El documento resume los métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución. Explica el método del disco para calcular el volumen cuando se gira una región alrededor de un eje, y el método del anillo para cuando la región está entre dos curvas. También cubre cómo calcular el volumen cuando la región se gira alrededor de un eje paralelo. Proporciona ejemplos para ilustrar los diferentes métodos.
Este documento presenta métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluidos el método del disco y el método de las arandelas. Explica cómo aplicar estas técnicas para determinar el volumen cuando la región girada está delimitada por una o más curvas, y proporciona ejemplos resueltos.
Este documento presenta varios métodos para calcular volúmenes utilizando el cálculo integral, incluyendo métodos para sólidos de revolución, regiones entre curvas, y sólidos no revolucionarios. Explica cómo descomponer volúmenes complejos en secciones transversales más simples y utiliza ejemplos numéricos para ilustrar cada método.
1) El documento presenta el método para calcular el volumen de un sólido de revolución girando una región plana alrededor de un eje. 2) Explica que el volumen se calcula como la suma de volúmenes de elementos (discos o anillos) y que este método aproxima mejor el volumen a medida que la partición es más fina. 3) Resuelve varios ejemplos aplicando este método para calcular el volumen de diferentes sólidos de revolución.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución utilizando el cálculo integral. Explica cómo calcular el volumen al girar áreas alrededor de los ejes x e y y provee fórmulas para el método del disco, la arandela y los cascarones cilíndricos. También incluye ejemplos paso a paso para ilustrar cada método.
1) El documento describe varios métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluyendo el método de disco, el método de anillo y el método de capas cilíndricas. 2) El método de disco aproxima el volumen dividiendo la región en discos y sumando sus volúmenes, mientras que el método de anillo se usa para sólidos huecos reemplazando los discos por anillos. 3) El método de capas cilíndricas considera elementos de área paralelos al eje
1) El documento describe varios métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluyendo el método de disco, el método de anillo y el método de capas cilíndricas. 2) El método de disco aproxima el volumen dividiendo la región en discos y sumando sus volúmenes, el método de anillo se usa para sólidos huecos reemplazando los discos por anillos, y el método de capas cilíndricas considera elementos de área paralelos al eje de revolución
El documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral, incluyendo el cálculo de áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo usar la integral para calcular el área bajo una curva y entre dos curvas, así como para calcular volúmenes de sólidos de revolución usando los métodos de los discos y las arandelas. También presenta el método de secciones conocidas para calcular volúmenes cuando se conoce el área de la sección transversal.
El documento describe varias aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y otras cantidades. Explica cómo se puede usar la integral para calcular el área bajo una curva, entre dos curvas, y el volumen de objetos de revolución girando áreas alrededor de un eje. También presenta el método de las secciones para calcular volúmenes cuando se conoce el área de las secciones transversales.
Este documento presenta métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluidos el método del disco y el método de las arandelas. Explica cómo aplicar estas técnicas para determinar el volumen cuando la región girada está delimitada por una o más curvas, y proporciona ejemplos resueltos.
Este documento presenta varios métodos para calcular volúmenes utilizando el cálculo integral, incluyendo métodos para sólidos de revolución, regiones entre curvas, y sólidos no revolucionarios. Explica cómo descomponer volúmenes complejos en secciones transversales más simples y utiliza ejemplos numéricos para ilustrar cada método.
1) El documento presenta el método para calcular el volumen de un sólido de revolución girando una región plana alrededor de un eje. 2) Explica que el volumen se calcula como la suma de volúmenes de elementos (discos o anillos) y que este método aproxima mejor el volumen a medida que la partición es más fina. 3) Resuelve varios ejemplos aplicando este método para calcular el volumen de diferentes sólidos de revolución.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución utilizando el cálculo integral. Explica cómo calcular el volumen al girar áreas alrededor de los ejes x e y y provee fórmulas para el método del disco, la arandela y los cascarones cilíndricos. También incluye ejemplos paso a paso para ilustrar cada método.
