Este documento presenta varios problemas de cálculo de integrales de línea. Propone calcular integrales de línea a lo largo de diferentes curvas como rectas, elipses, círculos y otras curvas paramétricas. También incluye aplicaciones de las integrales de línea como calcular el trabajo realizado por fuerzas y áreas delimitadas por curvas. Finalmente, aplica el teorema de Green para verificar algunas integrales de línea.

1. UNIVERSIDAD RICARDO PALMA FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS
ÁREA DE MATEMÁTICA
INTEGRALES DE LÍNEA Y SUS APLICACIONES
1. Calcular las integrales de línea:
a)
2 2 2 2
( ) ( )     x y dx x y dy

a lo largo de la curva : 1 1y x    desde el punto
0 (0,0)P hasta 1 (2,0)P .
b) 2 2
( 2 ) ( 2 )x xy dx y xy dy

     siendo  el arco de la parábola 2
y x que une los puntos
0 ( 2 , 4 )P y 1 ( 1 , 1 )P .
c) 2 2
(2 )z x y ds

  donde es la primera espira de la línea helicoidal cónica cosx t t ,
y t sen t y z t .
d)
2 2
( )n
C
x y ds donde C es la frontera del círculo 2 2 2
x y a 
2. Calcular 3 3 2 2 3
[ ( 2 2 3) (2 1) ]xy x dx x y y dy

     cuando  es el arco de la cicloide
t x t sen , 1 cosy t  ,  0 , 2t 
3. Hallar la integral de línea 2 2
(3 6 ) 14 20    C
x y dx yz dy xz dz donde C es el segmento de recta
que va del punto (1,0,0) al punto (1,1,0) y luego del punto (1,1,0) al punto (1,1,1). Rpta: 20/3
4. Calcular 2 2 2
( )x y z ds

  , donde ( ) ( cos , , )t t sen t t  es una hélice  0 , 2t 
5. Calcular 2 2
ydx xdy
x y
 
 sobre la circunferencia 2 2 2
: x y a   , 0a recorrido en sentido
antihorario.
6. Evaluar 4 4
( ) ,x y ds

 donde λ es la frontera de  2 2 2
( , ) / 25D x y x y   
7. Calcular la integradle línea del campo vectorial
2 2 2
( , , )
2
xi y j zk
F x y z
x y z x y z
 

    
  
a lo largo del segmento de la recta del punto
0 ( 1 , 1 , 1 )P , hasta el punto 1 ( 4 , 4 , 4 )P
8. Calcular
2
2
1
(2 ) ( )
x Lnx
xLny dx dy
xy y y
   , si 3
( ) ( 1+t ,cos100 )t t  , 0 1t 
9. Calcular. ydx zdy xdz

  donde:
a)  es la curva de intersección de las superficies 2x y  , 2 2 2
2 ( )x y z x y    . La curva es
recorrida en el sentido horario mirado desde el origen
b)  es la intersección de las superficies z xy y 2 2
1x y  , recorrida en el sentido antihorario
visto desde encima del plano XY .
10. Calcular las siguientes integrales de línea según el caso:
a) 2 3 2
1 cosy sen x xds

 donde es el arco de la curva y sen x de 0 ( 0 , 0 )P a
1 2
( , 1 )P 
.

2. b)
2 2
1
xdx ydy
x y

 
 en el sentido horario a lo largo del cuarto de la elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
  en el
primer cuadrante.
c) 2 2 2
xdx ydy zdz
x y z
 
