ciertas situaciones de la vida real que
pueden ser modeladas mediante lenguaje algebraico. Vinculamos el trabajo aquí
realizado con el diseño de proyectos pedagógicos para ser realizados en la
escuela.
El estudio de las aplicaciones del álgebra, y en particular de la trigonometría,
cobra particular relevancia en el contexto de una enseñanza basada en
proyectos. Si asumimos que los proyectos están dirigidos a resolver un conjunto
de problemas, la calidad de los proyectos dependerá enormemente de los
problemas que postulemos y sus diversas vías de solución. En otras palabras, un
conocimiento adecuado de cómo pueden ser usadas las matemáticas para
resolver problemas de la realidad es fundamental para un implantación adecuada
de la enseñanza por proyectos en la escuela.
La habilidad para aplicar las matemáticas en la resolución de problemas reales,
comúnmente llamado modelaje, no se puede reducir a la habilidades
matemáticas generales. El hecho que una estudiante domine conocimientos
matemáticos básicos no implica que los pueda aplicar a situaciones reales.
Skovsmose distingue tres tipos de conocimientos: (a) matemático, (b) aplicación
de la matemática y (c) crítico. Ninguno puede ser reducido al anterior, aunque
cada uno necesita el anterior. Por ejemplo, no se puede aplicar las matemáticas
sin saber matemáticas, pero saber matemáticas no garantiza que las sepa
aplicar. Esto significa que la aplicación de las matemáticas tiene que ser
enseñada explícitamente si queremos que los estudiantes aprendan a usar las
matemáticas para resolver problemas reales.
Skovsmose (2001) contrasta el enfoque de enseñanza “tradición de ejercicios”
con el enfoque de “investigación”. En el primer enfoque, el profesor
tradicionalmente organiza la clase en dos partes. En la primera parte explica el
contenido y en la segunda parte presenta ejercicios resueltos y para ser resueltos
por los estudiantes. Desde este enfoque, además, los ejercicios suelen tener una
única solución correcta y una sola manera de resolverse. Como mencionamos,
este enfoque contrasta con el enfoque de investigación. El enfoque de
investigación se enmarca dentro de la enseñanza basada en proyectos. Dentro
de este enfoque surge la idea de “escenarios de investigación”. Estos son los
escenarios que favorecen el trabajo de investigación (Skovsmose, 2001). Un
escenario de investigación invita al estudiante a formularse preguntas y a buscar
explicaciones. El papel del profesor es invitar al estudiante a formularse
preguntas y apoyar la búsqueda de explicaciones.

La distinción anterior entre enfoques de enseñanza puede ser combinado con
diferentes referencias, conceptos y actividades, ofrecidas a los estudiantes en la
clase de matemáticas. Tenemos así tres tipos de referencias: las matemáticas
mismas, aspectos de semi-realidad y de la vida real. Estas referencias son en
general presentadas como puntos de partida para la elaboración de significados.
Esta combinación de enfoques y referencias nos lleva a considerar seis tipos de
medios de enseñanza, los cuales se muestran en la tabla siguiente.
Tabla 1. Medios de aprendizaje identificados por Skovsmose (2001)
Tradición de
ejercicios
Escenarios de
investigación
Referencias a las
matemáticas puras
(1) (2)
Referencias a la
semi-realidad
(3) (4)
Referencias a la
vida real
(5) (6)
Podemos decir que en Venezuela predominan los medios de enseñanza (1) y (3).
Vemos en los libros de texto, así como en los programas oficiales, y en la
evaluaciones aplicadas por los profesores que predominan los ejercicios que
hacen referencia a las matemáticas mismas o a situaciones semi-reales, ejemplos
de ellos sobran. Veamos un ejemplo cuya referencia es la semi-realidad.
Un carpintero dispone de un cilindro de madera de medio metro de
diámetro y 2,3 m de largo si perfora en el mismo centro un cilindro de
radio 10 cm. Calcula cuál es el volumen del cilindro hueco que obtiene.
(Gonzalez, 1987, p. 384)
¿Qué piensa usted de esta situación? ¿Cree usted que situaciones como éstas se
presentan en la realidad? Tenemos además que en este problema lo que se
requiere es la aplicación de una fórmula que permita calcular el volumen
buscado. No se trata de usar las matemáticas para modelar una situación.
Los medios de enseñanza (5) y (6) ponen al profesor en una situación de mucha
exigencia. En general el profesor evita plantear situaciones problemáticas en el
aula que sean abiertas y que conduzcan a situaciones desconocidas, o donde el
profesor no tenga control total. Skovsmose (2001) se refiere a estas situaciones
como zonas de riesgo. Las situaciones problemáticas tal cual como son en la
realidad resultan tal vez muy complejas para ser modeladas con las matemáticas
que aprendemos en la Educación Básica y en la Educación Media Diversificada.
Por ello, es recomendable que el profesor inicie el trabajo en el aula considerando
los medios de enseñanza (2) y (4). Lo cual significa una ruptura con el enfoque
tradición de ejercicios, sin colocarse en una zona de mucho riesgo. Enfatizamos
entonces la enseñanza de las matemáticas basada en proyectos y desde el
enfoque de los escenarios de investigación.
La enseñanza de las matemáticas aplicadas, o del modelaje, en la escuela se ha
hecho en general desde dos enfoques. En el primero de estos enfoques se
enfatiza el aprendizaje de modelos estándar. Este enfoque ha sido introducido
muy tímidamente en la escuela Venezolana, en particular en los temas de

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