1) El documento describe varios métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluyendo el método de disco, el método de anillo y el método de capas cilíndricas. 2) El método de disco aproxima el volumen dividiendo la región en discos y sumando sus volúmenes, mientras que el método de anillo se usa para sólidos huecos reemplazando los discos por anillos. 3) El método de capas cilíndricas considera elementos de área paralelos al eje
1) El documento describe varios métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución, incluyendo el método de disco, el método de anillo y el método de capas cilíndricas. 2) El método de disco aproxima el volumen dividiendo la región en discos y sumando sus volúmenes, el método de anillo se usa para sólidos huecos reemplazando los discos por anillos, y el método de capas cilíndricas considera elementos de área paralelos al eje de revolución
El documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral, incluyendo el cálculo de áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo usar la integral para calcular el área bajo una curva y entre dos curvas, así como para calcular volúmenes de sólidos de revolución usando los métodos de los discos y las arandelas. También presenta el método de secciones conocidas para calcular volúmenes cuando se conoce el área de la sección transversal.
El documento describe varias aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y otras cantidades. Explica cómo se puede usar la integral para calcular el área bajo una curva, entre dos curvas, y el volumen de objetos de revolución girando áreas alrededor de un eje. También presenta el método de las secciones para calcular volúmenes cuando se conoce el área de las secciones transversales.
Este documento presenta el método de los casquetes cilíndricos para calcular volúmenes de sólidos de revolución. Explica cómo dividir la región en subintervalos y girar cada rectángulo para formar casquetes cilíndricos cuyos volúmenes sumados aproximan el volumen total. Proporciona fórmulas para cuando la rotación es respecto al eje Y u otras líneas, y resuelve ejemplos aplicando el método.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo aplicar cada método a diferentes tipos de regiones girando alrededor de diferentes ejes, y proporciona ejemplos resueltos para ilustrar los pasos de cada método.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de integrales. Se piden calcular áreas, longitudes, volúmenes y superficies de varias curvas, funciones y figuras geométricas utilizando integrales definidas e impropias. También se analiza la convergencia de algunas integrales. El documento contiene 38 problemas de cálculo integral sobre una variedad de temas matemáticos.
Este documento presenta varios métodos para calcular el área bajo una curva, el volumen de un sólido de revolución, la longitud de una curva plana y el trabajo realizado por una fuerza variable. Incluye ejemplos y fórmulas para cada uno de estos conceptos fundamentales del cálculo.
Este documento trata sobre la aplicación de las integrales para calcular el área bajo una curva y el volumen de sólidos de revolución. Explica cómo calcular el área limitada por dos curvas usando integrales definidas, y cómo usar el método del disco y el método de las arandelas para calcular el volumen al girar una región alrededor de un eje. También incluye ejemplos resueltos de estas aplicaciones.
Unidad 1 parte 3 b de matemáticas ii v3Edgar Ramos
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con el cálculo del volumen de sólidos de revolución utilizando los métodos de los discos y de las capas. Incluye ejemplos de cómo formular e integrar expresiones para encontrar el volumen al girar diferentes regiones planas alrededor de ejes u otras líneas. También cubre la verificación del volumen de figuras geométricas como esferas y conos mediante estos métodos.
Este documento presenta varios métodos para calcular volúmenes de rotación. Explica fórmulas para hallar el volumen generado al girar un área sobre un eje, como el volumen de un disco o un cilindro. También muestra ejemplos numéricos y gráficos resueltos de cómo aplicar estas fórmulas para calcular volúmenes de rotación en diferentes casos como funciones, curvas polares y regiones delimitadas. Finalmente, enlaza a herramientas interactivas en línea para visualizar y comprender mejor estos concept
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docxJesse Lem
El documento explica el método de las arandelas para calcular el volumen de sólidos de revolución. Este método involucra integrales que representan el volumen interno y externo de la arandela, cuya diferencia da el volumen total. Se proporcionan ejemplos resueltos de aplicar este método para encontrar el volumen de diferentes sólidos.
Este documento presenta 35 ejercicios sobre el cálculo de volúmenes, áreas, centroides, masas e inertias de varias regiones tridimensionales definidas por ecuaciones de superficies como esferas, paraboloides, cilindros, conos y planos. Los ejercicios involucran el cálculo de integrales triples, el desarrollo de fórmulas y la aplicación de conceptos como densidad y centro de masa.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo usar cada método para determinar la fórmula del volumen e integra la función para calcular el volumen. También proporciona ejemplos resueltos de cada método.