  , donde es el arco de la curva 2x t , 2 1y t  , 2
z t t  que une los
puntos 0 ( 0 , 1 , 0 )P y 0 ( 2 , 3 , 2 )Q .
11. Calcular la integral de línea del campo vectorial a lo largo del camino indicado.
a) ( , , ) ( , , )F x y z x y xz y  a lo largo de 2 3
( ) ( t , 2t , 4t )t  , 0 1t 
b) 2
( , , ) (2 , , )F x y z xy x z y  desde 0 ( 1 , 0 , 2 )P a 0 ( 3 , 4 , 1 )Q a lo largo del
segmento de recta.
12. Calcular 3 2 2 3
( ) ( )x y dx x y dy

     donde es la frontera del pentágono de vértices
0 ( 0 , 0 )P , 1 ( 1 , 0 )P , 2 ( 2 , 1)P , 3 ( 0 , 1 )P y 4 ( 1 , 2 )P .
13. Calcular la integral de línea ( ) ( 3 )xy x y
ye x dx xe y dy

     a lo largo del segmento que
une los puntos 0 ( 1 , 2 )P y 1( - 2 , 9 )P .
14. Calcular la integral de línea xy z xy z xy z
ye dx xe dy e dz

  
    a lo largo del segmento
que une los puntos 0 ( 1 , 2 , - 3 )P y 1 ( -2 , 5 , 11 )P .
15. Calcular 2 2 2 2
( )
y x
dx dy
x y x y

  siendo  la elipse de ecuaciones paramétricas
4cosx t ; 3y sen t , 0 2 t 
16. Calcular xyzds
 donde  , es la parte de la recta 1,x y z y z    . Que se encuentra
en el primer cuadrante.
17. Calcular la integral de línea 2 2
I x y ds

  donde  es la curva que va del punto
( 4 ,4 )P  al punto (0 ,0 )Q y de ahí recorre la semi-circunferencia inferior de centro
(2 ,0 )C y radio 2r  como se observa en la figura.
18. Calcular 3 3
( ) (4 )x y dx y x dy

     , donde  es la frontera de la región del primer
cuadrante que está limitada por los gráficos de 2
y x , 3
y x
19. Hallar [( ) ]  C
y z dx zdy xdz a lo largo de la curva descrita por la intersección de los
planos 1 2 0   x y z , 2 2 0   x y z del punto (1,0,0) al punto (7, 10,2)
Rpta: - 38
20. Calcular [( ) ( ) ]xy x y dx xy x y dy

     , donde es:
a) La elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
  b) La circunferencia 2 2
x y ax  .
- 4
4
2

3. 21. Calcular
2
2 2 3
[(3 ) ( ) ]
3
y yy
x e x y dx x e coy dy

    alrededor de 2 2
: 1x y  
22. Calcular 2 2 2 2
(2 ) (3 )y x dx x y dy

     , si 2 2 2
: ( )x a y a   
23. Calcular 2 2 2
( ) ( )x y dx x y dy

     , si  es el contorno del triángulo de vértices
(1 , 1 )A , (2 , 2 )B y (1 , 3 )C recorrido en sentido antihorario.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA
1.- Hallar el trabajo realizado por la fuerza 2
(2 , ,3 2 4 )      

F x y z x y z x y z al desplazar
una partícula en el plano XY a lo largo de la curva 2 2
1 x y en sentido antihorario Rpta:
2
2.- Una partícula se mueve a lo largo de la curva 2
: y x  , desde el punto 0 (1,1)P al 1(3,9)P , si el
movimiento se debe a la fuerza 2 2 2
( , ) ( )F x y x y i x y j   . Hallar el trabajo total realizado.
3.- Una fuerza en el espacio viene dada por ( , , ) ( , , ( 1))F x y z yz xz x y  . Calcular el trabajo
realizado por F al mover una partícula recorriendo una vez el contorno del triángulo de vértices
0 (0,0,0)P , 1(1 , 1 , 1)P y 2 ( 1 , 1 , -1)P  .
4.- Calcular el área de la región limitada por y x , 0y ;
2
 y x x
a) Mediante integral de línea.
b) Mediante integrales dobles.
5.- Una partícula se mueve a lo largo de una recta en 2
 que une los puntos A(a, b), B(c, d) debido a la
fuerza
2 2 3 / 2 2 2 3 / 2
( , ) ( ) y ( )F x y x x y i x y j 
    
 
a) Hallar el trabajo realizado
b) Demuestre que no varía si se toma una trayectoria diferente que une A y B sin pasar por el
origen.
6.- Una partícula da una vuelta alrededor del círculo unitario contrario al de las manecillas del reloj,
mientras está sujeta a la fuerza 3 3
( , ) ( ) (cos arctan(tan ))x
F x y e y i y x j   
 
Determinar el
trabajo realizado por la fuerza F
APLICANDO EL TEOREMA DE GREEN RESOLVER
1.- Verificar el teorema de Green y evaluar.
a) 2 3
(x ydx y dy

   , es la curva cerrada por las gráficas de y x , 3 2
y x de (0 , 0 )A
, (1 , 1 )B .
b) 3 3 3 3
(2 ) ( )x y dx x y dy

     , 2 2
: 1x y  
c) 2
ydx x ydy

   , curva cerrada por la gráfica de y x y 2
y x entre los puntos
(0 , 0 )A y (1 , 1 )B .
2. Calcular la integral curvilínea  2xydx xdy

 a lo largo del rectángulo de vértices 0 (0,0)P ,
1 (2 , 0)P , 2 (2 , 1 )P y 3 (0 , 1 )P .
3. Hallar 2 2 2 2
(2 2 ) ( 2 )     C
x y dx x xy y dy donde la curva C es el contorno del triángulo
con vértices en los puntos; (1,1), (3,3) y (1,3) en sentido antihorario. Rpta: - 08/3.
4. Calcular la integral curvilínea 2 2 3
(2 ) ( )xy y dx x y dy

     a lo largo del rectángulo de
vértices 0 (1,1)P , 1 (1 , 3)P , 2 ( 1 , 3 )P  y 3 ( 1 , 1 )P  .

4. 5. Calcular la integral curvilínea 2 3 2
( 5 3 ) (2 7 )x y x dx xy x dy

       a lo largo del
semicírculo superior de centro el origen y radio3.
6. Evaluar le integral ( 1) (1 )x y x y
x e dx x e dy

 
     donde λ es el arco de la circunferencia x2
+ y2
= 1 comprendido en los dos primeros cuadrantes.
7.- Calcular la integral 2 2 2
[ ]
C
x ydx x y dy  donde C es la circunferencia 2 2 2
x y R  recorrida en
el sentido contrario al de las agujas del reloj
8.- Calcular la integral 2 3 3
[ ], : ( ) (2 cos , 2sin ), [0, 2 ]
C
y dx xdy C t t t t   
9.- Evaluar la integral 2 2 2 2
( ( ))
C
x y dx y xy Ln x x y dy     donde C es el rectángulo
1 4, 0 2x y   
10.- Evaluar la integral 4 4
9
C
xy dx x ydy , donde C es la frontera de la región semianillar superior
comprendido entre las circunferencias 2 2
4x y  , 2 2
9x y 
11.- Evaluar la integral 3 2 2 3 2
( 6 3 ) (2 4 2 3 )
C
x x y y y dx x xy xy y dy       donde C es el
círculo 2 2
( 2) ( 2) 4x y   
AREA DE SUPERFICIES, INTEGRALES DE SUPERFICIE
APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE STOKES Y DE GAUSS
1. Encontrar el área de la porción del paraboloide 2 2
z x y  que se encuentra bajo el plano
4z  .
2. Hallar el área de la superficie limitada por los cilindros 2 2 2
x y a  , 2 2 2
y z a 
3. Hallar el área de la superficie de la esfera 2 2 2 2
x y z a   , en el primer octante positivo.
4. Calcular el área de la porción de la superficie cónica 2 2 2
x y z  situada entre los dos planos
0z  , 2 3x z  .
5.- Determinar el área de la parte de la esfera
2 2 2 2
4x y z a   interior al cilindro
2 2
2 , 0x y ay a  
6. Evaluar 2
S
x zdS suponiendo que S es la parte del cono circular 2 2 2
z x y  que se encuentra
entre los planos 1z  y 4z  .
7. Evaluar 2
( 2 )
S
y yz dS donde S es la parte del plano 2 2 6x y z  
8. Evaluar ( )
S
x z dS donde S es la parte del cilindro 2 2
9x y  entre 0z  y 4z  .
9. Evaluar .
S
F dS donde
2
2
( , , ) ( ) ( )x z
F x y z xy i y e j sen xy k    y S es la parte de la
región G acotada por el cilindro parabólico 2
1z x  y los planos 0z  y 2y z  .
10. Sea S la parte de la gráfica 2 2
9z x y   tal que 0z  y sea ( , , ) 3 3F x y z x i y j zk  
. Calcular el flujo de F a través de S .
11. Determinar el flujo del campo vectorial ( , , ) kF x y z x i y j z   a través de la esfera
2 2 2
: 9S x y z  
12. Determinar el flujo del campo vectorial ( , , ) kF x y z x i y j z   a través del elipsoide
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  