Present ppde casquetes esfericos para volumenes de revolucionCarlos Torres Matos
Este documento explica el método de los casquetes cilíndricos para calcular volúmenes de sólidos de revolución. El método divide el sólido en una serie de casquetes cilíndricos incrustados y suma sus volúmenes. Se presentan ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método al calcular el volumen de sólidos generados al girar diferentes regiones planas.
La tarea 3 de Geometría Analítica II contiene 17 problemas relacionados con cilindros, superficies de revolución, conoides y volúmenes generados al girar curvas alrededor de ejes. Los problemas incluyen encontrar ecuaciones de cilindros, superficies de revolución, simplificar ecuaciones cónicas mediante rotaciones y traslaciones de ejes, determinar tipos de cuádricas, calcular volúmenes y superficies de sólidos de revolución, y justificar propiedades geométricas.
El documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral para calcular áreas y volúmenes. Explica cómo calcular el área de una región plana delimitada por funciones y líneas, incluyendo áreas entre dos curvas. También cubre cómo usar integrales para calcular volúmenes de sólidos de revolución y el método de las arandelas. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de problema.
Este documento contiene varios problemas resueltos sobre cálculo de áreas y longitudes de arcos de curvas. En el primer problema, se calcula la longitud del arco de la parábola y=x^2-2x-3 desde x=-1 hasta x=4. En el segundo, se encuentra el perímetro de un triángulo curvilíneo limitado por funciones trigonométricas. Finalmente, los problemas restantes involucran calcular áreas de superficies de revolución generadas al rotar curvas alrededor de ejes.
Este documento describe diferentes métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución y otros sólidos tridimensionales. Explica el método de los discos, el método de las capas, y el método de las arandelas para calcular el volumen al girar una región plana alrededor de un eje. También cubre cómo calcular el volumen de sólidos con secciones transversales conocidas usando la integral definida. El documento incluye varios ejemplos para ilustrar los diferentes métodos.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular el área de regiones planas y el volumen de sólidos utilizando la integral definida. Explica cómo calcular el área entre curvas y el volumen de un sólido considerando rebanadas perpendiculares al eje x o y. También describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución rotando una región alrededor de un eje utilizando discos o arandelas. Finalmente, asigna ejercicios de práctica de un libro de texto.
El documento presenta diferentes métodos para calcular volúmenes de sólidos geométricos, incluyendo el método del cilindro, el método de la arandela y el método de los cascarones cilíndricos. Se proveen ejemplos ilustrativos de cómo aplicar cada método al calcular el volumen de sólidos de revolución y otros sólidos no de revolución.
Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con cálculo vectorial, incluyendo normas y vectores unitarios de vectores, productos escalares y vectoriales, ángulos y componentes de vectores, derivadas parciales, gradientes, reglas de la cadena, coordenadas cilíndricas y esféricas, cambio de variables, curvatura de curvas y superficies. El documento proporciona detalles matemáticos sobre estas ideas fundamentales del cálculo vectorial.
Este documento presenta varios problemas de cálculo de integrales de línea. Propone calcular integrales de línea a lo largo de diferentes curvas como rectas, elipses, círculos y otras curvas paramétricas. También incluye aplicaciones de las integrales de línea como calcular el trabajo realizado por fuerzas y áreas delimitadas por curvas. Finalmente, aplica el teorema de Green para verificar algunas integrales de línea.
Este documento presenta el método de los casquetes cilíndricos para calcular volúmenes de sólidos de revolución. Explica cómo dividir la región en subintervalos y girar cada rectángulo para formar casquetes cilíndricos cuyos volúmenes sumados aproximan el volumen total. Proporciona fórmulas para cuando la rotación es respecto al eje Y u otras líneas, y resuelve ejemplos aplicando el método.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo aplicar cada método a diferentes tipos de regiones girando alrededor de diferentes ejes, y proporciona ejemplos resueltos para ilustrar los pasos de cada método.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de integrales. Se piden calcular áreas, longitudes, volúmenes y superficies de varias curvas, funciones y figuras geométricas utilizando integrales definidas e impropias. También se analiza la convergencia de algunas integrales. El documento contiene 38 problemas de cálculo integral sobre una variedad de temas matemáticos.
Este documento presenta varios métodos para calcular el área bajo una curva, el volumen de un sólido de revolución, la longitud de una curva plana y el trabajo realizado por una fuerza variable. Incluye ejemplos y fórmulas para cada uno de estos conceptos fundamentales del cálculo.