5. 13. Calcular el flujo del campo vectorial 2 2 2
( , , ) 3 4 5 kF x y z z i x j y   a través de
2 2 2
: 6S x y z   , 0z  , con sus normales apuntando hacia su exterior.
14.- Dada la función vectorial ( , , ) kF x y z xzi yz j xz  
 
,K es la porción de la esfera
2 2 2
16x y z   que se encuentra dentro del cilindro 2 2
1x y  y arriba del plano XY hallar la
circulación de F sobre el ciclo C y el flujo de F a través de la superficie K.
15. Aplicar el teorema de Stokes para calcular el flujo del campo vectorial
( , , ) kF x y z z i x j y   a través del hemisferio 2 2
: 1S z x y   .
16. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial ( , , ) 0 kF x y z y i x j   y la
superficie 2 2
: 1S z x y  
17. Sea  el triángulo orientado situado en el plano 2 2 6x y z   . Evaluar .F dr

 donde
2
( , , ) kF x y z y i z j x    (Aplicar el teorema de Stokes)
18. Comprobar el teorema de Stokes para 2
( , , ) 2 kF x y z z i x j y   donde
S Es la superficie del paraboloide 2 2
4z x y   y  es la traza de S .
19. Sea S la parte del paraboloide 2 2
9z x y   para 0z  y esa  es la traza de S en el plano
XY .Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial ( , , ) 3 4 2 kF x y z z i y j z   .
20. Un líquido está arremolinado en un depósito circular de radio 2 de forma que su movimiento
viene descrito por el campo de velocidades. 2 2 2 2
( , , )F x y z y x y i x x y j     .
Hallar ( ). N
S
rotF dS siendo S la superficie superior del depósito cilíndrico.
21. Usando el teorema de Gauss (divergencia) calcular 3 3 3
S
x dydz y dzdx z dxdy    , donde
2 2 2 2
:S x y z a   .
22. Sea Q la región sólida limitada por la esfera 2 2 2
4x y z   . Hallar el flujo exterior al exterior
del campo vectorial 3 3 3
( , , ) 2 2 2 kF x y z x i y j z   a través de la esfera dada, es decir,
calcular . N
S
F dS
23.- Sea la función vectorial ( , , ) kF x y z xi y j z   y K la superficie de la esfera con
centro (1,0,1) y radio 3, determinar el flujo de F hacia fuera de K aplicando teorema de la
divergencia.
24.- Aplicando el teorema de la divergencia calcular
C
F d es decir el flujo de F a través de la
superficie K.
a)
2 2
( , , ) kF x y z xy i yz j x z  
 
, K es la superficie del sólido comprendido entre los
cilindros 2 2 2 2
1, 4x y x y    y entre los planos 1, 3z z 
b)
2 2 2 2 2
( , , ) 3 9 4 kF x y z y z i x yz j xy  
 
, K es la superficie del cubo con vértices
1, 1, 1.   ( 1 1, 1 1, 1 1x y z         )
25.- Usando el teorema de Stokes determinar la circulación del campo vectorial
2 2 2
( , , )F x y z y z i z x j x yk  
 
por el contorno de C que es la intersección de la
superficie
2 2
z y x  con el plano x = 9. .
26.- Utilizando el teorema de Gauss. Calcular el flujo del campo vectorial
2 2
( , , ) 4 2F x y z x i y j z k  
 
a través de la superficie exterior al sólido
limitado por
2 2
, 0 3x y x z    .