Este documento trata sobre la aplicación de las integrales para calcular el área bajo una curva y el volumen de sólidos de revolución. Explica cómo calcular el área limitada por dos curvas usando integrales definidas, y cómo usar el método del disco y el método de las arandelas para calcular el volumen al girar una región alrededor de un eje. También incluye ejemplos resueltos de estas aplicaciones.
Unidad 1 parte 3 b de matemáticas ii v3Edgar Ramos
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con el cálculo del volumen de sólidos de revolución utilizando los métodos de los discos y de las capas. Incluye ejemplos de cómo formular e integrar expresiones para encontrar el volumen al girar diferentes regiones planas alrededor de ejes u otras líneas. También cubre la verificación del volumen de figuras geométricas como esferas y conos mediante estos métodos.
Este documento presenta varios métodos para calcular volúmenes de rotación. Explica fórmulas para hallar el volumen generado al girar un área sobre un eje, como el volumen de un disco o un cilindro. También muestra ejemplos numéricos y gráficos resueltos de cómo aplicar estas fórmulas para calcular volúmenes de rotación en diferentes casos como funciones, curvas polares y regiones delimitadas. Finalmente, enlaza a herramientas interactivas en línea para visualizar y comprender mejor estos concept
G2.3 calculo de volumen de revolucion, metodo de arandelas2.docxJesse Lem
El documento explica el método de las arandelas para calcular el volumen de sólidos de revolución. Este método involucra integrales que representan el volumen interno y externo de la arandela, cuya diferencia da el volumen total. Se proporcionan ejemplos resueltos de aplicar este método para encontrar el volumen de diferentes sólidos.
Este documento presenta 35 ejercicios sobre el cálculo de volúmenes, áreas, centroides, masas e inertias de varias regiones tridimensionales definidas por ecuaciones de superficies como esferas, paraboloides, cilindros, conos y planos. Los ejercicios involucran el cálculo de integrales triples, el desarrollo de fórmulas y la aplicación de conceptos como densidad y centro de masa.
Este documento describe tres métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco, el método de la arandela y el método de los casquillos cilíndricos. Explica cómo usar cada método para determinar la fórmula del volumen e integra la función para calcular el volumen. También proporciona ejemplos resueltos de cada método.
Present ppde casquetes esfericos para volumenes de revolucionCarlos Torres Matos
Este documento explica el método de los casquetes cilíndricos para calcular volúmenes de sólidos de revolución. El método divide el sólido en una serie de casquetes cilíndricos incrustados y suma sus volúmenes. Se presentan ejemplos para ilustrar cómo aplicar el método al calcular el volumen de sólidos generados al girar diferentes regiones planas.
La tarea 3 de Geometría Analítica II contiene 17 problemas relacionados con cilindros, superficies de revolución, conoides y volúmenes generados al girar curvas alrededor de ejes. Los problemas incluyen encontrar ecuaciones de cilindros, superficies de revolución, simplificar ecuaciones cónicas mediante rotaciones y traslaciones de ejes, determinar tipos de cuádricas, calcular volúmenes y superficies de sólidos de revolución, y justificar propiedades geométricas.
El documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral para calcular áreas y volúmenes. Explica cómo calcular el área de una región plana delimitada por funciones y líneas, incluyendo áreas entre dos curvas. También cubre cómo usar integrales para calcular volúmenes de sólidos de revolución y el método de las arandelas. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de problema.
Este documento contiene varios problemas resueltos sobre cálculo de áreas y longitudes de arcos de curvas. En el primer problema, se calcula la longitud del arco de la parábola y=x^2-2x-3 desde x=-1 hasta x=4. En el segundo, se encuentra el perímetro de un triángulo curvilíneo limitado por funciones trigonométricas. Finalmente, los problemas restantes involucran calcular áreas de superficies de revolución generadas al rotar curvas alrededor de ejes.
Este documento describe diferentes métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución y otros sólidos tridimensionales. Explica el método de los discos, el método de las capas, y el método de las arandelas para calcular el volumen al girar una región plana alrededor de un eje. También cubre cómo calcular el volumen de sólidos con secciones transversales conocidas usando la integral definida. El documento incluye varios ejemplos para ilustrar los diferentes métodos.
Este documento presenta diferentes métodos para calcular el área de regiones planas y el volumen de sólidos utilizando la integral definida. Explica cómo calcular el área entre curvas y el volumen de un sólido considerando rebanadas perpendiculares al eje x o y. También describe cómo calcular el volumen de un sólido de revolución rotando una región alrededor de un eje utilizando discos o arandelas. Finalmente, asigna ejercicios de práctica de un libro de texto.
El documento presenta diferentes métodos para calcular volúmenes de sólidos geométricos, incluyendo el método del cilindro, el método de la arandela y el método de los cascarones cilíndricos. Se proveen ejemplos ilustrativos de cómo aplicar cada método al calcular el volumen de sólidos de revolución y otros sólidos no de revolución.
Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con cálculo vectorial, incluyendo normas y vectores unitarios de vectores, productos escalares y vectoriales, ángulos y componentes de vectores, derivadas parciales, gradientes, reglas de la cadena, coordenadas cilíndricas y esféricas, cambio de variables, curvatura de curvas y superficies. El documento proporciona detalles matemáticos sobre estas ideas fundamentales del cálculo vectorial.
Este documento presenta varios problemas de cálculo de integrales de línea. Propone calcular integrales de línea a lo largo de diferentes curvas como rectas, elipses, círculos y otras curvas paramétricas. También incluye aplicaciones de las integrales de línea como calcular el trabajo realizado por fuerzas y áreas delimitadas por curvas. Finalmente, aplica el teorema de Green para verificar algunas integrales de línea.
AE 34 Serie de sobrecargas aisladas_240429_172040.pdf
5.pdf
1. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL
SEMANA 12
Unidad III
Carole H. O.
Volúmenes de sólidos de revolución:
Método del disco, anillo y corteza cilíndrica.
2. Cálculo de volúmenes de solidos de revolución
Se llaman solidos de revolución al solido obtenido por la rotación de una región 𝑅
alrededor de una recta L no contenida en ella.
3. VOLUMEN DE SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
1) Por secciones planas paralelas. Método del Disco.
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [ , ]
a b , supongamos que
( ) 0; [ , ]
f x x a b
. Si V es el volumen en unidades cúbicas del sólido que se obtiene al
rotar alrededor del eje X, la región limitada por la curva ( )
y f x
, el eje X, y las rectas x a
y x b
, entonces:
2
( ( ))
b
a
V f x dx
........(1)
4. X
a b
Y
O x
f(x)
f
Veamos gráficamente:
a b
O x
X
a b
Y
O x
A(x)
Y=f(x)
f(x)
Las secciones planas transversales resultan ser discos de radio ( )
f x , las que tienen área
de sección ( )
A x igual a: 2
( ) ( ( )) ; [ , ]
A x f x x a b
Donde su volumen viene dado por
(1).
X
a b
Y
O x
A(x)
Y=f(x)
f(x)
Las secciones planas transversales resultan ser discos de radio ( )
f x , las que tienen área
de sección ( )
A x igual a: 2
( ) ( ( )) ; [ , ]
A x f x x a b
Donde su volumen viene dado por
(1).
5. Ejemplos:
X
1 2
Y
O
y = x2
a) Calcular el volumen del sólido limitado por 2
y x
, el eje X y las rectas 1
x y 2
x
cuando gira alrededor del eje X.
Solución:
2
2 2 5
2 2 4
1 1 1
31
( )
5 5
x
V x dx x dx
X
1 2
Y
O
y = x2
) Calcular el volumen del sólido limitado por 2
y x
, el eje X y las rectas 1
x y 2
x
cuando gira alrededor del eje X.
olución:
2
2 2 5
2 2 4
1 1 1
31
( )
5 5
x
V x dx x dx
Solución:
X
1 2
Y
O
y = x2
a) Calcular el volumen del sólido limitado por 2
y x
, el eje X y las rectas 1
x y 2
x
cuando gira alrededor del eje X.
Solución:
2
2 2 5
2 2 4
1 1 1
31
( )
5 5
x
V x dx x dx
6. X
2
Y
O
y = x2
- 2x
Solución:
2
( ) 2
f x x x
; ( )
f x está debajo del eje X, las secciones transversales circulares tienen
radio ( )
f x
. Por lo tanto: 2 2
( ) ( ( )) ( ( )) ; [ , ]
A x f x f x x a b
2
2 2
0
16
( 2 )
15
V x x dx
X
2
Y
O
y = x2
- 2x
Solución:
2
( ) 2
f x x x
; ( )
f x está debajo del eje X, las secciones transversales circulares tienen
radio ( )
f x
. Por lo tanto: 2 2
( ) ( ( )) ( ( )) ; [ , ]
A x f x f x x a b
2
2 2
0
16
( 2 )
15
V x x dx
Solución:
X
2
Y
O
y = x2
- 2x
a) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región comprendida
entre la curva 2
2
y x x
y el eje X, alrededor del eje X.
Solución:
2
( ) 2
f x x x
; ( )
f x está debajo del eje X, las secciones transversales circulares tienen
adio ( )
f x
. Por lo tanto: 2 2
( ) ( ( )) ( ( )) ; [ , ]
A x f x f x x a b
b)
7. 2) Método del anillo
Si el sólido de revolución es generado por la rotación alrededor del eje X de la región
encerrada entre dos curvas continuas, ( )
y f x
y ( )
y g x
, desde x a
hasta x b
,
donde [ , ] : ( ) ( ) 0
x a b f x g x
ó ( ) ( ) 0
f x g x
entonces la sección transversal es
una corona circular (o anillo) cuya área ( )
A x es una diferencia de áreas de dos discos
concéntricos: 2 2
( ) [( ( )) ( ( )) ]; [ , ]
A x f x g x x a b
de modo que el volumen del sólido
generado está dado por la fórmula:
2 2 2
[( ( )) ( ( )) ]
b
a
V f x g x dx
Volumen de revolución por rotación de un área entre dos curvas, alrededor del eje X.
8. X
a b
Y
O x
Y=f(x
)
Y=g(x)
Y A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
evolución por rotación de un área entre dos curvas, alrededor del eje X.
X
a b
O x
Y=f(x
)
Y=g(x)
X
a b
Y
O x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
x
a b
Volumen de revolución por rotación de un área entre dos curvas, alrededor del eje X.
9. X
-1
Y
O
y = x2
+1
2
y = x+3
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X, la región acotada
por 2
1
y x
y la recta 3
y x
Solución:
Las intersecciones de 2
1
y x
y 3
y x
son: ( 1,2);(2,5)
2
2 2 2
1
(( 3) ( 1) )
V x x dx
Ejemplo:
Solución:
X
-1
Y
O
y = x2
+1
2
y = x+3
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X, la región acotada
por 2
1
y x
y la recta 3
y x
Solución:
Las intersecciones de 2
1
y x
y 3
y x
son: ( 1,2);(2,5)
2
2 2 2
(( 3) ( 1) )
x x dx
X
-1
Y
O
y = x2
+1
2
y = x+3
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X, la región acotada
por 2
1
y x
y la recta 3
y x
Solución:
Las intersecciones de 2
1
y x
y 3
y x
son: ( 1,2);(2,5)
2
-1 O
Las intersecciones de 2
1
y x
y
2
2 2 2
1
(( 3) ( 1) )
V x x dx
10. Volúmenes de revolución de sólidos generados por rotación de áreas planas alrededor
de ejes paralelos al eje X.
a b
x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
c
Teorema.- Dada una región encerrada entre dos curvas continuas ( )
y f x
y ( )
y g x
,
desde x a
hasta x b
, tales que [ , ] : ( ) ( )
x a b f x g x c
ó ( ) ( )
f x g x c
Y que se hace rotar alrededor de la rectay c
.
a b
x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
c
Teorema.- Dada una región encerrada entre dos curvas continuas ( )
y f x
y ( )
y g x
,
desde x a
hasta x b
, tales que [ , ] : ( ) ( )
x a b f x g x c
ó ( ) ( )
f x g x c
Y que se hace rotar alrededor de la rectay c
.
X
a b
x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
O
c
b
a x
da una región encerrada entre dos curvas continuas ( )
y f x
y ( )
y g x
,
hasta x b
, tales que [ , ] : ( ) ( )
x a b f x g x c
ó ( ) ( )
f x g x c
rotar alrededor de la rectay c
.
Entonces la sección transversal es una corona circular que ti
2 2
( ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
A x f x c g x c x a b
De modo que el volumen V del sólido de revolución genera
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ]
b
a
V f x c g x c
ces la sección transversal es una corona circular que tiene área:
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
f x c g x c x a b
odo que el volumen V del sólido de revolución generado está dado por:
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }
b
a
V f x c g x c dx
Entonces la sección transversal es una corona circular que tien
2 2
( ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
A x f x c g x c x a b
De modo que el volumen V del sólido de revolución generado
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }
b
a
V f x c g x c d
tonces la sección transversal es una corona circular que tiene área:
2 2
( ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
x f x c g x c x a b
e modo que el volumen V del sólido de revolución generado está dado por:
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }
b
a
V f x c g x c dx
11. X
2
1
Y
O
y = 1
1
y = 2x - x2
y = x3
Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región encerrada por las gráficas de
3
y x
y 2
2
y x x
alrededor de la recta 1
y
Solución:
Ejemplo:
Solución:
X
2
1
Y
O
y = 1
1
y = 2x - x2
y = x3
lar el volumen del sólido generado al rotar la región encerrada por las gráficas de
3
x
y 2
2
y x x
alrededor de la recta 1
y
ución:
ersecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
2
1
O
Intersecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
0 1
2 2 3 2
2 0
{[2 1] [ 1] } {
V x x x dx
Intersecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
0 1
2 2 3 2 3 2 2 2
2 0
704
{[2 1] [ 1] } {[ 1] [2 1] }
35
V x x x dx x x x dx
ecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
1
2 2 3 2 3 2 2 2
0
704 31 1439
[2 1] [ 1] } {[ 1] [2 1] }
35 70 70
x x x dx x x x dx
-
12. 3) Método de la Corteza Cilíndrica
Sea f una función en [ , ]
a b , con ( ) 0; [ , ]
f x x a b
y sea R la región limitada por
( )
y f x
, el eje X, ;
x a x b
; el volumen del sólido de revolución obtenida al rotar la
región alrededor de eje Y es:
2 ( )
b
a
V xf x dx
2 ( )
b
a
V xf x dx
X
a b
Y
O
( )
y f x
R
Observaciones:
13. X
Y
O a b
x = c
Observaciones:
i) Si R es la región limitada por ( ); ( ); ; ; ( ) ( )
y f x y g x x a x b f x g x
, el
volumen de revolución obtenido al rotar la región R alrededor del eje Y.
2 ( ( ) ( ))
b
a
V x f x g x dx
ii)
2 ( )( ( ) ( ))
b
a
V x c f x g x dx
R
X
Y
O a b
x = c
Observaciones:
i) Si R es la región limitada por ( ); ( ); ; ; ( ) ( )
y f x y g x x a x b f x g x
, el
volumen de revolución obtenido al rotar la región R alrededor del eje Y.
2 ( ( ) ( ))
b
a
V x f x g x dx
ii)
2 ( )( ( ) ( ))
b
a
V x c f x g x dx
R Y x = c
2 ( )( ( ) ( ))
b
a
V c x f x g x dx
R
X
Y
O
a b
x = c
2
V
R
f(x)
f(x)
g(x)
g(x)
14. X
4
Y
O
y = -x2
+ 6x + 8
2
a) Hallar el volumen del sólido encerrado por la región plana encerrada por la curva
2
6 8
y x x
y el eje X, al girar alrededor del eje Y.
Solución:
2
6 8
y x x
Intersección con el eje X: (2,0) y (4,0)
4 4
Ejemplos:
Solución:
X
4
Y
O
y = -x2
+ 6x + 8
2
a) Hallar el volumen del sólido encerrado por la región plana encerrada por la cur
2
6 8
y x x
y el eje X, al girar alrededor del eje Y.
Solución:
2
6 8
y x x
Intersección con el eje X: (2,0) y (4,0)
X
4
Y
O
y = -x2
+ 6x + 8
2
en del sólido encerrado por la región plana encerrada por la curva
8 y el eje X, al girar alrededor del eje Y.
ntersección con el eje X: (2,0) y (4,0)
4
3 2
15. X
Y
O
x = 1
1
y = x3
a) Sea C el arco de la curva 3
; [0,1]
y x x
, halle el volumen del sólido de revoluc
obtenido al rotar C alrededor de la recta 1
x .
Solución:
1
3
0
2 (1 )
10
V x x dx
X
Y
O
x = 1
1
y = x3
a) Sea C el arco de la curva 3
; [0,1]
y x x
, halle el volumen del sólido de revolución
obtenido al rotar C alrededor de la recta 1
x .
Solución:
1
3
0
2 (1 )
10
V x x dx
Solución:
X
Y
O
x = 1
1
y = x3
a) Sea C el arco de la curva 3
; [0,1]
y x x
, halle el volumen del sólido de revolución
obtenido al rotar C alrededor de la recta 1
x .
Solución:
1
3
0
2 (1 )
10
V x x dx
b)
16. 0
3
1
2 ( 2)( ) ) 2
x x x dx
X
Y
1
O
-1
y = x3
y = x
-2
a) Hallar el volumen del sólido formado al rotar alrededor de la recta 2
x , la reg
plana limitada por: y x
y 3
y x
0
3
1
2 ( 2)( )
V x x x dx
X
Y
1
O
-1
y = x3
y = x
-2
a) Hallar el volumen del sólido formado al rotar alrededor de la recta 2
x , la región
plana limitada por: y x
y 3
y x
0
3
1
2 ( 2)( )
V x x x dx
0
3
1
2 ( 2)( ) ) 2
x x x dx
c)
Solución:
X
Y
1
O
-1
y = x3
y = x
-2
a) Hallar el volumen del sólido formado al rotar alrededor de la recta 2
x , la región
plana limitada por: y x
y 3
y x
0
3
1
2 ( 2)( )
V x x x dx
0
1
17. a) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la parábola y = 𝑎𝑥 − 𝑥2
; 𝑎 > 0
sobre el eje X.
Ejercicios:
b) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar sobre el eje X la región
limitada por la curva y = 𝑒𝑥
, las rectas 𝑥 = 0 e y = e.
c) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la región comprendida
entre las curvas 𝑔 𝑥 = 𝑥2 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 alrededor de la recta 𝑦 = 4.
18. a) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la parábola y = 𝑎𝑥 − 𝑥2
; 𝑎 > 0
sobre el eje X.
Ejercicios:
𝑉𝑋 = 𝜋
0
𝑎
(𝑎𝑥 − 𝑥2)2 𝑑𝑥
= 𝜋
0
𝑎
(𝑎2
𝑥2
− 2𝑎𝑥3
+ 𝑥4
) 𝑑𝑥
Solución
Veamos el intervalo en que la parábola intersecta al eje X
𝑎𝑥 − 𝑥2 = 0 → 𝑥(𝑎 − 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑎
= 𝜋
𝑎2𝑥3
3
−
2𝑎𝑥4
4
+
𝑥5
5
0
𝑎
=
𝜋𝑎5
30
19. b) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar sobre el eje X la región
limitada por la curva y = 𝑒𝑥
, las rectas 𝑥 = 0 e y = e.
𝑉𝑋 = 𝜋
0
1
(𝑒2 − 𝑒2𝑥) 𝑑𝑥
Solución:
El intervalo para la curva y = 𝑒𝑥 es 0; 1
= 𝜋 𝑒2𝑥 −
𝑒2𝑥
2
0
1
=
𝜋(𝑒2+1)
2
= 𝜋 𝑒2
−
𝑒2
2
+
1
2
20. c) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la región comprendida
entre las curvas 𝑔 𝑥 = 𝑥2 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 alrededor de la recta 𝑦 = 4. La intersección de
las curvas son los puntos (0,0) , (1,1); como 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) en 0,1 entonces:
𝑉𝑦=4 = 𝜋
0
1
2(4) 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥4 − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋
0
1
𝑥4 − 8𝑥2 − 𝑥 + 8 𝑥 𝑑𝑥
Solución
𝑉𝑦=4 = 𝜋
𝑥5
5
−
8
3
𝑥3
−
𝑥2
2
+
16
3
𝑥3/2
0
1
= 𝜋
1
5
−
8
3
−
1
2
+
16
3
=
71
30
𝜋 𝑢3
• Si la recta 𝐿: 𝑦 = 𝑐 esta por debajo de la región R, entonces
𝑉
𝑦=𝑐 = 𝜋
𝑎
𝑏
(𝑓 𝑥 − 𝑐 2
− 𝑔 𝑥 − 𝑐 2
)𝑑𝑥
= 𝜋
𝑎
𝑏
(𝑓2 𝑥 − 𝑔2 𝑥 − 2𝑐 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